9 класс уроки. Решение задач Цели

• Название: Решение задач Цели
• Дата: 23.11.2022
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: 9 класс уроки.doc
• Тип: Урок; #808959
• страница: 10 из 12

III. Итоги урока.

– Объясните, что такое многогранник; что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 118 и 119; решить задачу № 1188 (разобрать построение сечения параллелепипеда плоскостью по учебнику на с. 322, используя рис. 356, а и б; выполнить построение сечения в тетрадях).

Урок 2
Призма. Параллелепипед

Цели: ввести понятие призмы и ее элементов; дать определение прямой и наклонной призмы, определение высоты призмы; ввести понятие параллелепипеда, понятие прямого и прямоугольного параллелепипеда; научить строить призмы и параллелепипеды.

Ход урока

I. Устная работа.

Проверить усвоение предшествующего материала в процессе решения устных задач по готовым чертежам на доске и с использованием моделей геометрических тел.

Ответить на вопросы:

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2. Что рассматривается в стереометрии?

3. Какие поверхности называются многогранниками? Приведите примеры простейших многогранников.

4. Какая плоскость называется секущей плоскостью геометрического тела?

5. Что называется сечением тела?

6. Объясните, что такое многогранник; что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.

Учитель показывает модели различных геометрических тел и многогранников, а учащиеся должны назвать их.

II. Объяснение нового материала.

1. Используя рисунок учебника (рис. 341, с. 311), учитель объясняет построение многогранника, называемого призмой.

2. В тетрадях ученики записывают определения:

1) две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек;

2) две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Ввести определение n-угольной призмы, оснований призмы, боковых ребер призмы.

4. Призмы бывают прямыми и наклонными.

Введем понятие перпендикулярности прямой и плоскости, используя рисунок учебника (рис. 342, с. 312).

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой (рис. 343, а); в противном случае призма называется наклонной (рис. 343, б). Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной (рис. 343, в).

Учитель демонстрирует учащимся модели различных призм.

5. Определение высоты призмы (рис. 344).

6. Определение параллелепипеда.

Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом (рис. 345). Все шесть граней параллелепипеда – параллелограммы.

Если параллелепипед прямой, то есть его боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, то боковые грани – прямоугольники. Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то этот параллелепипед – прямоугольный.

Учитель показывает учащимся модели прямого и прямоугольного параллелепипедов.

7. Записать в тетрадях свойство диагоналей параллелепипеда: «Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам».

Доказательство этого утверждения основано на следующем факте: «если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны».

Доказательство свойства диагоналей параллелепипеда учащиеся проводят устно по готовым чертежам на доске с помощью учителя (рис. 346, а, б, в, заранее выполнить на доске).

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1185.

Решение

а) Число вершин призмы определяется количеством вершин многоугольника, лежащего в основаниях призмы. Так как призма имеет два основания, то n-угольная призма имеет 2n вершин (четное число). Например: треугольная призма имеет 2 ∙ 3 = 6 вершин; четырехугольная призма имеет 2 ∙ 4 = 8 вершин; пятиугольная призма имеет 2 ∙ 5 = 10 вершин.

б) Число ребер призмы равно сумме ребер двух оснований призмы и боковых ребер призмы, количество которых определяется числом вершин многоугольника, расположенного в основании призмы, то есть n-угольная призма имеет число ребер, равное 2n + n = 3n кратно 3.

2. Решить задачу № 1186.

Решение

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна сумме площадей ее боковых граней. Пусть a, b, c, d… m – стороны основания призмы; h – ее боковое ребро.

У прямой призмы все боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть боковые грани – прямоугольники. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Тогда

S_{бок. пов.} = ah + bh + ch + dh + ... + mh = h ∙ (a + b + c + d + ... + m) = Ph,

где P – периметр основания, h – боковое ребро.

3. Устно решить задачу № 1187, используя модель параллелепипеда.

Ответ:а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет.

IV. Итоги урока.

1. Объясните, как построить многогранник, называемый n-угольной призмой; что такое основания, боковые грани, боковые ребра и высота призмы.

2. Какая призма называется: а) прямой; б) правильной?

3. Объясните, что такое параллелепипед; какие многоугольники являются гранями: а) параллелепипеда; б) прямого параллелепипеда; в) прямоугольного параллелепипеда.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 120 и 121; выполнить рисунки (рис. 346, а, б, в) и записать в тетрадях доказательство свойства диагоналей параллелепипеда.
Урок 3
Объем тела. Свойства прямоугольного
параллелепипеда

Цели: повторить понятие площади плоских фигур, ввести понятие объема тела, единиц измерения объемов тел; изучить основные свойства объемов и прямоугольного параллелепипеда; познакомить учащихся с принципом Кавальери; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Проверить по тетрадям решение учащимися задач № 1190 (б) и № 1234 (б).

2. По готовому на доске чертежу параллелепипеда построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через:

а) точки D, С и В₁;

б) точки В, K и L, где K – середина ребра АА₁, а L – середина СС₁.

(Это задача № 1235 на с. 337 учебника.)

Решение

а) проводим отрезок СВ₁, затем строим прямую DА₁, параллельную В₁С. Параллелограмм СDА₁В₁ – искомое сечение.

б) По условию АK = KА₁ и СL = C₁L. Проводим отрезки KВ и BL. Проводим отрезок D₁L, параллельный отрезку KВ.

Соединяем отрезком точки K и D₁, принадлежащие одной плоскости АDD₁А₁. параллелограмм KВLD₁ – искомое сечение.

II. Изучение нового материала.

1. Повторить понятие площади плоской фигуры.

2. Понятие объема тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см³. Аналогично определяются кубический метр (м³), кубический миллиметр (мм³) и т. д.

3. Прочитать по учебнику текст (с. 314 и 315) и записать в тетрадях основные свойства объемов:

1) Равные тела имеют равные объемы.

2) Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел (рис. 347):

V = V₁ + V₂.

4. Разобрать по рисунку учебника (рис. 348) принцип Кавальери.

5. Когда мы говорим о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, то обычно употребляем слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трех ребер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда (рис. 349, с. 317 учебника).

6. У прямоугольника два измерения – длина и ширина. При этом, как мы знаем, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений (по теореме Пифагора для прямоугольника). Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. (Используя рисунок 349, провести доказательство этого свойства. рисунок 349 заранее начертить на доске.)

Доказательство записывать на доске и в тетрадях:

АС₁² = АС² + СС₁²;

АС² = АВ² + АD²;

СС₁ = ВВ₁ = АА₁,

следовательно, АС₁² = АВ² + АD² + АА₁².

7. Еще одно свойство прямоугольного параллелепипеда. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений. Аналогично объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Кавальери (прочитать доказательство по учебнику на с. 317–319, используя рисунок 350).

8. В прямоугольном параллелепипеде с измерениями a, b, c, изображенном на рисунке учебника (рис. 350, б), площадь S основания равна ас, а высота h равна боковому ребру: h = b.

Поэтому формулу V = a ∙ b ∙ c можно записать в виде

,

то есть объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

III. Выполнение упражнений и решение задач.

1. Решить задачу № 1193 (б; в).

Задачу № 1193 (в) решить на доске и в тетрадях.

Решение

a = ; b = 7; с = 9. Найти диагональ d.

d² = a² + b² + c²

(свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда).

d² = ( )² + 7² + 9² = 39 + 49 + 81 = 169;

d = = 13.

Ответ: 13.

Задачу № 1193 (б) учащиеся решают самостоятельно.

Решение

а = 8; b = 9; с = 12. Найти d.

d² = a² + b² + c² = 8² + 9² + 12² = 64 + 81 + 144 = 289;

d₁ = = 17;

d₂ = – = –17 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 17.

2. Решить задачу № 1194 на доске и в тетрадях.

Решение

Ребро куба равно а. Найти диагональ этого куба.

d² = a² + a² + a² = 3a²;

d = = a.

Ответ: a.

3. Решить задачу № 1195.

Решение

1) V = V₁ + V₂.

2) V₁ – V₁ = V₁; тогда V = V₁ + V₂.

4. Объем куба равен кубу его стороны, то есть

.

Найдите объем куба со стороной, равной 3 см; 2 дм.

5. Разобрать по учебнику решение задачи № 1198 (с. 323, используя рис. 357).

Записать в тетрадях: «Объем призмы равен произведению площади основания на высоту».

.

6. Решить задачу № 1197.

Учитель объясняет решение задачи.

Решение

АС₁ = 13 см; ВD = 12 см; ВС₁ = 11 см.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда x, y, z.

Применим теорему Пифагора:

1) Для Δ АВD имеем

х² + y² = 12². (1)

2) Для Δ ВСС₁ имеем

y² + z² = 11². (2)

3) По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда имеем

х² + у² + z² = 13². (3)

4) Подставим в равенство (3) равенство (1), получим 12² + z² = 13²,

отсюда z² = 13² – 12²,

тогда z = = 5;

z = 5.

5) Подставим в равенство (2) значение z = 5, найдем

y² + 5² = 11²;

_у² <sub>= 121 – 25 = 96;

у = ;

у = .</sub>

6) Подставим значение y² = 96 в равенство (1), получим

х² + 96 = 144;

х² = 144 – 96 = 48;

;

.

7) Найдем объем

V = x ∙ y ∙ z = 4 ∙ 4 ∙ 5 = 80 =
= 80 = 80 = 240 (см³).

Ответ: 240 см³.

IV. Итоги урока.

1. Объясните, как измеряются объемы тел.

2. Сформулируйте основные свойства объемов.

3. Объясните, в чем заключается принцип Кавальери.

4. Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда?

5. Сформулируйте свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда.

6. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда?

Домашнее задание: изучить материал пунктов 122–123; сделать чертеж (рис. 357) и записать в тетрадях решение задач №№ 1193 (а), 1196, 1198.
Урок 4
Пирамида

Цели: познакомить учащихся с понятием пирамиды (ее основания, боковые грани, вершины пирамиды, боковые ребера пирамиды); дать определение правильной пирамиды, апофемы пирамиды; вывести формулу объема пирамиды; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Что называется призмой? Прямой призмой? Правильной?

2. Объясните, что такое параллелепипед? Дайте определение прямого параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда.

3. Сформулируйте свойство четырех диагоналей параллеле-
пипеда.

4. Сформулируйте основные свойства объемов.

5. Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда?

6. Сформулируйте свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда.

7. Чему равен объем куба? Объем прямоугольного параллелепипеда?

8. Какой формулой выражается объем призмы?

9. Проверить решение домашней задачи № 1196.

Решение

a = 8 см, b = 12 см, с = 18 см.

V = a ∙ b ∙ c = 8 ∙ 12 ∙ 18 (см³).

По условию объем куба равен объему прямоугольного параллелепипеда. Значит, V_куба = a³ = 8 ∙ 12 ∙ 18 (см³). Отсюда ребро куба равно

a = = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12 (см);

a = 12 см.

Ответ: 12 см.

II. Работа учащихся по учебнику.

1. Учащиеся самостоятельно изучают материал пункта 124 «Пирамида» по учебнику (с. 319–321).

2. Затем учитель на моделях различных пирамид объясняет учащимся, что такое пирамида, основание пирамиды, боковые грани пирамиды, вершина пирамиды, боковые ребра пирамиды.

3. Треугольную пирамиду часто называют тетраэдром.

4. На доске и в тетрадях строятся изображения пирамиды; проводится высота пирамиды и апофема (рис. 353).

5. В тетрадях учащиеся записывают определения:

а) Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

б) Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

в) Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

6. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту .

III. Выполнение упражнений. Решение задач.

1. Решить устно задачу № 1201, используя модель тетраэдра.

Ответ: нет.

2. Решить задачу № 1202 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Прямая MN принадлежит плоскости ВСD, которая пересекается с плоскостью АВС по ВС. Продолжим ВС до пересечения с прямой MN в точке х. Точка х принадлежит и прямой MN, и плоскости АВС, так как точка х лежит на прямой ВС, принадлежащей плоскости АВС.

3. Решить задачу № 1203 самостоятельно.

Затем по готовому чертежу на доске проверяется построение сечения.

Решение

По условию МА = NА. Проводим отрезок AL, так как точки L и A принадлежат одной плоскости MNL. Проводим отрезок АK, так как точки K и А принадлежат одной плоскости MKN. Искомое сечение – треугольник AKL.

4. Решить задачу № 1204.

Решение объясняет учитель, привлекая к обсуждению построения сечения учащихся.

Решение

1) Проводим прямую MN, продолжаем АВ до пересечения с прямой MN в точке х.

2) Точка х принадлежит плоскости АВС, и точка K принадлежит плоскости АВС, тогда проводим прямую хK, пересекающую прямые ВС и АС в точке Р и Н соответственно.

3) Проводим отрезки МР, NН и РН.

Четырехугольник РМNН – искомое сечение.

5. Решить задачу № 1206.

Решение

Докажем, что

,

где Р – периметр основания; l – апофема правильной пирамиды.

Найдем сумму площадей боковых граней правильной пирамиды. Так как боковыми гранями правильной пирамиды являются равные равнобедренные треугольники и площадь треугольника равна a ∙ l, то сумма площадей всех треугольников равна

,

где а – сторона основания правильной пирамиды, n – количество сторон основания, l – апофема.

Значит, площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна

S = Pl.

6. Решить задачу № 1241.

Дано: АВСDK – пирамида; АВСD – параллелограмм; АD = 5 м; DС = 4 м; ВD = 3 м; KО = h = 2 м. Найти: .

Решение

1) Δ АВD = Δ СDВ (III признак, по трем сторонам). По формуле Герона найдем площадь треугольника:

,

где p = – полупериметр.

p = = 6 (м);

S = = 6 (м²).

S_АВD = S_СDВ = 6 м², тогда площадь основания равна

S_осн = 2 ∙ 6 = 12 (м²).

Другой способ: треугольник со сторонами 3 м, 4 м и 5 м будет прямоугольным, тогда

S_АВD = ∙ 3 ∙ 4 = 6 (м²),

то S_осн = 2 ∙ 6 = 12 (м²).

2) KО ОD; ВО = ОD = 3 : 2 = 1,5 (м).

По теореме Пифагора из Δ KОD найдем KD : KD² = KО² + ОD²

KD = = 2,5 (м).

Значит, KD = KВ = 2,5 м.

3) Воспользуемся выводом задачи 953 (с. 240 учебника): «Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей» – и найдем диагональ АС параллелограмма АВСD:

АС² + ВD² = 2АD²+ 2DС²;

АС² + 3² = 2 ∙ 5² + 2 ∙ 4²;

АС² + 9 = 50 + 32;

АС² = 73;

АС = (м).

4) AO = OC = (м), по теореме Пифагора из Δ АОK найдем АK:

AK² = AO² + KO²;

AK = (м);

AK = KC = м.

5) По условию KО ОD и ОD DС, значит, KD DС (если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то прямая перпендикулярна и наклонной). Значит, Δ KDС – прямоугольный.

S_KDС = KD ∙ CD = ∙ 2,5 ∙ 4 = 5 (м²).

Δ KDС = Δ KВА (по двум катетам), тогда S_КDС = S_КВА = 5 м².

6) По теореме Пифагора можно было бы из Δ KDС найти KС (другой способ):

KC = =
= (м).

7) По формуле Герона найдем площадь Δ АKD:

p = .

S = =

= =

= =

= =

= (см²).

8) S_АKD = S_ВKС = см², так как Δ АKD = Δ ВKС (по трем сторонам).

9) = S_АBCD + 2S_KDC + 2S_АKD = 12 + 10 + 2 = 22 + 2 (см²).

Ответ: 22 + 2 (см²).

7. Решить задачу № 1242.

Решение

V = S_осн ∙ h;

площадь правильного (равностороннего) треугольника находится по формуле

,

где а – сторона треугольника (задача 489 на с. 132 учебника).

а = 13 см, тогда

(см²).

h = 12 см. Найдем объем правильной треугольной пирамиды:

V = ∙ 12 = 169 (см³).

Ответ: 169 см³.