9 класс уроки. Решение задач Цели

• Название: Решение задач Цели
• Дата: 23.11.2022
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: 9 класс уроки.doc
• Тип: Урок; #808959
• страница: 3 из 12

II. Изучение нового материала (лекция).

1. Рассмотреть по учебнику рис. 277 и рис. 278 и ввести понятие радиус-вектора .

Без доказательства записать в тетрадях утверждения:

а) координаты точки М равны соответствующим координатам ее радиус-вектора;

б) каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала:

џ Устно решить задачу № 934.

2. Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

3. Рассмотрим три вспомогательные задачи.

1) Координаты середины отрезка.

Используя формулу из п. 84 (1) и координаты векторов записать равенство в координатах: отсюда x = ; y = .

Вывод: каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

џ Устно решить задачу № 936.

2) Вычисление длины вектора по его координатам.

Используя рис. 280 учебника, вывести формулу , если

џ Устно решить задачу № 938.

3) Расстояние между двумя точками.

Пусть точка M₁ (x₁; y₁) и точка M₂ (x₂; y₂); тогда вектор (x₂ – x₁;
y₂ – y₁); следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле но = d, таким образом, расстояние d между точками M₁ (x₁; y₁) и M₂ (x₂; y₂) выражается формулой

d =

џ Решить задачу № 940 (а, б) на доске и в тетрадях.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 939.

Решение

Найти расстояние от точки М (3; –2): а) до оси абсцисс; точка В (x; y) лежит на оси абсцисс; тогда расстояние равно 2; б) расстояние до оси ординат равно 3; в) до начала координат равно d =

2. Решить задачу № 941 на доске и в тетрадях.

Решение

P_Δ = MN + NP + MP;

MN =

NP =

MP =

P_ΔMNP = .

IV. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пунктов 88, 89; решить задачи №№ 935, 952.

Урок 4
Простейшие задачи в координатах.
Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; учить решать задачи в координатах.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Двое учащихся по карточкам работают у доски:

Карточка 1

1) Вывести формулы координат середины отрезка.

2) Решить задачу № 942.

Карточка 2

1) Вывести формулу расстояния между двумя точками.

2) Решить задачу № 937.

2. С остальными учащимися проводится устная работа по решению задач:

1) Найдите координаты вектора , равного разности векторов и , если (–5; 6), (0; –4).

2) Найдите координаты вектора , равного сумме векторов и , если (3; 7), (4; –5).

3) Найдите координаты середины отрезка DK, если D (–6; 4), K (2; –8).

4) Найдите длину отрезка CP, если С (3; –2), P (–5; 4).

5) Найдите длину вектора , равного , если (5; 0) и (0; –12).

6) Найдите координаты вектора 3 , если (4; –2); вектора –2 , если (–2; 5).

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 947 (а).

Решение

Найдем длины сторон треугольника АВС по формуле

d = :

AB =

BC =

AC = Так как АВ = АС, то по определению равнобедренного треугольника АВС – равнобедренный. Найдем его площадь; проведем высоту АМ ВС: SΔABC = BC ∙ AM; AM – высота и медиана в равнобедренном треугольнике.

Пусть М (x; y), тогда

x = = 3; y = = –1.

Значит, точка М (3; –1).

Найдем длину отрезка AM =

Площадь треугольника АВС равна S = = 13.

Ответ: 13.

2. Решить задачу № 946 (б).

Решение

M₁ (–1; x) и M₂ (2x; 3); M₁M₂ = d = 7. Найти x.

d = ; (2x + 1)² + (3 – x)² = 7²;

4x² + 4x + 1 + 9 – 6x + x² = 49; 5x² – 2x – 39 = 0;

D = b² – 4ac = 4 + 780 = 784;



Ответ: –2,6; 3.

3. Решить задачу № 948 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

Пусть точка М (0; y) лежит на оси ординат; по условию МС = MD;

(4 – 0)² + (–3 – y)² = (8 – 0)² + (1 – y)²;

16 + 9 + 6y + y² = 64 + 1 – 2y + y²;

8y = 40;

y = 5.

Значит, точка М (0; 5).

Ответ: (0; 5).

4. Решить задачу № 950 (б) на доске и в тетрадях.

Решение Найдем координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника О (x; y): для диагонали NQ имеем: x = = –3;

y = = 3; точка О (–3; 3).

