лекции. Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия
 Скачать 0.55 Mb.
|
|
Если система подвержена действию периодической, но не гармони- ческой внешней силы, то нужно разложить эту силу в ряд Фурье. Те- перь внешняя сила представлена в виде суммы гармонических коле- баний. Каждая из полученных гармонических сил вызывает независи- мое вынужденное колебание в связи с принципом суперпозиции. Поэто- му следует для каждой гармонической силы найти решение, используя амплитудно-фазовую характеристику, а затем найти искомое решение в виде суммы уже найденных. Если внешняя сила не является периодической, то вместо разложения в ряд Фурье нужно использовать интеграл Фурье. 38 Глава 2 Уравнения Гамильтона, вариационные принципы, интегральные инварианты. 2.1 Основы Гамильтоновой механики. 2.1.1 Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Преобра- зование Лежандра уравнений Лагранжа в урав- нения Гамильтона. Преобразование − → 𝑦 = − → 𝑓 (− → 𝑥 ) называется потенциальным преобразо- ванием или преобразованием Лежандра, если у него существует по- тенциал, то есть ∃𝑉 (− → 𝑥 ) : − → 𝑓 (− → 𝑥 ) = ∇𝑉 (− → 𝑥 ) Потенциал 𝑉 (− → 𝑥 ) невырожден, если его гессиан не равен нулю: det ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝜕 2 𝑉 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ̸= 0 Потенциал 𝑉 (− → 𝑥 ) сильно невырожден, если исходное преобразование гладко и взаимно однозначно разрешимо в обратную сторону, то есть 39 ∃− → 𝜙 : − → 𝑥 = − → 𝜙 (− → 𝑦 ) Теорема Донкина: если преобразование потенциально, то обратное преобразование также потенциально, его потенциал невырожден и за- дается формулой 𝑊 (− → 𝑦 ) = [︁∑︁ 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 − 𝑉 (− → 𝑥 ) ]︁ − → 𝑥 =− → 𝜙 (− → 𝑦 ) Доказательство Продифференцируем написанную формулу по 𝑦 𝑘 : 𝜕𝑊 𝜕𝑦 𝑘 = 𝑥 𝑘 + ∑︁ 𝑦 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑦 𝑘 − ∑︁ 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑦 𝑘 Но − → 𝑦 = − → 𝑓 (− → 𝑥 ) = ∇𝑉 (− → 𝑥 ) ⇒ 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑖 = 𝑦 𝑖 , поэтому в продифференцированной формуле одинаковые слагаемые под знаками суммирования. Тогда 𝜕𝑊 𝜕𝑦 𝑘 = 𝑥 𝑘 = 𝜙 𝑘 (− → 𝑦 ), то есть преобразование − → 𝑥 = − → 𝜙 (− → 𝑦 ) потенциально. Теорема доказана. Выпишем уравнения Лагранжа для системы с потенциальными си- лами: 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 − 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 = 0 Введем понятие обобщенного импульса: 𝑝 𝑖 = 𝜕𝐿(− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡) 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 40 Введем функцию Гамильтона или гамильтониан: ℋ = [︁∑︁ 𝑝 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 − 𝐿 ]︁ ˙ − → 𝑞 = ˙ − → 𝑞 (− → 𝑞 ,− → 𝑝 ,𝑡) , где {− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡} — переменные Гамильтона. Заметим аналогию между преобразованием Лежандра и обобщенным импульсом: ˙ − → 𝑞 → − → 𝑥 − → 𝑝 → − → 𝑦 𝐿 → 𝑉 ℋ → 𝑊 Теперь очевидно: обобщенный импульс — потенциальное преобразова- ние, где гамильтониан играет роль потенциала обратного преобразова- ния. Обратное преобразование существует, так как выражения для обоб- щенного импульса разрешимы относительно ˙ − → 𝑞 𝑖 в силу основной теоремы Лагранжева формализма: det ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ 𝜕 2 𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑗 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ̸= 0 Из выражения для гамильтониана ˙ 𝑞 𝑖 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 Из определения обобщенного импульса, для уравнений Лагранжа полу- чим: 𝑑 𝑑𝑡 𝑝 𝑖 − 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 = 0 ⇔ ˙ 𝑝 𝑖 = 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 Возьмем производную по обобщенной координате от гамильтониана: 41 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 = ∑︁ 𝑝 𝑗 𝜕 ˙ 𝑞 𝑗 𝜕𝑞 𝑖 − 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − ∑︁ 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑗 ⏟ ⏞ 𝑝 𝑗 𝜕 ˙ 𝑞 𝑗 𝜕𝑞 𝑖 = − 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 ⇒ ˙𝑝 𝑖 = − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 Теперь можно выписать уравнения движения в фазовых переменных: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ˙ 𝑞 𝑖 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 ˙ 𝑝 𝑖 = − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 — канонические уравнения Гамильтона. 2.1.2 Функция Гамильтона для консервативной си- стемы. Исследуем структуру гамильтониана. Для этого напомним сначала струк- туру лагранжиана: 𝐿 = 𝑇 2 + 𝑇 1 + 𝑇 0 − Π Воспользуемся теперь теоремой Эйлера об однородных функциях, кото- рая гласит: если 𝑓 (𝜆− → 𝑥 ) = 𝜆 𝑘 𝑓 (− → 𝑥 ), то ∑︁ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 𝑥 𝑖 = 𝑘𝑓 (− → 𝑥 ) Для функции Гамильтона, учитывая определение обобщенного импульса и то, что нулевая форма кинетической энергии и потенциальная энергия не зависят явно от обобщенной скорости, имеем: ℋ = ∑︁ 𝑝 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 − 𝐿 = ∑︁ 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 − 𝐿 = ∑︁ 𝜕𝑇 2 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 + ∑︁ 𝜕𝑇 1 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 − 𝐿 = = (2𝑇 2 + 𝑇 1 ) − 𝐿 = 2𝑇 2 + 𝑇 1 − 𝑇 2 − 𝑇 1 − 𝑇 0 + Π 42 Окончательно получим ℋ = 𝑇 2 − 𝑇 0 + Π Для консервативной системы 𝑇 = 𝑇 2 , откуда ℋ = 𝑇 + Π — физический смысл функции Гамильтона для консервативной системы. 