Виленкин Рассказы о множествах. Рассказы о множествах 3е издание
 Скачать 9.06 Mb.
|
|
Нужны ли строгие определения? На протяжении двух тысячелетий авторитет Евклида стоял со- вершенно незыблемо. Усомниться в каком-нибудь его положении означало окончательно и бесповоротно подорвать свою математиче- скую репутацию. Один из величайших математиков XIX века Карл Фридрих Гаусс, еще до Лобачевского пришедший к идеям неев- клидовой геометрии, не решился опубликовать свои исследования, опасаясь, как он писал одному другу, крика беотийцев 1 . И только научный подвиг великого русского геометра Николая Ивановича Лобачевского, который опубликовал свои открытия, невзирая на на- смешки не понимавших его ученых, сделал неевклидову геометрию всеобщим достоянием. После появления трудов Н. И. Лобачевского стало ясно, что су- ществуют две геометрии, одинаково безупречные логически, но ино- гда приводящие к совершенно различным теоремам. Но если это так, то всякие ссылки на «геометрическую очевидность» полностью потеряли цену. Каждое геометрическое утверждение надо было осно- вывать на строгих определениях, безупречных логических утвержде- ниях. И уж во всяком случае основным геометрическим понятиям — 1 Беотийцы — греческое племя, которое считалось весьма экономно наделен- ным умственными способностями. Нужны ли строгие определения? 119 линии, фигуре, телу — надо было дать точные определения, ничем не напоминающие определения типа «это — особь статья, а то — особь статья». Стремление к строгим определениям характеризовало не только геометрию, но и математический анализ XIX века. С помощью диф- ференциального и интегрального исчислений, созданных трудами Ньютона, Лейбница, Эйлера, Лагранжа и других великих матема- тиков XVII и XVIII веков, удалось решить самые разнообразные задачи, от расчета траектории артиллерийского снаряда до пред- сказания движений планет и комет. Но основные понятия, с по- мощью которых достигались эти замечательные результаты, были определены крайне нестрого. Основа тогдашнего математического анализа — понятие бесконечно малой величины — казалось чем-то стоящим на грани бытия и небытия, чем-то вроде нуля, но не со- всем нуля. И математики XVIII века были вынуждены ободрять своих сомневающихся учеников словами: «Работайте, и вера к вам придет». Но ведь математика — не религия, строить ее на вере нельзя. А самое главное — методы, дававшие столь замечательные резуль- таты в руках великих мастеров, стали приводить к ошибкам и па- радоксам, когда ими стали пользоваться менее талантливые уче- ники. Мастеров оберегала от ошибок их абсолютная математиче- ская интуиция, то подсознательное чувство, которое часто приводит к правильному ответу скорее, чем длинные логические рассужде- ния. Ученики же такой интуицией не обладали, и конец XVIII века ознаменовался неслыханным скандалом в математике — наплывом формул, стоивших меньше, чем бумага, на которой они были напеча- таны, и сомнительных теорем, область приложимости которых была совершенно неясна. И, подобно детям, ломающим красивую игрушку, чтобы посмо- треть, как она устроена, математики XIX века подвергли жестокой критике все применявшиеся до того понятия, стали перестраивать математику на базе строгих определений. Ссылки на наглядность отвергались, вместо нее требовали строжайшей логики 1 . Но требо- ваниям логики не удовлетворяли самые простые фразы из курса математического анализа, например, такие, как: «Рассмотрим об- ласть G, ограниченную замкнутой линией Г». 1 Правда, при этом они иногда выплескивали из ванны вместе с водой и ре- бенка, и в XX веке многое из выброшенного было возвращено в науку. 