методичка. Решение математических задач в среде Mathcad методические указания к лабораторным работам

• Название: Решение математических задач в среде Mathcad методические указания к лабораторным работам
• Анкор: методичка
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 2.22 Mb.
• Имя файла: metodichka_mathcad_2019_11043846.docx
• Тип: Решение; #600647
• страница: 10 из 10

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель лабораторной работы – ознакомиться с основными прие- мами решения дифференциальных уравнений и систем уравнений численными методами.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неиз- вестными являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают со- отношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных произ- водных. Решить дифференциальное уравнение – значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее пе- ременных.

Одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения опреде- ленным образом заданы начальные или граничные условия. В курсе высшей математики доказываются теоремы о существовании и един- ственности решения в зависимости от тех или иных условий. Одним из типов задач, которые возможно решать с помощью MathCAD, яв- ляются так называемые задачиКоши, для которых определены начальные условия на искомые функции, т.е. заданы значения этих функций в начальной точке интервала интегрирования уравнений.

Решение ОДУ первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка может по опре-

делению содержать помимо самой искомой функции

y(t)

только ее

первую производную y(t) . В подавляющем большинстве случаев


дифференциальное уравнение можно записать в стандартной форме (форме Коши)

Только с такой формой умеет работать вычислительный процес- сор MathCAD. Правильная с математической точки зрения постановка

соответствующей задачи Коши для ОДУ первого порядка должна по- мимо самого уравнения содержать одно начальное условие – значение

функции

y(t₀ )

в некоторой точке

t₀ . Требуется явно определить

функцию

y(t)

на интервале от t₀

до t₁ .

Решение ОДУ первого порядка с помощью вычислительного блока Given/Odesolveсостоит из трех частей:

Given – ключевое слово;

ОДУ и начальное условие, записанное с помощью логических

операторов, причем начальное условие должно быть в форме

y(t₀ )

Odesolve (t, t1) – встроенная функция для решения ОДУ отно- сительно переменной tна интервале ( t₀ , t₁ ).

Пример решения ОДУ первого порядка y посред-

ством вычислительного блока приведен на рис. 27.

Given

^d y(t)

dt

y(0) 0,1

y: Odesolve(t,10)

Иллюстрируем решение уравнения графиком.

y(t)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0



2 4 6 8 10

t

Рис. 27

Решение системы ОДУ первого порядка

В MachCAD имеется встроенная функция rkfixed( y₀ ,

t₀ ,

t₁,M,D),

которая позволяет решать задачу Коши методом Рунге – Кутты с фик- сированным шагом, где:

_y0 – вектор начальных значений в точке t₀

размера N× 1;

_t0 – начальная точка расчета;

ние;

t₁ – конечная точка расчета;

M – число шагов, на которых численный метод находит реше-
D – векторная функция размера N× 1 двух аргументов – ска-

лярного tи векторного y. При этом y– искомая векторная функция ар- гумента t того же размера N × 1.

Функция выдает решение в виде матрицы размером (M× 1) ×

× (N×1). В ее левом столбце находятся значения аргумента t, делящие интервал на равномерные шаги, а в остальных столбцах – значения

искомых функций

y₀ (t),

y₁(t),

рассчитанные для этих

значений аргумента. Поскольку всего точек (помимо начальной) M, то строк в матрице решения будет всего M+1.


Рассмотрим пример решения системы уравнений

с начальным условиями x(0) = 0,1 и y(0) = 0 при количестве шагов

M = 100.

Текст программы приведен на рис. 28.
2 y₀ 4 y₁


0.1

( y)₀ 3 y₁

Рис. 28
При оформлении первой строки программы, в которой опреде- лена система ОДУ, необходимо сравнить запись исходной системы уравнений и формальную запись в MathCAD. Это поможет вам ис- ключить возможные ошибки. Функция D, входящая в число парамет- ров встроенной функции для решения ОДУ, должна быть обязательно функцией двух аргументов. Второй ее аргумент должен быть векто- ром того же размера, что и сама функция D. Точно такой же размер

должен быть и у вектора начальных значений второй строке листинга).

y₀ (он определен во

Надо помнить, что векторную функцию D(t.y) следует опреде- лять через компоненты вектора y с помощью кнопки нижнего индекса (Subscript) с наборной панели Calculator. В третьей строке листинга определено число шагов, за которое рассчитывается решение, а его последняя строка присваивает матричной переменной uрезультат действия функции rkfixed. Решение системы ОДУ будет осуществлено на промежутке (0,50).

