Ряды. Ряды. Основные понятия
 Скачать 1.71 Mb.
|
|
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. Признаки сравнения рядов Необходимы признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда в многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков. Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т. е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения его на (–1), что, как известно, не влияет на сходимость ряда). Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы. Теорема 1. Пусть даны два знакоположительных ряда  (1)и  (2)Если для всех n выполняется неравенство  , (3)то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Обозначим n-е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно через  и  . Из неравенства (3) следует, что  . (4)Пусть ряд (2) сходится и его сумма равна S2. Тогда  . Члены ряда (2) положительны, поэтому  и, следовательно, с учетом неравенства (4),  . Таким образом, последовательность  монотонно возрастает  и ограничена сверху числом S2. По признаку существования предела последовательность  имеет предел  , т. е. ряд (1) сходится. Пусть теперь ряд (1) расходится. Так как члены ряда неотрицательны, в этом случае имеем  . Тогда, с учетом неравенства (4), получаем  , т. е. ряд (2) расходится.Замечание. Теорема 1 справедлива и в том случае, когда неравенство (3) выполняется не для всех членов ряда (1) и (2), а начиная с некоторого номера N. Это вытекает из свойства 3 числовых рядов. Теорема 2 (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от 0, предел  то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.По определению предела последовательности для всех n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого  выполняется неравенство  , или . (5)Если ряд (1) сходится, то из левого равенства (5) и теоремы 1 вытекает, что ряд  также сходится. Но тогда, согласно свойству 1 числовых рядов, ряд (2) расходится.Если ряд (1) расходится, то из правого неравенства (5), теоремы 1, свойства 1 вытекает, что и ряд (2) расходится. Аналогично, если ряд (2) сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд (1). Пример 1. Исследовать на сходимость ряд  Решение: Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии  который сходится  . Имеем  Следовательно, данный ряд сходится.Пример 2. Исследовать сходимость ряда  Решение: Здесь  . Возьмем ряд с общим членом  , который расходится (гармонический ряд). Имеем  . Следовательно, данный ряд расходится.Пример 3. Исследовать сходимость ряда  Решение: Применим предельный признак сравнения. Так как  ,То по теореме 2 исходный ряд расходится, как сравнимый с гармоническим рядом. Признак Даламбера В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717-1783, французский математик) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом. Теорема 3. Пусть дан ряд с положительными членами  (6)и существует конечный или бесконечный предел  Тогда ряд сходится при  и расходится при  Так как  , то по определению предела для любого найдется натуральное число N такое, что при  выполняется неравенство или  . (7)Пусть  Можно подобрать  так, что число  Обозначим  Тогда из правой части неравенства (7) получаем  , или  В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что  для всех n = 1, 2, 3, … . Давая номеру n эти значения, получим серию неравенств:   …………………  …………………. т. е. члены ряда  меньше соответствующих членов ряда  , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем  Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , следовательно, сходится и исходный ряд (6).Пусть В этом случае  Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство  , или  , т. е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому  На основании следствия из необходимого признака ряд (6) расходится.Замечания. 1). Если  , то ряд (6) может быть как сходящимся, так и расходящимся.2). Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида  или  .Пример 4. Исследовать на сходимость ряд  Решение: Находим  Так как  , то данный ряд по признаку Даламбера сходится.Пример 5. Исследовать сходимость ряда  Решение: Вычисляем  Так как  , то данный ряд по признаку Даламбера расходится.Признаки Коши Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировка и доказательство. Теорема 4. Пусть дан ряд (6) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел  Тогда ряд сходится при и расходится при Как и для признака Даламбера, в случае, когда , вопрос о сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы аналогично доказательству признака Даламбера. Поэтому опустим его.Пример 6. Исследовать на сходимость ряд  .Решение: Так как =  ,то применим радикальный признак Коши к ряду  .Вычисляем  Ряд сходится, а значит, сходится и исходный ряд, согласно свойству 1 числовых рядов.Теорема 5. Если члены знакоположительного ряда  могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1; + ) функции f(x) так, что  , то :если  сходится, то сходится и ряд (6);если расходится, то расходится также и ряд (6).Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции  основанием которой служит отрезок оси 0х от  до  (рис. 1). Рис. 1 Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1;2], [2;3], … . Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:  или  или  . (8)Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т. е. = А. Поскольку   , то с учетом неравенства (8) имеем:  , т. е.  . Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом  ), то по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд (6) сходится.Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда  и интегралы  неограниченно возрастают при  Учитывая, что  (см. неравенство (8)), получаем, что   Следовательно, данный ряд (6) расходится.Замечание. Вместо интеграла можно брать интеграл  , где  Отбрасывание k первых членов ряда в ряде (6), как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.Пример 7. Исследовать на сходимость ряд  Решение: Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция  удовлетворяет условиям теоремы 5. Находим Значит, ряд с общим членом  расходится.Ряд  (9)где  – действительное число, называется обобщенным гармоническим рядом.Для исследования ряда (9) на сходимость применим интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимости не дают). Рассмотрим функцию  Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке  и  При  имеем:  При  имеем гармонический ряд  , который расходится (второй способ:  ). Итак, ряд (9) сходится при , расходится при  . В частности, ряд  сходится.(Полезно знать, что его сумма равна  ). |