2.2 Первые интегралы гамильтоновых систем. Рассмотрим решение − → 𝑥 (𝑡 0 , − → 𝑥 0 ) системы ˙ − → 𝑥 = − → 𝐹 (𝑡, − → 𝑥 ). Функция 𝐺(𝑡, − → 𝑥 ) — первый интеграл рассматриваемой системы, если 𝐺(𝑡, − → 𝑥 (𝑡, − → 𝑥 0 )) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Напомним также критерий первого интеграла: 𝜕𝐺 𝜕𝑡 + ∑︁ 𝐹 𝑖 𝜕𝐺 𝜕𝑥 𝑖 = 0 2.2.1 Скобки Пуассона. Для гамильтоновых систем ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ˙ 𝑞 𝑖 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 ˙ 𝑝 𝑖 = − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 , у которых 𝐺 = 𝐺(𝑡, − → 𝑞 , − → 𝑝 ), крититерий первого интеграла имеет вид 𝜕𝐺 𝜕𝑡 + ∑︁ (︂ 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 𝜕𝐺 𝜕𝑞 𝑖 − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝐺 𝜕𝑝 𝑖 )︂ ⏟ ⏞ {ℋ,𝐺} = 0, 43 где {ℋ, 𝐺} — скобка Пуассона. Окончательно, критерий первого инте- грала для гамильтоновых систем получен в виде 𝜕𝐺 𝜕𝑡 + {ℋ, 𝐺} = 0 Отметим четыре свойства скобок Пуассона. 1. Антикоммутативность: {𝐻, 𝐺} = −{𝐺, 𝐻} 2. Линейность: {𝛼𝐻 + 𝛽𝐹, 𝐺} = 𝛼{𝐻, 𝐺} + 𝛽{𝐹, 𝐺} 3. Дифферецирование: 𝜕{𝐻, 𝐺} 𝜕𝛼 = {︂ 𝜕𝐻 𝜕𝛼 , 𝐺 }︂ + {︂ 𝐻, 𝜕𝐺 𝜕𝛼 }︂ 4. Тождество Пуассона: {𝐹, {𝐺, 𝐻}} + {𝐺, {𝐻, 𝐹 }} + {𝐻, {𝐹, 𝐺}} = 0 Все четыре свойства проверяются прямой подстановкой в определение. Тем не менее, докажем альтернативным методом тождество Пуассона. Доказательство 1) Очевидно, конструкция вида {*, {*, *}} содержит вторые производ- ные последних двух функций, что проверяется прямой подстановкой в определение. 2) 𝐹 , 𝐺, 𝐻 входят в тождество Пуассона симметрично, поэтому доста- точно доказать, что в тождество не входит, например, 𝐹 , тогда свойство будет доказано. Заметим теперь, что скобка Пуассона {𝐻, 𝐹 } может быть представлена как действие на функцию 𝐹 дифференциального оператора: {𝐻, 𝐹 } = 𝑈 𝐻 𝐹, 𝑈 𝐻 = ∑︁ 𝜕𝐻 𝜕𝑝 𝑖 𝜕 𝜕𝑞 𝑖 − 𝜕𝐻 𝜕𝑞 𝑖 𝜕 𝜕𝑝 𝑖 Теперь, пользуясь свойством антикоммутативности, имеем {𝐻, {𝐹, 𝐺}} + {𝐺, {𝐻, 𝐹 }} = −{𝐻, {𝐺, 𝐹 }} + {𝐺, {𝐻, 𝐹 }} = = −𝑈 𝐻 𝑈 𝐺 𝐹 + 𝑈 𝐺 𝑈 𝐻 𝐹 = (𝑈 𝐺 𝑈 𝐻 − 𝑈 𝐻 𝑈 𝐺 ⏟ ⏞ [𝑈 𝐻 ,𝑈 𝐺 ] )𝐹, где [𝑈 𝐻 , 𝑈 𝐺 ] — коммутатор операторов. Очевидно, что для 44 𝑈 = ∑︁ 𝑎 𝑖 (− → 𝑥 ) 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 , 𝑉 = ∑︁ 𝑏 𝑖 (− → 𝑥 ) 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 Коммутатор [𝑈, 𝑉 ] = ∑︁ [(𝑈 𝑏 𝑖 ) − (𝑉 𝑎 𝑖 )] 𝜕 𝜕𝑥 𝑖 — оператор первого порядка. Поэтому и [𝑈 𝐺 , 𝑈 𝐻 ] — оператор первого порядка. Тогда левая часть тождества Пуассона не содержит вторых производных функции 𝐹 . Свойство доказано. 2.2.2 Теорема Якоби-Пуассона. Теорема Якоби-Пуассона: Если 𝐹 , 𝐺 — первые интегралы системы с функцией Гамильтона ℋ, то {𝐹, 𝐺} — первый интеграл. Доказательство 𝐹 , 𝐺 — первые интегралы, поэтому 𝜕𝐹 𝜕𝑡 + {ℋ, 𝐹 } = 0, 𝜕𝐺 𝜕𝑡 + {ℋ, 𝐺} = 0 Покажем, что {𝐹, 𝐺} — первый интеграл, то есть 𝜕{𝐹, 𝐺} 𝜕𝑡 + {ℋ, {𝐹, 𝐺}} = 0 Воспользуемся свойством дифференцирования и тем, что 𝐹 и 𝐺 — пер- вые интегралы: {︂ 𝜕𝐹 𝜕𝑡 , 𝐺 }︂ + {︂ 𝐹, 𝜕𝐺 𝜕𝑡 }︂ + {ℋ, {𝐹, 𝐺}} = −{{ℋ, 𝐹 }, 𝐺} + {𝐹, −{ℋ, 𝐺}} + +{ℋ, {𝐹, 𝐺}} = {𝐺, {ℋ, 𝐹 }} + {𝐹, {𝐺, ℋ}} + {ℋ, {𝐹, 𝐺}} = 0 Теорема доказана. 