Для диагонали МР имеем:

x = = –3; y = = 3; точка О (–3; 3).

Значит, диагонали MP и NQ точкой пересечения делятся пополам; по признаку параллелограмма MNPQ – параллелограмм.

MP =

NQ =

Ответ: 4 и 2 .

5. Решить задачу № 951 (а).

Решение

AB = = 4;

CD = = 4;

BC = = 2;

AD = =2.

Так как AB = CD = 4 и BC = AD = 2, то по II признаку параллелограмма ABCD – параллелограмм. Найдем диагонали АС и BD параллелограмма ABCD: AC =

BD =

Если диагонали равны AC = BD, то ABCD – прямоугольник.

S = AD ∙ AB = 2 ∙ 4 = 8.

Ответ: 8.

III. Итоги урока.

Домашнее здание: повторить материал пунктов 88 и 89; решить задачи №№ 947 (б), 949 (а), 951 (б), 953.

Урок 5
Уравнение линии на плоскости.
Уравнение окружности

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности.

Ход урока

I. Математический диктант (10–15 мин).

Вариант I

1. Найдите координаты середины отрезка AB, если A (–2; 3), B (6; –3).

2. Найдите длину отрезка EH, если E (–3; 8), H (2; –4).

3. Какая фигура состоит из множества всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек?

4. Принадлежит ли точка A (–6; 2) графику функции y = – 0,5x?

5. Функция задана уравнением y = 2x – 3. Какая линия служит графиком этой функции?

6. На окружности радиуса 7 см даны точки А и В, расстояние между которыми равно 13 см. лежит ли центр окружности на прямой АВ?

7. Вершины треугольника ABC имеют следующие координаты: А (8; –3); В (5; 1); С (12; 0). Докажите, что B = C.

Вариант II

1. Найдите координаты середины отрезка CD, если C (3; –4), D (–3; 6).

2. Найдите длину отрезка KB, если K (–6; –3), B (2; 3).

3. Прямая l является серединным перпендикуляром к основанию AB треугольника ABC и проходит через вершину C. Определите вид треугольника ABC.

4. Принадлежит ли точка В (2; –8) графику функции y = – 4x?

5. Функция задана уравнением y = 5 – x. Какая линия служит графиком этой функции?

6. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?

7. Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А (–3; –1); В (1; 2); С (5; –1), D (1; –4). Докажите, что этот четырехугольник – ромб.

II. Объяснение нового материала.

1. Разобрать пятое задание диктанта, обратив внимание учащихся на то, что им уже известны графики некоторых функций. В частности, графиком линейной функции y = kx + b является прямая линия, а уравнение y = kx + b называется уравнением этой прямой.

2. Вспомнить уравнения параболы и гиперболы и их графики.

3. Понятие уравнения произвольной линии дается в ознакомитель-ном плане. При этом важно добиться понимания учащимися следующего: чтобы установить, что данное уравнение является уравнением данной линии, нужно доказать, что: 1) координаты любой точки линии удовлетворяют данному уравнению и 2) координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют этому уравнению.

4. Введение уравнения окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат (рис. 286):

(x – x₀)² + (y – y₀)² = r²,

где C (x₀; y₀). Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат О (0; 0) имеет вид: x² + y² = r².

5. Не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность. Например, уравнение 4х² + у² = 4 в прямоугольной системе координат не окружность, а эллипс (с этой фигурой учащиеся знакомились в курсе черчения), уравнение х² + у² = 0 задает единственную точку – начало координат, а уравнению х² + у² = –4 не удовлетворяют координаты ни одной точки, поэтому это уравнение не задает никакой фигуры.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. решить задачу № 959 (а, б, д).

2. Устно решить задачу № 960.

3. решить задачу № 961 на доске и в тетрадях.

4. решить задачу № 964 на доске и в тетрадях.

Решение

а) x = 3, тогда (3 – 3)² + (y – 5)² = 25; y² – 10y + 25 = 25;

y² – 10y = 0; y ∙ (y – 10) = 0; y = 0 или y = 10. Точки А (3; 0) и В (3; 10).

б) y = 5, тогда (x – 3)² + (5 – 5)² = 25; x² – 6x + 9 = 25;

x² – 6x – 16 = 0; x₁ = 8; x₂ = –2; точки С (–2; 5) и D (8; 5).

