методичка. Решение математических задач в среде Mathcad методические указания к лабораторным работам

• Название: Решение математических задач в среде Mathcad методические указания к лабораторным работам
• Анкор: методичка
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 2.22 Mb.
• Имя файла: metodichka_mathcad_2019_11043846.docx
• Тип: Решение; #600647
• страница: 8 из 10

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Цель лабораторной работы – ознакомиться с основными пра- вилами использования символьного процессора MathCAD.

Операции, относящиеся к работе символьного процессора, со- держатся в подменю позиции Symbolics главного меню. Они выпол- няются в командном режиме.

Символьные вычисления можно осуществлять в двух различных режимах:

• 
  с помощью команд меню;
  
• 
  с помощью оператора символьного вывода , ключевых слов символьного процессора и обычных формул (рис. 26).
  

Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использова- ния, не сохраняя сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, так как позволяет записывать выражения в традиционной математиче- ской форме и сохранять символьные вычисления в документах MathCAD. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного выделенного в данный момент выражения. Соответственно, на них не влияют формулы, находящиеся в документе выше этого выделенного выражения.




Рис. 26
Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необхо- димо указать, над каким выражением это должно проводится, т.е. вы- делить выражение. Для ряда операций следует не только указать вы- ражение, к которому она относится, но и наметить переменную, относительно которой выполняется символьная операция. В этом слу- чае само выражение не выделяется, так как ясно, что если маркер вво-

да выделяет переменную какого-либо выражения, то это выражение уже отмечено наличием в нем выделяемой переменной. Символьные операции разбиты на пять разделов.

Операциисвыделеннымивыражениями.

Evaluate – преобразовать выражение с выбором вида преобразо- вания;

Evaluate Symbolically – выполнить символьное вычисление вы- ражения;

Floating Point Evaluation… – выполнить арифметические опе- рации в выражении результатов в форме числа с плавающей точкой;

Complex Evaluation – выполнить вычисления с представлением операций в комплексном виде;

Simplify – упростить выделенное выражение с выполнением та- ких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т.д.;

Expand – раскрыть выражение [например для (X+Y)·(X–Y) полу- чим X² –Y²];

Factor – разложить число или выражение на множители [X² – Y² даст (X+Y)·(X–Y);

Collect – собрать слагаемые, подобные выделенному выраже- нию, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного выражения);

Polynomial Coefficients – найти коэффициенты полинома по за- данной переменной, приближающего выражение, в котором эта пере- менная использована.

Операциисвыделеннымипеременными.

Solve – найти значение выделенной переменной, при которой содержащее ее выражение становится равным нулю;

Substitute – заменить указанную переменную содержимым бу- фера обмена;

Differintiate – дифференцировать все выражение, содержащее выделенную переменную, по отношению к этой переменной (осталь- ные переменные рассматриваются как константы);

Integrate – интегрировать все выражение, содержащее выделен- ную переменную, по этой переменной;

Expend to Series – найти несколько членов разложения выраже- ния в ряд Тейлора относительно выделенной переменной;

Convert to Practical Fraction – разложить на элементарные дро- би выражение, которое рассматривается как рациональная дробь отно- сительно выделенной переменной.

Операциисвыделеннымиматрицами.

Они представлены позицией в подменю Matrix, которая имеет свое подменю со следующими операциями:

Transpose – получить транспонированную матрицу;

Invert – создать обратную матрицу;

Diterminant – вычислить детерминант (определитель) матрицы.

Операциипреобразования.

В позиции меню Symbol содержится раздел операций преобра- зования:

Fourier Transform – вычислить прямое преобразование Фурье относительно выделенной переменной (результат – функция от пере- менной s);

Inverse Fourier Transform – вычислить обратное преобразова- ние Фурье относительно выделенной переменной;

Laplace Transform – вычислить прямое преобразование Лапласа относительно выделенной переменной;

Inverse Laplace Transform – вычислить обратное преобразова- ние Лапласа относительно выделенной переменной (результат – функция от переменной t);

Z Transform – вычислить прямое z-преобразование выражения относительно выделенной переменной (результат – функция от пере- менной z);

Inverse Z Transform – вычислить обратное z-преобразование относительно выделенной переменной (результат – функция от пере- менной n).

Стильсимвольныхпреобразований.

Evaluation Style – задать вывод результата символьной операции под основным выражением, рядом с ним или вместо него.

