9 класс уроки. Решение задач Цели

• Название: Решение задач Цели
• Дата: 23.11.2022
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: 9 класс уроки.doc
• Тип: Урок; #808959
• страница: 12 из 12

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1226 (б; в).

Учащиеся решают самостоятельно.

Решение

б) Дано: V = 113,04 см³. Найти R и S.

V = πR³, отсюда, R³ = , значит, R = .

R = ≈ ≈ ≈ 3 (см).

R ≈ 3 см.

S = 4πR² ≈ 4π ∙ 3² ≈ 36π (см²).

S ≈ 36π см².

Ответ: ≈ 3 см; ≈ 36π см².

в) Дано: S = 64π (см²). Найти R и V.

S = 4πR², отсюда R² = , то R = ;

R = = 4 (см);

R = 4 см.

(см³).

Ответ: 4 см; π см³.

2. Решить задачу № 1227 на доске и в тетрадях.

Решение

Диаметр Луны составляет (приближенно) четвертую часть диаметра Земли, то есть d_Земли = 4d_Луны, тогда радиус земли в 4 раза больше радиуса луны, то есть R₁ = 4R₂. Найдем объем луны

.

Найдем объем земли

.

Значит, объем земли в 64 раза больше объема луны.

Ответ: в 64 раза.

3. Решить задачу № 1229.

Учащиеся решают самостоятельно. затем проверяется решение задачи.

Решение

По условию R = 10 см. По формуле S = 4πR² найдем площадь сферы (покрышки футбольного мяча).

S = 4π ∙ 10² = 400π (см²) ≈ 400 ∙ 3,14 ≈ 1256 (см²).

8 % = 0,08 от 1256 равно 1256 ∙ 0,08 = 100,48 (см²).

На покрышку футбольного мяча необходимо кожи:

1256 + 100,48 = 1356,48 ≈ 1357.

Ответ: ≈ 1357 см².

4. Задача № 1228 практического содержания.

Решение По условию ВD = h = 12 см; АС = 5 см, тогда ВС = r = 2,5 см. Найдем объем конуса (объем стаканчика для мороженого): Vконуса = πr2h = π ∙ 6,25 ∙ 12 = 25π (см3).

Положим две ложки мороженого в виде полушарий, тогда вместе они составляют шар диаметром 5 см, то есть радиусом 2,5 сантиметра. Найдем объем шара (объем мороженого):

V_шара = πR³ = π ∙ (2,5)³ = π ∙ 6,25 ∙ 2,5 = (4π ∙ 6,25) ∙ =

= 25π ∙ ≈ 25π ∙ 0,8 (см³).

Значение выражения 25π ∙ 0,8 меньше значения выражения 25π. Поэтому объем шара (объем мороженого) меньше объема конуса (объема стаканчика для мороженого). Значит, мороженое, если оно растает, не переполнит стаканчик.

Ответ: нет.

5. Решить задачу № 1231 на доске и в тетрадях.

Решение

Отношение объемов двух шаров равно кубу коэффициента подобия, так как любые шары – это подобные тела.

= k³.

По условию = 8 = 2³,

отсюда k = 2.

Аналогично теореме «отношение площадей двух подобных треугольников (фигур) равно квадрату коэффициента подобия» (см. пункт 58 на с. 139 учебника) имеем, что отношение площадей поверхностей двух подобных тел равно квадрату коэффициента подобия.

= k².

так как k = 2, то = 2² = 4, то есть S₁ : S₂ = 4 : 1.

Ответ: 4 : 1.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 127, ответить на вопросы 23–26, записать в тетради решение задач №№ 1224, 1225 (с. 333–335 учебника).
Об аксиомах и планиметрии (2 часа)

При завершении курса планиметрии в конце 9 класса два урока отводятся на ознакомление учащихся с аксиоматическим методом, в частности с системой аксиом, которые положены в основу изученного курса геометрии.

На первом уроке желательно провести с учащимися беседу об аксиоматическом методе в геометрии. В связи с этим необходимо напомнить им некоторые факты о возникновении и развитии геометрии. Для этой беседы рекомендуется использовать приложения 1 и 3 учебника: «Об аксиомах планиметрии» и «Некоторые сведения о развитии геометрии», а также дополнительную литературу.

В зависимости от уровня подготовки класса на втором уроке можно разобрать один или два примера теорем, которые в курсе были доказаны на основе наглядных представлений, и доказать их с использованием принятых в учебнике аксиом. Один из таких примеров (теорема, выражающая первый признак равенства треугольников) разобран в приложении 1 учебника.
Решение задач

при повторении курса геометрии необходимо сконцентрировать внимание учащихся на узловых вопросах программы.

Основные факты планиметрии и применяемые в ней методы можно сгруппировать по следующим темам:

1. «Треугольник» (2 часа).

2. «Окружность» (2 часа).

3. «Четырехугольники, многоугольники» (2 часа).