	0	1	2
0	0	0.1	0
1	0.5	0.068	-8.073·10-3
2	1	0.048	-0.01
3	1.5	0.036	-0.01
4	2	0.028	-8.905·10-3
5	2.5	0.022	-7.547·10-3
6	3	0.017	-6.247·10-3
7	3.5	0.014	-5.105·10-3
8	4	0.011	-4.141·10-3
9	4.5	8.681· 10-3	-3.345·10-3
10	5	6.958· 10-3	-2.696·10-3
11	5.5	5.582· 10-3	-2.169·10-3
12	6	4.48·10-3	-1.744·10-3
13	6.5	3.596· 10-3	-1.402·10-3
14	7	2.888· 10-3	-1.126·10-3
15	7.5	2.319· 10-3	...

Матрица решений системы уравнений приведена на рис. 29.


u

Рис. 29
Размер полученной матрицы будет равен (M × 1) × (N × 1), т.е. 101 × 3. График, иллюстрирующий решение системы ОДУ, приведен на рис. 30. Обращает на себя внимание необходимость отдельного за- дания диапазона значений аргумента для лучшего отображения обла- сти решения системы.

1 10 ³

5 10 ⁴




u

0





5 10 ⁴

1 10 ³

10 20 30 40 50

u

Рис. 30

ОДУ высшего порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение с неизвестной функцией y(t), в которое входят производные этой функции вплоть до

y^N(t),

называется ОДУ N-го порядка. Если имеется такое уравнение,

то для корректной постановки задачи Коши требуется задать Nначальных условий на саму функцию y(t) и ее производные от первого до (N– 1)-го порядка включительно. В МathСАD можно решать ОДУ высших порядков с помощью вычислительного блока Given/Odesolve.

Внутри вычислительного блока:

ОДУ должно быть линейно относительно старшей производ- ной, т.е. фактически должно быть представлено в стандартной форме;

начальные условия должны иметь форму а не более сложную.

y(t)

или

y^N(t) = b,

В остальном решение ОДУ высших порядков ничем не отлича-

ется от решения уравнений первого порядка, что иллюстрируется рис. 31.

Given

^{y(0) 0.} y'(0) 0

• 
  дифференциальное уравнение
  

d2 y(t) dt²

0.1

^d y(t) dt

1 y(t) 0

• 
  начальные условия
  

y Odesolve(t 50)
0.1

0.05


y(t) 0





10 20 30 40 50

t

Рис. 31

Порядок выполнения работы

1. 
   Войти в систему MathCAD. Внимательно ознакомиться с опи- санием лабораторной работы. Выполнить некоторые рассмотренные примеры. После завершения изучения описания удалить с листа рас- смотренные примеры.
   
2. 
   Выполнить средствами пакета MathCAD последовательность заданий из указанного преподавателем варианта. Решения задач оформить в виде единого документа. Каждую задачу обязательно со- провождать комментариями.
   
   1. 
      Решить дифференциальное уравнение первого порядка чис- ленным методом. При решении использовать параметры и условия, заданные в табл. 9. Построить график функции, являющейся решени- ем уравнения.
      

Таблица9

Номер варианта	Уравнение	Начальные условия		Диапазон аргумента графика
1.	y x2 yx 1 0	y(1)	0	1 …20
2.	y x 2( y x4)	y(1)	0	1 …2
3.	y x 2y x2 0	y(1)	0	1 …10
4.	y x y sinx	y2	2	2	…20
5.	y ytgx 1 cosx	y(0)	0	0 …5
6.	y(x2 1) 4yx 3	y(0)	0	0 …20
7.	( y y)(1 x) ex	y(0)	0	0 …0,99999
8.	y x y xex2 0	y(1)	1 2e	1 …2
9.	y(1 x2) xy 1 0	y(0)	1	0	…1
10.	y 3x2 y x2ex3	y(0)	0	0 …1

2. 
   Решить задачу п. 2.1 с начальными условиями и параметра- ми, указанным в задании 2.1 и начальными условиями, заданными в табл. 10. Построить графики двух решений в одной системе коор- динат.
   

