Рекомендация мсэr p. 45215 (092013) Процедура прогнозирования для оценки

• Название: Рекомендация мсэr p. 45215 (092013) Процедура прогнозирования для оценки
• Дата: 21.02.2022
• Размер: 1.87 Mb.
• Имя файла: R-REC-P.452-15-201309-S!!PDF-R.pdf
• Тип: Документы; #368755
• страница: 6 из 8

36
Рек. МСЭ-R P.452-15
РИСУНОК 9
Объемы интегрирования в пределах очага дождя
P.0452-09
Станция 1
Станция 2
Нижний объем
Средний объем
Высота дождя h
R
h
top
Верхний объем
d
c
/2
A''
A'
A
h
e2
r
B
x
h 2
x
h 1
d
x1
d
B 1
d
B 2
d
x 2
h
e1
r
x1
r
x 2
f
x2
f
x 1
h
2
x
1
h
x
2
Нижний объем
В нижнем объеме элемент интегрирования всегда находится ниже высоты слоя дождя, h
R
, и все трассы в пределах очага дождя подвержены влиянию ослабления в дожде, т. е.:
2
,
1 2
,
1 2
,
1
γ
x
A
R

дБ,
(120) где
2
,
1 2
,
1 2
,
1



R
k
R
– это погонное ослабление в дожде (дБ/км), а коэффициенты k
1,2
и

1,2
определяются как функции частоты f, поляризации

и угла места

1,2
трассы в Рекомендации
МСЭ-R P.838. Отметим, что погонное ослабление в дожде зависит от угла места трассы и в принципе должно рассчитываться для каждого элемента интегрирования для каждого значения координат
(r, φ, h). Однако изменение в зависимости от угла места невелико и достаточно определить значения для

R
только один раз для трасс в направлении каждой станции, основываясь на соответствующих углах места антенн.
Длины трасс r
x1
, r
x2
, x
1
и x
2
определяются из геометрических построений следующим образом.
На рисунке 10 показан вид в горизонтальной плоскости через проекцию элемента интегрирования А в точке B на плоскости земли. Для данного расчета предполагается, что скорректированная высота h
2
Станции 2 первоначально равна нулю. Это обстоятельство учитывается далее.

Рек. МСЭ-R P.452-15
37
РИСУНОК 10
Вид в плане на геометрические построения при рассеянии в элементе интегрирования
P.0452-10
Станция 1
Станция 2
r
B
xh
1
d
x1
d
B1
d
2
d
1
d
c
/2
O
d
B2
d
x 2
d'
2
X
1

1
xh
2

'
2
X
2
 
– '
s

Рассчитаем горизонтальное расстояние d
x1
от Станции 1 до края очага дождя (точка X
1
) с использованием теоремы косинусов (вводя отрицательный знак, поскольку это ближайший край):
2 2
1 1
2 2
1 1
1 1
2
cos cos












c
x
d
d
d
d
d
км.
(121)
Расстояние по наклонной трассе до края очага дождя в этом случае составляет:
1 1
1
cos
A
x
x
d
r


км.
(122)
Определяем угол смещения элемента интегрирования в точке A для Станции 2:





















S
S
r
d
r
cos sin arctan
2 2
,
(123) где
S

указывается по формуле:










1 2
sin arcsin
d
d
S
(124) и
1 1
2 1
2 2
cos
2






d
d
d
d
d
км.
(125)
Затем горизонтальное расстояние d
x2
определяется из теоремы косинусов:
2 2
2 2
2 2
2 2
sin
2
cos















d
d
d
d
c
x
км.
(126)
Рассчитаем расстояние по наклонной трассе r
x2
через очаг дождя в направлении Станции 2:

38
Рек. МСЭ-R P.452-15
2 2
2
cos
A
x
x
d
r


км.
(127)
Теперь необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1. Когда Станция 1 расположена вне очага дождя, т. е. когда
2
/
1
c
d
d

В этом случае только часть трассы от элемента интегрирования A до Станции 1 будет находиться в пределах очага дождя и, следовательно, подвергаться ослаблению.
Случай 2. Когда угол места очень большой и Станция 1 расположена в пределах очага дождя, т. е. когда
d
1

d
c
/2. В этом случае вся трасса вплоть до высоты слоя дождя будет всегда находиться в пределах очага дождя и таким образом испытывать ослабление.
Длина трассы x
1
для расчета ослабления вдоль трассы по направлению к Станции 1 определяется из следующего выражения:










2
если
,
;
2
если
,
1 1
1 1
1 1
c
A
c
x
A
d
d
r
d
d
r
r
x
км
(128) и длина трассы x
2
для расчета ослабления вдоль трассы по направлению к Станции 2 определяется из:










2
если
,
;
2
если
,
2 2
2 2
2 2
c
A
c
x
A
d
d
r
d
d
r
r
x
км.
(129)
Таким образом, для случаев, когда элемент интегрирования находится ниже высоты слоя дождя, ослабление при прохождении через очаг дождя можно определить в линейных единицах из выражения:




R
R
R
b
h
h
x
x
k
A




если
,
γ
γ
exp
2 2
1 1
,
(130) где:
k = 0,23026 – константа для перевода ослабления из дБ в неперы.
Средний и верхний объемы
В этих объемах элемент интегрирования находится выше высоты слоя дождя, h
R
, но некоторые участки трасс в направлении на каждую из станций могут проходить через очаг дождя на высоте ниже h
R
. Это явление будет наблюдаться только в случаях, когда углы места элемента интегрирования A,

A1,2
, меньше углов

C1,2
, образуемых на каждой станции ближайшим верхним углом очага дождя, т. е. если:










1 1
1
arctan
x
R
C
A
d
h
и











2 2
2 2
arctan
x
R
C
A
d
h
h
В таких случаях должно учитываться результирующее ослабление. Это особенно важно для случая 2, выше, когда одна из антенн имеет очень большой угол места и станция расположена в пределах очага дождя.
На основании рисунка 9 высоты, на которых лучи от элемента интегрирования в точке A проходят через края очага дождя, можно определить из отношений горизонтальных расстояний от каждой станции до края очага дождя и до точки B:

Рек. МСЭ-R P.452-15
39


2 2
2 2
2 1
1 1
;
h
d
d
h
h
h
d
d
h
h
B
x
e
B
x
e






км.
(131)
Участки длины трасс f
x1,2
, которые приходятся на очаг дождя, можно определить из отношений:



















случае противном в
0
;
ε
ε
и если
,
1,2 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 1,2 2
,
1
C
A
e
R
e
e
R
x
h
h
h
h
h
h
h
x
f
км.
(132)
В заключение рассчитаем ослабление в линейных единицах для случаев, когда элемент интегрирования находится выше высоты слоя дождя, h
R
:






R
x
R
x
R
R
h
h
f
f
h
h
k
A






для
γ
γ
5
,
6
exp
2 2
1 1
(133)
Этот шаг далее определяет подынтегральное выражение для передаточной функции рассеяния.
Шаг 6. Ослабление вне очага дождя
В используемой здесь структуре дождь ограничивается только границами очага дождя с диаметром d
c
, определяемым из геометрии согласно шагу 2, а интенсивность дождевых осадков считается одинаковой в пределах очага дождя. В общем случае дождь будет распространяться и за пределы этой области, причем интенсивность его уменьшается по мере увеличения расстояния от центра очага, и это следует учитывать. Однако если станция расположена внутри очага дождя, то для такой станции внешнее ослабление за счет дождя приниматься во внимание не будет. Кроме того, если элемент интегрирования находится достаточно высоко над слоем дождя, так что никакая часть трассы до любой из станций не проходит через очаг дождя, в этом случае внешнее ослабление вдоль такой трассы не учитывается.
В качестве приближения предполагается, что интенсивность дождя вне очага осадков снижается при увеличении масштабируемого расстояния, определяемого как:


19
,
0 1
5
,
0 10 600




R
m
R
r
км.
(134)
Для случая рассеяния ниже высоты слоя дождя рассчитаем ослабление вне очага дождя, используя следующее выражение:



























0
или
2
если
,
0
;
0
и
2
если
,
exp
1
ε
cos
γ
2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1
x
c
x
c
m
x
A
m
R
ext
f
d
d
f
d
d
r
d
r
A
дБ,
(135) т. е. ослабление вдоль любой трассы принимается равным нулю, если соответствующая станция расположена в пределах очага дождя (d
1

d
c
/2) или если элемент интегрирования находится над очагом дождя и никакая часть трассы не проходит через очаг дождя, и это определяется тем, равны ли нулю участки трасс f
x1,2
Шаг 7. Численное интегрирование передаточной функции рассеяния
Интегрирование делится на две части, а именно для рассеяния ниже высоты слоя дождя и для рассеяния выше высоты слоя дождя:




  










R
c
h
h
d
ext
ext
R
R
A
A
b
h
r
r
A
A
x
x
k
r
r
G
G
C
min
2 0
2 0
2 1
2 2
1 1
2 2
2 1
2 1
d d
d exp
;
(136)

40
Рек. МСЭ-R P.452-15






  










top
R
c
h
h
d
ext
ext
x
R
x
R
R
A
A
a
h
r
r
A
A
f
f
h
h
k
r
r
G
G
C
2 0
2 0
2 1
2 2
1 1
2 2
2 1
2 1
d d
d
γ
γ
5
,
6
exp
,
(137) где значения усиления антенн указываются в линейных единицах как функции углов отклонения от опорной оси,

b1,2
(r, φ, h).
Интегрирование в цилиндрических координатах осуществляется по диапазонам значений: для r от 0 до радиуса очага дождя, d
c
/2, и для φ от 0 до 2

. Некоторые ограничения могут налагаться на третью переменную интегрирования, h, – высоту в пределах очага дождя. Минимальная высота, h
min
, определяется видимостью очага дождя от каждой из станций. Если вблизи любой из станций будет иметь место экранирование местностью, то рассеяние от высот в пределах очага дождя, которые не видны со стороны любой из станций, следует исключить из интегрирования. Таким образом, минимальная высота для интегрирования может быть определена исходя из углов горизонта для каждой станции как:


2 2
1 1
min tan
,
tan max
H
x
H
x
d
d
h



км.
(138)
Отметим, что здесь используются локальные значения, поскольку любое соответствующее экранирование из-за кривизны Земли для нулевых значений угла места уже учтено при определении углов отклонения от опорной оси антенны.
Для сведения к минимуму требований к вычислениям можно определить максимальную высоту для процесса интегрирования, h
top
, поскольку в общем случае нет необходимости интегрировать эффективную зону рассеяния на высотах, выше которых уровни боковых лепестков антенн существенно снижаются. По умолчанию предполагается, что высота, выше которой интегрирование можно закончить без потери точности, составляет 15 км.
Численное интегрирование.Существует множество методов численного интегрирования, а в многочисленных математических прикладных программах содержатся встроенные функции интегрирования, которыми можно эффективно пользоваться. В случаях когда пользователь желает разработать специализированный пакет программ на других языках программирования, оказались эффективными методы, основанные на приемах итеративного деления пополам (бисекции). Одним из таких приемов является метод Ромберга, который является вариацией высшего порядка основной формулы трапеций (т. е. формулы Симпсона) для интегрирования посредством последовательного деления пополам интервалов интегрирования.
В интегрировании Ромберга используется комбинация двух численных методов для расчета приближенного представления собственного интеграла, т. е.
 


b
a
x
x
y
I
d .
Для расчета последовательности приближений к интегралу с интервалами между оценками функции, разделяемыми на два в промежутках между членами, применяется расширенная формула трапеций.
В этом случае для экстраполяции этой последовательности до интервала нулевой длительности используется полиномиальная экстраполяция. Данный метод можно кратко описать с помощью цикла псевдокода:
Индекс = 1
WHILE (когда) estimated_error (ожидаемая погрешность) > desired_error (желаемая погрешность) DO (произведите действие)
S(Индекс) = Приближение по формуле трапеций с использованием интервалов 2
Индекс
I = Полиномиальная экстраполяция значений S
Индекс = Индекс + 1
ENDWHILE (оператор END)

Рек. МСЭ-R P.452-15
41
Расширенная формула трапеций
Приближение к интегралу можно получить путем линейной интерполяции между N + 1 равноотстоящих абсцисс


i
i
y
x ,
:
 











N
N
N
y
y
y
y
N
h
T
I
2 1
2 1
1 1
0
, где:
 
N
a
b
N
h


: интервал между абсциссами.
Число интервалов можно удвоить посредством использования рекурсии:
 

1 3
3 1
2 2
2 1






N
N
N
N
y
y
y
y
N
h
T
T
Метод Ромберга рекурсивно создает последовательность
 
2
i
T
i
S

Полиномиальная экстраполяция. В пределе погрешность расширенного трапецеидального приближения к значению I представляет собой многочлен относительно h
2
, т. е.
I = T
N
+ ε
N
, где:
ε
N
≅ P(h
2
(N)), а
P :
неизвестный многочлен.
Последовательность трапецеидальных приближений, T
N


N
, также является многочленом относительно h
2
, и поэтому полиномиальная экстраполяция может использоваться для оценки предела при
0

h
. Если имеются m трапецеидальных приближений, то единственный многочлен степени
M – 1 может соответствовать точкам (h
2
(n),T
n
) при n = 1, 2, 4, 8,…, 2
М–1
. Оценка этого единственного многочлена при h = 0 дает приближение к пределу трапецеидального метода.
Обычно для расчета значения многочлена при h = 0 используется метод Невиля. Метод Невиля является эффективным методом; он дает оценку погрешности, которая может использоваться для завершения интегрирования Ромберга. Этот метод является последовательным приближением линейной интерполяции к полиномиальной интерполяции Лагранжа высших степеней. Метод
Лагранжа можно описать следующим образом. Для M + 1 точек (x
i
, y
i
) многочлен степени m можно определить как линейную комбинацию базисных функций:

 








n
i
n
i
n
i
k
k
k
i
k
i
i
i
i
x
x
x
x
y
x
L
y
x
P
0 0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
, т. е.
)
)...(
)(
)...(
(
)
)...(
)(
)...(
(
)
(
1 1
0 1
1 0
n
i
i
i
i
i
i
n
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L













Чтобы найти решение при x = 0, данный метод интерполяции требует знания всех ординат y
i
, и для решения масштабных задач он неэффективен, поскольку при итерации до высших порядков не использует прежние интерполяции. Метод Невиля представляет собой рекурсивный процесс, основанный на соотношении между одним приближением к многочлену и его двумя предыдущими приближениями. Таким образом, для любых двух точек (x
k
, y
k
) имеется единственный многочлен степени 0, т. е. прямая линия, проходящая через эти две точки,
k
k
y
P

. Затем выполняется вторая итерация, в которой многочлен соответствует парам точек, а именно
,
,
23 12
P
P
и эта процедура повторяется до построения пирамиды приближений: