лекции. Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия
 Скачать 0.55 Mb.
|
|
Вторая теорема Ляпунова: если из членов наинизшего порядка в раз- ложении потенциальной энергии консервативной системы установле- но, что потенциальная энергия имеет строгий максимум в положении равновесия, то это положение равновесия неустойчиво. Теорема Четаева: если потенциальная энергия консервативной си- стемы в некоторой окрестности положения равновесия является од- 24 нородной функцией обобщенных координат и в положении равновесия не имеет минимума, то это положение равновесия неустойчиво. 1.7 Понятие о бифуркации. Случаи потери устойчивости для систем с потенциалом, зависящим от параметра. Два сценария потери устойчивости: дивергенция и флат- тер. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, зависящее от параметра: ˙𝑥 = 𝑓 (𝑥, 𝛼), 𝑥 ∈ R, 𝛼 ∈ R Для механической системы одномерность 𝑥 означает наличие одной сте- пени свободы. Условие равновесия 𝑓 (𝑥, 𝛼) = 0 определяет на плоскости (𝛼, 𝑥) семейство линий, которые образуют кри- вую равновесия. В общем случае эти линии могут пересекаться. Эти точки пересечения принято называть точками бифуркации. Пересе- чение линий решения в точке бифуркации означает неоднозначность ре- шения уравнения в ее окрестности, поэтому в этой точке 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 0, так как иначе по теореме о неявной функции уравнение 𝑓 (𝑥, 𝛼) = 0 од- нозначно задает 𝑥 как функцию 𝛼. Зафиксируем какое-либо значение параметра 𝛼 и будем увеличивать 𝑥. Если при прохождении кривой равновесия функция 𝑓 меняет свой знак, то само положение равновесия может быть как устойчивым (при 𝜕𝑓 𝜕𝑥 < 0 в этой точке), так и неустойчивым (при 𝜕𝑓 𝜕𝑥 > 0 в этой точке), а 25 в точке бифуркации характер устойчивости неопределен. Для того, что- бы понять, какие куски кривой равновесий соответствуют устойчивым положениям равновесия, а какие — неустойчивым, можно заштриховать участки плоскости (𝑥, 𝛼), где функция 𝑓 положительна. Если заштрихо- ванная область располагается над кривой, то данная ветвь образована устойчивыми положениями равновесия. Если заштрихованная область расположена ниже прилегающего участка кривой, то этот участок от- вечает неустойчивым положениям равновесия. Вдоль устойчивой ветви обычно ставят знаки «+», а вдоль неустойчивой, соответственно, «−». Основные бифуркационные диаграммы в одномерном случае пред- ставлены на рисунках. Точки 𝑃 на первых четырех диаграммах называются бифуркациями ти- па смены характера устойчивости, а на последних двух — бифурка- циями типа «складка». Бифуркации типа «складка» образованы наложением двух линий кривой равновесий. Значение параметра, при котором возникает точка