Виленкин Рассказы о множествах. Рассказы о множествах 3е издание
 Скачать 9.06 Mb.
|
|
7. Вытекает ли из A − B = C, что A = B + C? 8. Вытекает ли из A = B + C, что A − B = C? 9. Какие включения справедливы для множеств а) A − (B + C) и (A − B) − C; б) A + (B − C) и (A + B) − C; в) (A − B) + C и A + (C − B)? 10. Пользуясь соотношениями 1)–26) на с. 40, упростите выра- жение [(X − Y ) (X + Y )] . 11. Установите взаимно однозначное соответствие между проме- жутком 0 < x < 1 и всей числовой прямой. 12. Установите взаимно однозначное соответствие между число- выми множествами 0 x < 1 и 0 x < ∞. 13*. Установите взаимно однозначное соответствие между отрез- ком 0 x 1 и промежутком 0 < x < 1. 146 Примеры и упражнения 14. Постройте взаимно однозначное отображение отрезка 0 x 1 на всю числовую прямую. 15*. Постройте взаимно однозначное соответствие между мно- жеством всех чисел отрезка 0 x 1 и множеством иррациональных чисел того же отрезка. 16*. Отобразите взаимно однозначно луч 0 x < ∞ на всю чис- ловую прямую. 17. Установите взаимно однозначное соответствие между точка- ми плоскости и точками сферы, из которой выброшена одна точка. 18*. Установите взаимно однозначное соответствие между точ- ками плоскости и точками сферы. 19. Установите взаимно однозначное соответствие между точка- ми открытого квадрата 0 < x < 1, 0 < y < 1 и точками плоскости. 20. Установите взаимно однозначное соответствие между множе- ством всех рациональных чисел отрезка 0 x 1 и множеством всех точек плоскости, обе координаты которых рациональны. 21. Установите взаимно однозначное соответствие между множе- ством всех целых чисел и множеством всех квадратных трехчленов с целочисленными коэффициентами. 22*. Установите взаимно однозначное соответствие между мно- жеством всех действительных чисел и множеством всех точек плос- кости. 23. Установите взаимно однозначное соответствие между мно- жеством всех действительных чисел и множеством всех квадратных трехчленов с действительными коэффициентами. 24. Какова мощность множества всех четырехугольников на плоскости, координаты всех вершин которых рациональны? 25. Какова мощность множества всех многоугольников на плос- кости, координаты всех вершин которых рациональны? 26. Какова мощность множества всех выпуклых многогранни- ков, координаты всех вершин которых рациональны? 27. Какова мощность множества всех рациональных функций с целочисленными коэффициентами в числителе и знаменателе? 28. Какова мощность множества всех многочленов, коэффици- ентами которых служат рациональные числа? 29. Какова мощность множества всех последовательностей нату- ральных чисел? 30. Какова мощность множества всех конечных последователь- ностей натуральных чисел? Примеры и упражнения 147 31. Какова мощность множества всех возрастающих последова- тельностей натуральных чисел? 32. Какова мощность множества всех многочленов третьей сте- пени с действительными коэффициентами? 33. Какова мощность множества всех многочленов с действи- тельными коэффициентами? 34. Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе- ресекающихся окружностей? 35. Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе- ресекающихся букв Г? Букв N? 36. Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе- ресекающихся букв А? Букв Б? 37. Какова мощность множества всех действительных чисел, в десятичном разложении которых встречается цифра 7? 38. Какова мощность множества всех действительных чисел, в десятичном разложении которых не встречается цифра 5? 39. Какова мощность множества действительных чисел, заклю- ченных между 0 и 1, в десятичном разложении которых на втором месте стоит цифра 6 и больше эта цифра не встречается? 40. Докажите, что если A − B ∼ B − A, то A ∼ B (напомним, что A ∼ B означает, что A и B имеют одинаковую мощность). 41. Докажите, что если A ⊂ B и A ∼ A + C, то B ∼ B + C. 42. Верно ли утверждение: «Если A ∼ C, B ∼ D, причем A ⊃ B, C ⊃ D, то A − B ∼ C − D»? 43. Верно ли утверждение: «Если A ∼ B, C ⊃ A и C ⊃ B, то C − A ∼ C − B»? 44. Перенумеруем все рациональные точки отрезка [0; 1]. Мы по- лучим последовательность точек r 1 , r 2 , . . . , r n , . . . . Построим окрест- ность точки r 1 , имеющую радиус 1/10, окрестность точки r 2 , име- ющую радиус 1/20, окрестность точки r 3 , имеющую радиус 1/40, и т. д. Сложим все построенные окрестности. Содержит ли получен- ное множество M весь отрезок? 45. Оцените длину множества M из задачи 44. 46*. Назовем счетномерным кубом множество всех последо- вательностей действительных чисел (x 1 , . . . , x n , . . . ) таких, что 0 x n 1. Докажите, что множество точек счетномерного куба имеет мощность континуума. 47*. Постройте непрерывную функцию, имеющую на каждом отрезке бесконечно много максимумов и минимумов. 148 Примеры и упражнения 48*. Множество M состоит из точек отрезка [0; 1], которые мож- но представить в виде десятичных дробей, ни один десятичный знак которых не равен 3 и 8. Опишите, как получить это множество, по- следовательно выбрасывая из отрезка промежутки. 49*. Сделайте то же самое для точек, в десятичном разложении которых не встречается комбинация 38 (в указанном здесь порядке). 50*. Точка a называется предельной точкой для множества M , если в любой ее окрестности есть бесконечно много точек этого мно- жества. Докажите, что все предельные точки канторова множества (см. с. 107) принадлежат этому множеству. Докажите, что и обратно, каждая точка канторова множества является для него предельной. То же самое сделайте для множеств из задач 48 и 49. 51. Докажите, что каждая точка отрезка [0; 1] является предель- ной для множества всех рациональных чисел таких, что 0 r 1. 52. Существуют ли предельные точки у множества целых чисел? 53. Докажите, что дополнение к любому открытому множеству на плоскости содержит все свои предельные точки. 