лекции. Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия
 Скачать 0.55 Mb.
|
|
)︁ 𝑑𝑡 2 + + (︁∑︁ 𝑝 𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 − 𝐿 1 )︁ 𝑑𝑡 1 + 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝛿𝑞 𝑖 𝑑𝑡 = = ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡 2 𝑡 1 − 𝐻 2 𝑑𝑡 2 + 𝐻 1 𝑑𝑡 1 + 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝛿𝑞 𝑖 𝑑𝑡 = = [︁∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − ℋ𝑑𝑡 ]︁ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡 2 𝑡 1 + 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝛿𝑞 𝑖 𝑑𝑡 — полная вариация действия. 2.4 Вариационный принцип Гамильтона. Рассмотрим задачу с фиксированными концами, то есть когда начальные и конечные точки членов семейства при варьировании одинаковы: − → 𝑞 (𝑡 1 , 𝛼) = − → 𝑞 1 , − → 𝑞 (𝑡 2 , 𝛼) = − → 𝑞 2 Выше, при выводе выражения для полной вариации действия, было по- лучено, что 𝛿𝑆 = 𝐿 2 𝑑𝑡 2 − 𝐿 1 𝑑𝑡 1 + ∑︁ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑡 2 𝑡 1 + 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝛿𝑞 𝑖 𝑑𝑡, 52 но в задаче с фиксированными концами 𝑑𝑡 2 = 𝑑𝑡 1 = 𝛿𝑞 𝑖 = 0, поэтому в такой задаче полная вариация действия принимает более простой вид 𝛿𝑆 = 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝛿𝑞 𝑖 𝑑𝑡 Если при некотором 𝛼 путь (траектория) − → 𝑞 (𝑡, 𝛼) удовлетворяет уравне- ниям Лагранжа с заданным лагранжианом 𝐿, то такой путь называется прямым. Остальные пути называются окольными. Если в поставленной задаче имеется более одного прямого пути, то точ- ки пересечения прямых путей (в том числе и на концах) называются сопряженными кинетическими фокусами. Вариационный принцип Гамильтона: путь является прямым то- гда и только тогда, когда при любом его варьировании в задаче с фик- сированными концами, выполняется 𝛿𝑆(0) = 0 Доказательство Необходимость Пусть некоторый путь − → 𝑞 (𝑡) — прямой. Проварьируем его при фикси- рованных концах (теперь − → 𝑞 (𝑡) = − → 𝑞 (𝑡, 0)). Прямой путь удовлетворяет уравнениям Лагранжа с лагранжианом 𝐿, поэтому 𝛿𝑆(0) = 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ ⏟ ⏞ 0 𝛿𝑞 𝑖 𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝛼=0 = 0 Достаточность Пусть при произвольном варьировании некоторой траектории 𝛿𝑆(0) = 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 ∑︁ (︂ 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 )︂ 𝛿𝑞 𝑖 𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝛼=0 = 0 53 Так как варьирование, по условию теоремы, произвольное, то есть 𝛿𝑞 𝑖 — произвольные и независимые, то 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 = 0, то есть траектория, которую мы варьировали, удовлетворяет уравнениям Лагранжа, а значит, является прямым путем. Теоерма доказана. Если на прямом пути нет кинетических фокусов, то действие по Гамиль- тону на прямом пути имеет минимум. Поэтому принцип Гамильтона ино- гда называют принципом наименьшего действия. 