9 класс уроки. Решение задач Цели

• Название: Решение задач Цели
• Дата: 23.11.2022
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: 9 класс уроки.doc
• Тип: Урок; #808959
• страница: 7 из 12

II. Работа с учебником.

1. Определение окружности, вписанной в многоугольник.

2. Разобрать по рисунку 308 учебника доказательство теоремы об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Дома учащиеся запишут доказательство этой теоремы.

3. Записать в тетради следствие 1 и следствие 2.

4. Записать в тетради правила нахождения для заданного правильного многоугольника центров описанной и вписанной окружностей, а также их радиусов:

1) Центром окружности, описанной около правильного многоугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (достаточно найти точку пересечения серединных перпендикуляров к двум соседним сторонам), а радиусом является отрезок биссектрисы угла многоугольника, соединяющий его вершину с центром.

2) Для нахождения центра и радиуса окружности, вписанной в многоугольник, достаточно построить биссектрисы двух соседних углов, найти точку О их пересечения и опустить из нее перпендикуляр на соответствующую сторону многоугольника (точка О будет центром вписанной окружности, а перпендикуляр – ее радиусом).

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачи на доске и в тетрадях:

1. Докажите, что все диагонали правильного многоугольника равны.

2. На каждой из сторон квадрата отмечены две точки, делящие каждую сторону в отношении 1 : : 1. Докажите, что эти точки служат вершинами правильного восьмиугольника.

3. Постройте с помощью транспортира и циркуля правильный пятиугольник.

IV. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. Задачи №№ 1081 (б), 1083 (б), 1084 (г).

2. Докажите, что три вершины правильного шестиугольника, взятые через одну, служат вершинами правильного треугольника.

Вариант II

1. Задачи №№ 1081 (г), 1083 (а), 1084 (е).

2. Докажите, что четыре вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами квадрата.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 105–107; ответить на вопросы 1–4, с. 290; решить задачи №№ 1085, 1131, 1130.
Урок 3
Формулы для вычисления площади
правильного многоугольника, его стороны
и радиуса вписанной окружности

Цели: выработать у учащихся умение выводить формулы, связывающие радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности со стороной а правильного п-угольника, на их основе научить учащихся получать формулы для вычисления а_пчерез R и r и конкретизировать их для случая п = 3, п = 4, п = 6, выработать навыки применения полученных знаний при решении задач.

Ход урока

I. Анализ самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала.

1. Вывод формул (1–6) из пункта 108 учебника учащиеся проводят самостоятельно под руководством учителя по заранее заготовленному на доске рисунку 308.

2. После вывода формул для правильного п-угольника рассмотреть их частные случаи для п = 3, п = 4, п = 6.

3. Выведенные формулы оформить в виде таблицы, которую учащиеся записывают в тетради:

п	а		R	r	S	S
3			2r
4		2r			2R2	4r2
6	R
n

Эту таблицу учитель оформляет как настенную на картоне.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решение учащимися задач на непосредственное применение выведенных формул:

1) В окружность радиуса R = 12 вписан правильный п-угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6.

2) Около окружности радиуса r = 6 описан правильный п-угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6.

3) Для правильного п-угольника со стороной а = 6 см найдите радиус описанной около него окружности, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6.

2. Решить задачу № 1089.

Решение

Р_ = 18 см; а = 18 : 3 = 6 (см);

а₃ = R ; R = = 2 (см);

а₄ = R = 2 ∙ = 2 (см).

Ответ: 2 см.

3. Решить задачу № 1090.

Решение

а₃ = 3 см; R = (см); d = 2R = 2 (см).

ответ: 2 см.

4. Решить задачу № 1092.

Решение

Р = 48 см; а₆ = 48 : 6 = 8 (см); а₆ = = 8 (см);

r = = 4 (см); а₄ = 2r = 8 (см) ; р = 4 ∙ а₄ = 8 ∙ 4 = 32 (см).

Ответ: 32 см.

5. Решить задачу:

Правильный треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 8 см. На стороне этого треугольника построен квадрат. Определите радиус окружности, описанной около квадрата.

IV. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пункта 108; решить задачи №№ 1087, 1088, 1094 (а, б).

Урок 4
Построение правильных многоугольников

Цель: выработать у учащихся умение строить некоторые правильные многоугольники.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Проверить решение учащимися задач № 1087 и № 1088 по тетрадям.

2. Решить на доске часть заданий, вызвавших затруднения у учащихся.

II. Построение правильных многоугольников.

1. Рассмотреть решение задачи 1 пункта 109.

2. Построение правильного треугольника, вписанного в окружность.

3. Рассмотреть решение задачи 2 пункта 109.

4. Построение правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность (рис. 310).

5. Построение правильных четырехугольника, восьмиугольника, шестнадцатиугольника, вписанных в окружность.

6. Построение правильных шестиугольника, треугольника, описанных около окружности.

7. Построение правильных четырехугольника, восьмиугольника, описанных около окружности.

III. Итоги урока.

Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки.

Однако с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.

Домашнее задание: выполнить аналогичное задание на чертежных листах (построение правильных многоугольников, вписанных в окружность, и построение правильных многоугольников, описанных около окружности).

Учитель может указать количество сторон правильного многоугольника. Лучшие работы пойдут в методическую копилку.

Решить задачи №№ 1095, 1096, 1097.
Урок 5
Длина окружности

Цели: вывести формулу, выражающую длину окружности через ее радиус; вывести формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой ; закрепить знание формул при решении задач.

Ход урока

I. Математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Найдите угол правильного десятиугольника.

2. Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 2 м.

3. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, если радиус описанной около него окружности равен 2 м.

4. Найдите площадь правильного треугольника, если расстояние от его центра до вершины равно 2 м.

5. Закончите предложение: «Угол с вершиной в центре окружности называется …»

6. Угол с вершиной в центре правильного многоугольника и сторонами, проходящими через две его соседние вершины, равен 36°. Сколько сторон имеет этот многоугольник?

7. Чему равен cos 0°?

8. С помощью циркуля и линейки постройте правильный шестиугольник.

Вариант II

1. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18°?

2. Найдите площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

3. Закончите предложение: «Кругом называется часть плоскости …»

4. Найдите сторону квадрата, если расстояние от его центра до вершины равно 2 дм.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

6. Чему равен cos 0°?

7. Найдите угол правильного девятиугольника.

8. С помощью циркуля и линейки постройте правильный треугольник.

II. Изучение нового материала (лекция).

Поскольку материал пункта «Длина окружности» нетрадиционен и опирается на понятие предела, его изложение целесообразно дать в форме лекции.

1. Дать представление о длине окружности с помощью нитки, обмотанной около дна стакана.

2. Работа по рисункам 312 и 313 учебника.

3. Вывод формулы, выражающей длину окружности через ее радиус.

4. Записать в тетради вывод: отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Число π (пи).

5. Формула для вычисления длины окружности: C = 2πR; d = 2R, тогда C = πd, где d – диаметр окружности.

Найдем радиус и диаметр окружности: R = ; d = , где π ≈ 3,14.

6. Вывод формулы для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой :

длина дуги в 1° равна ;

длина дуги в ° равна l = ∙ .

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 1101 (таблицу начертить заранее на доске).

2. Устно решить задачи № 1102 и № 1103.

3. Решить задачу № 1109 (а, б).

4. Решить задачу № 1111 (использовать рис. 316).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 110; решить задачи №№ 1109 (в, г), 1106, 1104 (а), 1105 (а).
Урок 6
Площадь круга

Цели: вывести формулу площади круга и научить учащихся применять ее при решении задач.

Ход урока

I. Изучение нового материала (лекция).

Провести в форме лекции доказательство площади круга.

1. Дать определение понятия «круг».

2. Вывести формулу площади круга (рис. 314).

3. Записать в тетрадях: для вычисления площади S круга радиуса R применяется формула .

4. В течение веков усилия многих математиков были направлены на решение задачи, получившей название задача о квадратуре круга: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Только в конце XIX века было доказано, что такое построение невозможно.

II. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу. На здании МГУ установлены часы с круговым циферблатом, имеющим диаметр примерно 8,8 м. Найдите площадь циферблата этих часов и сравните с площадью вашей классной комнаты.

