Ряды. Ряды. Основные понятия
 Скачать 1.71 Mb.
|
|
Некоторые приложения степенных рядов Приближенное вычисление значений функций Пусть требуется вычислить значение функции  при  с заданной точностью  .Если функцию в интервале  можно разложить в степенной ряд и  , то точное значение  равно сумме этого ряда при , т. е.  ,а приближенное – частичной сумме  , т. е.  Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т. е.  ,где  .Таким образом, ошибку  можно найти, оценив остаток  ряда.Для рядов лейбницевского типа  В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки  берут величину остатка этого нового ряда.Пример 3. Найти  с точностью до 0,001.Решение. Согласно формуле (5),  Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как  то для нахождения с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых: Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член( т. е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение примерно равно 0,84147.Пример 4. Вычислить число у с точностью до 0,001. Решение. Подставляя  в формулу (4), получим Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем nслагаемых и оценим ошибку  :  т. е.  Остается подобрать наименьшее натуральное число n, чтобы выполнялось неравенство  < 0,001.Нетрудно вычислить, ч то это неравенство выполняется при  Поэтому имеем: Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена  ,где с находится между 0 и х1 . В последнем примере  Так как  то  При n= 6 имеем:  2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции, либо нахождение первообразной сложно. Пусть требуется вычислить  с точностью до . Если подынтегральную функцию можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости включит в себя отрезок  , то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функции.Пример 5. Вычислить интеграл  с точностью до  Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя х на  в формуле (1.4): (2.1)Интегрируя обе части равенства (2.1) на отрезке  , лежащем внутри интервала сходимости  , получим: = =  .Получили ряд лейбницевского типа. Так как  а  то с точностью до 0,001 имеем:  Замечание. Первообразную  для функции  легко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав равенство (2.1) в пределах от 0 до х: .Вопросыдля самоконтроля 1. Что называется числовым рядом? 2. Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)? 3. В чем состоит необходимый признак сходимости ряда? 4. Сформулируйте признаки сравнения знакоположительных рядов. 5. Сформулируйте признак Коши о сходимости ряда. 6. Сформулируйте признак Даламбера о сходимости ряда. 7. Сформулируйте интегральный признак сходимости ряда. 8. Какой ряд называется знакочередующимся? 9. Сформулируйте признак Лейбница. 10. Когда ряд называется абсолютно (условно) сходящимся? 11. Что называется функциональным рядом? 12. Что называется точкой (областью) сходимости функционального ряда? 13. Дайте определение степенного ряда. Сформулируйте теорему Абеля. 14. Что называется разложением функции  в ряд Тейлора в окрестности точки  ?15. Как выглядят разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена? |