лекции. Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия
 Скачать 0.55 Mb.
|
|
𝑃 (𝜆) = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝜆 + . . . + 𝑎 𝑛 𝜆 𝑛 необходимо и достаточно, чтобы: 1. 𝑎 𝑖 > 0 ∀𝑖 ∈ [1, 𝑛]; 2. все четные или все нечетные миноры матрицы Гурвица были поло- жительными. 1.4.3 Теорема Ляпунова об устойчивости по линей- ному приближению. В большинстве случаев исследование устойчивости положения равнове- сия нелинейных систем может быть сведено к исследованию устойчиво- сти линейных систем. Случаи, когда это можно сделать, описывает сле- дующая теорема Ляпунова, которая считается основной теоремой перво- го метода Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближе- нию: пусть для системы 13 ˙ − → 𝑥 = − → 𝐹 (− → 𝑥 ) (положение равновесия которой − → 𝑥 ≡ − → 0 ) − → 𝐹 (− → 𝑥 ) непрерывно дифферен- цируема в нуле, а ее вторые производные существуют и ограничены в некоторой окрестности положения равновесия. Тогда из асимптоти- ческой устойчивости системы ˙ − → 𝑥 = 𝐴− → 𝑥 , где 𝐴 = 𝜕 − → 𝐹 𝜕− → 𝑥 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − → 𝑥 = − → 0 , будет следовать асимптотическая устойчивость положения равнове- сия − → 𝑥 = − → 0 исходной системы. Если же линейная часть ˙ − → 𝑥 = 𝐴− → 𝑥 исходной системы неустойчива, то и сама система неустойчива. Доказательство 1. Лемма Гронуолла: если для положительных 𝑢(𝑡), 𝑓 (𝑡) и 𝑐 имеет место неравенство 𝑢(𝑡) ≤ 𝑐 + 1 ˆ 0 𝑓 (𝜏 )𝑢(𝜏 )𝑑𝜏, то справедлива оценка сверху: 𝑢(𝑡) ≤ exp ⎛ ⎝ 𝑡 ˆ 0 𝑓 (𝜏 )𝑑𝜏 ⎞ ⎠ Докажем записанную лемму. Из исходного неравенства получаем 𝑢(𝑡) 𝑐 + 𝑡 ´ 0 𝑓 (𝜏 )𝑢(𝜏 )𝑑𝜏 ≤ 1 Домножив полученное неравенство на 𝑓 (𝑡) и интегрируя обе части, по- лучим 14 𝑡 ˆ 0 𝑓 (𝜏 )𝑢(𝜏 ) 𝑐 + 𝑡 ´ 0 𝑓 (𝜏 ′ )𝑢(𝜏 ′ )𝑑𝜏 ′ ≤ 𝑡 ˆ 0 𝑓 (𝜏 )𝑑𝜏, откуда ln ⎡ ⎣ 𝑐 + 𝑡 ˆ 0 𝑓 (𝜏 )𝑢(𝜏 )𝑑𝜏 ⎤ ⎦ − ln 𝑐 ≤ 𝑡 ˆ 0 𝑓 (𝜏 )𝑑𝜏 и из исходного неравенства 𝑢(𝑡) ≤ 𝑐 + 𝑡 ˆ 0 𝑓 (𝜏 )𝑢(𝜏 )𝑑𝜏 ≤ 𝑐 exp ⎛ ⎝ 𝑡 ˆ 0 𝑓 (𝜏 )𝑑𝜏 ⎞ ⎠ , что доказывает лемму. 2. Из условия теоремы (для производных) следует, что система предста- вима в виде ˙ − → 𝑥 = 𝐴− → 𝑥 + − → 𝑓 (− → 𝑥 ), ‖ − → 𝑓 (− → 𝑥 )‖ ≤ 𝑎‖− → 𝑥 ‖ 2 , 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Поскольку линейная часть системы асимптотически устойчива, то все корни характеристического уравнения det (𝐴 − 𝜆𝐸) = 0 удовлетворяют условию Re 𝜆 𝑘 < 0. Обозначим 2ℎ = min 𝑘 | Re 𝜆 𝑘 | и выполним замену переменных − → 𝑥 → 𝑒 −ℎ𝑡 − → 𝑦 Система в новых переменных приобретает вид ˙ − → 𝑦 𝑒 −ℎ𝑡 − ℎ− → 𝑦 𝑒 −ℎ𝑡 = 𝐴− → 𝑦 𝑒 −ℎ𝑡 + − → 𝑓 (︀ − → 𝑦 𝑒 −ℎ𝑡 )︀ , 15 Откуда ˙ − → 𝑦 = (𝐴 + ℎ𝐸) ⏟ ⏞ 𝐵 − → 𝑦 + 𝑒 ℎ𝑡 − → 𝑓 (︀ − → 𝑦 𝑒 −ℎ𝑡 )︀ Очевдино, что линейная часть