лекции. Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия
 Скачать 0.55 Mb.
|
|
для которой действие по Гамильтону 𝑆 = 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 𝐿(− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡)𝑑𝑡, — интегральный инвариант, то у системы есть первый интеграл ∑︁ 𝜂 𝑖 (− → 𝑞 , 𝑡)𝑝 𝑖 − 𝜉(− → 𝑞 , 𝑡)ℋ(− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Доказательство Действие по Гамильтону — интегральный инвариант, поэтому 64 (1) 𝑈 𝐿 + 𝑑𝜉 𝑑𝑡 ′ 𝐿 = 0 Раскрывая оператор группы, получим 𝜉 𝜕𝐿 𝜕𝑡 + ∑︁ 𝜂 𝑖 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 + ∑︁ (︁ ˙ 𝜂 𝑖 − ˙ 𝜉 ˙ 𝑞 𝑖 )︁ 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 + ˙ 𝜉𝐿 = 0 Вспомним выражение для гамильтониана ℋ = [︁∑︁ 𝑝 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 − 𝐿 ]︁ ˙ − → 𝑞 = ˙ − → 𝑞 (− → 𝑞 ,− → 𝑝 ,𝑡) , и возьмем от него полную производную по времени 𝑑ℋ 𝑑𝑡 = 𝜕ℋ 𝜕𝑡 + ∑︁ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 ⏟ ⏞ 𝜕ℋ 𝜕𝑝𝑖 + 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 ˙ 𝑝 𝑖 ⏟ ⏞ − 𝜕ℋ 𝜕𝑞𝑖 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = 𝜕ℋ 𝜕𝑡 + {ℋ, ℋ} = 𝜕ℋ 𝜕𝑡 = = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ∑︁ 𝑝 𝑖 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 𝜕𝑡 − 𝜕𝐿 𝜕𝑡 − ∑︁ 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 ⏟ ⏞ 𝑝 𝑖 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 𝜕𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ˙ − → 𝑞 = ˙ − → 𝑞 (− → 𝑞 ,− → 𝑝 ,𝑡) = − 𝜕𝐿 𝜕𝑡 Из уравнений Лагранжа (напомним, что канонические уравнения Га- мильтона справедливы только для систем с потенциальными силами) 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 = 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 = ˙ 𝑝 𝑖 Теперь условие инвариантности можно записать в виде −𝜉 ˙ ℋ + ∑︁ 𝜂 𝑖 ˙ 𝑝 𝑖 + ∑︁ ˙ 𝜂 𝑖 𝑝 𝑖 − ∑︁ ˙ 𝜉 ˙ 𝑞 𝑖 𝑝 𝑖 + ˙ 𝜉𝐿 = = −𝜉 ˙ ℋ + ∑︁ 𝜂 𝑖 ˙ 𝑝 𝑖 + ∑︁ ˙ 𝜂 𝑖 𝑝 𝑖 − ℋ ˙ 𝜉, откуда 65 𝑑 𝑑𝑡 (︁∑︁ 𝑝 𝑖 𝜂 𝑖 − 𝜉ℋ )︁ = 0, то есть ∑︁ 𝑝 𝑖 𝜂 𝑖 − 𝜉ℋ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Теорема доказана. Группа, по отношению к которой действие по Гамильтону — инте- гральный инвариант, называется группой симметрии системы. Используя теорему Эмми Нётер, можно найти первые интегралы си- стемы. Например, взяв 𝜉 = −1, − → 𝜂 = − → 0 , можно получить закон сохране- ния полной механической энергии консервативной системы. 