Все задачи. Решение Как известно, базисом в пространстве является любая упорядоченная система из трёх линейно независимых векторов. Покажем, что векторы, и линейно независимы, т е. выполняется равенство
![]()
|
Задача 24. Вычислить координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами A(-1,1), B(2,-1), C(4,0). Решение: Центр описанной окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Найдем уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника и их угловые коэффициенты: АВ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ВС: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() АС: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Координаты середин сторон: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых имеют обратную пропорциональность: ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнения серединных высот: ![]() DO: ![]() EO: ![]() FO: ![]() ![]() ![]() Задача 34. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств. ![]() Решение: Строим область решений системы. Нумеруем ограничения задачи. В прямоугольной декартовой системе координат (см. рис.) строим прямую ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем теоретически точки пересечений прямых: ![]() ![]() ![]() Задача 44. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A(1,0), чем к точке B(-2,0). Решение: Каждая точка ![]() ![]() с другой стороны, она должна также удовлетворять условию ![]() следовательно, искомая прямая есть решение системы ![]() ![]() ![]() Задача 54. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления. ![]() Решение: Запишем матрицу коэффициентов системы А и расширенную матрицу системы В: ![]() Вертикальной чертой мы отделили элементы матрицы системы от свободных членов системы. Определим ранги матрицы А и В. Для этого проведём преобразования матрицы В:
Третью строку сложим с первой строкой, умноженной на (-3);
![]() Отсюда следует, что r(В)=3, минор третьего порядка матрицы А ![]() Следовательно, r(B) = r(A) = 3, т.е. данная система совместна. Но последняя преобразованная матрица В ![]() ![]() "Обратным ходом" метода Гаусса из последнего уравнения системы находим х3 = 2; из второго х2 = – 2; из первого х1 = – 4 Ответ: ![]() 2) Решение матричным методом: Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А. Определитель основной матрицы системы: ![]() Алгебраические дополнения всех элементов: ![]() Отсюда ![]() Тогда Х = ![]() ![]() и, следовательно х1=-4; х2=-2; х3=2. Задача 64. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений ![]() Решение: Данная система имеет размер 2×3. Она однородна, т.к. свободный член в каждом уравнении равен нулю. Число уравнений меньше числа неизвестных. Следовательно, множество решений системы бесконечно. ![]() Для этого проведём преобразования матрицы А:
![]() Ранг матрицы системы равен двум, так как только среди ее миноров второго порядка есть отличный от нуля, например минор ![]() Следовательно, данная система эквивалентна системе ![]() Отсюда ![]() ![]() Следовательно, множество решений системы имеет вид ![]() Задача 74. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее ![]() ![]() ![]() ![]() Решение: Составим две матрицы: ![]() ![]() найдем их произведение: ![]() ![]() Поэтому искомое линейное преобразование имеет вид: ![]() Задача 84. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей. ![]() Решение:
![]() Корни этого уравнения следующие: ![]() ![]() ![]()
![]() Решение этой системы можно записать в виде ![]() ![]() ![]() Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() Вектор ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() Вектор ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 94. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм. ![]() Решение: Введем обозначение ![]() ![]() Найдем собственные значения этой матрицы. Ее характеристическое уравнение имеет вид ![]() откуда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 104. Построить график функции ![]() ![]() ![]() Решение:
![]()
растяжением в ![]() ![]() растяжением в ![]() ![]() ![]() и последующим параллельным переносом по оси ![]() ![]() ![]() |