Ряды. Ряды. Основные понятия
 Скачать 1.71 Mb.
|
|
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися. Знакочередующимся рядом называется ряд вида  (1)где  (т. е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бернулли). Теорема 1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (1) сходится, если: 1). Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.  2). Общий член ряда стремится к нулю:  При этом сумма S ряда (1) удовлетворяет неравенствам  (2)Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа  членов ряда (1). Имеем   .Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма  и возрастает с возрастанием номера  . С другой стороны,  можно переписать так: .Легко видеть, что  Таким образом, последовательность    …, … возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел  причем Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа  членов ряда (1). Очевидно, что  Отсюда следует, что  т. к.  в силу второго условия теоремы.Вывод: Итак,  как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд (1) сходится, причем Замечания. Исследование знакочередующегося ряда вида  (3)(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (–1) к исследованию ряда (1). 2. Соотношение (2) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой Sn. Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд  , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е.  . Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.Ряды (1) и (3), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница). Пример 1. Вычислить приблизительную сумму ряда  Решение. Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:  Взяв пять членов, т. е. заменив S на  сделаем ошибку, меньшую, чем  Итак,  Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд  содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости. Теорема 2. Пусть дан знакопеременный ряд  (4)Если сходится ряд  (5)составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд (4). Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов (4) и (5):  Очевидно, что  для всех  Но ряд  сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд  . Поскольку данный знакопеременный ряд (4) представляет собой разность двух сходящихся рядов ,то, на основании свойства 2 числовых рядов, ряд (4) сходится. Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если ряд сходится ряд (4), то это не означает, что будет сходиться ряд (5). Пример 2. Исследовать сходимость ряда  Решение. Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, указанный ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. ряд  расходится (гармонический ряд). Абсолютная и условная сходимости числовых рядов Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Так, ряд, показанный в примере 2, условно сходящийся. Ряд  абсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетательность, распределительность). Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без доказательства. 1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле). 2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна  (или соответственно  ).3. Под произведением двух рядов  и  понимают ряд вида    Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1· S2. Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов. В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места. Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда изменится. Например, ряд  условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна S. Перепишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд   Сумма уменьшилась вдвое. Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд (теорема Римана). Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем. Функциональные ряды. Основные понятия Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:  (1)Придавая х определенное значение  , мы получим числовой ряд ,который может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда (1); если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х:  . Определяется она в области сходимости равенством  – частичная сумма ряда.Пример 1. Найти область сходимости ряда  .Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем  Следовательно, этот ряд сходится при  , т. е. при всех  ; сумма ряда равна  : Пример 2. Исследовать сходимость функционального ряда  Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда  (2)Так как при любом  имеет место соотношение  , а ряд с общим членом  сходится (обобщенный гармонический ряд, р =2 >1), то по признаку сравнения ряд (2) сходится при . Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех  .Среди функциональных рядов в математике и её приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т. е. так называемый степенной ряд:  (3)Действительные (или комплексные) числа  называются коэффициентами ряда (3), – действительная переменная.Ряд (3) расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням  , т. е. ряд вида  , (4)где – некоторое постоянное число.Ряд (4) легко приводится к виду (3), если положить  Поэтому при изучении степенных рядов может ограничиться степенными рядами вида (3).Сходимость степенных рядов Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (3). Область сходимости степенного ряда (3) содержит по крайней мере одну точку:  (ряд (4) сходится в точке  ).2.1. Теорема Абеля Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы: Теорема 1 (Абель). Если степенной ряд (3) сходится при  , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству  .По условию ряд  сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости  . Отсюда следует, что величина  ограничена, т.е. найдется такое число M > 0, что для всех nвыполняется неравенство  Пусть , тогда величина  и, следовательно, т. е. модуль каждого члена ряда (3) не превосходит соответствующего члена сходящегося  ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд (3) абсолютно сходящийся.Следствие 1. Если ряд (3) расходится при  , то он расходится и при всех х , удовлетворяющих неравенству  .Действительно, если допустить сходимость ряда в точке  для которой  , то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых  , и, в частности, в точке  , что противоречит условию.Интервал и радиус сходимости степенного ряда Из теоремы Абеля следует, что если  есть точка сходимости степенного ряда, то интервал  весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд (3) расходится. Рис. 1 Интервал и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив  , интервал сходимости можно записать в виде  . Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. R>0 – это такое число, что при всех х, для которых  , ряд (3) абсолютно сходится, а при  расходится (см. рис. 1).В частности, когда ряд (3) сходится лишь в одной точке  , то считаем, что R = 0. Если же ряд (3) сходится при всех значениях (т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что  .Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при  и при  ) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда  и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел  .По признаку Даламбера ряд сходится, если  т. е. ряд сходится при тех значениях х, для которых  ряд, составленный из модулей членов ряда (3), расходится при тех значениях х, для которых  Таким образом, для ряда (3) радиус абсолютной сходимости (5)Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что  (6)Замечания. 1.Если  то можно убедиться, что ряд (3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае  Если  то  2. Интервал сходимости степенного ряда (4) находят из неравенства  имеет вид  3. Если степенной ряд содержит не все степени х, т. е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости (формулы (5) и (6)), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда. Пример 3. Найти область сходимости ряда  .Решение. Воспользуемся формулой (5):  Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. Пример 4. Найти область сходимости ряда  .Решение. Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:   .Ряд абсолютно сходится, если  Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.При  имеем ряд  который сходится по признаку Лейбница.При  имеем ряд  – это тоже сходящийся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок  .Пример 5. Найти область сходимости ряда  Решение. Находим радиус сходимости ряда по формуле (5):  Следовательно, ряд сходится при  При  имеем ряд который сходится по признаку Лейбница. При имеем расходящийся ряд Следовательно, областью сходимости исходного ряд является полуотрезок  . |