реферат по высшей математике. реферат. Реферат по дисциплине Математика. по теме Основные характеристики функций. Линейная функция. Линейная интерполяция и линейная экстраполяция.

• Название: Реферат по дисциплине Математика. по теме Основные характеристики функций. Линейная функция. Линейная интерполяция и линейная экстраполяция.
• Анкор: реферат по высшей математике
• Дата: 31.03.2022
• Размер: 0.85 Mb.
• Имя файла: реферат.docx
• Тип: Реферат; #432470
• страница: 2 из 4

Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная.

В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b).

Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью.

Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки.

Свойства линейной функции:

1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось;

2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b;

3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b.

a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная;

b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида;

d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция.

4) Свойством периодичности линейная функция не обладает;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox:  y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy:  y = 0k + b = b, следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат.

Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х.

6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k.

a) k > 0;  kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положительна при x  из (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицательна при x  из (-∞; -b/k).

b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положительна при x  из (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицательна при x  из (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения,

k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k.

k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения,

k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует рисунок 1

. (Рис.1)

Пример. Рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x – 3.

1) D(y) = R;

2) E(y) = R;

3) Функция общего вида;

4) Непериодическая;

5) Точки пересечения с осями координат:

Ox:  5x – 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) – точка пересечения с осью абсцисс.

Oy:  y = -3, следовательно (0; -3) – точка пересечения с осью ординат;

6) y = 5x – 3 – положительна при x из (3/5; +∞),

y = 5x – 3 – отрицательна при x  из (-∞; 3/5);

7) y = 5x – 3 возрастает на всей области определения;

8)

1.3.Квадратичная функция.
Это функция вида ,

Графиком квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке .



Парабола ( )
В общем случае вершина лежит в точке . Если , то "рога" параболы направлены вверх, если , то вниз.



.Парабола с вершиной в точке ( )

1. 
   Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.
   
2. 
   При b0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.
   

f(x) = x²


y





f(x) = (x+1/2)²


y


0


x



Рис. 4 Рис. 5

3. 
   Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
   
4. 
   Функция имеет единственную критическую точку
   
5. 
   x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.
   
   1. 
      Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.
      
   2. 
      Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b²-4ac)/4a) называется вершиной параболы.
      
6. 
   Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b²-4ac)/4a); +); при a<0 – множество значений функции (-;-((b²-4ac)/4a)].
   
7. 
   График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b²-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b²-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a); если b²-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.
   
   1. 
      Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) – образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).
      
   2. 
      График функции
      

f(x)=ax²+bx+c

8. 
   (или f(x)=a(x+b/(2a))²-(b²-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x² следующими преобразованиями:
   

а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

в) параллельным переносом r=(0; -((b²-4ac)/(4a))).

1.4.Степенные функции ^{y x}


y xⁿ n N




ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y  xⁿ , n  N , называется степенной функцией с натуральным показателем.

1. 
   Область определения функции
   

(n– четное) (n– нечетное)



_{D y0,.} Dy ,  

2. 
   Функция является четной при четном nи нечетной при нечетном n.
   
3. 
   Если n нечетно, то функция y xⁿ возрастает при x  ,   ; если
   

nчетно, то функция y xⁿвозрастает при x0,  и убывает при x , 0.

4. 
   
   y x^n¹ n N
   
   _xn
   
   Функция непрерывна на  ,  .
   

_{( n– четное)} ( n– нечетное)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция вида y x^n называется степенной функцией с целым отрицательным показателем.

1. 
   Область определения функции – _{x  ,0∪ 0, .}
   
2. 
   Функция является четной при четном nи нечетной при нечетном n.
   

3. 
   Функция убывает при возрастает, если nчетное.
   

x 0 ; при x 0 функция убывает, если nнечетное, и

4. 
   Функция непрерывна на  , 0
   

функции.

и на 0,  ; x 0 – точка разрыва

Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулой

y ^k, где

x

k 0 .

1. 
   Область определения x  ,0∪ 0,.
   
2. 
   Область значений x  ,0∪ 0,. График не проходит через начало координат.
   

3. 
   ^{y k} x
   

• 
  нечетная функция (поскольку ^{f x  k}
  
  • 
    x
    

  ^k  fx. График этой

x

функции симметричен относительно начала координат.

4. 
   Если k 0 , то функция ^{y k}
   

x

убывает на

промежутке 0,   и на промежутке  , 0 . Если

19

k 0 ,

x

то функция ^{y k}

x

возрастает на промежутке  , 0 и на промежутке 0,   .

5. 
   Точек пересечения с осями координат не существует.
   

6. 
   При При
   

k 0

k 0

y 0

y  0

на 0,  , на  , 0 ,

y  0

y 0

на  , 0 . на 0,  .

7. 
   Функция непериодическая.
   
8. 
   Если k 0 , то ветви графика расположены в II и IV координатных
   

четвертях. Графиком обратной пропорциональности гипербола.

y ^k,

x

k 0 является

Функция y является обратной к функции y xⁿ. Отразив график функции




y xⁿсимметрично относительно прямой ^{y x},получим график функции y .