9 класс уроки. Решение задач Цели

• Название: Решение задач Цели
• Дата: 23.11.2022
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: 9 класс уроки.doc
• Тип: Урок; #808959
• страница: 11 из 12

IV. Итоги урока. Выставление оценок.

Домашнее задание: изучить материал пункта 124; повторить пункты 118–123; ответить на вопросы 1–14 на с. 335–336 учебника; решить задачи № 1202 (б), № 1211 (а), № 1207.

Урок 5
Цилиндр

Цели: ввести понятие цилиндра (ось цилиндра, его высота, основания цилиндра); ввести понятие цилиндрической поверхности, образующих цилиндра; доказать теорему об объеме цилиндра и теорему о площади боковой поверхности цилиндра; научить применять эти теоремы при решении задач.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

1. Возьмем прямоугольник АВСD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например, вокруг стороны АВ (рис. 360). В результате получится тело, которое называется цилиндром.

Учитель показывает модель цилиндра.

2. На доске и в тетрадях строится изображение цилиндра и его частей (рис. 360 на с. 327). Прямая АВ называется осью цилиндра, а отрезок АВ – его высотой. При вращении сторон АD и ВС образуются два равных круга – они называются основаниями цилиндра, а их радиус называется радиусом цилиндра. При вращении стороны СD образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра. Ее называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра, а отрезки, из которых она составлена, – образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

3. Рассмотреть решение задачи № 1213 (рис. 366, с. 331 учебника). Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

, где S – площадь основания; h – высота цилиндра.

4. Ввести понятие развертки боковой поверхности цилиндра, используя рисунок учебника (рис. 361).

Записать в тетрадях: площадь боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, то есть

,

где r – радиус основания цилиндра, h – высота цилиндра.

II. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1214 (б; в) на доске и в тетрадях.

б) Дано: V = 120 см³; h = 3,6 см. Найти r.

Решение

V = Sh, отсюда

S = (см²).

S_круга = πr²,

отсюда r = (см).

Ответ: см.

в) Дано: r = h; V = 8π см³. Найти h.

V = Sh = πr² ∙ h = π ∙ h² ∙ h = πh³,

тогда 8π = πh³,

отсюда h³ = 8, h = = 2.

Ответ: 2.

2. Решить задачу № 1216.

Учащиеся решают задачу самостоятельно, а затем проверяется решение.

Решение

Дано: диаметр d = 1 м; h = с (длина окружности основания). Найдите S_бок.

Длина окружности равна с = 2πr = πd; по условию h = c, тогда h = πd =
= π ∙ 1 м = π (м).

S_бок = 2πr ∙ h = πd ∙ h = π ∙ 1 ∙ π = π² (м²).

Ответ: π² м².

3. Решить задачу № 1217. Задача практического характера.

Решение

h = 4 м; d = 20 см. Найти S_бок.

S_бок = 2πrh = πdh = π ∙ 0,2 ∙ 4 = 0,8π (м²).

Найдем 2,5 % от 0,8 π².

2,5 % = 0,025; тогда 0,8π ∙ 0,025 = 0,02π (м²).

Всего пойдет жести

0,8π + 0,02π = 0,82π (м²) ≈ 0,82 ∙ 3,14 ≈ 2,58 (м²).

Ответ: ≈ 2,58 м².

4. Решить задачу № 1245.

Решение

Плотность свинца ρ = 11,4 г/см³; h = 25 м = 2500 см.

ρ = ; найдем объем свинцовой трубы:

V = S_осн ∙ h = πr²h.

Основание свинцовой трубы представляет собой кольцо. Найдем площадь кольца по формуле

,

где R₁ = + 4 = 10,5 (мм), R₂ = 6,5 мм.

S_кольца = π (10,5² – 6,5²) = π (10,5 – 6,5) (10,5 = 6,5) =

= π ∙ 4 ∙ 17 = 68π (мм²) = 0,68π (см²).

Объем свинцовой трубы равен

V = 0,68π ∙ 2500 = 1700π (см³) ≈ 5338 (см³) ≈ 5340 см³.

m = ρV = 11,4 ∙ 5340 ≈ 60,876 (кг) ≈ 61 кг.

Ответ: 61 кг.

5. Решить задачу № 1246. (Учитель объясняет решение.)

Решение

По условию задачи h > r на 12 см, тогда h = r + 12 см.

= 288π см². Найти r и h.

= 2S_осн + S_бок = 2 ∙ πr² + 2πrh =

= 2πr² + 2πr ∙ (r + 12) = 2πr² + 2πr² + 24πr = 4πr² + 24πr.

По условию S_полн = 288π (см²), тогда 4πr² + 24πr = 288π; разделим обе части равенства на 4π, получим

r² = 6r – 72 = 0.

r₁ = 6; r₂ = – 12 – не удовлетворяет условию задачи.

Значит, радиус цилиндра равен 6 см, а высота цилиндра 6 + 12 =
= 18 (см).

Ответ: 6 см; 18 см.

6. Решить задачу № 1247.

Решение По условию АВСD – квадрат; АС = d; Sквадрата = Sбок. цилиндра Найти: Sоснования.

Обозначим сторону квадрата х, тогда из Δ АDС по теореме Пифагора найдем d² = x² + x² = 2x²; x² = ,

отсюда x = . AB = AD = .

Площадь квадрата S_{квадрата} = ,

значит, S_бок = .

Мы знаем, что S_бок = 2πrh; h = AB = ;

тогда = 2πr ∙ ;

отсюда найдем r = , r = .

Площадь основания цилиндра равна

S = πr² = π ∙ .

Ответ: .

III. Итоги урока.

Ответить на вопросы:

1. Какое тело называется цилиндром? Что такое ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра?

2. Какой формулой выражается объем цилиндра?

3. Какой формулой выражается площадь боковой поверхности цилиндра?

Домашнее задание: изучить материал пункта 125, решить задачи № 1214 (а) и № 1244.

Урок 6
Конус

Цели: познакомить учащихся с понятием конуса, его элементами; вывести формулу, выражающую объем конуса и формулу площади боковой поверхности конуса; учить решать задачи; способствовать развитию логического мышления учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Двое учащихся решают на доске задачи № 1214 (а) и № 1244, заданные на дом.

2. С остальными учащимися проводится работа по ответам на вопросы 15–18 (с. 336 учебника).

Решение задачи № 1214 (а).

Дано: r = 2 см; h = 3 см. Найти: V.

V = Sh = πr²h = π ∙ (2 )² ∙ 3 = 24π (см³).

Ответ: см³.

Решение задачи № 1244.

Дано: d = 4 мм = 0,4 см; m = 6,8 кг; с = 2,6 г/см³.

Найти: h (длину провода).

с = ; V = ; V = ≈ 2615 (см³); r = 0,2 см.

V_цил = S_осн ∙ h = πr²h,

отсюда

h = ≈ 20820 (см) ≈ 208 м.

Ответ: ≈ 208 м.

II. Изучение нового материала.

Учитель демонстрирует модели конуса, лейку в виде конуса; можно свернуть из бумаги кулек в виде конуса.

1. Возьмем прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ (рис. 362, с. 328 учебника). В результате получится тело, которое называется конусом

Учитель показывает на доске изображение конуса, учащиеся рисуют конус в тетради.

2. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ – его высотой.

При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим концом А (рис. 362). Ее называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, – образующими конуса. Таким образом, конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

3. Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу № 1219), что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

,

где r – радиус основания, h – его высота.

4. Ввести понятие развертки боковой поверхности конуса (рис. 363 а, б). Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть равен l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна 2πr.

5. Площадь S_бок боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, то есть

,

где α – градусная мера дуги сектора (рис. 363, б).

Длина дуги окружности с градусной мерой  и радиусом l равна .

С другой стороны, длина дуги равна 2πr, то есть = 2πr, поэтому

S_бок = = 2πr ∙ = πrl.

Итак, площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой

.

III. Выполнение упражнений.

1. Решить задачу № 1220 (б, в).

Учащиеся решают самостоятельно, потом решение задачи проверяется.

Решение

б) Дано: r = 4 см; V = 48 π см³. Найти h.

V = πr²h; отсюда h = = 9 (см).

Ответ: 9 см.

в) Дано: h = m; V = р. Найти r.

V = πr²h; найдем r² = , тогда r = .

Ответ: .

2. Решить задачу № 1221 на доске и в тетрадях.

Решение

S_осн = Q, S_бок = P. Найти V.

1) S_осн = πr² = Q, отсюда r = .

2) S_бок = πrl = P, отсюда l = .

3) По теореме Пифагора из Δ АВС найдем

h² = l² – r² = .

Значит, h = .

4) Найдем объем конуса

V = πr²h = Q ∙ .

Ответ: .

3. Решить задачу № 1222.

Решение.

По условию S_{полн. конуса} = 45π дм²; α = 60°. Найти V.

V = πr²h.

S_{полн. конуса} = S_осн + S_бок = πr² + ∙ α = πr² + = πr² + .

Получили, что S_бок = , с другой стороны, S_бок = πrl, тогда приравняем эти два равенства, получим = πrl; разделим обе части на πl, получим = r, отсюда l = 6r.

По условию S_полн = 45π дм²,

значит, 45π = πr² + ; 45π = πr² + 6πr²; 45π = 7πr²,

отсюда r² = .

Из Δ АВС по теореме Пифагора найдем

h² = l² – r² = (6r)² – r² = 36r² – r² = 35r² = = 225.

h = = 15; h = 15 дм.

Найдем объем конуса

(дм³).

Ответ: дм³.

4. Решить задачу № 1248.

Учитель объясняет решение задачи.

Решение

В тетрадях учащиеся записывают следующую теорему: «Объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров».

По условию АО = h = 5 см; АО1 = h1 = = 2 см; плоскости сечения и основания параллельны; V1 = 24 см. Найти объем данного конуса V. OAB – общий угол; ADO1 = ABO (соответственные углы), то Δ АОВ Δ АО1D (по двум углам), тогда = k, значит, k = .

= k³. Следовательно, ,

отсюда V = = 375 (см³).

Ответ: 375 см³.

5. Решить задачу № 1249.

Решение

По условию h = 12 см, V = 324 π см³. Найти α дугу развертки боковой поверхности конуса.

1) V = πr²h;

324π = πr² ∙ 12;

324 = 4r²;

r² = 81;

r = 9 (см).

2) S_бок = ∙ α = πrl, отсюда, сократив обе части равенства на πl, получим = r, тогда = 9, значит, α = .

3) l² = h² + r², то l = = 15 (см).

4) α = = 216°.

Ответ: α = 216°.

6. Решить задачу № 1250.

Решение

По условию α = 120°. Радиус развертки боковой поверхности конуса равен образующей конуса, то есть l = r₁ = 9 см, где r₁ – радиус сектора.

1) S_бок = ∙ α = ∙ 120° = 27π (см²).

2) С другой стороны, S_бок = πrl, значит, 27π = π ∙ r ∙ 9, отсюда r = 3 см (это радиус конуса).

3) S_осн = πr² = π ∙ 3² = 9π (см²).

4) h² = l² – r², то h = = =
= = 6 (см).

Ответ: 9π см²; 6 см.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 126; ответить на вопросы 19–22 (с. 336 учебника); решить задачу № 1220 (а); записать в тетрадь решение задачи № 1219 (с. 332 –333 учебника).
Урок 7
Сфера и шар

Цели: ввести понятие сферы, центра сферы, радиуса сферы, диаметра; дать определение шара; научить учащихся изображать шар; рассмотреть доказательство теоремы об объеме шара и площади сферы; развивать умение решать задачи.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

Учащиеся на отдельных листочках отвечают на вопросы, выполняют построения, а затем сдают учителю работы на проверку.

Вариант 1

1. Объясните, какое тело называется цилиндром; что такое ось, высота, основание, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра. Выполните построение цилиндра.

2. Какой формулой выражается объем цилиндра? Запишите формулу.

3. Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности цилиндра.

4. Запишите формулу площади боковой поверхности цилиндра.

Вариант 2

1. Объясните, какое тело называется конусом; что такое ось, высота, основание, боковая поверхность, образующие конуса. Выполните построение конуса.

2. Какой формулой выражается объем конуса? Запишите формулу.

3. Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности конуса.

4. Запишите формулу площади боковой поверхности конуса.

II. Работа с учебником.

1. Учащиеся самостоятельно изучают материал пункта 127 «Сфера и шар» (с. 330–331). затем учитель показывает на доске изображение сферы и шара (рис. 364, 365), а учащиеся в тетрадях выполняют построение сферы и шара.

2. В тетрадях учащиеся записывают:

а) Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.

б) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

в) Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

г) Объем шара радиуса R равен πR³.

д) Площадь сферы радиуса R равна 4πR².