этой системы по-прежнему устойчива. За- пишем эту систему в эквивалентной форме − → 𝑦 (𝑡) = 𝑒 𝐵𝑡 − → 𝑦 0 + 𝑡 ˆ 0 𝑒 𝐵(𝑡−𝜏 ) 𝑒 ℎ𝜏 − → 𝑓 [︀ − → 𝑦 (𝜏 )𝑒 −ℎ𝜏 ]︀ 𝑑𝜏 и оценим − → 𝑦 (𝑡) по норме: ‖− → 𝑦 (𝑡)‖ ≤ ‖𝑒 𝐵𝑡 ‖ · ‖− → 𝑦 0 ‖ + 𝑡 ˆ 0 ‖𝑒 𝐵(𝑡−𝜏 ) ‖𝑒 ℎ𝑡 ‖ − → 𝑓 [︀ − → 𝑦 (𝜏 )𝑒 −ℎ𝜏 ]︀ 𝑑𝜏 Поскольку линейная часть системы устойчива, то ее фундаментальная матрица решений ограничена: ‖𝑒 𝐵𝑡 ‖ ≤ 𝑀 и написанное неравенство можно переписать в виде ‖− → 𝑦 (𝑡)‖ ≤ 𝑀 ‖− → 𝑦 0 ‖ + 𝑀 𝑎 𝑡 ˆ 0 𝑒 −ℎ𝜏 ‖− → 𝑦 (𝜏 )‖ 2 𝑑𝜏 ≤ ≤ 𝑀 ‖− → 𝑦 0 ‖ + 𝑀 𝑎 𝑡 ˆ 0 𝑒 −ℎ𝜏 ‖− → 𝑦 (𝜏 )‖𝑑𝜏 Последний переход верен до тех пор, пока ‖ −−→ 𝑦(𝜏 )‖ ≤ 1. Используя лемму Гронуолла, получаем ‖− → 𝑦 (𝑡)‖ ≤ 𝑀 exp ⎡ ⎣ 𝑀 𝑎 𝑡 ˆ 0 𝑒 −ℎ𝜏 𝑑𝜏 ⎤ ⎦ ‖− → 𝑦 0 ‖ ≤ 𝑘‖− → 𝑦 0 ‖ 16 Так как рассамтривается окрестность нулевого положения равновесия, то считаем ‖− → 𝑦 0 ‖ < 1 𝑘 . Тогда ‖− → 𝑦 (𝜏 )‖ 2 < ‖− → 𝑦 (𝜏 )‖ при любом 𝜏 и из нера- венства ‖− → 𝑦 (𝑡)‖ ≤ 𝑘‖− → 𝑦 0 ‖ следует устойчивость положения равновесия в переменной − → 𝑦 . Переходя к переменной − → 𝑥 , имеем ‖− → 𝑥 (𝑡)‖ = ‖− → 𝑦 (𝑡)‖𝑒 −ℎ𝑡 𝑡→∞ −−−→ 0, что и означает асимптотическую устойчивость положения равновесия в переменой − → 𝑥 . Теорема доказана. Отметим, что если система ˙ − → 𝑥 = 𝐴− → 𝑥 устойчива, но не асимптотически, то полученной теоремой пользоваться нельзя. Теорема об устойчивости по линейному приближению — основная теоре- ма прямого метода Ляпунова. 1.5 Теоремы прямого метода Ляпунова для автономных систем. Будем исследовать автономные системы вида ˙ − → 𝑥 = − → 𝐹 (− → 𝑥 ). Пусть неко- торая функция 𝑉 (− → 𝑥 ), называемая функцией Ляпунова, непрерывно дифференцируема в 𝜀-окрестности положения равновесия − → 𝑥 = − → 0 . Теорема прямого метода Ляпунова об устойчивости: если суще- ствует функция Ляпунова 𝑉 (− → 𝑥 ) такая, что 1. 𝑉 ( − → 0 ) = 0 и 𝑉 (− → 𝑥 ) > 0 при − → 𝑥 ̸= − → 0 2. ˙ 𝑉 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑖 𝐹 𝑖 ≤ 0, то положение равновесия − → 𝑥 = − → 0 устойчиво. Доказательство Рассмотрим сферу ‖− → 𝑥 ‖ = 𝜀 1 , причем 𝜀 1 возьмем так, что 0 < 𝜀 1 < 𝜀. Функция 𝑉 (− → 𝑥 ) непрерывно дифференцируема в 𝜀-окрестности положе- ния равновесия, а значит она непрерывна в этой окрестности, а значит, 17 непрерывна и в 𝜀 1 -окрестности положения равновесия. Сфера — компакт, поэтому по теореме Вейерштрасса 𝑉 (𝑥) ограничена на сфере и достигает на ней своих верхней и нижней граней. Пусть 𝑉 * = min ‖− → 𝑥 ‖=𝜀 𝑉 (− → 𝑥 ) 𝑉 (− → 𝑥 ) — непрерывна, тогда, взяв в определении непрерывности 𝜀 1 = 𝑉 * , для положения равновесия − → 𝑥 = − → 0 получим ∃𝛿(𝛿 < 𝜀) : ∀− → 𝑥 : ‖− → 𝑥 ‖ < 𝛿 ⇒ |𝑉 (− → 𝑥 ) − 𝑉 ( − → 0 )| = 𝑉 (− → 