45 Пользуясь теоремой Якоби-Пуассона, можно получить любое число первых интегралов, зная только два. Но это не значит, что они будут независимыми. Первые интегралы 𝐺 1 , . . . , 𝐺 𝑘 независимы, если не существует функции Φ такой, что Φ(𝐺 1 (− → 𝑥 ), . . . , 𝐺 𝑘 (− → 𝑥 )) = 0 Пусть {𝐺 𝑖 } зависимы, то есть Φ(𝐺 1 (− → 𝑥 ), . . . , 𝐺 𝑘 (− → 𝑥 )) = 0. Но тогда ∑︁ 𝜕Φ 𝜕𝐺 𝑗 (− → 𝑥 ) ∇𝐺 𝑗 (− → 𝑥 ) = 0 Теперь определение независимости первых интегралов можно перефор- мулировать. Если 𝑅𝑔𝑀 = 𝑘, где 𝑀 = ‖∇𝐺 1 , . . . , ∇𝐺 𝑘 ‖, то {𝐺 𝑖 } независимы. Если 𝑅𝑔𝑀 < 𝑘, то первые интегралы зависимы. 2.2.3 Типичные первые интегралы Гамильтоновых си- стем. Возьмем полный дифференциал от функции Гамильтона и преобразуем его, пользуясь уравнениями Гамильтона: 𝑑ℋ 𝑑𝑡 = 𝜕ℋ 𝜕𝑡 + ∑︁ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 ⏟ ⏞ 𝜕ℋ 𝜕𝑝𝑖 + 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 ˙ 𝑝 𝑖 ⏟ ⏞ − 𝜕ℋ 𝜕𝑞𝑖 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = 𝜕ℋ 𝜕𝑡 + {ℋ, ℋ} = 𝜕ℋ 𝜕𝑡 Из полученного выражения непосредственно следует, что если гамильто- ниан не зависит явно от времени, то сам гамильтониан является первым интегралом. Система, в которой функция Гамильтона не зависит явно от времени, называется обобщенно консервативной. Пусть в системе есть циклические координаты, и, например, коорди- ната 𝑞 1 — циклическая, то есть эта координата не входит в лагранжиан. При выводе уравнений Гамильтона было получено, что 46 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 = − 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 , что в частности справедливо и для циклической координаты. Производ- ная функции Лагранжа по циклической координате равна нулю, но тогда и производная функции Гамильтона по этой кординате равна нулю. То есть, если координата не входит в лагранжиан, то и в гамильтониан она также не входит. Пусть для некоторой системы функция Гамильтона имеет вид ℋ = ℋ(𝜙 1 (𝑞 1 , 𝑝 1 ), . . . , 𝜙 𝑛 (𝑞 𝑛 , 𝑝 𝑛 ), 𝑡) 𝜙 𝑖 — первые интегралы, что легко показать, воспользовавшись критери- ем первого интеграла для гамильтоновых систем: 𝜕𝜙 𝑖 𝜕𝑡 + {ℋ, 𝜙 𝑖 } = {ℋ, 𝜙 𝑖 } = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 𝜕𝜙 𝑖 𝜕𝑞 𝑖 − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝜙 𝑖 𝜕𝑝 𝑖 = = (︂ 𝜕ℋ 𝜕𝜙 𝑖 𝜕𝜙 𝑖 𝜕𝑝 𝑖 )︂ 𝜕𝜙 𝑖 𝜕𝑞 𝑖 − (︂ 𝜕ℋ 𝜕𝜙 𝑖 𝜕𝜙 𝑖 𝜕𝑞 𝑖 )︂ 𝜕𝜙 𝑖 𝜕𝑝 𝑖 = 0 Пусть теперь гамильтониан имеет вид "матрешки": ℋ = ℋ [𝑡, 𝑓 1 (𝑞 1 , 𝑝 1 , 𝑓 2 (. . . 