9 класс уроки. Решение задач Цели
 Скачать 1.51 Mb.
|
|
II. Объяснение нового материала. 1. Ввести понятие угла между векторами и (рис. 300 и таблица). 2. Угол между векторами и не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и . 3. Угол между сонаправленными векторами считается равным нулю. 4. Обозначение угла между векторами: . 5. Определение углов между векторами на рисунке 301. 6. Определение перпендикулярных векторов. 7. Повторить по настенным таблицам сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. 8. Введение еще одного действия над векторами – скалярного умножения векторов. В отличие от суммы и разности векторов скалярное произведение есть число (скаляр) – именно это и обусловило название операции. 9. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу: скалярное произведение векторов Если и , то а) (0 ≤ < 90°) <=> ( > 0); б) (90° < ≤ 180°) <=> ( < 0); в) <=> ( = 0); г) ( = 0°) <=> . 10. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними: . III. Закрепление изученного материала. 1. Решить задачи №№ 1039 (а, б, ж, з) и 1040 (а, д, е) по готовым чертежам квадрата и ромба, заранее выполненным на доске. 2. Решить задачу № 1041 (в). Примечание. Сos 135° = cos (180° – 45°) = – cos 45° = . IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучение материалов пунктов 101 и 102; повторить материал п. 87; решить задачи №№ 1039 (в, г), 1040 (г), 1042 (а, б). Урок 10 Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов Цели: ввести понятие скалярного произведения в координатах; изучить свойства скалярного произведения векторов и закрепить их знание при решении задач. Ход урока I. Проверочная работа (10 мин). Вариант I 1. Известно, что , где и – координатные векторы. Выпишите координаты вектора . 2. Дан вектор (0; 5). Запишите разложение вектора по координатным векторам и . 3. Даны векторы (–1; 2) и (2; 1). Найдите координаты суммы векторов и . 4. Найдите координаты вектора , если (–3; 0). 5. Даны векторы (5; 6) и (–2; 3). Найдите координаты вектора . 6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника. 7. в треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите . 8. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Чему равен угол между векторами и ? Вариант II 1. Дан вектор (3; 0). Запишите разложение вектора по координатным векторам и . 2. Известно, что , где и – координатные векторы. Выпишите координаты вектора . 3. Найдите координаты вектора – , если (0; –2). 4. Даны векторы (2; –1) и (3; –1). Найдите координаты разности векторов и . 5. Даны векторы (–1; 9) и (3; –2). Найдите координаты вектора . 6. В треугольнике МРQ угол M = 135°; МР = 5, МQ = 2 . Вычислите . 7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника. 8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов и ? II. Изучение нового материала. 1. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов. 2. Изучение теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и свойств скалярного произведения полезно построить так, чтобы учащиеся сами проводили алгебраические преобразования. Полученные результаты можно записать в тетради и вынести в настенную таблицу: Скалярное произведение в координатах
Свойства скалярного произведения векторов: 1) ≥ 0 ( > 0 при 0); 2) ; 3) ; 4) . III. Закрепление изученного материала. 1. Решить задачу № 1043 (объясняет учитель):
, тогда по правилу треугольника (или по правилу параллелограмма вектор есть равнодействующая сила ). C = 180° – 120° = 60° (сумма односторонних углов равна 180°). По теореме косинусов из треугольника ВСD найдем ВD: BD2 = BC2 + CD2 – 2BC ∙ CD ∙ cos C = = 82 + 152 – 2 ∙ 8 ∙ 15 ∙ = 64 + 225 – 120 = 169; = 169; = 13. Ответ: 13. 2. Решить задачи № 1044 (а, б). 3. Устно № 1045. 4. Решить задачи № 1046, 1047 (б, в) на доске и в тетрадях. 5. Решить задачу № 1051. Решение = 1 ∙ 2 cos 60° + 2 ∙ 2 cos 60° = 2 ∙ + 4 ∙ = 1 + 2 = 3. Ответ: 3. 6. Решить задачу № 1049 на доске и в тетрадях (для угла А объясняет учитель): Решение
cos A = ; cos A = , то A = 60°. 2) cos B = ; = 1 + 12 = 13; BC = = 3,5; cos B = ≈ 0,9286; B находим по таблицам Брадиса: B ≈ 21°47′. 3) C = 180° – 60° – 21°47′ ≈ 98°13′. Ответ: A = 60°; B ≈ 21°47′; C ≈ 98°13′. 7. Решить задачу № 1052. Решение = 52 – 2 ∙ 5 ∙ 2 cos 90° + 22 – 42 = = 25 + 4 – 16 = 13; = 13. Ответ: 13. 8. Решить задачу № 1066. Решение По условию . = 9 ∙ 1 – 24 ∙ 1∙ 1 ∙ 0 + 16 ∙ 1 = 25. = 25, тогда = 5. Ответ: 5. IV. Итоги урока. Домашнее задание: изучить материал пунктов 101–104; ответить на вопросы 17–20 на странице 271 учебника; решить №№ 1044 (в), 1047 (а), 1054 (разобрать решение задачи и записать в тетрадь). урок 11 Решение задач Цели: закрепление и проверка знаний и умений учащихся, сформированных при изучении главы XI, формирование навыков решения задач, развитие навыков логического мышления. Ход урока I. Математический диктант (10 мин). Вариант I 1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а угол между ними равен 120°. 2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно 0. Определите угол между векторами и . 3. Вычислите скалярное произведение векторов и , если (3; –2), (–2; 3). 4. Найдите угол между ненулевыми векторами (х; у) и (–у; х). 5. Вычислите косинус угла между векторами и , если (3; –4), (15; 8). 6. Даны векторы (2; –3) и (х; –4). При каком значении х эти векторы перпендикулярны? Вариант II 1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а угол между ними равен 135°. 2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Определите угол между этими векторами. 3. Вычислите скалярное произведение векторов и , если (–4; 5), (–5; 4). 4. Найдите угол между ненулевыми векторами (х; –у) и (у; х). 5. Вычислите косинус угла между векторами и , если (–12; 5), (3; 4). 6. Даны векторы (3; у) и (2; –6). При каком значении у эти векторы перпендикулярны? II. Решение задач. 1. Решить задачу № 1025 (б, е, з) на доске и в тетрадях, используя микрокалькулятор. 2. Решить задачу № 1056 на доске и в тетрадях. Решение Пусть АВСD – данный ромб. Выразим векторы и через векторы и : используя эти выражения, получаем: так как АD = АВ. Следовательно, АС ВD, то есть доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 3. Решить задачу № 1042 на доске и в тетрадях.
б) cos 120° = cos (180° – 60°) = –cos 60° = – . в) ∙ cos 90° = 0, так как cos 90° = 0; г) ∙ cos 0° = a ∙ a ∙ 1 = a2. ответ: а) a2; б) – a2; в) 0; г) а2. 4. Решить задачу № 1050. Решение Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, тогда . = 52 – 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ + 82 = 25 – 40 + 64 = 49, ; значит, = 7. Самостоятельно учащиеся находят . III. Устный опрос учащихся по карточкам. Вариант I 1. Что называется тангенсом угла ? Для какого значения тангенс не существует и почему? 2. Сформулируйте и докажите теорему синусов. 3. Даны векторы (х; –4) и (2; 3). Найдите значение х, если . Вариант II 1. Напишите формулы приведения. 2. Сформулируйте и докажите теорему косинусов. 3. Найдите скалярное произведение векторов (–5; 7) и (2; 1). Вариант III 1. Что такое скалярное произведение векторов? 2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. 3. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если АВ = 8 см, АС = 6 см, ВС = 12 см. Вариант IV 1. Какие два вектора называются перпендикулярными? 2. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты. 3. Найдите синус угла В треугольника АВС, если АВ = 5 см, АС = 8 см, С = 30°. IV. Итоги уроков. Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторить материал пунктов 93–104; решить задачи №№ 1065, 1068, 1060 (а, б), 1061 (а, б). Урок 12 Контрольная работа № 2 Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов». Ход урока I. Организация учащихся на выполнение работы. II. Выполнение работы по вариантам. Вариант I 1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ, если А (–1; 3). 2. Решите треугольник АВС, если угол В = 30°, угол С = 105°, ВС = = 3 см. 3. Найдите косинус угла М треугольника KLМ, если К (1; 7), L (–2; 4), М (2; 0). Найдите косинусы углов K и L. Вариант II 1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью ОХ, если В (3; 3). 2. Решите треугольник ВСD, если угол В = 45°; угол D = 60°, ВС = = см. 3. Найдите косинусы углов А, В и С треугольника АВС, если А (3; 9), В (0; 6), С (4; 2). Вариант III 1. Найдите угол между лучом ОС и положительной полуосью ОХ, если С ( ; 1). 