бифур- кации, называется бифуркационным значением параметра, если в 26 окрестности точки бифуркации наблюдается различный характер устой- чивости линий кривой равновесия. Рассмотрим круглую трубку, вращающуюся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 𝜔. Пусть на трубку насажен шарик, который может скользить по трубке без трения. Считая частоту вращения трубки параметром, получаем систему с од- ной степенью свободы. Положение шарика определяется углом 𝜙 между радиус-вектором шарика (начало отсчета совпадает с центром окруж- ности трубки) и вертикалью (в нижней точке 𝜙 = 0). Исследование та- кой системы на положения равновесия показывает, что до определенного значения частоты имеется только одно положение равновесия 𝜙 = 0, и оно является устойчивым, а начиная с некоторой частоты это положение равновесия становится неустойчивым и появляются два других неустой- чивых положения равновесия. Соответствующая кривая равновесий по- казана на рисунке: Точка 𝑃 здесь называется бифуркацией типа «вилка». Если размерность 𝑥 больше единицы, то для нелинейных систем бы- вают случаи бифуркаций типа «вилка» (кривая равновесий будет иметь вид многомерной поверхности, проекция на каждую из плоскостей (𝑥 𝑖 , 𝛼) будет иметь вид «вилки» из предыдущего примера). При этом может ока- заться так, что правее бифуркационного параметра не существует поло- жений равновесия. Такая точка бифуркации называется дивергенцией. Если же они существуют, то они неустойчивы и такая точка бифуркации называется флаттером. 27 1.8 Малые колебания консервативных систем вблизи устойчивого положения равнове- сия. Напомним, что для консервативной системы кинетическая энергия имеет только квадратичную форму, а потенциальная энергия зависит только от обобщенных координат; при этом, как было получено ранее, разложе- ние потенциальной энергии в окрестности положения равновесия начи- нается как минимум с членов второго порядка. Для применения линей- ной теории в разложении кинетической и потенциальной энергий следует оставить только члены второго порядка. Тогда в окрестности положения равновесия − → 𝑞 = − → 0 𝑇 = 𝑇 2 = 1 2 𝑛 ∑︁ 𝑖,𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 ( − → 0 ) ˙ 𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑗 = 1 2 ˙ − → 𝑞 𝑇 𝐴 ˙ − → 𝑞 Π = Π(− → 𝑞 ) = Π 2 (− → 𝑞 ) + Π 3 (− → 𝑞 ) + ... ∼ Π 2 (− → 𝑞 ) = = 1 2 ∑︁ 𝜕 2 Π 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑞 𝑗 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − → 𝑞 = − → 0 𝑞 𝑖 𝑞 𝑗 = 1 2 − → 𝑞 𝑇 𝐶− → 𝑞 , где 𝐴 и 𝐶 — соответственно матрицы кинетической и потенциальной энергий: 𝑎 𝑖𝑗 = 𝜕 2 𝑇 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 𝜕 ˙ 𝑞 𝑗 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − → 𝑞 = − → 0 , 𝑐 𝑖𝑗 = 𝜕 2 Π 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑞 𝑗 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − → 𝑞 = − → 0 1.8.1 Уравнение частот. Общее решение. Уравнения Лагранжа вблизи положения равновесия консервативной си- стемы, с учетом структур кинетической и потенциальной энергий, имеют вид 𝐴 ¨ − → 𝑞 + 𝐶− → 𝑞 = − → 0 28 Если система соверщает малые колебания, то 𝐴 и 𝐶 положительно опре- делены, так как в противном случае механическая система при отбрасы- вании членов выше второго порядка может утратить свои существенные свойства. Решение полученных уравнений Лагранжа ищется в виде − → 𝑞 = − → 𝑢 sin(𝜔𝑡 + 𝜙), где − → 𝑢 = (𝑢 1 , . . . , 𝑢 𝑛 ) 𝑇 — амплитудный вектор. Амплитудный вектор характеризует взаимосвязь изменений обобщенных координат при дан- ном движении. Подставив это решение в исходное уравнение, получим (𝐶 − 𝜔 2 𝐴)− → 𝑢 = − → 0 Так как все амплитуды искомого колебания не должны обращаться в нуль, то, сделав замену 𝜇 = 𝜔 2 , получим 𝑑𝑒𝑡(𝐶 − 𝜇𝐴) = 0 — уравнение частот. Далее будем предполагать, что среди решений уравнения частот нет кратных корней, а сами решения ненулевые. Утверждение: все корни {𝜇 1 , . . . , 𝜇 𝑛 } уравнения частот положитель- ные и вещественные. Доказательство Рассмотрим произвольное решение 𝜇 𝑖 . Для него выполняется 𝐶− → 𝑢 𝑖 − 𝜇 𝑖 𝐴− → 𝑢 𝑖 = − → 0 Допустим, что 𝜇 𝑖 ∈ C, тогда и − → 𝑢 𝑖 ∈ C, тогда, введя обозначение − → 𝑢 𝑖 * = − → 𝑢 𝑖 𝑇 — комплексно сопряженный к − → 𝑢 𝑖 и транспонированный вектор, получим 𝜇 𝑖 = − → 𝑢 * 𝑖 𝐶− → 𝑢 𝑖 − → 𝑢 * 𝑖 𝐴− → 𝑢 𝑖 Но если 𝜇 𝑖 — корень, то и комплексно сопряженный к нему 𝜇 𝑖 (с ампли- тудным вектором − → 𝑢 𝑖 * ) — тоже. Но 29 𝜇 𝑖 = − → 𝑢 𝑖 𝐶 − → 𝑢 * 𝑖 − → 𝑢 𝑖 𝐴 − → 𝑢 * 𝑖 Матрицы 𝐴 и 𝐶 симметрические и вещественные, поэтому 𝜇 𝑖 = 𝜇 𝑖 Утверждение доказано. 1.8.2 Свойства амплитудных векторов. Использова- ние симметрии системы для нахождения мод колебаний. Отметим два свойства амплитудных векторов. Свойство 1: − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑗 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑖̸=𝑗 = 0 Доказательство Подставим в уравнения Лагранжа 2 амплитудных вектора − → 𝑢 𝑖 и − → 𝑢 𝑗 с со- ответствующими корнями 𝜇 𝑖 и 𝜇 𝑗 : 𝐶− → 𝑢 𝑖 − 𝜇 𝑖 𝐴− → 𝑢 𝑖 = − → 0 𝐶− → 𝑢 𝑗 − 𝜇 𝑗 𝐴− → 𝑢 𝑗 = − → 0 Домножим первое уравнение на − → 𝑢 𝑗 𝑇 , а второе — на − → 𝑢 𝑖 𝑇 слева и вычтем из одного другое, учитывая, что матрицы 𝐶 и 𝐴 симметрические: − → 𝑢 𝑗 𝑇 𝐶− → 𝑢 𝑖 − 𝜇 𝑖 − → 𝑢 𝑗 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑖 = 0 − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐶− → 𝑢 𝑗 − 𝜇 𝑗 − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑗 = 0 (𝜇 𝑖 − 𝜇 𝑗 ) − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑗 = 0 30 Так как мы предполагаем, что 𝑖 ̸= 𝑗 и среди решений нет кратных кор- ней, то − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑗 = 0 Свойство доказано. Свойство 2: амплитудные векторы линейно независимы. Доказательство Если амплитудные векторы линейно независимы, то их линейная комби- нация обращается в нулевой вектор только когда все коэффициенты 𝜈 𝑖 равны нулю: 𝜈 1 − → 𝑢 1 + . . . + 𝜈 𝑛 − → 𝑢 𝑛 = − → 0 Покажем, что произвольно выбранный коэффициент 𝜈 𝑖 равен нулю. До- множим уравнение на − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴 слева: 𝜈 1 − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 1 + . . . + 𝜈 𝑖 − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑖 + . . . + 𝜈 𝑛 − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑛 = 0 Из свойства 1 получаем: 𝜈 𝑖 − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑖 ⏟ ⏞ >0 = 0 Так как мы предполагаем, что среди решений нет нулевых, то из послед- него уравнения 𝜈 𝑖 = 0. В силу произвольности выбора 𝜈 𝑖 , получаем, что амплитудные векторы линейно независимы по определению. Свойство доказано. По сути мы доказали, что общее решение уравнений Лагранжа вблизи положения равновесия косервативной системы имеют вид − → 𝑞 (𝑡) = ∑︁ 𝐶 𝑖 − → 𝑢 𝑖 sin(𝜔 𝑖 𝑡 + 𝜙 𝑖 ) (1.1) Так как амплитудный вектор характеризует взаимосвязь изменений обобщенных координат, то для нахождения амплитудных векторов мож- но воспользоваться симметрией системы. 31 Рассмотрим пример. Два одинаковых груза массы 𝑚, связанных между собой и с неподвижными стенками пружинами жесткости 𝑘 каждая, со- вершают малые колебания по гладкой горизоантальной направляющей. Оба груза могут двигаться только по прямой, поэтому система имеет 2 степени свободы. Из симметрии системы легко увидеть 2 возможных движения системы: 1. оба груза всегда движутся в одном направлении, при этом центральная пружина неподвижна. Тогда − → 𝑢 1 = (︂1 1 )︂ 2. Оба груза всегда движутся в противоположных направлениях, то есть когда центральная пружина сжата, крайние расжаты, и наоборот. При этом − → 𝑢 2 = (︂ 1 −1 )︂ Зная амплитудные векторы, собственные частоты находятся из уравне- ния частот. Отметим, что если известны все амплитудные векторы кроме одного, то его можно найти, пользуясь первым свойством амплитудных векторов. Общее решение находится из (1.1). 