2.8 Интегральные инварианты Пуанкаре-Ка- ртана и Пуанкаре. Рассмотрим (2𝑛+1)-мерное расширенное фазовое пространство (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) и выберем на нем произвольный контур (замкнутую кривую) 𝐶 1 = {− → 𝑞 1 (𝛼), − → 𝑝 1 (𝛼), 𝑡 1 (𝛼)}, 𝛼 ∈ [0, 1], 𝐶 1 (𝛼 = 0) = 𝐶 1 (𝛼 = 1) Из каждой точки кривой 𝐶 1 , как из начальной, проведем соответству- ющий прямой путь. Он однозначно определяется из канонических урав- нений Гамильтона при заданной начальной точке. Совокупность таких путей задает трубку прямых путей. На этой трубке произвольно вы- берем второй контур 𝐶 2 = {− → 𝑞 2 (𝛼), − → 𝑝 2 (𝛼), 𝑡 2 (𝛼)}, 𝛼 ∈ [0, 1], 𝐶 2 (𝛼 = 0) = 𝐶 2 (𝛼 = 1), охватывающий контур и имеющий с каждой образующей лишь одну об- щую точку. Считаем параметры 𝛼, параметризующие контуры, согла- сованными, то есть при каждом значении 𝛼 соответствующие точки контуров 𝐶 1 и 𝐶 2 расположены на одном и том же прямом пути. Запи- шем вариацию действия по Гамильтону для этого семейства и учтем, что все пути исследуемого семейства — прямые: 66 𝛿𝑆(𝛼) = [︁∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − ℋ𝑑𝑡 ]︁ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡 2 𝑡 1 + 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝛿𝑞 𝑖 𝑑𝑡 = = [︁∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − ℋ𝑑𝑡 ]︁ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡 2 𝑡 1 Проинтегрируем полученное выражение по 𝛼 в пределах от 0 до 1. Учи- тывая, что на каждом из контуров при 𝛼 = 0 и 𝛼 = 1 задаются одни и те же точки, получим 1 ˆ 0 𝛿𝑆(𝛼) = 1 ˆ 0 𝑆 ′ (𝛼)𝑑𝛼 = 𝑆(1) − 𝑆(0) = 0 1 ˆ 0 ∑︁ 𝑝 𝑖2 (𝛼)𝑑𝑞 𝑖2 (𝛼) − ℋ𝑑𝑡 2 (𝛼) − 1 ˆ 0 ∑︁ 𝑝 𝑖1 (𝛼)𝑑𝑞 𝑖1 (𝛼) + ℋ𝑑𝑡 1 (𝛼) = 0 ˛ 𝐶 1 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − ℋ𝑑𝑡 = ˛ 𝐶 2 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − ℋ𝑑𝑡 Интегральное выражение 𝐽 ПК = ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − ℋ𝑑𝑡 носит название интегрального инварианта Пуанкаре-Картана. Если контуры изохронные, то есть образованы сечениями трубки плоскостями 𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то 𝑑𝑡 = 0 и инвариант Пуанкаре-Картана перехо- дит в универсальный интегральный инвариант Пуанкаре: 𝐽 П = ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 , где 𝐶 означает изохронный контур. 67 Универсальность означает инвариантность для любой гамильтоновой си- стемы (гамильтониан не входит в выражение для интеграла), то есть значение этого интегрального инварианта одинаково для любой гамиль- тоновой системы, если рассматривается одна и та же трубка прямых путей. 