лекции. Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия
 Скачать 0.55 Mb.
|
|
𝑞 , ̃︁ − → 𝑝 ) 𝜕(− → 𝑞 , − → 𝑝 ) ̸= 0 Критерий каноничности преобразования: преобразование (− → 𝑞 , − → 𝑝 ) → (̃︁ − → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑝 ) каноническое тогда и только тогда, когда ∃𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑐 ̸= 0, ∃𝐹 = 𝐹 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) : 79 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 𝑑 ̃︀ 𝑞 𝑖 − ̃︀ 𝐻𝑑𝑡 = 𝑐 (︁∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡 )︁ − 𝑑𝐹 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡), где 𝑐 — валентность канонического преобразования, а 𝐹 — произво- дящая функция. Доказательство Необходимость Рассмотрим трубки прямых путей в старых и новых переменных, соот- ветствующие гамильтонианам ℋ и ̃︀ ℋ соответственно. Выберем произ- вольные контуры 𝐶 и ̃︀ 𝐶 соответственно в старых и новых переменных и потребуем, чтобы они были согласованными между собой. Введем два согласованных изохронных контура 𝐶 и ̃︀ 𝐶 в один и тот же момент време- ни 𝑡 в старых и новых переменных соответственно. В силу интегрального инварианта Пуанкаре-Картана и учитывая, что интеграл по контуру от полного дифференциала равен нулю, имеем ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡 = ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 , (3.1) ˛ ̃︀ 𝐶 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 𝑑 ̃︀ 𝑞 𝑖 − ̃︀ 𝐻𝑑𝑡 = ˛ ̃︀ 𝐶 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 𝛿 ̃︀ 𝑞 𝑖 , (3.2) Перейдем в последнем интеграле к старым переменным: ˛ ̃︀ 𝐶 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 𝛿 ̃︀ 𝑞 𝑖 = ˛ 𝐶 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡)𝛿 ̃︀ 𝑞 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) = = ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑖 ̃︀ 𝑝 𝑖 𝜕 ̃︀ 𝑞 𝑖 𝜕𝑞 𝑗 𝛿𝑞 𝑗 + ∑︁ 𝑖 ̃︀ 𝑝 𝑖 𝜕 ̃︀ 𝑞 𝑖 𝜕𝑝 𝑗 𝛿𝑝 𝑗 Так как полученное выражение — интегральный инвариант, то по тео- реме Ли Хуа-чжуна ∃𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ̸= 0 : ˛ 𝐶 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡)𝛿 ̃︀ 𝑞 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) = 𝑐 ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 80 Выражая правую часть полученного выражения через (3.1) и подстав- ляя результат в (3.2), где левая часть выражена в старых переменных, получим ˛ 𝐶 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡)𝛿 ̃︀ 𝑞 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) − ̃︀ ℋ𝑑𝑡 = 𝑐 ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡, откуда ˛ 𝐶 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡)𝛿 ̃︀ 𝑞 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) − ̃︀ ℋ𝑑𝑡 − 𝑐( ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡) = 0 В силу произвольности контура, подынтегральное выражение есть пол- ный дифференциал некоторой функции. Обозначив этот дифференциал за −𝑑𝐹 , получаем ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 𝑑 ̃︀ 𝑞 𝑖 − ̃︀ 𝐻𝑑𝑡 = 𝑐 (︁∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡 )︁ − 𝑑𝐹 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) Достаточность Возьмем контуры так же, как