4. «Векторы, метод координат, движения» (2 часа).

Рассмотрение этих вопросов может включать обобщение и систематизацию сведений об основных свойствах геометрических фигур, доказательство отдельных теорем, решение комплексных задач.

При повторении полезно обращать внимание учащихся на различные методы геометрических доказательств. В зависимости от подготовки класса повторение можно проводить по всем или отдельным вопросам рассматриваемой темы.

Для организации итогового повторения можно воспользоваться подбором задач по указанным выше темам

Треугольник

Основные вопросы программы: равенство и подобие треугольников, сумма углов треугольника, равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник, площадь треугольника.

Задачи

1. В треугольниках АВС и DЕK АВ = DЕ, АС = DK, ВР = ЕМ, где Р и М – середины сторон АС и DK.

1) Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику DЕK.

2) Найдите S_АВС, если ЕМ = 3 см, DK = 4 см, ЕМK = 135°.

2. В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АС = А₁С₁, ВС = В₁С₁, ВD = В₁D₁, где ВD и В₁D₁ – высоты треугольников, причем точки D и D₁ лежат на отрезках АС и А₁С₁.

1) Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику А₁В₁С₁.

2) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника В₁D₁С₁, если известно, что ВD = 6 см, DС = 8 см.

3) Найдите угол А₁С₁В₁, если ВD = 6 см, DС = 8 см.

3. На рисунке дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, DЕ АВ.

1) Докажите, что треугольник АВС и треугольник DАЕ подобны. 2) Найдите катеты треугольника АВС, если АВ = 13 см, АЕ = 5,2 см, DЕ = 2 см. 3) Докажите, что около четырехугольника ВDЕС можно описать окружность.

4. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СD к гипотенузе АВ, СD = а, АD = b.

найдите: 1) ВС; 2) радиус окружности, вписанной в треугольник АВС; 3) отношение площадей треугольников АDС и АСВ.

5. В треугольнике АВС АВ = 14 см, АС = 15 см, ВС = 13 см.

найдите: 1) длину меньшей высоты треугольника; 2) площадь треугольника АDС, если АD – биссектриса треугольника АВС; 3) медиану АЕ треугольника АВС.

6. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник АВС по сторонам АВ и АС и высоте, проведенной к АС.

7. Площадь треугольника АВС равна Q. Найдите площадь треугольника АОВ₁, где О – точка пересечения медиан треугольника АВС, а В₁ – середина стороны АС.

8. С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник АВС по основанию АС и углу В и биссектрису ВD внешнего угла этого треугольника при вершине В.
окружность

Основные вопросы программы: окружность и круг, касательная к окружности и ее свойства; окружность, описанная около треугольника; окружность, вписанная в треугольник.

Задачи

1. Хорда АВ окружности радиуса 4 см видна из центра под углом 90°.

Найдите: 1) хорду АВ и расстояние от центра окружности до этой хорды; 2) углы треугольника АВС, где С – точка, расположенная на большой дуге АВ окружности так, что АС : СВ = 5 : 4; 3) хорду ВС.

2. Две взаимно перпендикулярные хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке K, причем АK = 6 см, ВK = 32 см, KD = 24 см.

Найдите: 1) хорды ВD и СD; 2) расстояние от точки А до прямой ВD; 3) радиус данной окружности.

3. Треугольник АВС с углом В, равным 135°, вписан в окружность с центром О и радиусом R = 10 см.

Найдите: 1) сторону АВ; 2) сторону АВ и S_АВС, если известно, что угол АСВ равен 30°.

4. Точки М, D и K лежат на окружности, угол DМK равен 45°, хорда DK = 12 см.

Найдите: 1) радиус данной окружности; 2) угол МКD, если известно, что DМ = 6 см.

5. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, равен 3 см, KВ = 4 см, где K – точка касания окружности с боковой стороной.

Найдите: 1) сторону АС; 2) угол ВАС; 3) радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

6. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, касающаяся сторон АВ и ВС в точках М и Н.

1) Докажите, что треугольник МВН треугольнику АВС.

2) Найдите угол ВАС и радиус окружности, если АВ = 2 м, МН = 1 м.

Четырехугольники. Многоугольники

Основные вопросы программы: параллелограмм и его свойства; признаки параллелограмма; прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства; трапеция, многоугольник, правильные многоугольники.

Задачи

1. На рисунке 1 АЕFС – прямоугольник; АС = 10 см, АЕ = 3 см,
ВМ = АМ.

1) Докажите, что МN – средняя линия треугольника АВС.

2) Найдите S_АМNС. 3) Найдите S_АВС.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

2. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е; АВ = а; АD = b. Найдите: 1) отрезки ВЕ и ЕС; 2) отрезки ВK и KD и S_АВЕ, если K – точка пересечения АЕ и ВD, а угол А равен 60°.

3. На рисунке 2 АВСD – параллелограмм, угол 1 равен углу 2.