2.9 Теорема Лиувилля о сохранении фазово- го объема. Сохранение фазового объема гамильтоновой системы. Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных урав- нений ˙ − → 𝑥 = − → 𝐹 (− → 𝑥 ), общее решение которой − → 𝑥 = − → 𝑥 (− → 𝑥 0 , 𝑡) Рассмотрим некоторую замкнутую область в фазовом пространстве и пусть каждая точка области есть неоторое начальное положение ис- следуемой системы при 𝑡 = 0. Обозначив эту область за 𝐺 0 , вычислим ее фазовый объем 𝑉 0 = ˙ 𝐺 0 𝑑𝑥 10 . . . 𝑑𝑥 𝑛0 Пусть через малый промежуток времени 𝑡 область 𝐺 0 перешла в согла- сованную с 𝐺 0 область 𝐺 𝑡 . Запишем выражение для фазового объема области 𝐺 𝑡 и перейдем к переменным области 𝐺 0 через якобиан преоб- разования: 𝑉 𝑡 = ˙ 𝐺 1 𝑑𝑥 1 . . . 𝑑𝑥 𝑛 = ˙ 𝐺 0 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕− → 𝑥 𝜕− → 𝑥 0 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑑𝑥 10 . . . 𝑑𝑥 𝑛0 Так как рассматриваемый промежуток времени мал, то разложим реше- ние − → 𝑥 по степеням 𝑡: 68 − → 𝑥 = − → 𝑥 0 + 𝑡 − → 𝐹 (− → 𝑥 0 ) + . . . Для якобиана получаем ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕− → 𝑥 𝜕− → 𝑥 0 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = det (︃ 𝐸 + 𝑡 𝜕 − → 𝐹 (− → 𝑥 0 ) 𝜕− → 𝑥 0 + . . . )︃ Из курса линейной алгебры известно, что если 𝜀 → 0, то det(𝐸 + 𝜀𝐴) = 1 + 𝜀 tr𝐴 + . . . , где tr𝐴 — след матрицы 𝐴, то есть сумма ее диагональных элементов. Теперь якобиан преобразования принимает вид ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕− → 𝑥 𝜕− → 𝑥 0 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = 1 + 𝑡 ∑︁ 𝜕𝐹 𝑖 (− → 𝑥 0 ) 𝜕𝑥 𝑖0 + . . . = 1 + 𝑡 div − → 𝐹 (− → 𝑥 0 ) + . . . Подставим преобразованный якобиан в выражение для фазового объема 𝑉 𝑡 = 𝑉 0 + 𝑡 ˙ 𝐺 0 div − → 𝐹 (− → 𝑥 0 )𝑑𝑥 10 . . . 𝑑𝑥 𝑛0 и возьмем производную по времени при 𝑡 = 0: ˙ 𝑉 𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡=0 = ˙ 𝐺 0 div − → 𝐹 (− → 𝑥 0 )𝑑𝑥 10 . . . 𝑑𝑥 𝑛0 Автономная система не зависит явно от времени, поэтому полученное выражение справедливо при любом 𝑡. Если же система не является ав- тономной, то момент времени 𝑡 = 0 можно заменить на произвольный момент времени 𝑡 0 и провести рассуждения, аналогичные рассуждени- ям выше, сделав замену 𝑡 → 𝑡 − 𝑡 0 . Поэтому для произвольной системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеем ˙ 𝑉 𝑡 = ˙ 𝐺 𝑡 div − → 𝐹 (− → 𝑥 )𝑑𝑥 1 . . . 𝑑𝑥 𝑛 69 Отсюда непосредственно следует Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема: фазовый объ- ем автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на произвольной области ее решений сохраняется тогда и только то- гда, когда div − → 𝐹 (− → 𝑥 ) = 0 Для гамильтоновой системы ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ˙ 𝑞 𝑖 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 ˙ 𝑝 𝑖 = − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 − → 𝑥 = (︂ − → 𝑞 − → 𝑝 )︂ , тогда, так как функция Гамильтона считается достаточно гладкой, ее смешанные производные равны и div − → 𝐹 = ∑︁ 𝜕 2 ℋ 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑝 𝑖 − 𝜕 2 ℋ 𝜕𝑝 𝑖 𝜕𝑞 𝑖 = 0, откуда следует сохранение фазового объема гамильтоновой системы на области ее решений по только что доказанной теореме. 2.10 Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. Теорема 1: пусть в произвольной системе дифференциальных уравне- ний {︃ ˙ 𝑞 𝑖 = 𝑄 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) ˙ 𝑝 𝑖 = 𝑃 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) имеет место интегральный инвариант Пуанкаре: 70 𝐽 П = ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 = inv Тогда эта система гамильтонова, то есть ∃ ℋ : 𝑄 𝑖 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 , 𝑃 𝑖 = − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 Доказательство Так как контур 𝐶 есть результат переноса точек начального контура 𝐶 0 под действием исследуемой системы уравнений, то можно выразить переменные на этом контуре через переменные на начальном контуре и перейти от интегрирования по контуру 𝐶 к интегрированию по контуру 𝐶 0 : 𝐽 П = ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 = ˛ 𝐶 0 ∑︁ 𝑝 𝑖 (− → 𝑞 0 , − → 𝑝 0 , 𝑡)𝛿𝑞 𝑖 (− → 𝑞 0 , − → 𝑝 0 , 𝑡) Возьмем производную по времени от полученного выражения в началь- ный момент времени: ˙ 𝐽 П = ˛ 𝐶 0 ∑︁ ˙ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 + 𝑝 𝑖 𝛿 ˙ 𝑞 𝑖 = ˛ 𝐶 0 ∑︁ 𝑃 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 + 𝑝 𝑖 𝛿𝑄 𝑖 Но 𝛿(𝑄 𝑖 𝑝 𝑖 ) = 𝑄 𝑖 𝛿𝑝 𝑖 + 𝑝 𝑖 𝛿𝑄 𝑖 , поэтому 𝑝 𝑖 𝛿𝑄 𝑖 = −𝑄 𝑖 𝛿𝑝 𝑖 + 𝛿(𝑄 𝑖 𝑝 𝑖 ), откуда, учитывая, что интеграл по контуру от полного дифференциала равен нулю, получим ˙ 𝐽 П = ˛ 𝐶 0 ∑︁ 𝑃 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 − 𝑄 𝑖 𝛿𝑝 𝑖 = 0 71 Равенство нулю следует из того, что 𝐽 П — инвариант. Так как 𝐶 0 — произвольный