Задачи - РГР Математика. Решение задачи принятия решения в условиях неопределенности

Название	Решение задачи принятия решения в условиях неопределенности
Дата	18.06.2022
Размер	274.75 Kb.
Формат файла
Имя файла	Задачи - РГР Математика.docx
Тип	Задача #601999
страница	2 из 8

1 2 3 4 5 6 7 8

Обобщенный критерий Гурвица.
Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей при следующем допущении:
λ₁=1-λ, λ2=λ3=…=λ_n-1=0, λ_n=λ, где 0 ≤ λ ≤ 1
Тогда показатель эффективности стратегии A_i по Гурвицу есть:
G_i=(1-λ)min a_ij + λmax a_ij
Оптимальной стратегией A_i0 считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности.
Строим вспомогательную матрицу B, полученную путем упорядочивания показателей доходностей в каждой строке.
Подход пессимиста. λ выбирается из условия невозрастания среднего:

G₁ = 0.118*6+(1-0.118)*43 = 38.637; G₂ = 0.118*5+(1-0.118)*50 = 44.693; G₃ = 0.118*6+(1-0.118)*49 = 43.929; G₄ = 0.118*8+(1-0.118)*45 = 40.637;
Подход оптимиста. λ выбирается из условия неубывания среднего:

G₁ = 0.882*6+(1-0.882)*43 = 10.363; G₂ = 0.882*5+(1-0.882)*50 = 10.307; G₃ = 0.882*6+(1-0.882)*49 = 11.071; G₄ = 0.882*8+(1-0.882)*45 = 12.363;

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄	П₅	min(a_ij)	max(a_ij)	Подход пессимиста	Подход оптимиста
A₁	6	11	17	32	43	6	43	38.63679245283	10.36320754717
A₂	5	13	21	47	50	5	50	44.693396226415	10.306603773585
A₃	6	27	37	44	49	6	49	43.929245283019	11.070754716981
A₄	8	30	35	40	45	8	45	40.63679245283	12.36320754717

Выбираем из (38.637; 44.693; 43.929; 40.637) максимальный элемент max=44.69
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Оптимальные стратегии по обобщенному критерию Гурвица.
b = 25 + 81 + 110 + 163 + 187 = 566
Показатели эффективности по Гурвицу.
Подход пессимиста

Подход оптимиста

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₂.
Задача. Рассчитать верхнюю, нижнюю цены матричной антагонистической игры двух лиц. Найти решение в смешанных стратегиях и определить цену игры

Вариант № 29

Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков.
Предполагается, что каждый игрок может выбрать только одно из конечного множества своих действий. Выбор действия называют выбором стратегии игрока.
Если каждый из игроков выбрал свою стратегию, то эту пару стратегий называют ситуацией игры. Следует заметить, каждый игрок знает, какую стратегию выбрал его противник, т.е. имеет полную информацию о результате выбора противника.
Чистой стратегией игрока I является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II является выбор одного из столбцов этой же матрицы.
1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B₁	B₂	B₃	B₄	B₅	a = min(A_i)
A₁	45	49	77	81	15	15
A₂	78	81	42	45	83	42
A₃	41	47	73	80	10	10
A₄	75	78	41	41	81	41
A₅	79	81	45	46	83	45
b = max(B_i)	79	81	77	81	83

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 45, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₅.
Верхняя цена игры b = min(b_j) = 77.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 45 ≤ y ≤ 77. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

1 2 3 4 5 6 7 8