𝑥 ) < 𝑉 * Рассмотрим произвольное решение − → 𝑥 (𝑡) исходной системы с начальным условием ‖− → 𝑥 (𝑡 0 )‖ < 𝛿. Покажем от противного, что такая траектория не покинет 𝜀 1 -окрестности. Пусть в какой-то момент времени 𝑡 1 > 𝑡 0 ‖− → 𝑥 (𝑡 1 )‖ = 𝜀 1 . В силу невозрастания производной функции Ляпунова по времени и учитывая, что 𝑉 * — точная нижняя грань функции Ляпунова на сфере, имеем: 𝑉 * > 𝑉 (− → 𝑥 (𝑡 0 )) ≥ 𝑉 (− → 𝑥 (𝑡 1 )) ≥ 𝑉 * , что невозможно. Тогда положение равновесия − → 𝑥 = − → 0 устойчиво по опре- делению. Теорема доказана. Отметим, что первое условие в теореме прямого метода Ляпунова об устойчивости можно заменить на «𝑉 (− → 𝑥 ) имеет минимум в положении равновесия», при этом доказательство теоремы не изменится. Общего метода нахождения функции Ляпунова не существует, но ес- ли в системе есть первые интегралы (𝑢 𝑖 ), то чаще всего ее ищут в виде линейной комбинации первых интегралов и их квадратов: 𝑉 (− → 𝑥 ) = ∑︁ 𝜆 𝑖 𝑢 𝑖 + ∑︁ 𝜇 𝑖 𝑢 2 𝑖 Теорема Барбашина-Красовского об условиях асимптотической устойчивости и неустойчивости: если в некоторой окрестности по- ложения равновесия − → 𝑥 = − → 0 существует функция Ляпунова 𝑉 (− → 𝑥 ) та- кая, что 18 ˙ 𝑉 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑖 𝐹 𝑖 {︃ = 0, − → 𝑥 ∈ 𝑀 < 0, − → 𝑥 ̸∈ 𝑀 , где 𝑀 — некоторое множество, выбранное так, что единственной це- лой траекторией исследуемой автономной системы, лежащей в 𝑀 , яв- ляется − → 𝑥 ≡ − → 0 , то а) если 𝑉 (− → 𝑥 ) имеет минимум в положении равновесия − → 𝑥 = − → 0 , то это положение равновесия асимптотически устойчиво; б) если 𝑉 (− → 𝑥 ) знаконеопределена в окрестности − → 𝑥 = − → 0 , то положение равновесия − → 𝑥 = − → 0 неустойчиво. Доказательство Доказательство условия а) ˙ 𝑉 (− → 𝑥 ) ≤ 0, поэтому положения равновесия устойчиво по теореме прямого метода Ляпунова об устойчивости. По определению устойчивости ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 : ∀− → 𝑥 (𝑡) : ‖− → 𝑥 (𝑡 0 )‖ < 𝛿 ⇒ ‖− → 𝑥 (𝑡)‖ < 𝜀 ∀𝑡 ∈ [𝑡 0 , ∞) Покажем, что это положение равновесия асимптотически устойчиво, то есть, помимо устойчивости, выполняется ∃∆ < 𝛿 : ∀− → 𝑥 (𝑡) : ‖− → 𝑥 (𝑡 0 )‖ < ∆ ⇒ lim 𝑡→∞ − → 𝑥 (𝑡) = − → 0 Предположим противное: положение равновесия устойчиво, но ∀∆ < 𝛿 ∃− → 𝑥 (𝑡) : ‖− → 𝑥 (𝑡 0 )‖ < ∆ ⇒ lim 𝑡→∞ − → 𝑥 (𝑡) ̸= − → 0 Рассмотрим произвольную ∆ 1 -окрестность (0 < ∆ 1 < 𝛿) и пусть для некоторой траектории − → 𝑥 1 (𝑡) условие асимптотической устойчивости не выполняется: lim 𝑡→∞ − → 𝑥 1 (𝑡) = − → 𝑥 * . В силу устойчивости положения равно- весия, траектория − → 𝑥 1 (𝑡) ограничена. Тогда бесконечная последователь- ность {− → 𝑥 1 (𝑡 𝑘 )} (𝑘 ∈ N) также ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса выделим сходящуюся подпоследовательность {− → 𝑥 𝑖 } = {− → 𝑥 1 (𝑡 𝑘𝑖 )} : lim 𝑖→∞ − → 𝑥 𝑖 = − → 𝑥 * 19 Функция 𝑉 (− → 𝑥 1 ) не возрастает (так как у нее неположительная произ- водная) и ограничена, поэтому, по теореме Вейерштрасса, существует предел lim 𝑖→∞ 𝑉 (− → 𝑥 𝑖 ) = 𝑉 (− → 𝑥 * ) = 𝑉 * Рассмотрим траекторию − → 𝑥 (− → 𝑥 * , 𝑡) (− → 𝑥 0 = − → 𝑥 * ). Производная функции Ля- пунова неположительна, поэтому найдется такой момент времени 𝑇 , что 𝑉 [− → 𝑥 (− → 𝑥 * , 𝑇 )] < 𝑉 * Рассмотрим траектории − → 𝑥 (− → 𝑥 𝑖 , 𝑡). Напомним известную теорему о пределах: если 𝐴 < 𝐵 и lim 𝑖→∞ 𝐴 𝑖 = 𝐴, то ∃𝑛 : 𝐴 𝑖 < 𝐵 ∀𝑖 > 𝑛 В нашем случае 𝐴 = 𝑉 [− → 𝑥 (− → 𝑥 * , 𝑇 )], 𝐵 = 𝑉 * и lim 𝑖→∞ 𝑉 [− → 𝑥 (− → 𝑥 𝑖 , 𝑡)] = 𝑉 [− → 𝑥 (− → 𝑥 * , 𝑇 )], поэтому ∃𝑛 : 𝑉 [− → 𝑥 (− → 𝑥 𝑖 , 𝑡)] < 𝑉 * ∀𝑖 > 𝑛 Последнее утверждение приводит к противоречию, поскольку − → 𝑥 (− → 𝑥 𝑖 , 𝑡) — часть траектории − → 𝑥 1 (𝑡), для которой lim 𝑡→∞ 𝑉 (− → 𝑥 1 (𝑡)) = 𝑉 * В силу произвольности выбора ∆ 1 -окрестности, асимптотическая устой- чивость положения равновесия доказана Доказательство условия б) Рассмотрим множество 𝐺 = {− → 𝑥 | 𝑉 (− → 𝑥 ) < 0}. 𝑉 (− → 𝑥 ) знаконеопределе- на в окрестности положения равновесия − → 𝑥 = − → 0 , поэтому, очевидно, 𝐺 непусто. Рассмотрим траекторию − → 𝑥 (− → 𝑥 0 , 𝑡), − → 𝑥 0 ∈ 𝐺. Зафиксируем произвольное 𝜀 > 0 и покажем, что рассматриваемая траектория покинет 𝜀-окрестность положения равновесия. Заметим, что, так как 𝑉 (− → 𝑥 ) < 0 при − → 𝑥 ∈ 𝐺 и ˙ 𝑉 (− → 𝑥 ) < 0, то траектория − → 𝑥 (− → 𝑥 0 , 𝑡) не пересекает границу множества 𝐺. 20 Допустим теперь, что данная траектория не пересекает 𝜀-окрестность положения равновесия и остается в 𝐺 ∩ 𝑈 𝜀 ( − → 0 ). 𝑉 (− → 𝑥 ) ограничена на за- мкнутом множестве 𝐺 ∩ 𝑈 𝜀 ( − → 0 ) как непрерывная функция, поэтому ∃𝑉 * = inf 𝑥∈𝐺∩𝑈 𝜀 ( − → 0 ) 𝑉 (− → 𝑥 ) Рассмотрим область 𝐻 = 𝑈 𝜀 ( − → 0 ) ∩ 𝐺 ∩ {− → 𝑥 | 𝑉 (− → 𝑥 ) < 𝑉 (− → 𝑥 0 )} В этой области существует 𝐿 = | sup 𝑥∈𝐻 ˙ 𝑉 (− → 𝑥 )|, так как 𝐻 — ограниченное множество, а производная ограничена в си- лу непрерывности на ограниченном множестве функции Ляпунова и ее производной. 𝐿 ̸= 0. Действительно, 𝐿 = 0 только в области 𝑀 , но 𝑀 не содержит целых траекторий кроме нулевой. Поэтому начальный момент времени можно выбрать так, что ни одна точка из 𝐺 не будет лежать в 𝑀 , так как через конечное время все траектории покинут 𝑀 . Так как 𝐿 — супремум, причем на множестве 𝐻 функция Ляпунова отрицательна, то 𝑉 (− → 𝑥 ) < 𝑉 (− → 𝑥 0 ) − 𝐿𝑡 — неограниченная функция. Это противоречит тому, что существует ин- фимум функции Ляпунова. Теорема доказана. Рассмотрим очевидные следствия из теоремы Барбашина-Красовского. Теорема прямого метода Ляпунова об асимптотической устой- чиовсти: если существует функция Ляпунова 𝑉 (− → 𝑥 ) такая, что 1. 