контур, то равенство нулю возможно только если подын- тегральная функция — полная производная некоторой функции. Обо- значим эту функцию за −ℋ. Тогда ∑︁ 𝑃 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 − 𝑄 𝑖 𝛿𝑝 𝑖 = −𝛿ℋ(− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) = − ∑︁ 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 + 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 𝛿𝑝 𝑖 В полном дифференциале не участвует производная по времени, так как рассматриваемые контуры изохронные, то есть на каждом выбранном контуре 𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Из последнего соотношения следует 𝑄 𝑖 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 , 𝑃 𝑖 = − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 Теорема доказана. Теорема 2: пусть в произвольной системе дифференциальных уравне- ний {︃ ˙ 𝑞 𝑖 = 𝑄 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) ˙ 𝑝 𝑖 = 𝑃 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) имеет место интегральный инвариант типа Пуанкаре-Картана: 𝐽 = ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − Φ(− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡)𝑑𝑡 = inv Тогда эта система гамильтонова, причем Φ = ℋ + ˙ 𝐺(𝑡), где 𝐺(𝑡) — произвольная функция. Доказательство 𝐽 — интегральный инвариант типа Пуанкаре-Картана, то есть он имеет место для любых контуров, согласованных с начальным контуром, поэто- му он имеет место и для изохронных контуров (если начальный контур изохронный). Но на изохронном контуре 𝑑𝑡 = 0, поэтому имеет место 72 интегральный инвариант Пуанкаре. Тогда по теореме 1 исследуемая си- стема гамильтонова с некоторым гамильтонианом ℋ. Итого, имеем два интегральных инварианта типа Пуанкаре-Картана с функциями Φ и ℋ. Они совпадают на изохронных контурах, а значит и на произвольных контурах: ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 = ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − Φ𝑑𝑡 = ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − ℋ𝑑𝑡 Отсюда ˛ 𝐶 (Φ − ℋ)𝑑𝑡 = 0 В силу произвольности контура, подынтегральное выражение — полный дифференциал от некоторой функции 𝐺. Тогда (Φ − ℋ)𝑑𝑡 = 𝜕𝐺 𝜕𝑡 𝑑𝑡 + ∑︁ (︂ 𝜕𝐺 𝜕𝑞 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 + 𝜕𝐺 𝜕𝑝 𝑖 𝑑𝑝 𝑖 )︂ , откуда следует, что частные производные функции 𝐺 по переменным 𝑞 𝑖 и 𝑝 𝑖 равны нулю, то есть 𝐺 = 𝐺(𝑡). Поэтому Φ = ℋ + ˙ 𝐺(𝑡) Теорема доказана. 