Все указанные операции можно выполнять двумя способами: непосредственно в командном режиме (используя описанные

выше операции в позиции Simbolic главного меню);

с помощью оператора символьных операций представленных в палитре символьных вычислений.

операций,

На следующей странице приведены примеры использования ре- жимов символьных вычислений.

Символьная алгебра.

Символьное преобразование. Для его выполнения необходимо выполнить следующие шаги:

• 
  ввести выражение;
  
• 
  окружить его синей выделяющей рамкой;
  
• 
  нажать [Shift] [F9] .
  

Обычно символьный процессор возвращает результаты, пере- страивая переменные. Таким образом, когда Mathcad преобразует вы- ражение, содержащее или e, он будет обычно возвращать другое вы- ражение, содержащее или e. Чтобы предписать Mathcad возвратить числовые значения этих переменных, выберите из меню SIMBOLIC (Символика) Evaluate (Вычислить) Floating point evaluation (С плавающей запятой). Появится диалоговое окно, в котором можно определить число цифр справа от десятичной точки. По умолчанию это число равно 20.

Упрощение выражения. Основные алгебраические и тригоно-

метрические упрощения выбранного выражения выполняются выбо- ром команды Simplify (Упростить). При этом выполняются арифме- тические преобразования, сокращаются общие множители, используются основные тождества для тригонометрических и обрат- ных функций и упрощаются квадратные корни и степени. Перед вы- бором команды Simplify необходимо выделить синей рамкой упроща- емое выражение или его часть.

Упрощению могут быть подвергнуты как все выражения цели- ком, так и его части (например, только числитель дроби). Можно упрощать выражения, содержащие массивы, например, суммы или произведения матриц:

упрощается до


упрощается _b

до

1

4i³


35!

упрощается до

2 cos

упрощается до	5 52
упрощается	1033314796638614492966665133732
до	32000

Разложение выражения. С помощью команды Expend Expres- sion (Разложить по степеням) можно разложить все степени и произ-

ведения сумм в выделенном выражении. Если выражение – дробь, числитель будет разложен, и выражение будет представлено как сум- ма дробей. Синусы, косинусы и тангенсы сумм переменных или цело- го числа, умноженного на аргумент, будут разложены, насколько воз- можно, в выражения, включающие только синусы и косинусы одиночных переменных.

( x 2 y )⁴ x⁴ 8 x³ y 24 x² y² 32 x y³ 16 y⁴
sin ( 6 x ) 32 sin ( x ) cos( x )⁵ 32 sin ( x ) cos( x )³ 6 sin ( x ) cos( x )
Разложение выражения в ряды позволяет разложить выраже- ние в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Чтобы ис- пользовать эту команду, необходимо:

• 
  выделить переменную в функции или выражении, по которой требуется найти разложение;
  
• 
  выберите команду Expend to Series (Разложить вряд). При этом диалоговое окно запросит порядок остаточного члена. Это опре- делит число членов формулы.
  

Ответы, которые получаются в результате выполнения этой ко- манды, используют для остаточного члена, обозначенного O. Прежде чем использовать разложение для дальнейших вычислений, следует удалить этот остаточный член:

e^{x a} exp(

a ) exp(

a ) x ¹ 2

exp(

a ) x^{2 1}




6

exp(

a ) x³ O( x⁴ )

Разложения выражения на множители. Использование коман- ды Factor Expression (Разложить на множители) позволяет разложить выражение на множители выбранное выражение. Если выражение представляет собой целое число, то Mathcad будет пытаться преобра- зовать выражение в произведение. Эта команда будет объединять сумму дробей в одну дробь и будет упрощать многоэтажную дробь с несколькими дробными чертами.

Приведение подобных членов. Для объединения членов, со- держащих одинаковые степени выделенного подвыражения, необхо- димо пользоваться командой Collect Subexpression (Разложить по подвыражению). Выбираемое подвыражение должно быть простой переменной, либо встроенной функцией вместе с аргументом.

Разложение на элементарные дроби. Для того, чтобы преобра- зовать выражение в сумму элементарных дробей, необходимо:

• 
  выделить переменную в знаменателе выражения;
  
• 
  выбрать команду Convert to Partial Fraction (Разложить на элементарные дроби):
  

x y ( x y )² 1

factor x

x2 _y2

375849581

_x4 _y4

( 89)

( 4223029)

( y x )

^a2 x³ 2 x






( a 1 ) x 3 a _{3 a}

3 a

0

a2

Нахождение коэффициент относительно степеней x.