1) Докажите, что четырехугольник ВFDK – параллелограмм, и найдите его площадь и периметр, если KF = 10 см, ВD = 6 см, KОD = 150°. 2) Каким условиям должны удовлетворять отрезки KF и ВD, чтобы параллелограмм ВFDK был прямоугольником (ромбом, квадратом)?

4. Меньшая диагональ параллелограмма перпендикулярна к его стороне, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большую сторону на отрезки, равные 9 см и 16 см.

найдите: 1) стороны и высоту параллелограмма, проведенную из вершины тупого угла; 2) диагонали параллелограмма; 3) площадь параллелограмма.

5. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса АK угла А, точка K делит сторону ВС на отрезки ВK = 4 см и KС = 2 см. Расстояние между параллельными прямыми АD и ВС равно 2 см.

Найдите: 1) углы параллелограмма; 2) площадь треугольника АВС; 3) радиус окружности, описанной около треугольника DКС.

6. На рисунке 3 точки М, N, Р и Q – середины сторон четырехугольника АВСD, АС = 10 см, ВD = 18 см.

1) Докажите, что MNPQ – параллелограмм, и найдите его периметр. 2) Найдите площади четырехугольников АВСD и MNPQ, если угол ВОС равен 60°.

7. В равнобедренную трапецию, основания которой равны 2 см и 8 см, вписана окружность.

Найдите: 1) боковую сторону трапеции; 2) радиус вписанной окружности; 3) площадь трапеции.

8. В равнобедренной трапеции с основаниями АD и ВС угол D равен 60°, ВС = 12 см, а угол ВСА равен 30°.

1) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. 2) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСD. 3) Найдите площадь трапеции АВСD.

9. В ромб, сторона которого равна диагонали и равна а, вписана окружность, а в эту окружность вписан правильный треугольник.

Найдите: 1) радиус окружности; 2) сторону треугольника; 3) площади ромба, круга и правильного треугольника.

10. Каждый угол правильного п-угольника А₁А₂… А_п равен 150°.

1) Найдите число сторон этого многоугольника. 2) Найдите А₂А₃А₁₀. 3) Докажите, что треугольник А₁А₃В подобен треугольнику А₆А₁₀В, где В – точка пересечения диагоналей А₁А₆ и А₃А₁₀ этого многоугольника.

11. Внешний угол правильного п-угольника А₁А₂… А_п в три раза меньше угла этого многоугольника.

1) Найдите число сторон этого многоугольника. 2) Найдите А₃А₁А₆. 3) Докажите, что четырехугольник А₁А₃А₄А₈ – равнобедренная трапеция.

Векторы. метод координат. движения

Основные вопросы программы: вектор, длина вектора, сложение векторов и его свойства, умножение вектора на число и его свойства, коллинеарные векторы, прямоугольные координаты точек на плоскости, формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами, координаты середины отрезка, уравнения окружности и прямой, применение векторов и метода координат к доказательству теорем и решению задач. Движения.

Задачи

1. Четырехугольник АВСD задан координатами своих вершин: А (–3; –2), В (–1; 2), С (2; 2), D (4; –2).

1) Найдите координаты середин сторон этого четырехугольника.

2) Докажите, что середины сторон четырехугольника АВСD являются вершинами ромба, и найдите площадь этого ромба.

2. Дан четырехугольник АВСD.

1) Определите вид четырехугольника АВСD, если , и выразите вектор через векторы и .

2) Выразите векторы через векторы и , если М, N, Р и Q – середины сторон АВ, ВС, СD и АD.

3) Определите вид четырехугольника МNPQ.

3. Дан правильный шестиугольник АВСDЕF со стороной а. Найдите скалярное произведение векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Найдите косинусы углов треугольника АВС, если А (1; 3), В (8; 2), С (5; –1).

5. В параллелограмме АВСD диагональ ВD равна стороне ВС, точка М – середина стороны ВС, отрезок DМ перпендикулярен к диагонали АС. Найдите углы параллелограмма.

6. Две окружности радиуса r с центрами О₁ и О₂ касаются друг друга в точке М. На первой окружности отмечена точка А, а на второй – точка В так, что хорды АМ и ВМ взаимно перпендикулярны. Докажите, что: 1) при параллельном переносе на вектор отрезок АС отображается на отрезок ВМ; 2) АВ = 2r.

7. На сторонах правильного треугольника построены квадраты. Докажите, что центры этих квадратов являются вершинами правильного треугольника.

Литература

1. Геометрия. 7–9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян [и др.]. – М. : Просвещение, 2009.

2. Бурмистрова, Н. В. Проверочные работы с элементами тестирования по геометрии / Н. В. Бурмистрова, Н. Г. Старостенкова. – М. : Лицей, 1998.

3. Саврасова, С. М. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах / С. М. Саврасова, Г. А. Ястребинецкий. – М. : Просвещение, 1987.