Ряды. Ряды. Основные понятия
 Скачать 1.71 Mb.
|
|
Ряды. Основные понятия Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения. Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида  (1)где  – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, а  – общим членом ряда.Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера  Сумма первых n членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается через  , т. е.  .Рассмотрим частичные суммы    Если существует конечный предел  последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают  .Если  не существует или  , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.Рассмотрим примеры: 1. Ряд  нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5 + 8 +… – можно: его общий член задается формулой  2. Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + … сходится, его сумма равна 0. 3. Ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 + … расходится,  4. Ряд 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … расходится, так как последовательность частичных сумм 1, 0, 1, 0, 1, 0…  не имеет предела.5. Ряд  сходится. Действительно,    Следовательно, = т. е. ряд сходится, его сумма равна 1. Рассмотри некоторые важные свойства рядов. Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд  (2)где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна  . Если же ряд (1) расходится и , то и ряд (2) расходится.Обозначим n-ю частичную сумму ряда (2) через  . Тогда .Следовательно,  т. е. ряд (2) сходится и имеет сумму сS. Покажем теперь, что если ряд (1) расходится, , то и ряд (2) расходится. Допустим противное: ряд (2) сходится и имеет сумму S1. Тогда .Отсюда получаем:  т. е. ряд (1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (1). Свойство 2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд  , (3)а их суммы равны  и  соответственно, то сходятся и ряды (4)причем сумма каждого равна соответственно  .Обозначим n-е частичные суммы рядов (1), (3) и (4) через ,  и соответственно. Тогда т. е. каждый из рядов (4) сходится, и сумма его равна соответственно.Из свойства 1 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд. В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного. Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом. Свойство 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.   Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при  будет выполняться равенство  где  – это n – я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому  . Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов. Ряд  (5)называется n-м остатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием nпервых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (1) и его остаток (5) одновременно сходятся или расходятся. Из свойства 3 также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток  стремится к нулю при  , т. е.  Ряд геометрической прогрессии Исследуем сходимость ряда  , (6)который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (6) часто используется при исследовании рядов на сходимость. Как известно, сумма первых nчленов прогрессии находится по формуле  Найдем предел этой суммы Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q: 1. Если  , то  . Поэтому  ряд (6) сходится, его сумма равна  ;2. Если  , то . Поэтому  ряд (6) расходится;3. Если  , то при  ряд (6) принимает вид  для него  и т. е. ряд (6) расходится; при  ряд (6) принимает вид  – в этом случае  при четном n и  при нечетном n. Следовательно, не существует, ряд (6) расходится.Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при и расходится при  .Пример 1. Показать, что ряд  сходится.Решение: Данный ряд можно переписать так:  Как видно, он представляет собой ряд геометрической прогрессии с  и  . Этот ряд сходится согласно свойству 1 числовых рядов.Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд Нахождение n-ой частичной суммы и её предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости. Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.Теорема 1. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е.  Доказательство: Пусть ряд (1) сходится и  . Тогда и  (при и  ). Учитывая, что  получаем: Следствие 1 (достаточное условие расходимости ряда). Если  или этот предел не существует, то ряд расходится.Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме)  . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.Пример 2. Исследовать сходимость ряда  .Решение: Ряд расходится, так как т. е. выполняется достаточное условие расходимости ряда. Пример 3. Исследовать сходимость ряда  .Решение: Данный ряд расходится,  .Теорема 1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не достаточное: из условия не следует, что ряд сходится. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд  . (7)Очевидно, что . Однако ряд (7) расходится. Покажем это.Как известно,  . Отсюда следует, что при любом  имеет место неравенство  . Логарифмируя это неравенство по основанию е, получим: т. е.  Подставляя в полученное неравенство поочередно n = 1, 2, …, n– 1, n, получим:  Сложив почленно эти неравенства, получим  Поскольку  , получаем , т. е. гармонический ряд расходится.В качестве второго примера можно взять ряд  Здесь  . Однако этот ряд расходится.Действительно,  т. е.  . Следовательно,  , ряд расходится. |