6 sin ( x )

( sin ( x ) )²

( 2 a ) sin ( x )




0 8 a Нахождение коэффициентов

₁ относительно степеней sin x.

При этом символьный процессор будет пытаться разлагать зна- менатель выражения на линейные или квадратичные множители, имеющие целочисленные коэффициенты. Если это удается, он будет разлагать выражение в сумму дробей с этими множителями в качестве знаменателя. Все константы в выделенном выражении должны быть целыми числами или дробями. Mathcad не будет разлагать выражение, которое содержит десятичные точки.

Нахождение коэффициентов полинома. Для того, чтобы вы- ражения перезаписать в виде полиномов от выделенной переменной или относительно подвыражения, необходимо:

• 
  выделив переменную или функцию, относительно которой требуется разложить выражение в полином;
  
• 
  выбрать команду Polynomial Coefficients (Полиномиальные коэффициенты):
  

5 x² 3 x 10 23

^x3 2 x² 9 x 18

32 36

Mathcad возвращает вектор, содержащий коэффициенты требуе- мого полинома в порядке возрастания степеней.

Замена переменных. Для замены выделенным выражением за- данной переменной необходимо:

• 
  выделить выражение, которое будет заменять переменную;
  
• 
  скопировать его в буфер обмена, выбирая команду Copy (Ко- пировать) из меню Edit (Правка);
  
• 
  выделить переменную, которую нужно заменить, и выбрать
  

Substitute for Variable (Заменить переменную) из меню Symbolic.

Вычисление сумм и произведений. Для вычисления суммы необходимо:

• 
  вызвать оператор суммирования;
  
• 
  ввести выражение, которое нужно суммировать, в месте ввода справа от « »;
  
• 
  поместить индекс и диапазон суммирования в поля выше и
  

ниже « »;

• 
  окружить все выражение выделяющей рамкой и нажать [Shift]
  

[F9]:

n

( a 1 )³

3 n 2 ¹³ ( n 1 )^{2 3} ( n 1 )^{3 1} ( n 1 )⁴

a = 1

10




1k = 1

4 2 4

131269138

244140625

Символьные вычисления

Производные. Чтобы вычислить производную в символьном виде, можно использовать оператор производной Mathcad:

• 
  задайте оператор первой производной или производной более высокого порядка;
  
• 
  в поле введите выражение, которое требуется дифференциро- вать, и переменную, по которой дифференцируете;
  
• 
  нажмите [Shift] [F9].
  

Производную можно найти, не используя оператор производной:

• 
  выделите переменную, по которой необходимо произвести дифференцирование;
  
• 
  выберете команду Differentiate on Variable (Дифференциро- вать по переменной).
  

Неопределенные интегралы. Для использования символьного оператора вычисления неопределенного интеграла:

^d ( sin ( x ) cos( x ) ) d x

cos( x ) sin ( x ) Нахождение производной.

Нахождение второй производной и упрощение выражения для второй произво

sin ¹

_d 2 _x

cos ¹




x

sin

2 cos ¹ x




x

sin 2

d x ²

_x4 _x3 _x4

1 x 1




Нахождение производной без применения оператора производной.

• 
  вставьте оператор неопределенного интеграла и поля ввода его параметров;
  
• 
  заполните поле ввода для подынтегрального выражения;
  
• 
  поместите переменную интегрирования в поле ввода, следую- щее за «d»;
  
• 
  заключите выражение в выделяющую рамку;
  
• 
  нажмите [Shift] [F9]:
  

Возможно интегрирование без использования символьного опе- ратора вычисления неопределенного интеграла. Для этого:

• 
  выделите переменную, по которой ведется интегрирование;
  
• 
  выберете пункт меню Integrate on Variable (интегрировать по переменной).
  

Определенные интегралы. Для использования символьного оператора вычисления определенного интеграла:

• 
  введите знак определенного интеграла с пустыми полями ввода;
  
• 
  заполните поля ввода для пределов интегрирования. Они могут быть переменными, константами или выражениями;
  
• 
  введите в поле ввода подынтегральное выражение;
  
• 
  заполните поле ввода позади «d». Это задаст переменную инте- грирования;
  
• 
  нажмите [Shift] [F9]:
  

2 exp( 1 )

Если символьное интегрирование выполнено успешно и пределы интегрирования – целые числа, дроби или точные константы, подобно

, процессор выдает точное значение интеграла. Если подынтеграль- ное выражение или один из пределов содержит десятичную точку, символьный ответ будет числом, отображаемым с двадцатью знача- щими цифрами.