1.8.3 Главные (нормальные) координаты. Случай крат- ных корней. Выполним нормировку амплитудных векторов: если − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑖 = 𝑚 𝑖 > 0, то − → 𝑢 𝑖 → − → 𝑢 𝑖 √ 𝑚 𝑖 Теперь свойство 𝐴-ортогональности векторов (первое свойство ампли- тудных векторов) можно записать в виде − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 = {︃ 1, 𝑖 = 𝑗 0, 𝑖 ̸= 𝑗 32 Рассмотрим преобразование − → 𝑞 = 𝑈 − → 𝜃 , 𝑈 = ||− → 𝑢 1 , . . . , − → 𝑢 𝑛 ||, − → 𝑢 𝑖 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 Теперь в новом базисе с учетом ортогональности 𝑇 = 1 2 ˙ − → 𝑞 𝑇 𝐴 ˙ − → 𝑞 = 1 2 ˙ − → 𝜃 𝑇 𝑈 𝑇 𝐴𝑈 ⏟ ⏞ 𝐸 ˙ − → 𝜃 Вековое уравнение 𝐶− → 𝑢 𝑖 − 𝜇 𝑖 𝐴− → 𝑢 𝑖 = − → 0 домножим слева на проивзвольный транспонированный амплитудный вектор, отличный от − → 𝑢 𝑖 : − → 𝑢 𝑗 𝑇 𝐶− → 𝑢 𝑖 − 𝜇 𝑖 − → 𝑢 𝑗 𝑇 𝐴− → 𝑢 𝑖 ⏟ ⏞ 𝛿 𝑖𝑗 = − → 0 , откуда − → 𝑢 𝑗 𝑇 𝐶− → 𝑢 𝑖 = 𝜇 𝑖 𝛿 𝑖𝑗 и Π = 1 2 − → 𝑞 𝑇 𝐶− → 𝑞 = 1 2 − → 𝜃 𝑇 𝑈 𝑇 𝐶𝑈 ⏟ ⏞ 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜇 1 ,...,𝜇 𝑛 ) − → 𝜃 С учетом видов кинетической и потенциальной энергий в новом базисе, уравнения Лагранжа примут вид ¨ 𝜃 𝑖 + 𝜇 𝑖 𝜃 𝑖 = 0, 𝑖 = 1, . . . , 𝑛, где 𝜃 𝑖 — главные (нормальные) координаты. Существует теорема линейной алгебры о приведении двух квадратич- ных форм, одна из которых положительно определена: 33 ∃𝑈 : − → 𝑞 = 𝑈 − → 𝜃 : 𝑈 𝑇 𝐴𝑈 = 𝐸, 𝑈 𝑇 𝐶𝑈 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜇 1 , . . . , 𝜇 𝑛 ), поэтому всегда возможен переход к нормальным координатам, в том чис- ле в случае кратных корней. Отметим, что если есть нулевые корни, то решение уравнений Лагран- жа при использованном нами линейном приближении кинетической и потенциальной энергий не всегда корректно описывает поведение систе- мы. 1.9 Вынужденные колебания линейной ста- ционарной системы под действием гар- монических сил. Частотные характери- стики. Явление резонанса. Реакция ли- нейной стационарной системы на негар- моническое воздействие. Пусть колебательная система подвержена действию внешней силы, за- висящей от времени. При этом до действия этой силы, считаем, что на систему, помимо потенциальных сил, действовали внешние силы ˜ − → 𝑄 , за- висящие от обобщенных скоростей. Тогда уравнения Лагранжа примут вид 𝐴 ¨ − → 𝑞 + 𝐶− → 𝑞 = − → 𝑄 (𝑡) + ˜ − → 𝑄 = − → 𝑄 (𝑡) − 𝐵 ˙ − → 𝑞 , где ˜ − → 𝑄 = −𝐵 ˙ − → 𝑞 — строго диссипативна. Действительно, 𝑁 = − ˙ − → 𝑞 𝑇 𝐵 ˙ − → 𝑞 < 0, поэтому положение равновесия − → 𝑞 = − → 0 в системе 𝐴 ¨ − → 𝑞 + 𝐵 ˙ − → 𝑞 + 𝐶− → 𝑞 = − → 0 34 асимптотически устойчиво по обобщению теоремы Лагранжа-Дирихле на диссипативные системы. Здесь 𝐵 = − 𝜕 ˜ − → 𝑄 𝜕 ˙ − → 𝑞 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − → 𝑞 = − → 0 — матрица диссипативных сил. Решение исходного уравнения ищут в виде − → 𝑞 (𝑡) = − → 𝑞 0 (𝑡) ⏟ ⏞ общее решение + − → 𝑞 * (𝑡) ⏟ ⏞ частное решение Общее решение однородной системы − → 𝑞 0 (𝑡) называют переходным про- цессом, так как из определения асимптотической устойчивости − → 𝑞 0 (𝑡) 𝑡→∞ −−−→ − → 0 , Будем далее рассматривать установившееся движение, не учитывая тем самым переходный процесс. При таком