методичка. Решение математических задач в среде Mathcad методические указания к лабораторным работам

• Название: Решение математических задач в среде Mathcad методические указания к лабораторным работам
• Анкор: методичка
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 2.22 Mb.
• Имя файла: metodichka_mathcad_2019_11043846.docx
• Тип: Решение; #600647
• страница: 6 из 10

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ MATHCAD

Цель лабораторной работы – ознакомиться с основными прие- мами решения уравнений и систем уравнений численными методами.

Определение комплексных чисел

Решения некоторых уравнений содержат комплексные числа. MathCAD воспринимает комплексные числа в форме a + bi, где a и b – обычные числа. Комплексные числа могут также возникать в резуль- тате вычислений, даже если все исходные значения вещественны.

Например, если вычислить 1, MathCAD возвращает i. При вводе комплексных чисел нельзя использовать i саму по себе для ввода ком- плексной единицы. Нужно всегда печатать 1i, в противном случае MathCAD истолкует i как переменную. Когда курсор покидает выра- жение, содержащее 1i, MathCAD скрывает избыточную единицу. Не- которые операции над комплексными числами показаны на рис. 13.





35

Определим комплекные переменные

i z1

z2 r e<sup>(i

)</sup> z1

z2 1.545 4.755i

Выполним некоторые действия

^z2 4.755 1.545i Re(z2) 1.545 Im(z2) 4.755

z1
z3 101.127 73.473i
Рис. 13

Решение систем линейных уравнений

Для решения систем линейных уравнений в системе MathCAD введена функция lsolve(A,B), которая возвращает вектор X для систе- мы линейных уравнений A · X = B при заданной матрице коэффици- ентов A и векторе свободных членов B. Если уравнений n, размер-

ность вектора B должна быть n, а размерность матрицы A – n×n. При- мер решения системы линейных уравнений:

2x₁ 0, 03x₁

0, 77x₁

рассмотрен на рис. 14.

0, 24x₂

3,3x₂

0, 06x₃ 9

0,12x₃ 5

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ A*X=



B

2 A 0.03

0.77

0.24

3.3

0.32

0.06

0.12

0.22

Задание коэффициентов систем

9 B 5

2
3.873
Задание вектора свободных член

X lsolve( A B) X

0.69

23.652

Рис. 14

Решение системы

Многие уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами с заданной погрешностью, определяемой пере- менной TOL (в меню Сервис Опции рабочей области Перемен- ные).

Для простейших уравнений вида F(x) = 0 решение находится с помощью функции root(Выражение, Имя_переменной).

Эта функция возвращает значение переменной, при котором вы- ражение дает 0. Функция реализует вычисления итерационным мето- дом, причем можно задать начальное значение переменной. Это осо- бенно полезно, если возможно несколько решений. Тогда выбор решения определяется выбором начального значения переменной. Первое применение этой функции позволяет найти первый корень X1. Для поиска второго корня X2 первый исключается делением F(x) на (x–X1). Соответственно, для поиска третьего корня X3 F(x) делится еще и на (x–X2). Пример использования функции приведен на рис. 15.

НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЙ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
a3 2 a2 5 a1 43 a0 92 Коэффициенты

F( x) a3 x³ a2 x² a1 a0 Задание полинома Вычисление действительного корня

x 2 x1 root( F( x) x) x1 4.018

Вычисление других корней

x 1 1 i x2 root ^{F( x)} x x1

x x2 0.759 2.35i

x3 root

F( x) _x

( x x1) ( x x2)

x3 0.759 2.35i
Рис. 15

Для поиска корней обычного полинома p(x) степени nможно ис- пользовать функцию

polyroots(V).


НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 4-ОЙ СТЕПЕНИ
Она, как показано на рис. 16, возвращает вектор корней много- члена (полинома) степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющем длину, равную n+ 1.

_V0 12 V₁ 8 V₂ 33 V₃ 25 V₄ 41

1.395

0.01 0.524i

polyroots ( V)

0.01 0.524i

0.764

Рис. 16
Функцию root можно использовать и в составе функции пользо- вателя, создаваемой специально для решения конкретной задачи. Например, как показано на рис. 17, с ее помощью можно организовать решение уравнения при различных значениях параметра a.

GH( a x) root e^{x 3} a x³ x





a 1 5 x₀ 0 x_a GH a x_{a 1}
a x_a



Рис. 17

Решение систем нелинейных уравнений

При решении систем нелинейных уравнений используется спе- циальный вычислительный блок, открываемый служебным словом – директивой Given, имеющей следующую структуру:

Given

Уравнения Ограничительные условия

Выражения с функциями Find и Minerr

Рекомендуется дополнять блок проверкой решения системы. В блоке может использоваться одна из следующих функций:

• 
  Find(v1,…,vn) – возвращает значение одной или ряда перемен- ных для точного решения;
  
• 
  Minerr(v1,…,vn) – возвращает значение одной или ряда пере- менных для приближенного решения.
  

Между этими функциями существуют принципиальные разли- чия. Первая функция используется тогда, когда решение реально су- ществует (хотя и не является аналитическим). Вторая функция пыта- ется найти максимальное приближение даже к несуществующему решению путем минимизации среднеквадратической погрешности решения.

