лекция. Лекция 13. Развертки поверхностей
 Скачать 1.4 Mb.
|
|
Определение. Триангуляция–замена(аппроксимация)даннойповерхностимного-гранной поверхностью, состоящей из треугольныхграней. После аппроксимации поверхности конуса поверхностью вписанной в него пира-миды надо построить точную развертку пирамиды. Размеры всех боковых ребер пира-миды равны между собой и равны длине l очерковой образующей конуса.  l2212 A2 S2  425232 B2 A S l 1 2345B A1 11 S1 B1   51213141а) б) Рис. 13.6 Чтобы построить развертку пирамиды, на свободном месте чертежа произвольно выбираем положение вершины развертки – точку S, и строим 12 одинаковых треуголь-ников с общей вершиной S. Боковые стороны каждого треугольника равны длине l очерковой образующей конуса. Основание каждого треугольника равно длине стороны правильного многоугольника, вписанного в круговое основание конуса. Получаем раз-вертку вписанной в конус пирамиды в виде 12 треугольников со смежными сторонами. Построенная таким образом точная развертка пирамиды принимается за приближен-ную развертку боковой поверхности конуса. Основание пирамиды (правильный 12-угольник) принимается за развертку основания конуса (рис. 13.6, б). Отметим на поверхности конуса две точки Aи B (см. рис. 13.6, а). Кратчайший путь между двумя точками, проложенный по данной поверхности, называют геодезической линией. Задача. Наповерхностиконусапостроитькратчайшийпуть(геодезическуюли-нию)между точками A и B (см. рис. 13.6, а). Построение геодезической линии ABна поверхности выполняется с помощью раз-вертки. Прямой линии на развертке соответствует кратчайший путь на поверхности (почему?). Переносим точки A, Bс чертежа конуса на развертку и соединяем Aи Bот-резком прямой (см. рис. 13.6, б). Затем на отрезке ABотмечаем промежуточные точки 1, 2,…5 и “возвращаем” эти точки на чертеж конуса. Соединяя плавной кривой фронтальные проекции точек A, 1, 2, 3, 4, 5, B, получаем фронтальную проекцию геодезической линии AB. Соединяя плавной кривой горизон- тальные проекции точек A, 1, 2, 3, 4, 5, B, получаем горизонтальную проекцию геодези-ческой линии AB. Задача решена приближенно, так как для решения использована при-ближенная развертка конической поверхности. 13.2.4. Приближеннаяразвертка поверхности наклонного конуса На рис. 13.7 построена приближенная развертка поверхности наклонного конуса с круговым основанием. Для построения приближенной развертки поверхность конуса заменена поверхностью вписанной в него двенадцатиугольной пирамиды.  S2 SΔz B′ B A2 B2 S0 5 50403020104 B1 3 A1 S1 A 12 11 21 31 41 51 Рис. 13.7 Поверхность конуса имеет плоскость симметрии, поэтому развертка представляет собой симметричную фигуру. В плоскости симметрии лежит самая короткая образую-щая SВ, по которой сделан разрез поверхности. Самая длинная образующая SА, также лежащая в плоскости симметрии, является осью симметрии развертки поверхности. Натуральные величины образующих определены способом вспомогательного пря-моугольного треугольника. Например, истинная длина образующей S-1найдена как ги-потенуза S210прямоугольного треугольника S2S010. Один катет этого треугольника – разность высот Δzконцов образующей (эта величина одинакова для всех образующих конуса). Другой катет S010равен длине S111горизонтальной проекции образующей. От оси симметрии SАстроим примыкающие друг к другу треугольники – шесть треугольников в одну сторону и шесть в другую. Все треугольники имеют общую вер-шину S. Каждый из треугольников строится по трем сторонам. Боковые стороны каж-дого треугольника равны истинным величинам ребер вписанной в конус пирамиды, а основание треугольника равно длине стороны многоугольника, вписанного в круговое основание конуса. 13.2.5. Приближенная развертка поверхности усеченного конуса Дан усеченный конус с круговым основанием, наклонной осью и плоскостью сим-метрии Ф||П2(рис. 13.8, а). Вписываем в конус 8-угольную усеченную пирамиду, вер-шина которой совпадает с вершиной Sусеченного конуса (рис. 13.8, б). Точную раз-вертку поверхности вписанной усеченной пирамиды будем считать приближенной раз-верткой усеченного конуса. Размеры боковых ребер пирамиды от вершины Sдо основания определены спосо-бом вспомогательного прямоугольного треугольника (см. рис. 13.8, б). Например, дли-на ребра S-1найдена как гипотенуза S210прямоугольного треугольника S2B210. Катет S2B2этого треугольника – разность высот концов ребер, одинаковая для всех ребер пи-рамиды. Другой катет B210равен длине S111горизонтальной проекции ребра S-1.   S2 S240 62 50 D2 5242 C2 60 A2 22 12 32 B2 30 Ф1 A1 D1 B1=C1=S1116 1311 21 20 10 S C 4 5 B D 6 3 2 A 1 а) б) в) |