вычисление интегралов. Реферат по направлению 03. 04. 02 Физика (кафедра ТиМФ) Вычисления интегралов с помощью теории вычитов

• Название: Реферат по направлению 03. 04. 02 Физика (кафедра ТиМФ) Вычисления интегралов с помощью теории вычитов
• Дата: 24.12.2019
• Размер: 242.21 Kb.
• Имя файла: вычисление интегралов.docx
• Тип: Реферат; #102073
• страница: 3 из 3

П р и м е р 2. Пусть . Эта функция имеет простой полюс на действительной оси

в точке . Далее,  равномерно относительно .

Построим контур интегрирования, как на рис.2. Обход контура осуществляется по стрелкам, указанным на этом рисунке. В заштрихованной части функция  аналитическая при любом  и любом , поэтому по теореме Коши (полуокружность  ориентирована против часовой стрелки)

.                  (5)



Рис. 2

Как и выше, легко показать, что .

Далее



.

Таким образом, равенство (5) в пределе, при  и , принимает вид



,

т. e.

.

Так как функция  четная, то

.

Замечание. Если под знаком интеграла есть сомножитель  или , то часто удобно рассматривать интеграл от функции, где  или  заменены на . Это объясняется тем, что  и  неограниченно возрастают при , а  при  (). Поэтому поведение функции  будет другое, чем у функции . Затем, получив значение интеграла , выделяя действительную и мнимую части, мы найдем  и .

Пример 3. Вычислить интеграл

                .

Рассмотрим функцию . Эта функция аналитична в верхней полуплоскости, кроме точки Функция  при  равномерно относительно . Поэтому по теореме 2

.

Выделяя действительную часть, получим

, .

Пример 4. Вычислить интеграл

.

Имеем



.

Итак,

.

Пример 5.



.

Пример 6. Вычислить интегралы Френеля

, .

Рассмотрим функцию . Эта функция в заштрихованной области (рис. 3) аналитическая, поэтому по теореме Коши

,

где  - часть окружности ,  - отрезок прямой ,  (ориентированные по стрелкам).



Рис. 3

Далее



;







, .

Итак, в пределе при  получаем (см. пример 3)

. Выделяя действительную и мнимую части, получаем

, ,

т. е.

.

Заключение
Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности.

Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.

Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы.

Литература

1. 
   Александров и.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплексного переменного. – М.: Высшая школа, 1984. – 192 с.
   
2. 
   Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного
   

переменного. – М.: Наука, 1969. – 240 с.

3. 
   Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Бежанов К.А. Сборник задач по теории аналитических функций. – М.: Наука, 1969. – 382 с.
   
4. 
   Ершова В.В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. – Минск.: Высшая школа, 1976. –256 с.
   
5. 
   Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1987. – 303 с.
   

Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. – М.: Наука, 1966. – 388 с