лекция. Лекция 13. Развертки поверхностей
 Скачать 1.4 Mb.
|
|
Лекция 13 РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ Построение разверток представляет важную техническую задачу, так как в про-мышленности широко применяются конструкции и изделия из листового материала, выполненные способом изгибания. Если поверхность представить в виде тонкой, гиб-кой и нерастяжимой пленки, то некоторые поверхности путем изгибания можно со-вместить с плоскостью без разрывов и складок. Такие поверхности называются развер-тывающимися, а фигура, полученная от совмещения поверхности с плоскостью, назы-вается разверткой. Определение. Поверхности,которыепутемизгибанияможносовместитьсплос-костьюбезскладокиразрывов,называютсяразвертывающимися.Фигура,полученная от совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой этой поверхности. Поверхность и ее развертку можно рассматривать как две геометрические фигуры, между точками которых установлено взаимно однозначное соответствие. При развер-тывании поверхности взаимно однозначное соответствие между поверхностью и ее разверткой не нарушается: каждой точке поверхности соответствует единственная точ-ка на развертке. Из физической модели процесса развертывания поверхности на плос-кость (изгибание предварительно разрезанной поверхности без ее растяжения) следуют инвариантные метрические свойства поверхности и ее развертки. Инвариантные метрические свойства. Наповерхностиинаееразверткесохра-няютсяравными:расстояниемеждуточкамиповерхности,углымеждупересекаю-щимися линиями в точкахих пересечения и величины площадей фигур на поверхностях. Свойством развертываемости обладают многогранные поверхности и некоторые криволинейные поверхности. В дифференциальной геометрии доказывается, что к раз-вертывающимся криволинейным поверхностям относятся только линейчатые поверх-ности, состоящие исключительно из параболических точек. Касательная плоскость к такой поверхности касается ее не в одной точке, а вдоль прямолинейной образующей, проходящей через эту точку (см. п. 11.2). Отсюда следует признак развертываемости: улинейчатойразвертывающейсяповерхностикасательныеплоскости,проведенные во всехточках одной прямолинейной образующей, совпадают. Среди криволинейных поверхностей указанным признаком развертываемости на плоскость обладают только торсовые поверхности. Действительно, физическая модель образования торсовой поверхности общего вида (“перекатывание” плоскости по криво-линейным направляющим a, bи соединение точек касания прямолинейной образую-щей, см. п. 6.2.6) предполагает существование плоскости, касающейся поверхности вдоль прямолинейной образующей. Иными словами, наличие признака развертываемо-сти “заложено” в самом определении торсовой поверхности. Конические и цилиндрические поверхности являются частным случаем торсовой поверхности, когда одна из криволинейных направляющих a, bвырождается в собст-венную или несобственную точку (см. рис. 6.26). Например, если направляющая aвы-родилась в собственную точку A, то получаем коническую поверхность с вершиной Aи направляющей b. Если точка A– несобственная (бесконечно удалена по заданному на-правлению a), то получается цилиндрическая поверхность с направляющей b, обра-зующие которой параллельны направлению a. Таким образом, поскольку конические и цилиндрические поверхности являются ча-стным случаем торсовой поверхности, то они так же, как и торсовые поверхности об-щего вида, обладают свойством развертываемости. Вывод. Свойствомразвертываемостинаплоскостьобладают,кромемногогран-ныхповерхностей,лишьторсовыеповерхности(вчастности–коническиеицилинд-рические поверхности). Различают точныеи приближенныеразвертки развертывающихся поверхностей. Для любой многогранной поверхности может быть построена ее точная развертка. Дей-ствительно, если дан двухпроекционный чертеж некоторого многогранника (например, пирамиды), то на основе чертежа графическими приемами, пользуясь линейкой и цир-кулем, можно определить истинные длины всех ребер и построить точную развертку всех граней пирамиды. Если же на чертеже дана какая-либо криволинейная развертывающаяся поверх-ность (например, поверхность эллиптического конуса), то с помощью линейки и цир-куля может быть построена только ее приближенная развертка. Конечно, в некоторых случаях можно построить точную развертку поверхности, используя уравнение поверхности или числа, определяющие ее размеры. Так, если дан прямой конус вращения высотой hи диаметром основания d, то этими двумя числами поверхность определена. По ним можно вычислить размеры развертки, представляю-щей собой круговой сектор. Рассчитав с любой желаемой степенью точности радиус сектора и его центральный угол, можно построить точную развертку конуса. Однако на практике таким “графоаналитическим” приемом пользуются редко. В начертательной геометрии поверхность задают с помощью чертежа, а развертку строят на основе чертежа графическими способами. Поэтому развертка любой развер-тывающейся криволинейной поверхности (конической, цилиндрической, торсовой), которая строится графически, является приближенной. Общий способ приближенного построения развертки произвольной разверты-вающейся поверхности заключается в следующем. Заданнуюразвертывающуюсяпо-верхностьФзаменяют(аппроксимируют)вписаннойилиописанноймногограннойпо-верхностьюФ′.Затемстроятточнуюразверткуаппроксимирующеймногогранной поверхности Ф′ и принимают ее за приближенную развертку данной поверхности Ф. Хотя все остальные поверхности (не относящиеся к многогранным, цилиндриче-ским, коническим, торсовым) теоретически не развертываются на плоскость, инженер-ная практика, тем не менее, требует построения их “разверток”. Для неразвертываю-щихся поверхностей строят так называемые условные развертки. |