Пределы. В Mathcad PLUS есть три оператора вычисления пре- делов. Они могут быть вычислены только символьно. Чтобы исполь- зовать операторы, вычисляющие пределы, необходимо:

• 
  вызвать оператор нахождения соответствующего предела;
  
• 
  ввести выражение в поле ввода справа от lim;
  
• 
  ввести переменную, по которой вычисляется предел, в левое поле ввода ниже lim;
  
• 
  ввести значение предела в правое поле ввода ниже lim;
  
• 
  заключить выражение в выделяющую рамку;
  
• 
  нажать [Shift] [F9].
  

3 3

lim ( x 1 )² ( x 1 )² 0

x

ex ₁

lim ₊

x e
lim _-

x e



x e
^ex 1


x e

Символьное решение уравнений

Решение уравнения относительно переменной. Для этого:

• 
  напечатайте уравнения, используя для ввода знака равенства символ = (вводится нажатием комбинаций клавиш [Ctrl] =);
  
• 
  выделите переменную, относительно которой нужно решить уравнение;
  
• 
  выберите функцию меню Solve on Variable (решить относи- тельно переменной).
  

Mathcad решит уравнение относительно выделенной переменной и вставит результат в рабочий документ. Если переменная возводи- лась в квадрат в первоначальном уравнении, при решении можно по- лучить два ответа. Mathcad отображает их в виде вектора.

Можно решать неравенства, использующие символы <, >, и Решения для неравенств будут отображаться в терминах булевых вы- ражений Mathcad. Если имеется более одного решения, Mathcad по- мещает их в вектор. В Mathcad булево выражение типа x< 2 имеет значение 1, если оно истино, и 0 – если оно ложно. Таким образом, решение «x– меньше, чем 2, и больше, чем –2» можно было бы пред- ставить выражением (x< 2)·(–2 < x):

sin ( 3 x ) cos( 2 x )

2

10

asin

^x3 5 x² 8 x 4 0

( x 2 )

( 1 x )

Нахождение корней уравнения. Для этого:

• 
  напечатать выражение;
  
• 
  выделить в любом месте переменную, относительно которой уравнение решается;
  
• 
  выбрать пункт Solve on Variable (Решить относительно пере- менной):
  

3 x² 5 x 6



5 1 ₉₇

6 6

5 1 ₉₇

6 6

0 x 1 ₅
Обратите внимание, что нет никакой необходимости приравни- вать выражение нулю. Если Mathcad не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.

Порядок выполнения работы

1. 
   Войти в систему MathCAD. Внимательно ознакомиться с опи- санием лабораторной работы. Выполнить некоторые рассмотренные примеры. После завершения изучения описания удалить с листа рас- смотренные примеры.
   
2. 
   Выполнить средствами пакета MathCAD последовательность заданий из вариантов, указанных преподавателем, формируя единый до- кумент. Каждую задачу обязательно сопровождать комментариями.
   
   1. 
      Выполнить задание 1.
      
   2. 
      Выполнить задание 2.
      
   3. 
      Выполнить задание 3.
      
   4. 
      Выполнить задание 4.
      
   5. 
      Выполнить задание 5.
      
   6. 
      Выполнить задание 6.
      
   7. 
      Выполнить задание 7.
      
   8. 
      Выполнить задание 8.
      
   9. 
      Решить в символьной форме квадратное уравнение для свое- го варианта из п. 2.2. лабораторной работы № 1.
      
3. 
   Оформить отчет.
   

63
Содержание отчета

1. 
   Титульный лист.
   
2. 
   Решение всех задач с комментариями.
   
3. 
   Выводы.
   

Контрольные вопросы

1. 
   Перечислите основные возможности символьной математики.
   
2. 
   Каким образом можно задать упрощение выражения?
   
3. 
   Каким образом можно получить значение числа с точностью 25 знаков после запятой?
   
4. 
   Каким образом можно выполнить разложение по степеням пе- ременной?
   
5. 
   Каким образом можно найти неопределенный интеграл от вы- ражения?
   
6. 
   Каким образом можно решить уравнение?