2. Решите треугольник СDЕ, если угол С = 60°, СD = 8 дм, СЕ = 5 дм. 3. Найдите косинус угла между векторами и , если = 60°. Вариант IV 1. Найдите угол между лучом ОD и положительной полуосью ОХ, если D (–2; 2). 2. Решите треугольник DЕF, если DЕ = 5 м, DF = 8 м и ЕF = 4 м. 3. Найдите косинус угла между векторами и , если = 60°. Домашнее задание: повторить материал пунктов 39–41 и пунктов 21, 74–75 «Вписанная и описанная окружности». ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. (11 часов) Урок 1 Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника Цели: повторить ранее изученный материал о сумме углов выпуклого многоугольника, о свойстве биссектрисы угла, теорему об окружности, описанной около треугольника, признак равнобедренного треугольника; сформировать у учащихся понятия «правильный многоугольник», «многоугольник, вписанный в окружность»; выработать умение формулировать и доказывать теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника. Ход урока I. Анализ контрольной работы. II. Актуализация опорных знаний учащихся. 1. Повторить формулу суммы углов выпуклого многоугольника и записать ее. 2. Сформулировать свойство биссектрисы угла и признак равнобедренного треугольника. 3. Повторить теорему об окружности, описанной около треугольника. 4. Устно решить задачи: 1) Сколько сторон имеет п-угольник, если сумма его внутренних углов равна: а) 1260°; б) 1980°? 2) Назовите выпуклый четырехугольник, у которого все внешние углы прямые. 3) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна сумме внешних? 4) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые? 5. Решить задачи на доске и в тетрадях: 1) Все углы выпуклого пятиугольника равны друг другу. Найдите величину каждого угла. 2) Докажите, что треугольник, две высоты которого равны, является равнобедренным. 3) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Докажите, что А + + С = В + D. III. Изучение нового материала. 1. Ввести понятие правильного многоугольника. 2. Задать учащимся вопросы: 1) Какие правильные многоугольники уже рассматривались в курсе геометрии? 2) Приведите примеры такого выпуклого многоугольника, у которого: а) все стороны равны, но он не является правильным (ромб с острым углом); б) все углы равны, но он не является правильным (прямоугольник с неравными сторонами). 3. Предложить учащимся вывести формулу для вычисления угла правильного многоугольника. 4. Решить задачи № 1081 (в) и 1083 (в) на доске и в тетрадях. 5. Формулировка и доказательство теоремы об окружности, описанной около правильного многоугольника (рис. 307). IV. Закрепление изученного материала. 1. Решить задачи №№ 1086 и 1084 (б, д). решение № 1086. Примечание. Воспользоваться тем, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности. № 1084: б) Градусная мера дуги всей окружности равна 360°; количество сторон правильного многоугольника равно 360° : 30° = 12 (сторон); д) 360° : 18° = 20 (сторон). Ответ: б) 12, д) 20. 2. Обсудить решения задач № 1080 и 1082 (устно). V. Итоги урока. Домашнее задание: изучить материалы пунктов 105–106; ответить на вопросы 1–3, с. 290; решить задачи №№ 1081 (а, д), 1083 (г), 1084 (а, в), 1129. Урок 2 Окружность, вписанная в правильный многоугольник Цели: повторить теорему об окружности, вписанной в треугольник; повторить свойства касательной к окружности; сформулировать и доказать теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник; вырабатывать навыки решения задач. Ход урока I. Повторение изученного материала. 1. Сформулировать теорему об окружности, вписанной в треугольник. 2. Сформулировать свойство касательной к окружности. 3. Решить задачи №№ 1078 (устно) и 1079 (устно). 4. Решить задачи на доске и в тетрадях: 1) Окружность радиуса 5 см касается сторон угла А в точках В и С. найдите длины отрезков АВ и АС, если центр окружности удален от вершины угла на 13 см. 2) Две окружности пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая, проходящая через их центры, перпендикулярна к отрезку АВ. 3) Докажите, что радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, вдвое меньше радиуса описанной около него окружности. |