2.5 Преобразование лагранжиана при замене координат и времени. Рассмотрим уравнения Лагранжа в некоторой системе {− → 𝑞 , 𝑡} 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 = 0 и сделаем замену переменных {− → 𝑞 , 𝑡} → {− → 𝑞 ′ , 𝑡 ′ }: {︃ − → 𝑞 = − → 𝑞 (− → 𝑞 ′ , 𝑡 ′ ) 𝑡 = 𝑡(− → 𝑞 ′ , 𝑡 ′ ) Запишем выражение для действия по Гамильтону в старых переменных и выразим его в новых переменных: 𝑆 = 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 𝐿(− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡)𝑑𝑡 = 𝑡 ′ 2 ˆ 𝑡 ′ 1 𝐿 [︁ − → 𝑞 (− → 𝑞 ′ , 𝑡 ′ ), ˙ − → 𝑞 (− → 𝑞 ′ , ˙ − → 𝑞 ′ , 𝑡 ′ ), 𝑡(− → 𝑞 ′ , 𝑡 ′ ) ]︁ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ′ 𝑑𝑡 ′ Здесь 54 ˙ 𝑞 𝑖 = 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑡 ′ + ∑︀ 𝑗 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝑞 ′ 𝑗 ˙ 𝑞 ′ 𝑗 𝜕𝑡 𝜕𝑡 ′ + ∑︀ 𝑗 𝜕𝑡 𝜕𝑞 ′ 𝑗 ˙ 𝑞 ′ 𝑗 , ˙ 𝑞 ′ 𝑗 = 𝑑𝑞 ′ 𝑗 𝑑𝑡 ′ , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ′ = 𝜕𝑡 𝜕𝑡 ′ + ∑︁ 𝑗 𝜕𝑡 𝜕𝑞 ′ 𝑗 ˙ 𝑞 ′ 𝑗 Для образа прямого пути выполняется 𝛿𝑆 = 0 (где 𝑆 выражено в новых переменных), поэтому, в силу принципа Гамильтона, образ прямого пу- ти есть прямой путь, то есть он удовлетворяет уравнениям Лагранжа в новых переменных с новым лагранжианом 𝐿 ′ = 𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ′ Значит, при любой невырожденной замене координат и времени уравне- ния Лагранжа сохраняют форму, то есть они ковариантны по отноше- нию к этой замене. Отметим, что функция Лагранжа обладает калибровочной инва- риантностью, а именно, если добавить к функции Лагранжа полную производную по времени от произвольной гладкой функции времени и обобщенных координат, то уравнения Лагранжа не изменятся. Действи- тельно, если 𝐿 ′ = 𝐿 + 𝑑Φ(𝑡, − → 𝑞 ) 𝑑𝑡 , то 𝑆 ′ = 𝑆 + Φ(𝑡 2 , − → 𝑞 2 ) − Φ(𝑡 1 , − → 𝑞 1 ), поэтому 𝛿𝑆 ′ = 𝛿𝑆, то есть прямые пути систем с такими Лагранжианами совпадают. Это означает, что зная множество путей, по которым может двигаться систе- ма, нельзя однозначно восстановить лагранжиан. 