𝑉 ( − → 0 ) = 0 и 𝑉 (− → 𝑥 ) > 0 при − → 𝑥 ̸= − → 0 2. ˙ 𝑉 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑖 𝐹 𝑖 {︃ = 0, − → 𝑥 = − → 0 < 0, − → 𝑥 ̸= − → 0 , 21 то положение равновесия − → 𝑥 = − → 0 асимптотически устойчиво. Теорема прямого метода Ляпунова о неустойчивости: если су- ществует функция Ляпунова 𝑉 (− → 𝑥 ) > 0 такая, что ˙ 𝑉 (− → 𝑥 ) > 0, то положение равновесия − → 𝑥 = − → 0 неустойчиво. Теорема Четаева о неустойчивости: если существует функция Ля- пунова 𝑉 (− → 𝑥 ) такая, что в сколь угодно малой окрестности положения равновесия существует область 𝑉 (− → 𝑥 ) > 0, во всех точках которой ˙ 𝑉 (− → 𝑥 ) > 0, то положение равновесия − → 𝑥 = − → 0 неустойчиво. Первое из следствий является частным случаем теоремы Барбашина- Красовского, а последние два можно получить заменой 𝑉 → −𝑉 , взяв 𝑀 = { − → 0 }. 1.6 Устойчивость равновесия консервативных механических систем. Для консервативной системы кинетическая энергия имеет только квад- ратичную форму 𝑇 = 𝑇 2 = 1 2 𝑛 ∑︁ 𝑖,𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 (− → 𝑞 ) ˙ 𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑗 , а потенциальная энергия зависит только от обобщенных координат: Π = Π(− → 𝑞 ) 1.6.1 Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости рав- новесия консервативных механических систем. Влияние гироскопических и диссипативных сил на устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия кон- сервативных механических систем: если в положении равновесия потенциальная энергия консервативной механической системы имеет строгий минимум, то это положение равновесия устойчиво. 22 Доказательство Возьмем в качестве функции Ляпунова первый интеграл: 𝑉 (− → 𝑥 ) = 𝐸(− → 𝑥 ) = 𝑇 + Π. Выберем потенциал так, чтобы Π( − → 0 ) = 0. Потенциальная энер- гия имеет минимум в положении равновесия, поэтому 𝐸(− → 𝑥 ) > 0 во всех точках кроме положения равновесия (𝐸( − → 0 ) = 0, так как в положении равновесия обобщенные скорости равны нулю). При этом полная энергия — первый интеграл, тогда ˙ 𝐸(− → 𝑥 ) ≡ 0 и положение равновесия устойчиво по теореме прямого метода Ляпунова об устойчивости. Теорема доказана. Теорему Лагранжа-Дирихле можно обобщить на случай, когда к кон- сервативной системе добавлены гироскопические и диссипативные силы. Если выполнены условия теоремы Лагранжа-Дирихле и на систе- му действуют гироскопические силы, то положение равновесия остается устойчивым. Действительно, мощность гироскопических сил равна нулю, а значит за- кон сохранения полной энергии не нарушается и доказательство теоремы не изменится. Напомним, что диссипативные силы с полной диссипацией — такие, у которых мощность строго отрицательна (𝑁 = ∑︀ 𝑄 * 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 < 0). Теорема об асимптотической устойчивости строго диссипатив- ных систем: если выполняются условия теоремы Лагранжа-Дирихле и на систему действуют диссипативные силы с полной диссипацией, то положение равновесия − → 𝑞 = − → 0 асимптотически устойчиво. Доказательство Выберем, как и при доказательстве теоремы Лагранжа-Дирихле, в ка- честве функции Ляпунова полную энергию: 𝑉 (− → 𝑥 ) = 𝐸(− → 𝑥 ) > 0 По теореме об изменении полной механической энергии ˙ 𝑉 (− → 𝑥 ) = ˙ 𝐸(− → 𝑥 ) = ∑︁ 𝑄 * 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 Выберем множество 𝑀 так, что все обобщенные скорости в любой точ- ке множества равны нулю. Очевидно, что это множество не содержит 23 целых траекторий системы кроме − → 𝑥 = − → 0 по определению положения равновесия. Тогда положение равновесия асимптотически устойчиво по теореме Барбашина-Красовского об условиях асимптотической устойчи- вости и неустойчивости. Теорема доказана. 1.6.2 Условия неустойчивости консервативных систем по квадратичной части потенциальной энергии. Раскладывая потенциальную энергию в ряд Тейлора в окрестности поло- жения равновесия − → 𝑞 = − → 0 и учитывая, что, во-первых, потенциал можно выбрать так, чтобы Π( − → 0 ) = 0, а во-вторых, в положении равновесия кон- сервативная система имеет стационарную точку, получим Π(− → 𝑞 ) = Π( − → 0 ) + ∑︁ 𝜕Π 𝜕𝑞 𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − → 𝑞 = − → 0 𝑞 𝑖 + 1 2 ∑︁ 𝜕 2 Π 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑞 𝑗 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − → 𝑞 = − → 0 𝑞 𝑖 𝑞 𝑗 + . . . = = Π 2 (− → 𝑞 ) + Π 3 (− → 𝑞 ) + . . . , то есть разложение потенциальной энергии в окрестности положения равновесия начинается как минимум с членов второго порядка. Первая теорема Ляпунова: если по членами второго порядка в раз- ложении потенциальной энергии в окрестности положения равновесия консервативной системы установлено, что потенциальная энергия в положении равновесия не имеет минимума, то положение равновесия неустойчиво. Доказательство следует из теоремы Ляпунова об устойчивости по ли- нейному приближению. Если Π 2 (− → 𝑞 ) = 0, то условие неустойчивости положения равновесия дает следующая теорема. |