Ограничительные условия вводятся следующими операторами:

Выражение	Назначение оператора
e1 > e2	e1 больше e2
e1 < e2	e1 меньше e2
e1 e2	e1 больше или равно e2
e1 e2	e1 меньше или равно e2
e1 e2	e1 не равно e2
e1 = e2	e1 равно e2

В решающих блоках для определения условия равенства исполь- зуется знак логического равенства =, извлекаемый из меню или вво- димый комбинацией клавиш Ctrl +.

Функции Find и Minerr, как показано на рис. 18, могут использо- ваться для решения одного уравнения.



Рис. 18
Для нахождения начальных приближений поиска вещественных корней весьма полезно построить графики кривых, входящих в систе- му уравнений. Полученные точки пересечения можно использовать для дальнейшего поиска корней. Пример такого решения приведен на рис. 19.

При использовании функции Minerr при решении систем нели- нейных уравнений нужно проявлять осторожность и обязательно предусматривать проверку решений. Полезно как можно точнее ука- зывать начальное приближение к решению.


Рис. 19

Порядок выполнения работы

1. 
   Войти в систему MathCAD. Внимательно ознакомиться с опи- санием лабораторной работы. Выполнить некоторые рассмотренные примеры. После завершения изучения описания удалить с листа рас- смотренные примеры.
   
2. 
   Выполнить средствами пакета MathCAD последовательность заданий из указанного преподавателем варианта. Решения задач оформить в виде единого документа. Каждую задачу обязательно со- провождать комментариями.
   
   1. 
      Определить все корни уравнения.
      

1. x+ ln(x+ 2) = 0; 2. x⁵ – x– 0,2 = 0;

3. x⁴ +2x³ – x– 1 = 0; 4. x³ – 0,2x² – 0.2x– 1,2 = 0;

2sin² x

5.

3cos² x

0 ; 6. 5x³

+12x²

+ 3x+4 = 0;

3 4

7. x² – sin 5x= 0; 8. x⁴ – 4x³ + x² – 5x+ 4 = 0;

9. 1,8x⁴ – sin10x= 0; 10. x³ – 2x² + x– 3 = 0.

2. 
   Определить для заданного варианта все корни нелинейного уравнения с помощью функции root.
   

1. x³ x– 10= 0; 6. ^{2sin х}

3cos х _{0 ;}

3 4

2. 10sin (х/ 2) 0 ; 7. cos (х) sin (2х) 0 ;

3. x⁴ x² + 5= 0; 8. 8x³ 2x² 3x 2 = 0;

4. sin 2х

cos 2х

0 ; 9. sin х

cos х 0 ;

5. x⁴ + 2x³ x 1 = 0; 10. ^{sin х}

cos х _{0 .}

2 3

3. 
   
   Составить программу для решения системы линейных урав- нений, используя функцию lsolve. Значения коэффициентов A_i, B_i, C_iи свободных членов D_iдля заданного варианта взять из табл. 8. Выпол- нить проверку решения:
   

Таблица8

Номер варианта	A1	A2	A3	B1	B2	B3	C1	C2	C3	D1	D2	D3
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
10	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21

4. 
   Составить программу решения системы линейных уравне- ний. Выполнить проверку решения.
   

1.

2.

3.

4.

5.
6.

7.

8.


9.

7,9x1	5, 6x2	5, 7x3	7, 2x4	6, 68
8,5x1	4,8x2	0,5x3	3,5x4	9,95
4,3x1	4, 2x2	3, 2x3	9,3x4	8, 6
3, 2x1	1, 4x2	8,9x3	8,3x4	1.

10.

5. 
   Выполнить задание для своего варианта, используя соответ- ствующий оператор решения, предварительно определив начальные приближения с помощью построения графика.
   

1. 
   Найти все корни уравнения x²
   

25x²

5 2x²

74 _0.

49

2. 
   Решить уравнение
   

x⁵ 1 0 .

3. 
   Решить уравнение
   

x⁴ 8x

63 0 .

4. 
   Найти все четыре корня уравнения 15x⁴
   

4x³

6x²

4x 1 0 .

5. 
   Решить уравнение
   

8x⁴

8x³

x 190 0 .

6. 
   Решить уравнение
   

(8x

7)²(4x

3)(x

1) 4,5 .

7. 
   Решить уравнение x²
   

x _{8 .}


2
x 1

8. 
   Найти все корни уравнения (x
   

1)(x

2)(x

3)(x

4) 1.

9. 
   Решить уравнение (x
   

4)³(x

5)³

2(x

5)³

(x 4)³ 0 .

10. 
    Найти все корни уравнения
    

x³ 2x

5 3 1.

5. 
   Найти все решения для системы уравнений предварительно определив начальные приближения с помощью построения графиков:
   

1. 6.

2. 7.


3. 8.


4. 9.


5. 10.

5. 
   Составить для заданного варианта программу для решения системы нелинейных уравнений, используя функцию findили minner.
   

1.

6.


2. 7.


_3. 8.

4. _9.

5. 10.

3. 
   Оформите протокол лабораторной работы средствами MathCAD.
   

36
Содержание отчета

1. 
   Титульный лист.
   
2. 
   Решение всех задач с комментариями.
   

Контрольные вопросы

1. 
   В чем смысл решения уравнений численными методами?
   
2. 
   Как осуществляется проверка решения уравнения или системы уравнений?
   
3. 
   Какие функции MathCAD предназначены для решения систем линейных и нелинейных уравнений?
   
4. 
   Какие функции могут использоваться в блоке решения и для чего они предназначены?