2.6 Основы теории групп Ли. Произвольное множество 𝐺 называется группой, если 55 1. На множестве 𝐺 определена операция умножения «∘», которая любым двум элементам 𝐴 ∈ 𝐺, 𝐵 ∈ 𝐺, взятым в определенном порядке, ставит в соответствие единственный элемент 𝐶 ∈ 𝐺: 𝐴 ∘ 𝐵 = 𝐶 2. Существует единица группы 𝐸: 𝐸 ∘ 𝐴 = 𝐴 ∘ 𝐸 = 𝐴 ∀𝐴 ∈ 𝐺 3. Для любого 𝐴 ∈ 𝐺 существует обратный элемент 𝐴 −1 : 𝐴 −1 ∘ 𝐴 = 𝐴 ∘ 𝐴 −1 = 𝐸 4. Операция умножения на этом множестве ассоциативна: 𝐴 ∘ (𝐵 ∘ 𝐶) = (𝐴 ∘ 𝐵) ∘ 𝐶 2.6.1 Понятие группы Ли. Рассмотрим множество преобразований 𝑛-мерного вещественного ариф- метического пространства в себя: − → 𝑞 ′ = − → 𝑄 (− → 𝑞 , − → 𝑎 ) Переход от одного преобразования к другому осуществляется изменени- ем параметра − → 𝑎 ∈ R 𝑘 Выберем в качестве операции умножения, вводимой на множестве пре- образований − → 𝑞 ′ = − → 𝑄 (− → 𝑞 , − → 𝑎 ), композицию двух преобразований, причем: если после преобразования − → 𝑞 → − → 𝑞 ′ с некоторым фиксированным − → 𝑎 выполняется преобразование − → 𝑞 ′ → − → 𝑞 ′′ с некоторым фиксированным − → 𝑏 : − → 𝑞 ′′ = − → 𝑄 (− → 𝑞 ′ , − → 𝑏 ), то, поскольку операция задана так, что она не должна выходить за пре- делы исходного множества, то должно выполняться 56 − → 𝑞 ′′ = − → 𝑄 (− → 𝑞 ′ , − → 𝑏 ) = − → 𝑄 ( − → 𝑄 (− → 𝑞 , − → 𝑎 ), − → 𝑏 ) = − → 𝑄 (− → 𝑞 , − → 𝑐 ), причем понятно, что параметр − → 𝑐 связан функционально с параметрами − → 𝑎 и − → 𝑏 : − → 𝑐 = 𝛾(− → 𝑎 , − → 𝑏 ), где 𝛾 — групповая операция. Множество преобразований − → 𝑞 ′ = − → 𝑄 (− → 𝑞 , − → 𝑎 ) называется группой Ли, если 1. Операция умножения есть композиция двух преобразований, причем − → 𝑄 ( − → 𝑄 (− → 𝑞 , − → 𝑎 ), − → 𝑏 ) = − → 𝑄 (− → 𝑞 , 𝛾(− → 𝑎 , − → 𝑏 )) 2. Тождественное преобразование принадлежит рассматриваемому мно- жеству, то есть существует единица группы − → 𝑒 , размерность которой сов- падает с размерностью параметра, такая, что − → 𝑄 (− → 𝑞 , − → 𝑒 ) = − → 𝑞 3. Для любого − → 𝑎 существует обратный элемент − → 𝑎 −1 : − → 𝑄 ( − → 𝑄 (− → 𝑞 , − → 𝑎 ), − → 𝑎 −1 ) = − → 𝑞 4. − → 𝑄 (− → 𝑞 , − → 𝑎 ) — аналитическая функция в некоторой окрестности единицы группы − → 𝑒 и произвольной точки − → 𝑞 . Понятно, что группа Ли является группой. Действительно, она обладает первыми тремя свойствами группы, а из курса математического анализа известно, что композиция отображений ассоциативна. Группами Ли являются, например, 𝑛-параметрическая группа трансля- ций (− → 𝑞 ′ = − → 𝑞 +− → 𝑎 , − → 𝑞 ∈ R 𝑛 , − → 𝑎 ∈ R 𝑛 ), преобразования Галилея и Лоренца. 57 2.6.2 Однопараметрические группы Ли. Теорема един- ственности. Здесь и далее будем рассматривать группы Ли с вещественным парамет- ром (𝑎 ∈ R). Такие группы Ли называют однопараметрическими. Сдела- ем замену переменных 𝑎 → 𝜇 = 𝑎 − 𝑒. При такой замене тождественному преобразованию соответствует 𝜇 = 0 ( − → 𝑄 (− → 𝑞 , 𝜇 = 0) = − → 𝑞 ). Разложим уравнение группы по степеням 𝜇 в окрестности 𝜇 = 0: − → 𝑞 ′ = − → 𝑄 (− → 𝑞 , 𝜇) = − → 𝑞 + 𝜕 − → 𝑄 (− → 𝑞 , 𝜇) 𝜕𝜇 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜇=0 𝜇 + . . . , где 𝜕 − → 𝑄 (− → 𝑞 , 𝜇) 𝜕𝜇 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜇=0 = − → 𝜂 (− → 𝑞 ) — ядро группы. Теорема единственности: для восстановления группы достаточно знать ее ядро. Доказательство Рассмотрим малую вариацию параметра группы, приводящую и к малой вариации точки − → 𝑞 , и воспользуемся сначала третьим, а затем первым свойствами группы Ли: − → 𝑞 ′ + 𝛿− → 𝑞 ′ = − → 𝑄 (− → 𝑞 , 𝜇 + 𝛿𝜇) = − → 𝑄 ( − → 𝑄 (− → 𝑞 ′ , 𝜇 −1 ), 𝜇 + 𝛿𝜇) = = − → 𝑄 (− → 𝑞 ′ , 𝛾(𝜇 −1 , 𝜇 + 𝛿𝜇)) Разложим групповую операцию в ряд по степеням 𝛿𝜇: 𝛾(𝜇 −1 , 𝜇 + 𝛿𝜇) = 𝛾(𝜇 −1 , 𝜇) + 𝜕𝛾(𝜇 1 , 𝜇 2 ) 𝜕𝜇 2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜇 1 = 𝜇 −1 𝜇 2 = 𝜇 𝛿𝜇 + . . . Первое слагаемое обращается в ноль, что непосредственно следует из третьего свойства группы Ли, поэтому обозначив 58 𝜕𝛾(𝜇 1 , 𝜇 2 ) 𝜕𝜇 2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜇 1 = 𝜇 −1 𝜇 2 = 𝜇 = Γ(𝜇), получим, раскладывая функцию − → 𝑄 в ряд по 𝛿𝜇 − → 𝑞 ′ + 𝛿− → 𝑞 ′ = − → 𝑄 (− → 𝑞 ′ , Γ(𝜇)𝛿𝜇 + . . .) = − → 𝑞 ′ + − → 𝜂 (− → 𝑞 ′ )Γ(𝜇)𝛿𝜇 + . . . Переходя к пределу при 𝛿𝜇 → 0, получаем 𝑑− → 𝑞 ′ 𝑑𝜇 = − → 𝜂 (− → 𝑞 ′ )Γ(𝜇) Так как параметр произвольный, то группа − → 𝑞 ′ = − → 𝑄 (− → 𝑞 , 𝜇) может быть получена как решение полученной задачи Коши с начальным условием − → 𝑞 ′ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜇=0 = − → 𝑞 . Единственность решения следует из теоремы о существова- нии и единственности решения задачи Коши. Введем замену 𝜇 → 𝜏 , где 𝜏 = 𝜇 ˆ 0 Γ(𝜇)𝑑𝜇 — канонический параметр. Теперь найденное дифференциальное урав- нение приобретает вид 𝑑− → 𝑞 ′ 𝑑𝜏 = − → 𝜂 (− → 𝑞 ′ ), − → 𝑞 ′ (0) = − → 𝑞 , правая часть которого определяется только ядром группы. Решая полу- ченное уравнение, мы восстанавливаем группу полностью с точностью до указанной замены параметра. Теорема доказана. Доказанная теорема означает, что между однопараметрическими груп- пами Ли и автономными дифференциальными уравнениями установлено взаимно однозначное соответствие. 59 2.6.3 Ряд Ли. Инвариант группы. Рассмотрим некоторую скалярную функцию 𝐹 (− → 𝑞 ). В окрестности 𝜇 = 0 𝐹 (− → 𝑞 ′ ) = 𝐹 (− → 𝑞 + 𝜇− → 𝜂 (− → 𝑞 ) + . . .) = 𝐹 (− → 𝑞 ) + 𝜕𝐹 𝜕𝜇 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜇=0 𝜇 + . . . = = 𝐹 (− → 𝑞 ) + 𝜇 ∑︁ 𝜂 𝑖 𝜕𝐹 𝜕𝑞 𝑖 + . . . , где ∑︁ 𝜂 𝑖 𝜕 𝜕𝑞 𝑖 = 𝑈 — инфинитезимальный оператор. Пусть теперь группа Ли задана через канонический параметр 𝜏 : − → 𝑞 ′ = − → 𝑞 + 𝜏 − → 𝜂 (− → 𝑞 ) + . . . Ей по теореме единственности эквивалентна система 𝑑− → 𝑞 ′ 𝑑𝜏 = − → 𝜂 (− → 𝑞 ′ ) Для исследуемой скалярной функции имеем 𝐹 (− → 𝑞 ′ ) = 𝐹 (− → 𝑞 + 𝜏 − → 𝜂 (− → 𝑞 ) + . . .) ≡ ˜ 𝐹 (− → 𝑞 , 𝜏 ) Найдем производную от этой функции по параметру: 𝑑𝐹 (− → 𝑞 ′ ) 𝑑𝜏 = 𝜕 ˜ 𝐹 𝜕𝜏 = ∑︁ 𝜕𝐹 𝜕𝑞 ′ 𝑖 𝑑𝑞 ′ 𝑖 𝑑𝜏 = ∑︁ 𝜂 𝑖 𝜕𝐹 𝜕𝑞 ′ 𝑖 = 𝑈 𝐹 (− → 𝑞 ′ ) Аналогично 𝑑 2 𝐹 (− → 𝑞 ′ ) 𝑑𝜏 2 = 𝜕 2 ˜ 𝐹 𝜕𝜏 2 = 𝑈 2 𝐹 (− → 𝑞 ′ ) 60 и так далее. Используя полученные соотношения и раскладывая функ- цию в ряд Тейлора, получим 𝐹 (− → 𝑞 ′ ) = 𝐹 (− → 𝑞 , 𝜏 ) = 𝐹 (− → 𝑞 ) + 𝜏 𝜕𝐹 𝜕𝜏 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜏 =0 + 𝜏 2 2! 𝜕 2 𝐹 𝜕𝜏 2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜏 =0 + . . . = = 𝐹 + 𝜏 𝑈 𝐹 + 𝜏 2 2! 𝑈 2 𝐹 + . . . = 𝑒 𝜏 𝑈 𝐹 (− → 𝑞 ) Полученный ряд называется рядом Ли. Функция 𝐹 (− → 𝑞 ) называется инвариантом группы, если она не из- меняется группой: 𝐹 (− → 𝑞 ′ ) = 𝐹 (− → 𝑞 ) Подставляя определение инварианта группы в ряд Ли, получаем экви- валентное определение: 𝐹 (− → 𝑞 ) — инвариант группы, если 𝑈 𝐹 (− → 𝑞 ) = 0 2.6.4 Дифференциальный и интегральный инвариан- ты группы. Выясним, как изменяется группой функция 𝐹 (− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡). Пусть в пространстве (− → 𝑞 , 𝑡) действует группа − → 𝑞 ′ = − → 𝑞 + 𝜏 − → 𝜂 (𝑡, − → 𝑞 ) + . . . 𝑡 ′ = 𝑡 + 𝜏 𝜉(𝑡, − → 𝑞 ) + . . . , тогда ˙ − → 𝑞 ′ = 𝑑− → 𝑞 ′ 𝑑𝑡 ′ = 𝑑− → 𝑞 ′ /𝑑𝑡 𝑑𝑡 ′ /𝑑𝑡 = ˙ − → 𝑞 + 𝜏 ˙ − → 𝜂 + . . . 1 + 𝜏 ˙ 𝜉 + . . . = ˙ − → 𝑞 + 𝜏 ( ˙ − → 𝜂 − ˙ − → 𝑞 ˙ 𝜉) + . . . , 61 где последнее преобразование есть применение формулы Тейлора в окрест- ности 𝜏 = 0. Теперь видно, что можно считать, что группа действует не в пространстве (𝑡, − → 𝑞 ), а в пространстве (− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡) с ядрами − → 𝜂 , 𝜉 и − → 𝜁 = ˙ − → 𝜂 − ˙ − → 𝑞 ˙ 𝜉. Продолженная таким образом группа называется груп- пой первого продолжения. Оператор этой группы (1) 𝑈 = 𝜉 𝜕 𝜕𝑡 + ∑︁ 𝜂 𝑖 𝜕 𝜕𝑞 𝑖 + ∑︁ (︁ ˙ 𝜂 𝑖 − ˙𝑞 𝑖 ˙ 𝜉 )︁ 𝜕 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 Функция 𝐹 (− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡) называется дифференциальным инвариан- том группы, если она не меняется под действием этой группы: 𝐹 (− → 𝑞 ′ , ˙ − → 𝑞 ′ , 𝑡 ′ ) = 𝐹 (− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡) Используя ряд Ли, получаем эквивалентное определение: 𝐹 (− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡) — инвариант группы, если (1) 𝑈 𝐹 = 0 Рассмотрим функционал 𝑆 = 𝑡 2 ˆ 𝑡 1 Φ(− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡)𝑑𝑡 Пусть в пространстве (− → 𝑞 , 𝑡) действует та же группа, как и при исследо- вании функции 𝐹 (− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡). Рассматриваемый функционал называется интегральным инвариантом группы, если он не меняется под дей- ствием этой группы: 𝑆 ′ = 𝑡 ′ 2 ˆ 𝑡 ′ 1 Φ(− → 𝑞 ′ , ˙ − → 𝑞 ′ , 𝑡 ′ )𝑑𝑡 ′ = 𝑆 Рассмотрим малое приращение параметра группы: 62 𝑆 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) = 𝑡 ′ 2 (𝜏 +𝛿𝜏 ) ˆ 𝑡 ′ 1 (𝜏 +𝛿𝜏 ) Φ [︁ − → 𝑞 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ), ˙ − → 𝑞 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ), 𝑡 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) ]︁ 𝑑𝑡 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) Разложим − → 𝑞 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) и 𝑡 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) по степеням 𝛿𝜏 − → 𝑞 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) = − → 𝑞 ′ (𝜏 ) + 𝑑− → 𝑞 ′ 𝑑𝜏 𝛿𝜏 + . . . 𝑡 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) = 𝑡 ′ (𝜏 ) + 𝑑𝑡 ′ 𝑑𝜏 𝛿𝜏 + . . . и выполним в полученном интеграле замену переменнных − → 𝑞 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) → − → 𝑞 ′ (𝜏 ), 𝑡 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) → 𝑡 ′ (𝜏 ) Переходя к группе первого продолжения и учитывая, что по теореме единственности 𝑑− → 𝑞 ′ 𝑑𝜏 = − → 𝜂 (𝑡 ′ , − → 𝑞 ′ ), 𝑑𝑡 ′ 𝑑𝜏 = 𝜉(𝑡 ′ , − → 𝑞 ′ ), получим 𝑆 ′ = 𝑡 ′ 2 (𝜏 ) ˆ 𝑡 ′ 1 (𝜏 ) Φ [︁ − → 𝑞 ′ + − → 𝜂 𝛿𝜏 + . . . , ˙ − → 𝑞 ′ + (︁ ˙ − → 𝜂 − ˙ 𝜉 ˙ − → 𝑞 )︁ 𝛿𝜏 + . . . , 𝑡 ′ (𝜏 ) + 𝜉𝛿𝜏 + . . . ]︁ × ×𝑑(𝑡 ′ (𝜏 ) + 𝜉𝛿𝜏 + . . .), где 𝑆 ′ = 𝑆 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ). Используя ряд Ли, а затем раскладывая получивше- еся выражение по степеням 𝛿𝜏 , получаем 𝑆 ′ = 𝑡 ′ 2 (𝜏 ) ˆ 𝑡 ′ 1 (𝜏 ) [︂ Φ + 𝛿𝜏 (1) 𝑈 Φ + . . . ]︂ 𝑑(𝑡 ′ (𝜏 ) + 𝜉𝛿𝜏 + . . .) = = 𝑡 ′ 2 (𝜏 ) ˆ 𝑡 ′ 1 (𝜏 ) Φ𝑑𝑡 ′ + 𝛿𝜏 𝑡 ′ 2 (𝜏 ) ˆ 𝑡 ′ 1 (𝜏 ) [︂ (1) 𝑈 Φ + 𝑑𝜉 𝑑𝑡 ′ Φ ]︂ 𝑑𝑡 ′ + . . . 63 Если рассматриваемый функционал — интегральный инвариант, то при действии на него группы с каноническим параметром 𝜏 , функционал, очевидно, не должен от него зависеть, так как исходный функционал от него не зависит. Тогда 𝑑𝑆 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) 𝑑𝜏 = lim 𝛿𝜏 →0 𝑆 ′ (𝜏 + 𝛿𝜏 ) − 𝑆 ′ (𝜏 ) 𝛿𝜏 = 𝑡 ′ 2 (𝜏 ) ˆ 𝑡 ′ 1 (𝜏 ) [︂ (1) 𝑈 Φ + 𝑑𝜉 𝑑𝑡 ′ Φ ]︂ 𝑑𝑡 ′ = 0, откуда получаем, что функционал — интегральный инвариант группы, если (1) 𝑈 Φ + 𝑑𝜉 𝑑𝑡 ′ Φ = 0 2.7 Теорема Эмми Нётер. Теорема Эмми Нётер: если существует группа Ли − → 𝑞 ′ = − → 𝑞 + 𝜏 − → 𝜂 (𝑡, − → 𝑞 ) + . . . 𝑡 ′ = 𝑡 + 𝜏 𝜉(𝑡, − → 𝑞 ) + . . . , |