𝑓 𝑛 (𝑞 𝑛 , 𝑝 𝑛 )) . . .)] Как и в предыдущем случае доказывается, что 𝑓 𝑛 — первый интеграл. Но тогда 𝑓 𝑛−1 = 𝑓 𝑛−1 (𝑞 𝑛−1 , 𝑝 𝑛−1 , 𝑓 𝑛 ⏟ ⏞ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ), то есть 𝑓 𝑛−1 зависит от 𝑓 𝑛 как от константы, поэтому как и для 𝑓 𝑛 до- казывается, что 𝑓 𝑛−1 — первый интеграл. Теперь по индукции несложно доказать, что все функции 𝑓 𝑖 — первые интегралы. 47 2.2.4 Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат. Вернемся теперь к системе с циклическими координатами. Как было вы- яснено, если, например, 𝑞 1 — циклическая координата, то она не входит в гамильтониан, но тогда 𝑝 1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, так как из уравнений Гамильтона ˙ 𝑝 1 = − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 1 = 0 Теперь уравнения Гамильтона примут вид ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ˙ 𝑞 𝑖 = 𝜕ℋ [𝑞 2 , . . . , 𝑞 𝑛 , 𝑝 1 , . . . , 𝑝 𝑛 , 𝑡] 𝜕𝑝 𝑖 ˙ 𝑝 𝑖 = − 𝜕ℋ [𝑞 2 , . . . , 𝑞 𝑛 , 𝑝 1 , . . . , 𝑝 𝑛 , 𝑡] 𝜕𝑞 𝑖 Полученная система из 2𝑛 − 2 уравнений замкнута относительно своих переменных, то есть порядок системы уравнений Гамильтона понизился на 2 единицы. При этом циклическая координата 𝑞 1 находится из урав- нения ˙ 𝑞 1 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 1 2.2.5 Понижение порядка уравнений Гамильтона для обобщенно консервативных систем. Уравнения Уиттекера. Рассмотрим теперь обобщенно консервативную систему. В ней, как было установлено, гамильтониан является первым интегралом: ℋ(− → 𝑞 , − → 𝑝 ) = ℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Выразим из этого уравнения обобщенный импульс 𝑝 1 в предположении, что гамильтониан явно зависит от 𝑝 1 : 𝑝 1 = −𝐾(− → 𝑞 , 𝑝 2 , . . . , 𝑝 𝑛 , ℎ) 48 Подставив этот обобщенный импульс обратно в гамильтониан, получим тождество ℋ [− → 𝑞 , −𝐾, 𝑝 2 , . . . , 𝑝 𝑛 ] ≡ ℎ Продифференцировав полученное тождество по переменным 𝑞 𝑖 , 𝑝 𝑖 , 𝑖 ∈ [2, 𝑛] получим ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 + 𝜕ℋ 𝜕𝑝 1 (︂ − 𝜕𝐾 𝜕𝑞 𝑖 )︂ = 0 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 + 𝜕ℋ 𝜕𝑝 1 (︂ − 𝜕𝐾 𝜕𝑝 𝑖 )︂ = 0 Теперь уравнения Гамильтона при 𝑖 ∈ [2, 𝑛] можно представить в виде ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ˙ 𝑞 𝑖 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 1 𝜕𝐾 𝜕𝑝 𝑖 = ˙ 𝑞 1 𝜕𝐾 𝜕𝑝 𝑖 ˙ 𝑝 𝑖 = − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 = − 𝜕ℋ 𝜕𝑝 1 𝜕𝐾 𝜕𝑞 𝑖 = ˙ 𝑞 1 𝜕𝐾 𝜕𝑞 𝑖 , откуда ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑑𝑞 𝑖 𝑑𝑞 1 = 𝜕𝐾 𝜕𝑝 𝑖 𝑑𝑝 𝑖 𝑑𝑞 1 = − 𝜕𝐾 𝜕𝑞 𝑖 — уравнения Уиттекера. Полученная система из 2𝑛 − 2 уравнений замкнута относительно своих переменных. При этом обобщенная координата 𝑞 1 играет роль времени. Таким образом, порядок уравнений Гамильтона понижается на 2 едини- цы в случае обобщенно консервативной системы. Закон движения исходной гамильтоновой системы в зависимости от вре- мени можно получить, подставив в гамильтониан в уравнении