2.11 Теорема Ли Хуа-чжуна об интеграль- ных инвариантах первого порядка га- мильтоновых систем. Теорема Ли Хуа-чжуна: интеграл 𝐼 = ˛ 𝐶 ∑︁ 𝐴 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡)𝛿𝑞 𝑖 + 𝐵 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡)𝛿𝑝 𝑖 73 является универсальным интегральным инвариантом гамильтоновых систем тогда и только тогда, когда ∃𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ̸= 0 : 𝐼 = 𝑐𝐽 П Доказательство Необходимость Рассмотрим случай с одной степенью свободы: 𝐼 = ˛ 𝐶 𝐴(𝑞, 𝑝, 𝑡)𝛿𝑞 + 𝐵(𝑞, 𝑝, 𝑡)𝛿𝑝 Пусть гамильтоновой системе с гамильтонианом ℋ соответствует общее решение {︃ 𝑞 = 𝑞(𝑞 0 , 𝑝 0 , 𝑡) 𝑝 = 𝑝(𝑞 0 , 𝑝 0 , 𝑡) Сведем интегрирование по контуру 𝐶 к интегрированию по начальному контуру 𝐶 0 : 𝐼 = ˛ 𝐶 0 𝐴(𝑞 (𝑞 0 , 𝑝 0 , 𝑡), 𝑝(𝑞 0 , 𝑝 0 , 𝑡), 𝑡) 𝛿𝑞(𝑞 0 , 𝑝 0 , 𝑡) + +𝐵(𝑞 (𝑞 0 , 𝑝 0 , 𝑡), 𝑝(𝑞 0 , 𝑝 0 , 𝑡), 𝑡) 𝛿𝑝(𝑞 0 , 𝑝 0 , 𝑡) Так как интеграл 𝐼 — универсальный интегральный инвариант (то есть является инвариантом для любой гамильтоновой системы), то, задавая конкретные значения для гамильтониана, можно уточнить подынтеграль- ное выражение. 1. Пусть ℋ = 0. Тогда из уравнений Гамильтона 𝑞 = 𝑞 0 , 𝑝 = 𝑝 0 𝐼 = ˛ 𝐶 0 𝐴(𝑞 0 , 𝑝 0 , 𝑡)𝛿𝑞 0 + 𝐵(𝑞 0 , 𝑝 0 , 𝑡)𝛿𝑝 0 По условию теоремы 𝐼 — интегральный инвариант, поэтому 74 ˙ 𝐼 = ˛ 𝐶 0 𝜕𝐴 𝜕𝑡 𝛿𝑞 0 + 𝜕𝐵 𝜕𝑡 𝛿𝑝 0 = 0, причем внесение оператора дифференцирования под знак интеграла объ- ясняется тем, что сам интеграл не зависит от времени, так как 𝐼 — ин- вариант. В силу произвольности контура, подынтегральное выражение — полный дифференциал от некоторой функции 𝑓 , то есть 𝜕𝐴 𝜕𝑡 𝛿𝑞 + 𝜕𝐵 𝜕𝑡 𝛿𝑝 = 𝜕𝑓 (𝑞, 𝑝, 𝑡) 𝜕𝑞 𝛿𝑞 + 𝜕𝑓 (𝑞, 𝑝, 𝑡) 𝜕𝑝 𝛿𝑝, откуда 𝜕𝐴 𝜕𝑡 = 𝜕𝑓 (𝑞, 𝑝, 𝑡) 𝜕𝑞 , 𝜕𝐵 𝜕𝑡 = 𝜕𝑓 (𝑞, 𝑝, 𝑡) 𝜕𝑝 Выражая функцию 𝑓 через ее первообразную по 𝑡 𝑓 (𝑞, 𝑝, 𝑡) = 𝜕𝐹 (𝑞, 𝑝, 𝑡) 𝜕𝑡 , получаем уравнения 𝜕 𝜕𝑡 (︂ 𝐴 − 𝜕𝐹 𝜕𝑞 )︂ = 0, 𝜕 𝜕𝑡 (︂ 𝐵 − 𝜕𝐹 𝜕𝑞 )︂ = 0, то есть существуют такие функции 𝑎(𝑞, 𝑝) и 𝑏(𝑞, 𝑝), что справедливо пред- ставление 𝐴 = 𝑎(𝑞, 𝑝) + 𝜕𝐹 𝜕𝑞 , 𝐵 = 𝑏(𝑞, 𝑝) + 𝜕𝐹 𝜕𝑝 , которое определяет вид 𝐴𝛿𝑞 + 𝐵𝛿𝑝 = 𝑎(𝑞, 𝑝)𝛿𝑞 + 𝑏(𝑞, 𝑝)𝛿𝑝 + 𝜕𝐹 𝜕𝑞 𝛿𝑞 + 𝜕𝐹 𝜕𝑝 𝛿𝑝 = = 𝑎(𝑞, 𝑝)𝛿𝑞 + 𝑏(𝑞, 𝑝)𝛿𝑝 + 𝛿𝐹 выражения под интегралом. Учитывая, что интеграл по контуру от пол- ного дифференциала равен нулю, для самого интеграла получим 75 𝐼 = ˛ 𝐶 𝑎(𝑞, 𝑝)𝛿𝑞 + 𝑏(𝑞, 𝑝)𝛿𝑝 2. Пусть ℋ = −𝑝. Тогда из уравнений Гамильтона 𝑞 = 𝑞 0 + 𝑡, 𝑝 = 𝑝 0 Используя выражение для исходного интеграла, полученного в первом пункте, получим 𝐼 = ˛ 𝐶 0 𝑎(𝑞 0 + 𝑡, 𝑝 0 )𝛿𝑞 