120 Глава III. Удивительные функции и линии Что такое замкнутая линия? Почему она является границей об- ласти? На сколько частей замкнутая линия разбивает плоскость, и какую из этих частей рассматривают? На все эти вопросы математики XVIII века не давали ответа. Они просто рисовали овал и думали, что этим все сказано. А в XIX веке рисункам уже не верили. Для аналитиков вопрос «что такое линия?» тоже стал одним из самых жгучих. Однако прошло много времени, прежде чем удалось дать на него исчерпывающий ответ. Линия — след движущейся точки Для того чтобы дать строгое определение линии, надо было исхо- дить из тех наглядных образов, которые привели к созданию этого математического понятия: длинных и тонких нитей, лучей света, длинных и узких дорог. Во всех этих случаях длина настолько боль- ше ширины, что шириной можно пренебречь. В результате матема- тической идеализации мы и приходим к понятию линии, не имеющей ширины. Первым попытался дать строгое определение линии французский математик Камилл Жордан. Он исходил из того, что траектория движения очень малого тела представляет собой узкую и длинную трубочку. По мере уменьшения размеров тела эта трубочка стано- вится все уже и уже и в пределе превращается в траекторию движу- щейся точки — линию, не имеющую ширины. Этот образ Жордан и принял за определение линии. Именно, линией он называл траек- торию движущейся точки. При этом точка должна была двигаться непрерывно, не делая скачков. Более точно определение Жордана звучало следующим образом. Для того чтобы задать положение движущейся точки, надо задать ее координаты в каждый момент движения. Так как движение продол- жается какой-то конечный промежуток времени, то, не теряя общно- сти, можно считать, что этим промежутком является [0; 1]. Иными словами, точка начинает двигаться в некоторый момент времени, принимаемый за начало отсчета, и кончает движение по истечении некоторой единицы времени (одной секунды, минуты, года и т. д.). В каждый момент времени t в течение этого промежутка задаются координаты движущейся точки. Таким образом, координаты точки зависят от момента времени t, являются его функциями. Обозначим Линия — след движущейся точки 121 эти функции (для случая, когда движение точки происходит в одной плоскости) через f (t) и g(t): x = f (t), y = g(t). Условие, что точка движется непрерывно, означает, что функ- ции f (t) и g(t) непрерывны в каждой точке отрезка [0; 1]. Грубо говоря, при малом изменении t функции f (t) и g(t) должны мало изменяться. Точнее, если t 1 , . . . , t n , . . . приближаются к некоторому значению t, lim n→∞ t n = t, то имеют место равенства lim n→∞ f (t n ) = f (t) и lim n→∞ g(t n ) = g(t). Определение Жордана оказалось довольно удачным. Все линии, с которыми математики в то время имели дело, оказались кривыми Рис. 49 в смысле Жордана, или, как говорят, жордановыми кривыми. Возьмем, напри- мер, окружность радиуса 1. Длина этой окружности равна 2π. Поэтому, чтобы обежать окружность за единицу времени, точка должна двигаться со скоростью 2π. Поэтому за время t она пробежит дугу 2πt. Из рис. 49 ясно, что ее координаты в момент времени t задаются формулами x = cos 2πt, y = sin 2πt. Эти уравнения называют параметриче- скими уравнениями окружности. А для линии, изображенной на рис. 50 (ее называют астроидой), парамет- рические уравнения имеют следующий вид: x = cos 3 2πt, y = sin 3 2πt. Жордановыми линиями могут быть и линии, составленные из раз- личных кривых. Возьмем, например, контур полукруга, состоящий из полуокружности радиуса 1 и диаметра (рис. 51). Движущаяся точка пробегает за половину времени полуокружность, а за вторую половину времени — диаметр. Выражения для координат при движе- нии по окружности мы уже знаем. При движении же по диаметру y 122 Глава III. Удивительные функции и линии Рис. 50 Рис. 51 остается равным нулю, а x меняется от −1 до 1. В результате полу- чаем следующие параметрические уравнения контура: x = cos 2πt, если 0 t 1 2 , 4t − 3, если 1 2 t 1; y = sin 2πt, если 0 t 1 2 , 0, если 1 2 t 1. Теорема очевидна, доказательство — нет Жордану удалось, используя введенное им понятие кривой, уточ- нить смысл той самой фразы из учебников математического анализа, о которой мы уже говорили: «Пусть замкнутая линия Г ограничива- ет область G». Замкнутая жорданова кривая — это кривая, которая при t = 1 попадает в ту же точку, где она была при t = 0. Если при этом различным моментам времени t 1 и t 2 , лежащим между 0 и 1, соответствуют разные точки кривой, то эта кривая не пересекает саму себя. Жордан доказал следующую теорему. Замкнутая жорданова кривая Г, не имеющая точек самопересе- чения, разбивает всю плоскость на две части. Две