и при доказательстве необходимости и проинтегрируем уравнение в условии теоремы по контуру 𝐶, выразив новые переменные через старые: 𝑐 ˛ 𝐶 ∑︁ 𝑝 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡 = ˛ 𝐶 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡)𝛿 ̃︀ 𝑞 𝑖 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) − ̃︀ 𝐻(− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡)𝑑𝑡 = = ˛ ̃︀ 𝐶 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 𝛿 ̃︀ 𝑞 𝑖 − ̃︀ 𝐻𝑑𝑡, где последнее равенство есть результат перехода обратно к новым пере- менным. Первый интеграл в цепочке равенств — инваариант, поэтому по второй обратной теореме теории интегральных инвариантов система в новых переменных — гамильтонова. Теорема доказана. ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 𝑑 ̃︀ 𝑞 𝑖 = ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑗 𝑑 ̃︀ 𝑞 𝑗 = ∑︁ (︂ 𝑝 𝑗 𝜕𝑞 𝑗 𝜕𝑞 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 + ̃︀ 𝑝 𝑗 𝜕 ̃︀ 𝑞 𝑗 𝜕𝑝 𝑖 𝑑𝑝 𝑖 )︂ + ∑︁ 𝑝 𝑗 𝜕 ̃︀ 𝑞 𝑗 𝜕𝑡 𝑑𝑡 81 Подставим полученное выражение в критерий каноничности и прирав- няем коэффициенты при 𝑑𝑞 𝑖 , 𝑑𝑝 𝑖 . Получившаяся система ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∑︁ 𝑗 ̃︀ 𝑝 𝑗 𝜕 ̃︀ 𝑞 𝑗 𝜕𝑞 𝑖 = 𝑐𝑝 𝑖 − 𝜕𝐹 𝜕𝑞 𝑖 ∑︁ 𝑗 ̃︀ 𝑝 𝑗 𝜕 ̃︀ 𝑞 𝑗 𝜕𝑝 𝑖 = − 𝜕𝐹 𝜕𝑝 𝑖 служит для проверки каноничности преобразования. Из равенства ко- эффициентов при 𝑑𝑡 находим гамильтониан в новой системе переменных ̃︀ 𝐻 = 𝑐𝐻 + 𝜕𝐹 𝜕𝑡 − ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑗 𝜕 ̃︀ 𝑞 𝑗 𝜕𝑡 Преобразования, валентность которых равна единице (𝑐 = 1), назы- ваются унивалентными. 3.2 Преобразования, допускающие (− → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑞 )-описание (свободные преобразования). Рассмотрим неособенное преобразование {︃ ̃︁ − → 𝑞 = ̃︁ − → 𝑞 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) ̃︁ − → 𝑝 = ̃︁ − → 𝑝 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) Если det 𝜕̃︁ − → 𝑞 𝜕− → 𝑝 ̸= 0, (3.3) то обобщенный импульс можно выразить через остальные переменные − → 𝑝 = − → 𝑝 (− → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑞 , 𝑡) и выбрать вместо переменных Гамильтона новые независимые перемен- ные {− → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑞 , 𝑡}. Такие переменные называются свободными. 82 Исследуемые неособенные преобразования, для которых выполняется (3.3), называются свободными преобразованиями. Выразим обобщенный импульс в критерии каноничности через сво- бодные переменные: ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 𝑑 ̃︀ 𝑞 𝑖 − ̃︀ 𝐻𝑑𝑡 = 𝑐 (︁∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡 )︁ − 𝑑𝑆(− → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑞 , 𝑡) = = 𝑐 (︁∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡 )︁ − 𝜕𝑆 𝜕𝑡 𝑑𝑡 − ∑︁ 𝜕𝑆 𝜕𝑞 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − ∑︁ 𝜕𝑆 𝜕 ̃︀ 𝑞 𝑖 𝑑 ̃︀ 𝑞 𝑖 , где − → 𝑝 = − → 𝑝 (− → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑞 , 𝑡), а 𝑆(− → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑞 , 𝑡) = 𝐹 (̃︁ − → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑝 (− → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑞 , 𝑡), 𝑡) Приравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах, полу- чим