0 + 𝑏(𝑞 0 + 𝑡, 𝑝 0 )𝛿𝑝 0 Факт инвариантности интеграла приводит к результату ˙ 𝐼 ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡=0 = ˛ 𝐶 0 𝜕𝑎(𝑞 0 + 𝑡, 𝑝 0 ) 𝜕𝑞 0 𝛿𝑞 0 + 𝜕𝑏(𝑞 0 + 𝑡, 𝑝 0 ) 𝜕𝑞 0 𝛿𝑝 0 = 0 Рассуждая аналогично первому пункту, получим 𝑎(𝑞, 𝑝) = ¯ 𝑎(𝑝) + 𝜕𝐺 𝜕𝑞 , 𝑏(𝑞, 𝑝) = ¯ 𝑏(𝑝) + 𝜕𝐺 𝜕𝑝 , 𝑎𝛿𝑞 + 𝑏𝛿𝑝 = ¯ 𝑎(𝑝)𝛿𝑞 + ¯ 𝑏(𝑝)𝛿𝑝 + 𝛿𝐺(𝑞, 𝑝), 𝐼 = ˛ 𝐶 ¯ 𝑎(𝑝)𝛿𝑞 + ¯ 𝑏(𝑝)𝛿𝑝 3. Пусть ℋ = −𝑞. Тогда из уравнений Гамильтона 𝑞 = 𝑞 0 , 𝑝 = 𝑝 0 + 𝑡. Используя выражение для исходного интеграла, полученного во втором пункте, получим 𝐼 = ˛ 𝐶 0 ¯ 𝑎(𝑝 0 + 𝑡)𝛿𝑞 0 + ¯ 𝑏(𝑝 0 + 𝑡)𝛿𝑝 0 Факт инвариантности интеграла приводит к результату 76 ˙ 𝐼 ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡=0 = ˛ 𝐶 0 𝑑¯ 𝑎(𝑝) 𝑑𝑝 𝛿𝑞 + 𝑑¯ 𝑏(𝑝) 𝑑𝑝 𝛿𝑝 = 0 В силу произвольности контура, подынтегральное выражение — полный дифференциал от некоторой функции 𝑘, то есть 𝜕𝑘(𝑞, 𝑝) 𝜕𝑞 = 𝑑¯ 𝑎(𝑝) 𝑑𝑝 , 𝜕𝐾(𝑞, 𝑝) 𝜕𝑝 = 𝑑¯ 𝑏(𝑝) 𝑑𝑝 , то есть для функции ¯ 𝑘 = (𝑞, 𝑝) = 𝑘(𝑞, 𝑝) − ¯ 𝑏(𝑝) должно выполняться 𝜕¯ 𝑘 𝜕𝑞 = 𝑑¯ 𝑎(𝑝) 𝑑𝑝 , 𝜕¯ 𝑘 𝜕𝑝 = 0 Из второго уравнения следует, что левая часть первого уравнения не зависит от 𝑝. Правая часть первого уравнения, очевидно, не зависит от 𝑞, поэтому обе части равны постоянной 𝑐, откуда ¯ 𝑎(𝑝) = 𝑐𝑝 + 𝑐 1 , ¯ 𝑘 = 𝑐𝑞 + 𝑐 2 Подстановка ¯ 𝑎(𝑝) в подынтегральное выражение 𝐼 дает ¯ 𝑎(𝑝)𝛿𝑞 + ¯ 𝑏(𝑝)𝛿𝑝 = 𝑐𝑝𝛿𝑞 + 𝛿(𝑐 1 𝑞 + ˆ ¯ 𝑏(𝑝)𝑑𝑝) Из всех трех пунктов имеем: ¯ 𝑎(𝑝)𝛿𝑞 + ¯ 𝑏(𝑝)𝛿𝑝 = 𝑐𝑝𝛿𝑞 + 𝛿(𝑐 1 𝑞 + ˆ ¯ 𝑏(𝑝)𝑑𝑝), 𝑎𝛿𝑞 + 𝑏𝛿𝑝 = ¯ 𝑎(𝑝)𝛿𝑞 + ¯ 𝑏(𝑝)𝛿𝑝 + 𝛿𝐺(𝑞, 𝑝), 𝐴𝛿𝑞 + 𝐵𝛿𝑝 = 𝑎(𝑞, 𝑝)𝛿𝑞 + 𝑏(𝑞, 𝑝)𝛿𝑝 + 𝛿𝐹 Подставляя последовательно первое во второе и второе в третье и учи- тывая, что интеграл по контуру от полного дифференциала равен нулю, получим 77 𝐼 = 𝑐 ˛ 𝐶 𝑝𝛿𝑞 Доказательство для системы с произвольным числом степеней свободы аналогичное, просто нужно рассматривать больше «пробных» гамильто- нианов. Достаточность очевидна и проверяется прямой подстановкой 𝐼 = 𝑐𝐽 П в исходный интеграл. Теорема доказана. 78 Глава 3 Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби. 3.1 Канонические преобразования. Критерий каноничности преобразования. Неособенное преобразование {︃ ̃︁ − → 𝑞 = ̃︁ − → 𝑞 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) ̃︁ − → 𝑝 = ̃︁ − → 𝑝 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡), называется каноническим, если оно переводит любую гамильтонову систему в гамильтонову. Неособенное означает обратимое. Если преоб- разование обратимое, то det 𝜕(̃︁ − → |