Гамиль- тона для первой координаты ˙ 𝑞 1 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 1 49 решения уравненй Уиттекера и подставив 𝑝 1 = −𝐾(− → 𝑞 , 𝑝 2 , . . . , 𝑝 𝑛 , ℎ). Из полученного уравнения находится обобщенная координата 𝑞 1 в зависимо- сти от времени, после чего полученное выражение для 𝑞 1 подставляется в решения уравнений Уиттекера и в выражение для обобщенного импульса 𝑝 1 , тем самым выражая их через время. 2.3 Действие по Гамильтону. Вариация дей- ствия по Гамильтону. Действием по Гамильтону называется функционал 𝑆 = 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 𝐿(− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡)𝑑𝑡, ставящий произвольной дифференцируемой кривой (траектории) − → 𝑞 (𝑡) число 𝑆. Возьмем некоторую траекторию − → 𝑞 (𝑡) и проварьируем ее, то есть вместо исходной траектории будем рассматривать семейство траекторий − → 𝑞 (𝑡, 𝛼), зависящих от некоторого параметра 𝛼. Семейство задается так, что, во-первых, − → 𝑞 (𝑡, 0) = − → 𝑞 (𝑡), а во-вторых, должны быть указаны на- чальная (− → 𝑞 (𝑡 1 (𝛼), 𝛼)) и конечная (− → 𝑞 (𝑡 2 (𝛼), 𝛼)) точки для каждого члена семейства. Вычислим действие по Гамильтону для каждого члена семейства варьи- рующейся траектории 𝑆(𝛼) = 𝑡 2 (𝛼) ˆ 𝑡 1 (𝛼) 𝐿(− → 𝑞 (𝛼), ˙ − → 𝑞 (𝛼), 𝑡)𝑑𝑡 и построим вариацию действия по Гамильтону — дифференциал функ- ционала по 𝛼: 𝛿𝑆 = 𝑆 ′ 𝛼 (𝛼)𝛿𝛼 Преобразуем полученное выражение, подставляя определение действия по Гамильтону: 50 𝛿𝑆 = 𝐿 2 𝑑𝑡 2 − 𝐿 1 𝑑𝑡 1 + 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 + 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 𝛿 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝑑𝑡 Здесь 𝑑𝑡 = 𝑡 ′ 𝛼 (𝛼)𝛿𝛼, 𝛿𝑞 𝑖 = 𝜕𝑞 𝑖 (𝑡, 𝛼) 𝜕𝛼 𝛿𝛼, 𝛿 ˙ 𝑞 𝑖 = 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 (𝑡, 𝛼) 𝜕𝛼 𝛿𝛼 Заметим, что 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 + 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 𝛿 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝑑𝑡 = 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 + + 𝑑 𝑑𝑡 (︂ 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 )︂)︂ 𝑑𝑡 = ∑︁ 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡 2 𝑡 1 + 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝛿𝑞 𝑖 𝑑𝑡 = = ∑︁ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡 2 𝑡 1 + 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝛿𝑞 𝑖 𝑑𝑡 Так как − → 𝑞 = − → 𝑞 (𝑡, 𝛼), то выражая 𝛿𝑞 𝑖 в концевых точках через полный дифференциал, получим для предыдущего выражения ∑︁ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡 2 𝑡 1 = ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡 2 𝑡 1 − (︁∑︁ 𝑝 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 𝑑𝑡 2 − ∑︁ 𝑝 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 𝑑𝑡 1 )︁ 51 |