Все задачи. Решение Как известно, базисом в пространстве является любая упорядоченная система из трёх линейно независимых векторов. Покажем, что векторы, и линейно независимы, т е. выполняется равенство

• Название: Решение Как известно, базисом в пространстве является любая упорядоченная система из трёх линейно независимых векторов. Покажем, что векторы, и линейно независимы, т е. выполняется равенство
• Анкор: Все задачи.doc
• Дата: 28.01.2018
• Размер: 1 Mb.
• Имя файла: Все задачи.doc
• Тип: Решение; #14969
• Категория: Математика
• страница: 2 из 3

Задача 24. Вычислить координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами A(-1,1), B(2,-1), C(4,0).
Решение:

Центр описанной окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Найдем уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника и их угловые коэффициенты:

АВ: ;
ВС: ;
АС: ;
Координаты середин сторон:

;

;

;
Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых имеют обратную пропорциональность:

; ;

Уравнения серединных высот:



DO:

EO:

FO:






Задача 34. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств.



Решение:

Строим область решений системы. Нуме­руем ограничения задачи. В пря­моугольной декартовой системе координат (см. рис.) строим прямую (), соответ­ствующую ограничению (1). Нахо­дим, какая из двух полуплоскос­тей, на которые эта прямая делит всю координатную плоскость, яв­ляется областью решений нера­венства (1). Для этого достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство. Так как прямая не проходит через начало коор­динат, подставляем координаты точки О (0, 0) в первое ограни­чение 0 + 0 ≥ 17. Получаем неравенство 0 ≥ 17. Следовательно, точка О не лежит в полуплоскости решений. Таким образом, стрелки на концах прямой должны быть направлены в полуплоскость, не содержащую точку О. Аналогично строим прямые (), (), и области решений ограничений (2) и (3). Находим общую часть полуплоскостей решений; полученную область допустимых ре­шений отметим (см. рис.) штриховкой.


Найдем теоретически точки пересечений прямых:




Задача 44. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A(1,0), чем к точке B(-2,0).
Решение:

Каждая точка искомой прямой должна удовлетворять условию



с другой стороны, она должна также удовлетворять условию



следовательно, искомая прямая есть решение системы








Задача 54. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.



Решение:

Запишем матрицу коэффициентов системы А и расширенную матрицу системы В:

Вертикальной чертой мы отделили элементы матрицы системы от свободных членов системы. Определим ранги матрицы А и В.

Для этого проведём преобразования матрицы В:

1. 
   Отнимем от элементов второй строки элементы третьей строки,
   
2. 
   Первую строку умножим на (-1) и прибавим третью строку;
   
3. 
   Вторую строку сложим с первой строкой, умноженной на (-2);
   

Третью строку сложим с первой строкой, умноженной на (-3);

4. 
   Третью строку умножаем на 3, прибавляем к ней вторую.
   

Отсюда следует, что r(В)=3, минор третьего порядка матрицы А



Следовательно, r(B) = r(A) = 3, т.е. данная система совместна.

Но последняя преобразованная матрица В - это расширенная матрица системы

"Обратным ходом" метода Гаусса из последнего уравнения системы находим х₃ = 2; из второго х₂ = – 2; из первого х₁ = – 4

Ответ:
2) Решение матричным методом:

Прежде всего, найдем матрицу А^-1, обратную матрице А.

Определитель основной матрицы системы:

.

Алгебраические дополнения всех элементов:



Отсюда

Тогда

Х = = ,
и, следовательно х₁=-4; х₂=-2; х₃=2.

Задача 64. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений



Решение:

Данная система имеет размер 2×3. Она однородна, т.к. свободный член в каждом уравнении равен нулю. Число уравнений меньше числа неизвестных. Следовательно, множество решений системы бесконечно.

Проведем преобразования:

Для этого проведём преобразования матрицы А:

1. 
   Отнимем от элементов первой строки элементы второй строки, умноженные на 2;
   
2. 
   К первой строке добавим третью;
   
3. 
   Третью строку умножим на 3 и вычтем из неё вторую строку;
   

Ранг матрицы системы равен двум, так как только среди ее миноров

второго порядка есть отличный от нуля, например минор

Следовательно, данная система эквивалентна системе

,

Отсюда

Следовательно, множество решений системы имеет вид

.


Задача 74. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через

Решение:
Составим две матрицы:

и
найдем их произведение:


Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:


Задача 84. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение:

1. 
   Характеристическое уравнение данного преобразования имеет вид:
   

Корни этого уравнения следующие: ; ;

2. 
   Все корни являются собственными числами.
   

3. 
   Чтобы найти собственный вектор с собственным числом , полагаем в системе . Получим
   

Решение этой системы можно записать в виде

; ;
Вектор , где и — любые числа, удовлетворяющие условию , является собственным вектором данного преобразования с собственным числом .

4. 
   Аналогично находим собственный вектор с собственным числом :
   

; ;
Вектор , где — любое число, удовлетворяющее условию , является собственным вектором данного преобразования с собственным числом .

5. 
   Аналогично находим собственный вектор с собственным числом :
   

; ;
Вектор , где — любое число, удовлетворяющее условию , является собственным вектором данного преобразования с собственным числом .

Задача 94. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.


Решение:

Введем обозначение. Тогда матрица данной квадратичной формы

.

Найдем собственные значения этой матрицы. Ее характеристическое уравнение имеет вид

,

откуда ; . Тогда квадратичная форма имеет следующий канонический вид: . Переходя к исходному уравнению, получаем . Т.е. имеем эллипс



Задача 104. Построить график функции преобразованием графика функции .



Решение:

1. 
   Построим график функции :
   

2. 
   График общей синусоиды с амплитудой , круговой частотой и фазой получим синусоиды последствием преобразований:
   

растяжением в раз в направлении оси ,

растяжением в = раз в направлении оси

и последующим параллельным переносом по оси на .