связь между каноническим преобразованием и производящей функ- цией 𝑆 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ̃︀ 𝑝 𝑖 =− 𝜕𝑆 𝜕 ̃︀ 𝑞 𝑖 𝑐𝑝 𝑖 = 𝜕𝑆 𝜕𝑞 𝑖 и выражение для функции Гамильтона в свободных переменных: ̃︀ ℋ = 𝑐ℋ + 𝜕𝑆 𝜕𝑡 3.3 Полусвободные преобразования. Рассмотрим то же неособенное преобразование, что и в предыдущем пункте. Если 83 det 𝜕̃︁ − → 𝑝 𝜕− → 𝑝 ̸= 0, (3.4) то, как и в предыдущем пункте, можно показать, что вместо переменных Гамильтона можно выбрать новые независимые переменные {− → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑝 , 𝑡}, называемые полусвободными. Исследуемые неособенные преобразования, для которых выполняется (3.4), называются полусвободными преобразованиями. Перейдя к полусвободным переменным, преобразуем выражение ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 𝑑 ̃︀ 𝑞 𝑖 = 𝑑 ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 ̃︀ 𝑞 𝑖 − ∑︁ ̃︀ 𝑞 𝑖 𝑑 ̃︀ 𝑝 𝑖 Так как первое слагаемое в правой части равенства есть полный диффе- ренциал, то его можно «включить» в производящую функцию и обозна- чить новую функцию за 𝑅. Тогда критерий каноничности примет вид − ∑︁ ̃︀ 𝑞 𝑖 𝑑 ̃︀ 𝑝 𝑖 − ̃︀ ℋ𝑑𝑡 = 𝑐 (︁∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − ℋ𝑑𝑡 )︁ − 𝑑𝑅(− → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑝 , 𝑡) Аналогично предыдущему пункту, из этого равенства можно получить связь между каноническими преобразованиями и производящей функ- цией 𝑅 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ̃︀ 𝑞 𝑖 = 𝜕𝑅 𝜕 ̃︀ 𝑝 𝑖 𝑐𝑝 𝑖 = 𝜕𝑅 𝜕𝑞 𝑖 и выражение для гамильтониана в полусвободных переменных: ̃︀ ℋ = 𝑐ℋ + 𝜕𝑅 𝜕𝑡 84 3.4 Фазовый поток гамильтоновых систем как однопараметрическое семейство канони- ческих преобразований. Фазовым потоком называется совокупность преобразований {− → 𝑞 0 , − → 𝑝 0 } → {− → 𝑞 (− → 𝑞 0 , − → 𝑝 0 , 𝑡), − → 𝑝 (− → 𝑞 0 , − → 𝑝 0 , 𝑡)} фазового пространства. Теорема: фазовый поток − → 𝑞 = − → 𝑞 (− → 𝑞 0 , − → 𝑝 0 , 𝑡), − → 𝑝 = − → 𝑝 (− → 𝑞 0 , − → 𝑝 0 , 𝑡) гамильтоновой системы ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ˙ 𝑞 𝑖 = 𝜕ℋ 𝜕𝑝 𝑖 , 𝑞 0 𝑖 = 𝑞 𝑖 (𝑡 0 ) ˙ 𝑝 𝑖 = − 𝜕ℋ 𝜕𝑞 𝑖 , 𝑝 0 𝑖 = 𝑝 𝑖 (𝑡 0 ) — унивалентное каноническое преобразование. Доказательство Пусть система определена функциями Лагранжа 𝐿(− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡) и Гамиль- тона ℋ(− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡). Возьмем произвольное решение уравнений Гамильтона (− → 𝑞 , − → 𝑝 ) и проварьируем его так, чтобы начальный конец был закреплен (𝑡 0 (𝛼) ≡ 𝑡 0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) и чтобы 𝑝 0 𝑖 (𝛼) = 𝜕𝐿(− → 𝑞 0 (𝛼), ˙ − → 𝑞 0 (𝛼), 𝑡 0 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 Для действия по Гамильтону имеем 𝑆(− → 𝑞 0 , − → 𝑝 0 , 𝑡) = 𝑡 ˆ 𝑡 0 𝐿(− → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 , 𝑡)𝑑𝑡 Для вариации действия, так как начальный конец закреплен, получим 𝑑𝑆 = ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡 − ∑︁ 𝑝 0 𝑖 𝑑𝑞 0 𝑖 85 Отсюда ∑︁ 𝑝 0 𝑖 𝑑𝑞 0 𝑖 = ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡 − 𝑑𝑆(− → 𝑞 0 , − → 𝑝 0 , 𝑡) и преобразование каноническое по критерию каноничности, где 𝐻 0 ≡ 0, 𝑐 = 1, производящая функция — действие по Гамильтону. Теорема доказана. 