Реферат -Тема Дискретизация и частотное разрешение. Реферат - Дискретизация и частотное разрешение. Реферат Дискретизация и частотное разрешение

• Название: Реферат Дискретизация и частотное разрешение
• Анкор: Реферат -Тема Дискретизация и частотное разрешение
• Дата: 17.12.2022
• Размер: 4.8 Mb.
• Имя файла: Реферат - Дискретизация и частотное разрешение.rtf
• Тип: Реферат; #849191
• страница: 1 из 4

Реферат

Дискретизация и частотное разрешение
Содержание
1. Число параметров или степеней свободы сигнала

2. Комплексный ряд Фурье для дискретизированного сигнала

3. Метод дискретизации Шеннона

4. Метод дискретизации и интеграл Фурье

5. Частотное разрешение сигналов. Приложение к анализу рентгеновских спектров поглощения атома в соединении

Литература

1. Число параметров или степеней свободы сигнала

Рассмотрим математические методы анализа дискретизированных сигналов и связь этих методов.

Рассмотрим теперь следующую задачу: пусть функция времени имеет спектр, не содержащий частот выше предельной верхней границы , а сама функция отлична от нуля на промежутке от 0 до . Возникает вопрос - какое число параметров (или число степеней свободы) требуется для определения такой функции?

Докажем, что имеется только независимых параметров для такой функции, и обсудим различные возможные способы выбора этих параметров, а также некоторые общие свойства таких функций.
(1)
Прежде всего, следует отметить, что функция не является полностью определенной, если мы ограничиваемся заданием её значений только на интервале .

Существуют два различных способа доопределения функции, не вносящих дополнительной информации в функцию :

A. Периодическая функция, поведение которой на промежутке от 0 до повторяется за пределами этого промежутка бесконечное число раз:
(2)
B. Функция одиночного сообщения, поведение которой удовлетворяет условию:
(3)
Последний случай был рассмотрен Шенноном в методе дискретизации.

Начнем рассмотрение с первого случая и исследуем периодическую функцию с периодом . Разложение такой периодической функции в ряде Фурье имеет вид:
(4)

где

(5)
Будем полагать, что максимум частоты точно соответствует одной из гармоник :
(6)
Ряд Фурье содержит конечное число слагаемых до целого . Для каждой определенной частоты мы имеем две компоненты и следовательно полное число компонент определяется равенством:
(7)
включая постоянное слагаемое . Если продолжительность сигнала достаточно велика, то формула (7) практически сводится к (1). При этом коэффициенты представляют один из возможных вариантов выбора параметров.

Вместо действительного ряда Фурье (4) можно использовать комплексный ряд Фурье, как в уравнениях (1) и (2):
(8)


где звездочка снова означает комплексно-сопряженное.

Вместо рядов Фурье, можно воспользоваться методом дискретизации периодической функции . Выберем эквидистантных точек дискретизации в пределах одного периода , например:
(9)

где


Введем обозначения для дискретных значений функции f:
(10)


в соответствии с условием периодичности (2).

дискретизация частотное разрешение сигнал

Исходную функцию можно восстановить если известны её дискретных значений в пределах одного периода . Представим в виде:
(11)
где является импульсной функцией времени, центрированной на моменте времени и повторяющейся с периодичностью . Для такой импульсной функции выберем следующее определение:

Используемая импульсная функция является нулевой для всех других точек дискретизации в пределах одного периода . Такую функцию с ограниченным частотным спектром, не превышающим , можнопостроитьвоспользовавшись тождеством Лагранжа:
(12)
где .
Эта функция равна при , когда знаменатель равен нулю. Она осциллирует и обращается в нуль в точках



пока не является кратным .

Для импульсной функции воспользуемся выражением:
(13)
Сравнивая теперь выражения (11), (13) и (8) мы получаем:

и следовательно
(14)
т.е. выражение, которое напрямую связывает коэффициенты Фурье с дискретными значениями . Обратное соотношение получается из (8) и имеет вид:
(15)