Таблица10

Номер варианта	Начальные условия	Номер варианта	Начальные условия
1.	y(1) 0,5	6.	y(0) 1
2.	y(1) 1	7.	y(0) 1
3.	y(1) 1	8.	y(1) 0, 4
4.	y2 1	9.	y(0) 0,5
5.	y(0) 1	10.	y(0) 0,1

3. 
   Решить систему дифференциальных уравнений первого по- рядка численным методом. При решении использовать параметры и
   

условия, заданные в табл. 11. Построить график функции, являющейся решением уравнения с параметрами, позволяющими наблюдать ха- рактерные значения решения.
Таблица11

Номер варианта	Система уравнение			Начальные условия		Область решения
1.	x y	5x 4x	2 y y	x(0) y(0)	0 1		0…50
2.	x y	3x x	2 y y	x(0) y(0)	0 1		0…50
3.	x y	x 3x	2 y 4 y	x(0) y(0)	0 1		40…50
4.	xy	2xx	y 2 y	x(0) y(0)	0 1		40…50
5.	x 3y 3x y			x(0) y(0)	0 1		40…50
6.	x x1y y x 2 y 3			x(0) y(0)	0 1		0…50
7.	x y	2xx	4 y 3y	x(0) y(0)	3 0		0…50
8.	x y	3x x	y 3y	x(0) y(0)	0 1		0 …50
9.	x y y x			x(0) y(0)	0 1		0…50
10.	xy	x x	5yy	2 2	0 1		2 …50

4. 
   Решить дифференциальное уравнение второго порядка чис- ленным методом. При решении использовать параметры и условия, заданные в табл. 10. Построить график функции, являющейся решени- ем уравнения с параметрами, позволяющими наблюдать характерные значения решения.
   

Таблица12

Номер варианта	Уравнение	Начальные условия	Область решения
1.	y y' ey	y(0) 0 y'(0) 1	0…0,9
2.	y y'2 2 y	y(0) 1 y'(0) 1	0…20
3.	y 2 y'2 1 y	x(0) 0 y'(0) 1	0…9
4.	y y t3	y(0) 1 y'(0) 0	0…2
5.	0, 25y 0, 2y y 0,95y2 0	y(0) 0 y'(0) 3	0…20
6.	y 2 y'2 y 1	y(0) 2 y'(0) 2	0…0,4
7.	y yy'3	y(0) 1 y'(0) 2	0…12
8.	y y'2 y' 1 y	y(0) 2 y'(0) 2	0…8
9.	y y' y	y(0) 1 y'(0) 2	0…10
10.	y 100y	y(0) 0 y'(0) 10	0 …2

3. 
   Оформите протокол лабораторной работы средствами MathCAD.
   

Содержание отчета

1. 
   Титульный лист.
   
2. 
   Решение всех задач с комментариями.
   

Контрольные вопросы

1. 
   Дайте определение дифференциального уравнения.
   
2. 
   В чем состоит суть решения задачи Коши?
   
3. 
   Что из себя представляет решение системы дифференциаль- ных уравнений первого порядка?
   
4. 
   
   81
   
   В чем состоит отличие алгоритма решения дифференциально- го уравнения первого порядка от решения дифференциального урав- нения второго порядка?
   

82
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. 
   Кирьянов, Д. В. MathCAD15/MathCAD Prime 1.0 / Д. В. Кирь- янов. СПб. : БХВ-Петербург, 2015. – 432 с.
   
2. 
   Назаров, Д. М. MathCAD 14: Основные сервисы и технологии /
   

Д. М. Назаров, Г. И. Пожарская. М. : Национальный открытый уни- верситет «ИНТУИТ», 2016. – 139 с.

3. 
   Агафонов, Е. Д. Прикладное программирование : учеб. посо- бие / Е. Д. Агафонов, Г. В. Ващенко. – Новосибирск : Сибирский фе- деральный университет, 2015. – 112 с.
   
4. 
   Самоучитель по MathCAD 11. – URL: https://www.rk5.msk.ru/ Knig/Matycad11/pdf.
   

Учебноеиздание


Козлов Валерий Валерьевич, Регеда Владимир Викторович, Регеда Ольга Николаевна

Решение математических задач в среде MathCAD

Редактор В. В. ЧувашоваТехнический редактор Ю. В. АнуроваКомпьютерная верстка Ю.В.Ануровой
Подписано в печать 28.01.2019. Формат 60×84¹/₁₆. Усл. печ. л. 4,88.

Заказ № 14. Тираж 60. Издательство ПГУ

440026, Пенза, Красная, 40


83
Тел./факс: [phone]; e-mail: [e-mail]