5. Решить задачу № 966 (в, г).

6. Разобрать решение задачи по учебнику на с. 243.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 90, 91; вопросы 15–17; решить задачи №№ 962, 963, 965, 966 (а, б), 1000.
Урок 6
Уравнение окружности. Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Результаты математического диктанта. Указать ошибки, сделанные учащимися.

2. На доске один ученик выводит уравнение окружности.

3. С остальными учащимися проверяется решение домашних задач.

II. Выполнение упражнений.

1. Решить задачу:

Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 4), проходящей через точку D (–6; –4).

Решение

Центр окружности имеет координаты А (0; 4). Найдем радиус окружности r = AD по формуле: d = .

r = AD = = 10; r = 10.

Значит, искомое уравнение окружности имеет вид:

(x – 0)² + (y – 4)² = 10²; x² + (y – 4)² = 100.

Ответ: x² + (y – 4)² = 100.

2. Решить задачу № 969 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Диаметр  окружности  MN = =
= 2 ; найдем радиус окружности r = . Координаты центра окружности найдем, используя формулы для нахождения координат середины отрезка MN: x = = 2; y = = 1. Центр В (2; 1). Напишем уравнение окружности: (x – 2)² + (y – 1)² = 41.

3. Решить задачу № 970.

Решение

Центр окружности лежит на оси абсцисс, то координаты центра D (x; 0); радиус равен r = 5. Окружность проходит через точку А (1; 3), тогда AD = r, поэтому (x – 1)² + (3 – 0)² = r² = 5², (x – 1)² + 9 = 25;

x² – 2x – 15 = 0; x₁ = –3; x₂ = 5.

Следовательно, координаты центров окружностей D₁ (–3; 0) и D₂ (5; 0). Существует две таких окружности: (x + 3)² + y² = 25 и (x – 5)² + y² = 25.

4. Решить задачу № 971 на доске и в тетрадях.

Решение

Центр окружности лежит на оси ординат, значит, координаты центра С (0; y). По условию, окружность проходит через точки А (–3; 0) и В (0; 9), значит, расстояния АС = ВС = r радиусу:

(0 + 3)² + (y – 0)² = (0 – 0)² + (y – 9)²;

9 + y² = y² – 18y + 81; 18y = 72; y = 4.

Следовательно, центр окружности имеет координаты С (0; 4).

Найдем радиус окружности: r² = AC² = (0 + 3)² + (4 – 0)² = 9 + 16 = 25; r = 5. Напишем уравнение окружности:

(x – 0)² + (y – 4)² = 5²; то есть x² + (y – 4)² = 25.

5. Решить задачу № 1002(а) на доске и в тетрадях (решение задачи объясняет учитель).

Решение

Координаты точек А, В и С должны удовлетворять уравнению окружности (x – a)² + (y – b)² = r².

Подставив в это уравнение координаты данных точек, получим систему трех уравнений относительно неизвестных a, b и r :

Вычтем из уравнения (1) сначала уравнение (2), а затем уравнение (3). Получим систему двух линейных уравнений с неизвестными a и b, которую учащиеся могут решить самостоятельно . Подставив эти значения в любое из уравнений, например, в уравнение (1), находим значение r² и записываем искомое уравнение:

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 86–91; решить задачи №№ 969 (б), 981 (есть решение в учебнике), 1002 (б).
Урок 7
Уравнение прямой

Цели: вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Самостоятельная работа (контролирующая, 10–15 мин).

Вариант I

Решить задачи № 959 (г), 968, 960 (б).

Вариант II

Решить задачи № 959(в), 967, 960 (в).

II. Изучение нового материала.

1. Уравнением любой прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени с двумя переменными (уравнение прямых, параллельных осям координат, также можно считать уравнением с двумя переменными, например, уравнение x = x₀ можно записать в виде x + 0y = x₀) и, наоборот, любое уравнение первой степени с двумя переменными задает прямую.

2. Вывести уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат (рис. 287): ax + by + c = 0.

3. Вывести уравнение прямой l, проходящей через точку M₀ (x₀; y₀) и параллельной оси ОX (рис. 288) y = y₀.

4. Ось OX имеет уравнение y = 0, а ось OY – уравнение x = 0.