3.5 Уравнение Гамильтона-Якоби Найдем свободное унивалентное каноническое преобразование, для ко- торого гамильтониан в новых переменных равен нулю. При такой по- становке задачи критерий каноничности в свободных переменных имеет вид ∑︁ ̃︀ 𝑝 𝑖 𝑑 ̃︀ 𝑞 𝑖 = ∑︁ 𝑝 𝑖 𝑑𝑞 𝑖 − 𝐻𝑑𝑡 − 𝑑𝑆(− → 𝑞 , ̃︁ − → 𝑞 , 𝑡) Связь между каноническим преобразованием и производящей функцией 𝑆 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ̃︀ 𝑝 𝑖 =− 𝜕𝑆 𝜕 ̃︀ 𝑞 𝑖 𝑐𝑝 𝑖 = 𝜕𝑆 𝜕𝑞 𝑖 (3.5) и выражение для функции Гамильтона в свободных переменных: ̃︀ ℋ = 𝑐ℋ + 𝜕𝑆 𝜕𝑡 Подставляя эти уравнения в критерий каноничности и учитывая, что ̃︀ ℋ = 0, а 𝑐 = 1, получим 𝜕𝑆 𝜕𝑡 + 𝐻 (︂ − → 𝑞 , 𝜕𝑆 𝜕− → 𝑞 , 𝑡 )︂ = 0 — уравнение Гамильтона-Якоби. 86 Так как гамильтониан в новых переменных в рассматриваемой задаче равен нулю, то общее решение уравнений Гамильтона ̃︁ − → 𝑞 = ̃︁ − → 𝑞 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝛼 𝑖 ̃︁ − → 𝑝 = ̃︁ − → 𝑝 (− → 𝑞 , − → 𝑝 , 𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = −𝛽 𝑖 Преобразуем систему (3.5) с учетом вышесказанного: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ̃︀ 𝑝 𝑖 = −𝛽 𝑖 =− 𝜕𝑆(− → 𝑞 , − → 𝛼 , 𝑡) 𝜕𝛼 𝑖 𝑝 𝑖 = 𝜕𝑆(− → 𝑞 , − → 𝛼 , 𝑡) 𝜕𝑞 𝑖 (3.6) Подстановка полученного общего решения в новых переменных в систе- му (3.6) дает общее решение уравнений Гамильтона в старых переменных − → 𝑞 = − → 𝑞 (− → 𝛼 , − → 𝛽 , 𝑡), − → 𝑝 = − → 𝑝 (− → 𝛼 , − → 𝛽 , 𝑡) 3.6 Полный интеграл уравнения Гамильтона- Якоби и его использование в задаче инте- грирования уравнений движения гамиль- тоновой системы. Случаи разделения пе- ременных. Будем искать производящую функцию уравнения Гамильтона-Якоби в виде полного интеграла. Решение 𝑆 = 𝑆(− → 𝑞 , − → 𝛼 , 𝑡) — полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, если 1. S удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби 2. det (︁ 𝜕 2 𝑆 𝜕𝑞 𝑖 𝜕𝛼 𝑗 )︁ ̸= 0 Одинм из методов нахождения производящей функции в виде полного интеграла является метод разделения переменных. Для этого пол- ный интеграл ищут в виде 87 𝑆 = 𝑆 0 (𝑡, − → 𝛼 ) + 𝑆 1 (− → 𝑞 1 , − → 𝛼 ) + . . . + 𝑆 𝑛 (− → 𝑞 𝑛 , − → 𝛼 ) Рассмотрим пример. Пусть ℋ = (𝑝 2 1 + 𝑞 2 1 )(𝑝 2 2 + 𝑞 2 2 )𝑒 𝑡 Из системы (3.6) выразим обобщенный импульс и подставим его в урав- нение Гамильтона-Якоби: 𝜕𝑆 𝜕𝑡 + [︃ (︂ 𝜕𝑆 𝜕𝑞 1 )︂ 2 + 𝑞 2 1 ]︃ [︃ (︂ 𝜕𝑆 𝜕𝑞 2 )︂ 2 + 𝑞 2 ]︃ 𝑒 𝑡 = 0 Будем искать 𝑆 в виде 𝑆 = 𝑆 0 (𝑡, − → 𝛼 ) + 𝑆 1 (𝑞 1 , − → 𝛼 ) + 𝑆 2 (𝑞 2 , − → 𝛼 ) Получим 𝑒 −𝑡 𝜕𝑆 0 𝜕𝑡 + [︃ (︂ 𝜕𝑆 1 𝜕𝑞 1 )︂ 2 + 𝑞 2 1 ]︃ [︃ (︂ 𝜕𝑆 2 𝜕𝑞 2 )︂ 2 + 𝑞 2 ]︃ 𝑒 𝑡 = 0 Во всем выражении только первый множитель второго слагаемого зави- сит от 𝑞 1 , поэтому (︂ 𝜕𝑆 𝜕𝑞 1 )︂ 2 + 𝑞 2 1 = 𝛼 1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, откуда 𝑆 1 = ˆ √︁ 𝛼 1 − 𝑞 2 1 𝑑𝑞 1 Аналогично 𝑆 2 = ˆ √︁ 𝛼 2 − 𝑞 2 2 𝑑𝑞 2 и 88 𝑆 0 = −𝛼 1 𝛼 2 𝑒 𝑡 , тогда 𝑆 = −𝛼 1 𝛼 2 𝑒 𝑡 + ˆ √︁ 𝛼 1 − 𝑞 2 1 𝑑𝑞 1 + ˆ √︁ 𝛼 2 − 𝑞 2 2 𝑑𝑞 2 Из системы (3.6) 𝛽 1 = 𝜕𝑆 𝜕𝛼 1 = −𝛼 2 𝑒 𝑡 + ˆ 𝑑𝑞 1 2 √︀𝛼 1 − 𝑞 2 1 𝛽 2 = 𝜕𝑆 𝜕𝛼 2 = −𝛼 1 𝑒 𝑡 + ˆ 𝑑𝑞 2 2 √︀𝛼 2 − 𝑞 2 2 𝑝 1 = 𝜕𝑆 𝜕𝑞 1 = √︁ 𝛼 1 − 𝑞 2 1 𝑝 2 = 𝜕𝑆 𝜕𝑞 2 = √︁ 𝛼 2 − 𝑞 2 2 Из последних четырех уравнений находятся − → 𝑝 (− → 𝛼 , − → 𝛽 , 𝑡) и − → 𝑞 (− → 𝛼 , − → 𝛽 , 𝑡). 89 |