Ответ: 60,8 м².

2. Решить задачу № 1118 (самостоятельно).

3. Решить задачу № 1119 на доске и в тетрадях.

Решение

С = 41 м; C = 2πR; D = 2R (диаметр D);

2R = D = ; D = ≈ 13,06 (м) ≈ 13,1 м.

S_круга = πR²; так как R = , то S_круга = π ∙ = π ∙ ;

S = ≈ 133,84 (м²).

Ответ: ≈ 13,06 м; 133,84 м².

4. Решить задачу № 1125 на доске и в тетрадях.

На сторонах произвольного прямоугольного треугольника АВС, как на диаметрах, построены полукруги. Докажите, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна площади полукруга, построенного на гипотенузе.

Решение

Пусть АС = 2а, АВ = 2b, ВС = 2с, тогда радиусы соответствующих кругов равны а, b, с.

По теореме Пифагора а2 + b2 = с2, поэтому .

5. Решить задачу № 1116 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

По теореме Пифагора находим: с² = а² + b²; тогда

R = .

Значит, S_круга = πR² = .

Ответ: .

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 105–110; изучить материал пункта 111; решить задачи №№ 1114, 1115, 1117 (а).

Урок 7
Площадь кругового сектора

Цели: ввести понятие кругового сектора, вывести формулу для вычисления площади кругового сектора; научить применять знания при решении задач.

Ход урока

I. Проверка изученного материала.

1. Формула длины окружности. Выражение радиуса окружности через длину окружности.

2. Формулы площади круга, радиуса круга через площадь круга, формула площади круга, выраженная через диаметр круга.

3. Формула длины дуги окружности.

4. Устно решить задачу № 1115.

II. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие кругового сектора и понятие дуги сектора
(рис. 315).

2. Вывести формулу для вычисления площади S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с градусной мерой .

Так как площадь всего круга равна πR², то площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 1°, равна .

Поэтому площадь S выражается формулой

S = ∙ 

3. Ввести понятие кругового сегмента и познакомить учащихся с нахождением площади кругового сегмента, используя таблицу «Круговой сегмент».

III. закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу.

АВСD – квадрат со стороной 1 дм. Найдите площадь «чечевицы», заштрихованной на рисунке.

Решение

Так как сторона квадрата равна 1 дм, то площадь квадрата АВСD равна 1 дм².

Площадь сектора DАKС равна ∙  = = ∙ 90° = (дм2). Площадь треугольника АСD равна дм2.

Площадь сегмента АKС равна (дм²).

Площадь «чечевицы»: 2 ∙ ≈ 0,7 (дм²).

Ответ: ≈ 0,7 дм².

2. Решить задачу № 1126 (самостоятельно).

Решение

R = 10 см; S_круга = πR² = 100π (см²).

l =  = 60°; S_{сектора} = (см²).

S = S_круга – S_{сектора} = 100π – ≈ 262 (cм²).

Ответ: ≈ 262 см².

3. Решить задачу № 1127.

Решение

 = 72°, S_{сектора} = S. Найти: R.

S = ; 5S = πR²; R² = ; R = .

Ответ: .

4. Вывести формулу площади кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами R₁ и R₂, где R₁ < R₂.

Решение

; S_кольца = S₂ – S₁ = .

5. Решить задачу № 1120.

Решение

R₁ = 1,5 cм, R₂ = 2,5 см.

S_кольца = π (2,5² – 1,5²) = π (2,5 – 1,5) (2,5 + 1,5) = π ∙ 1 ∙ 4 = 4π (см²).

Ответ: 4π см².

6. Решить задачу № 1122 на доске и в тетрадях.

Решение

R₁ = 3 м, R₂ = 3 + 1 = 4 (м);

S_{дорожки} = π = π (4² – 3²) = π (4 – 3) (4 + 3) = 7π (м²).

На 1 м² дорожки требуется 0,8 дм³ песка; тогда 0,8 ∙ 7π = 5,6π (дм³) ≈
≈ 17,6 дм³.

Ответ: ≈ 17,6 дм³.