точки, принадле- жащие одной и той же части, можно соединить ломаной, не пересе- кающей кривую Г, а точки из разных частей нельзя соединить та- кой ломаной, любая соединяющая их ломаная пересекает кривую Г (рис. 52). Эта теорема кажется совершенно очевидной. Однако ее доказа- тельство потребовало очень тонких рассуждений. Даже в случае, ко- гда линия Г является замкнутым многоугольником, доказательство Кривая проходит через все точки квадрата 123 остается очень сложным. Попробуйте сразу сказать, можно ли соеди- нить ломаной, не пересекающей контура Г, точки A и B на рис. 53. Рис. 52 Рис. 53 Две части, на которые замкнутая жорданова линия разбивает плоскость, называют внутренней и внешней областями, ограничен- ными этой линией. Таким образом, понятие области, ограниченной замкнутой линией, приобрело точный смысл. Кривая проходит через все точки квадрата Когда Жордан дал свое определение кривой, то сначала каза- лось, что цель достигнута, получено строгое определение понятия линии, не опирающееся на наглядность. Но вскоре оказалось, что это не так — определение Жордана охватывало не только привычные для математиков линии, но и фигуры, которые никто бы линиями не назвал. Уж со всюду колючими линиями математики как-ни- будь примирились бы. Но назвать линией квадрат, на это ни у кого не хватило бы духу. А оказалось, что и квадрат, и треугольник (не периметр треугольника, а сам треугольник со всеми его внут- ренними точками), и круг являются линиями в смысле Жордана. Доказал это итальянский математик Пеано. Мы уже рассказывали, что Кантор установил взаимно однознач- ное соответствие между точками отрезка и квадрата, то есть по- казал, что на отрезке ровно столько же точек, сколько и на квад- рате. Это соответствие не было непрерывным. Когда точка двига- лась по отрезку, соответствующая ей точка на квадрате не ползла 124 Глава III. Удивительные функции и линии подобно жуку, а прыгала как блоха. В самом деле, возьмём на от- резке точки 0,50000000. . . и 0,499999990000000. . . Эти точки доволь- но близки друг к другу. Но соответствующие им точки на квадра- те далеки друг от друга. Ведь первой из них соответствует точка (0,50000. . . ; 0,0000. . . ), лежащая на нижней стороне квадрата, а вто- рой точка (0,4999000. . . ; 0,9999000. . . ), лежащая у самой верхней сто- роны квадрата. И если мы будем увеличивать число девяток у вто- рой точки, приближая ее к первой, то соответствующие точки квад- рата и не подумают приближаться друг к другу. Таким образом, канторово отображение отрезка на квадрат, хо- тя и было взаимно однозначным, но не было непрерывным. Оно не давало жордановой кривой. Пеано удалось построить другое отоб- ражение множества точек отрезка на множество точек квадрата, при котором близким точкам на отрезке соответствовали близкие точки квадрата. Иными словами, Пеано удалось построить кривую линию (в смысле Жордана), которая прошла через все точки квадрата! Разумеется, мы не можем нарисовать кривую Пеано, разве что, подражая художнику-абстракционисту, нарисуем черный квадрат. Но ведь на этом квадрате все равно нельзя будет понять, где начина- ется кривая, где она кончается, как она обходит квадрат. Поэтому по- следуем примеру не художника-абстракциониста, а физика Перрена и будем изображать положение движущейся точки прямолинейными отрезками. Чем меньше будут промежутки времени между отдель- ными наблюдениями, тем точнее получившаяся ломаная изобразит кривую Пеано. Сначала будем отмечать положение движущейся точки через каждые 1 4 с. Иными словами, отметим ее положение в начале дви- жения, через 1 4 с после начала движения, через 1 2 с после начала движения, через 3 4 с и в конце движения. Мы получим 5 точек. Соединив их, получаем линию ABCDE, изображенную на рис. 54 а. Разумеется, эта линия не проходит через все точки квадрата. Но мы уменьшим промежутки времени между отдельными наблю- дениями и будем отмечать положение точки каждые 1 16 с. Линия станет более извилистой, увеличится число изломов, и она примет вид, изображенный на рис. 54 б. Если еще чаще отмечать положение движущейся точки, то получим линию, изображенную на рис. 54 в. Мы видим, что линия все плотнее и