рассмотрении имеет место принцип суперпозиции: если 𝐴 ¨ − → 𝑞 + 𝐵 ˙ − → 𝑞 + 𝐶− → 𝑞 = − → 𝑄 1 (𝑡), − → 𝑞 1 (𝑡) — решение, 𝐴 ¨ − → 𝑞 + 𝐵 ˙ − → 𝑞 + 𝐶− → 𝑞 = − → 𝑄 2 (𝑡), − → 𝑞 2 (𝑡) — решение, то для композиции этих движений 𝐴 ¨ − → 𝑞 + 𝐵 ˙ − → 𝑞 + 𝐶− → 𝑞 = 𝛼 1 − → 𝑄 1 (𝑡) + 𝛼 2 − → 𝑄 2 (𝑡), 𝛼 1 − → 𝑞 1 (𝑡) + 𝛼 2 − → 𝑞 2 (𝑡) — решение Рассмотрим гармоническое воздействие: − → 𝑄 (𝑡) = − → 𝑝 cos 𝜔𝑡. Подставим новое выражение для силы в уравнение движения и поставим уравнению движения в соответствие его комплексную форму: 𝐴 ¨ − → 𝑞 + 𝐵 ˙ − → 𝑞 + 𝐶− → 𝑞 = − → 𝑝 cos 𝜔𝑡 → 𝐴 ¨ ˆ − → 𝑞 + 𝐵 ˙ˆ − → 𝑞 + 𝐶 ˆ − → 𝑞 = − → 𝑝 𝑒 𝑖𝜔𝑡 = = − → 𝑝 (cos 𝜔𝑡 + 𝑖 sin 𝜔𝑡) 35 Из принципа суперпозиции непосредственно следует, что − → 𝑞 (𝑡) = Re ˆ − → 𝑞 (𝑡) ˆ − → 𝑞 (𝑡) ищется в виде ˆ − → 𝑞 (𝑡) = − → ℎ 𝑒 𝑖𝜔𝑡 Теперь уравнение движения примет вид (︀−𝜔 2 𝐴 + 𝑖𝜔𝐵 + 𝐶 )︀ ⏟ ⏞ 𝐷(𝜔) − → ℎ = − → 𝑝 Матрица 𝐷(𝜔) невырождена, так как характеристические корни всегда имеют действительную часть. Тогда − → ℎ = 𝐷 −1 (𝜔) ⏟ ⏞ 𝑊 (𝜔) − → 𝑝 ˆ − → 𝑞 (𝑡) = 𝑊 (𝜔)− → 𝑝 𝑒 𝑖𝜔𝑡 ˆ 𝑞 𝑖 (𝑡) = ∑︁ 𝑤 𝑖𝑗 (𝜔)𝑝 𝑗 𝑒 𝑖𝜔𝑡 , где 𝑤 𝑖𝑗 (𝜔) = (−1) 𝑖+𝑗 ∆ 𝑖𝑗 det 𝐷 , — амплитудно-фазовая характеристика, показывающая отклик 𝑖-ой координаты при возбуждени по 𝑗-ой, где ∆ 𝑖𝑗 — алгебраическое дополне- ние. Преобразуем полученное решение: ˆ 𝑞 𝑖 (𝑡) = ∑︁ |𝑤 𝑖𝑗 (𝜔)| ⏟ ⏞ 𝑅 𝑖𝑗 𝑝 𝑗 exp ⎛ ⎜ ⎝ 𝑖 ⎛ ⎜ ⎝ 𝜔𝑡 + arg 𝑤 𝑖𝑗 (𝜔) ⏟ ⏞ 𝜓 𝑖𝑗 ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ , 36 где 𝑅 𝑖𝑗 и 𝜓 𝑖𝑗 — соответственно амплитудно- и фазово-частотная ха- рактеристики. Рассмотрим систему без диссипации: 𝐴 ¨ − → 𝑞 + 𝐶− → 𝑞 = − → 𝑝 cos 𝜔𝑡 В системе без диссипации нет переходного процесса, поэтому − → 𝑞 (𝑡) = − → 𝑞 * (𝑡) Если воздействие периодическое, то удобно перейти к нормальным ко- ординатам − → 𝑞 = 𝑈 − → 𝜃 𝑈 𝑇 𝐴𝑈 = 𝐸 𝑈 𝑇 𝐶𝑈 = Λ = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜔 2 𝑖 ) 𝐴𝑈 ¨ − → 𝜃 + 𝐶𝑈 − → 𝜃 = − → 𝑄 (𝑡) Домножим последнее уравнение на 𝑈 𝑇 слева: ¨ − → 𝜃 + Λ − → 𝜃 = 𝑈 𝑇 − → 𝑄 (𝑡), где 𝑈 𝑇 − → 𝑄 (𝑡) = − → Θ (𝑡) — обобщенная сила в нормальных координа- тах. Если обобщенная сила периодическая и ¨ 𝜃 𝑖 + 𝜔 2 𝑖 𝜃 𝑖 = 𝑝 𝑖 cos 𝜔𝑡, то частное решение ищется в виде 𝜃 𝑖 = 𝑝 𝑖 𝑤 2 𝑖 − 𝑤 2 cos 𝜔𝑡, 𝜔 ̸= 𝜔 𝑖 37 𝜃 𝑖 = 𝑝 𝑖 2𝜔 𝑖 𝑡 sin 𝜔 𝑖 𝑡, 𝜔 = 𝜔 𝑖 Второй случай соответствует явлению резонанса, когда частота внеш- ней силы совпадает с одной из собственных частот системы. Из вида решения видно, что в случае резонанса, амплитуда колебаний по соот- ветствующей нормальной координате неограниченно растет, а по осталь- ным координатам будут наблюдаться гармонические колебания на часто- те вынуждающей силы. Поэтому амплитудно-частотная характеристика при гармоническом воздействии имеет разрывы второго рода на всех собственных частотах системы. |