54. Докажите, что если множество содержит все свои предель- ные точки, то его дополнение — открытое множество. 55. Приведите примеры таких множеств на плоскости, которые а) не имеют граничных точек; б) имеют граничные точки, причем ни одна из них не при- надлежит множеству; в) содержат все свои граничные точки; г) целиком состоят из граничных точек; д) содержат только часть своих граничных точек. 56. Приведите примеры множеств в пространстве со свойства- ми а)–д) из задачи 55. Оглавление Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Глава I. Множества и действия над ними . . . . . . . . . . . 5 Что такое множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Как задают множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Брить или не брить? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Пустое множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Теория множеств и школьная математика . . . . . . . . . . . . . . . 16 Подмножества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Теория множеств и комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Универсальное множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Пересечение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Сложение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Разбиение множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Арифметика остатков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Вычитание множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Алгебра множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Планета мифов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Булевы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Глава II. В мире чудес бесконечного . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Тайны бесконечности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Необыкновенная гостиница, или тысяча первое путеше- ствие Йона Тихого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Как сравнивать множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 На танцплощадке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 На каждый прилив — по отливу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Равна ли часть целому? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Счетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Алгебраические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Восьмерки на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Неравные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Счетное множество — самое маленькое из бесконечных . . . 74 Несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Несостоявшаяся перепись . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Несчетность континуума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Существование трансцендентных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 На длинном и коротком отрезках поровну точек . . . . . . . . . 81 Отрезок и квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 150 Оглавление Одна задача почему-то не выходит . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Существует ли множество самой большой мощности? . . . . 86 Арифметика бесконечного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Возведение в бесконечную степень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 По порядку номеров... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Вполне упорядоченные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Непонятная аксиома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Из одного яблока — два . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Конечные разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Глава III. Удивительные функции и линии, или про- гулки по математической кунсткамере . . . . . 99 Как развивалось понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Джинн выходит из бутылки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Мокрые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Чертова лестница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Колючая линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Замкнутая линия бесконечной длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Математический ковер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Евклид отказывает в помощи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Нужны ли строгие определения? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Линия — след движущейся точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Теорема очевидна, доказательство — нет . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Кривая проходит через все точки квадрата . . . . . . . . . . . . . . 123 Все лежало в развалинах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Как делают статуи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Континуумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Канторовы линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Всегда ли площадь линии равна нулю? . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Области без площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Неожиданные примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Области и границы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Большие ирригационные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 «Недиссертабельная» тема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Индуктивное определение размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Работу надо не рецензировать, а печатать! . . . . . . . . . . . . . . 141 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Примеры и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 |