плотнее заполняет квадрат, все ближе и ближе подходит к каждой его точке. В пределе, если все Все лежало в развалинах 125 время наблюдать за движущейся точкой, мы получим линию, про- ходящую через все без исключения точки квадрата. а) б ) в) Рис. 54 Надо отметить, что, выиграв по сравнению с Кантором в том, что его линия оказалась непрерывной, Пеано потерял в другом. Его линия уже не задавала взаимно однозначного отображения отрезка на квадрат. Через некоторые точки квадрата она проходила по нескольку раз. Позже было доказано, что невозможно сохранить одновременно и непрерывность и взаимную однозначность соответ- ствия: не существует жордановой кривой, проходящей через все точки квадрата в точности по одному разу! Все лежало в развалинах Трудно передать словами впечатление, произведенное на матема- тический мир результатом Пеано. Казалось, что все рухнуло, что са- мые основные математические определения потеряли всякий смысл, не было видно различия между линией и поверхностью, поверх- ностью и телом (результат о невозможности взаимно однозначно- го и непрерывного соответствия между отрезком и квадратом еще не был известен). Знаменитый французский математик Анри Пуан- каре с горечью воскликнул: «Как могла интуиция до такой степени обмануть нас!» Стало ясно, что жорданово определение кривой не безупречно. С одной стороны, оно слишком широко: под это определение подхо- дит и кривая Пеано. А с другой стороны, оно слишком узко: не все образы, которые интуитивно хотелось бы отнести к линиям, подхо- дят под это определение. Например, линия, изображенная на рис. 43, с. 113 (окружность с намотанной на нее спиралью), уже не является 126 Глава III. Удивительные функции и линии жордановой кривой. Обнаружили и другой, глубже скрытый недо- статок определения Жордана — ведь в этом определении шла речь не только о кривой, но и о том, в каком темпе и как пробегает ее точка. Представим себе, например, бегуна, который первую полови- ну окружности проходит за 1 4 мин, а потом, устав, проходит вторую половину окружности за 3 4 мин. Ясно, что в этом случае мы получим совсем другие параметрические уравнения, чем на с. 121. А ведь точка может пробегать окружность бесчисленным мно- жеством способов, то ускоряя, то замедляя движение. Поэтому для одной и той же окружности получатся различные параметрические уравнения. И весьма трудно догадаться, что уравнения x = 1 − t 2 1 + t 2 , y = 2t 1 + t 2 задают ту же самую окружность, что и уравнения x = cos 2πt, y = sin 2πt. А с более сложными кривыми совсем легко запутаться. Возь- мем, например, лемнискату. Эту кривую можно обойти так, как на рис. 55 а, а можно и так, как на рис. 55 б. И выяснить, глядя на уравнения, одинаковы кривые или различны, весьма трудно. Рис. 55 Итак, снова встал вопрос, что же такое линия и чем она отлича- ется от поверхности? Ответ на него был связан с общими исследова- ниями Кантора о геометрических фигурах. Как делают статуи Создав теорию множеств, Кантор перешел к вопросу о том, что такое геометрическая фигура? Самый общий ответ на этот вопрос гласил: геометрическая фигура — это любое множество точек про- странства. Если это множество лежит на плоскости, то получается Как делают статуи 127 плоская геометрическая фигура. Но такой ответ был бы слишком общим — у фигур в этом смысле нет почти никаких достаточно ин- тересных свойств. Поэтому надо было в первую очередь ограничить совокупности изучаемых множеств, выделить из них те, которые ближе всего по своим свойствам к обычным геометрическим фигурам. Чтобы выделить такой класс фигур, выясним, что общего имеют друг с другом обычные фигуры, такие, как квадрат, круг, отрезок прямой, астроида и т. д. Оказывается, все эти фигуры можно полу- чить единообразным процессом. Рассказывают, что знаменитый скульптор Роден на вопрос, как ему удается делать свои замечательные статуи, ответил: «Я беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее». Тем же самым способом можно получить любую ограниченную плоскую геометрическую фигуру: надо взять какой-нибудь квадрат, в котором она лежит, а потом отсечь все лишнее. Однако отсекать надо не сразу, а постепенно, на каждом шаге отбрасывая кусочек, имеющий форму круга. При этом сам круг выбрасывается, а его граница — окружность — остается в фигуре. На первый взгляд кажется, что так можно получить лишь фигу- ры такого вида, как на рис. 56. Но все дело в том, что отбрасывают не один и не два круга, а счетное множество кругов. А с помощью Рис. 56 счетного множества вырезаний мож- но получить любую фигуру. Для этого следует поступить так: взять все кру- ги, у которых обе координаты центра и радиус рациональны. В силу теоре- мы на с. 70 множество таких кругов счетно. А теперь выбросим из плоско- сти все круги нашего множества, внут- ри которых нет ни одной точки геомет- рической фигуры. Ясно, что после этого останется только сама эта геометрическая фи- гура. А число выброшенных кругов не более чем счетно. Впрочем, не обязательно выбрасывать круги. Вместо них можно удалять квадраты, прямоугольники, эллипсы, соблюдая лишь од- но условие — внутренние точки отбрасываются, а граничные оста- ются. 128 Глава III. Удивительные функции и линии Континуумы Оказывается, что кроме обычных геометрических фигур с помо- щью выбрасывания счетного множества кругов (квадратов и т. д.) можно получать и другие множества, не слишком похожие на обыч- ные фигуры, но все же обладающие многими интересными свойства- ми. Например, ковер Серпинского, о котором мы уже неоднократно Рис. 57 говорили, получается имен- но таким путем: из квадрата со стороной 1 выбрасывают один за другим маленькие квадратики, причем их сто- роны остаются. Однако путем выбрасыва- ния можно получить и фигуры, не состоящие из одного куска. Например, если удалять «кре- сты» 1 , как на рис. 57, то по- лучится в конце концов множе- ство, не содержащее ни одно- го целого куска (как говорят, вполне несвязное). Поэтому мы введем ограничение, что после каждого выбрасывания долж- но оставаться множество, состоящее из одного куска. Тогда и после всех выбрасываний останется множество из одного куска (то есть, как говорят математики, связное). Кроме того, получающееся мно- жество ограничено, то есть целиком лежит в некотором квадрате. Итак, рассматриваемые множества удовлетворяют следующим условиям: 1) множество F получается из квадрата выбрасыванием счет- ного множества кругов (квадратов и т. д.) с оставлением их границ; 2) множество F состоит из одного куска (связно). Эти множества Кантор и назвал континуумами (напомним, что латинское слово «continuum» означает «непрерывное»). Континуумы 1 При этом вместе с каждым крестом удаляются его концевые промежутки, например промежутки AB, CD, EF , GH. Канторовы линии 129 и оказались наиболее общими множествами, свойства которых очень близки к свойствам обычных геометрических фигур. Канторовы линии Теперь мы уже готовы ответить на вопрос, что же такое плоская линия. Так как плоские линии должны быть геометрическими фигу- рами, то ясно, что искать их надо среди континуумов. Но континуу- мами являются и круг, и квадрат, а эти фигуры никак не назовешь линиями. Поэтому надо добавить еще какое-то условие, которое от- мело бы такие фигуры. Рис. 58 Рис. 59 Заметим, что и круг, и квадрат содержат сплошные куски плос- кости. А линии сплошных кусков плоскости не содержат; какой бы маленький квадратик мы ни взяли, всегда на нем найдутся точки, не принадлежащие линии (рис. 58). Вот это и является нужным нам дополнительным условием: плоской линией в смысле Канто- ра называют лежащий на плоскости континуум, не заполняющий ни одного сплошного куска плоскости (то есть такой, что в каждом квадрате есть точки, не принадлежащие этой линии). Например, отрезок, контур треугольника, окружность, четы- рехлепестковая роза — все это линии. Линией является и ковер Серпинского. Так как при его построении мы продырявили все квадраты, получавшиеся при делении, то ни одного целого куска плоскости он не содержит. Канторовой линией является и окруж- ность вместе с намотанной на нее спиралью, и пилообразная линия на рис. 59 вместе с отрезком [0; 1] оси ординат. Вообще все фигуры, являющиеся линиями в наглядном, наивном понимании, являются линиями и в смысле Кантора. А фигуры, содержащие хоть один целый кусок плоскости, не относятся к числу канторовых линий. |