ГЕОДЕЗИЯ-2005. С. И. Чекалин г е оде з и я москва 2005 ббк 26. 1 Удк геодезия Учебник
 Скачать 37.56 Mb.
|
|
§ 67. Взаимосвязь дирекционных углов с измеренными на местности горизонтальными углами Для последовательной передачи координат на точки теодолитных ходов необходимо последовательно решать прямые геодезические задачи для каждой из точек, а для этого необходимо знать значения дирекционных углов каждой из линий и их горизонтальные проложения. (Принцип определения горизонтальных проложений изложен в § Рассмотрим схему передачи дирекционного угла с линии теодолитного хода на соседнюю с ней линию с использованием измеренного горизонтального угла β в точке поворота (рис. Рис. 7.4. Взаимосвязь дирекционных углов с горизонтальными углами, измеренными на местности Пусть нам известен дирекцион- ный угол линии АВ (α АВ ). В точке В поворота измерен горизонтальный угол β 1 , либо горизонтальный угол β 2 : (β 1 + β 2 = о. При указанном на схеме направлении хода угол β 1 называют левым походу углом, а угол β 2 – правым походу углом. Продолжим в точке В линию АВ, достроим в этой точке направление осевого меридиана, параллельного оси Х системы координат, ив соответствии с определением дирекцион- ного угла, отметим на схеме углы α АВ и α ВС . Из полученного геометрического построения можно записать, что 0 1 0 180 180 β α α β α α − ± = + ± = АВ ВС АВ ВС . (Общая формула передачи дирекционного угла с линии на линию имеет вид 1 180 n n , (В этой формуле перед значением о может оставлять только знак плюс. Перед значением горизонтального угла β : знак плюс - для левых походу углов, знак минус - для правых походу углов. Ту же задачу удобно решать через дирекционные углы исходящих из точки В линий. Поскольку α АВ ± о = α ВА , то из (7.9) и (7.10) получим, что β α α ± = ВА ВС (Пример 7.3. Передача дирекционного угла через измеренный горизонтальный угол. Исходные данные α АВ = о β (левый походу 253 о 14,5'. Решение 1. α ВС = о' + о + о' = о' – о = о, поскольку значение дирекционного угла получилось больше о. Исходные данные α АВ = о β (правый походу о Решение 2. α ВС = о' + о – о' = - о' + о = о, поскольку значение дирекционного угла получилось отрицательным. Исходные данные α АВ = о β (правый походу 36 о 14'32". Решение 3. ( через дирекционный угол исходящего направления). α ВА = о" – о = 211 о 42'08". α ВС = о" - о" = - о" + о = о 68. Привязка теодолитных ходов Целью привязки теодолитных ходов к пунктам Государственной геодезии-ческой сети 1, 2, 3 и 4 классов, а также к пунктам съемочной сети 1 и 2 разрядов является определение с заданной точностью координат вершин указанных ходов. В зависимости от расположения теодолитного хода на местности, условий съемки, сложности ситуации и других факторов схемы и способы привязки элементов теодолитного хода могут быть различными. Во многих случаях приходится выполнять дополнительные геодезические построения. Тем более, что любая привязка должна иметь надежный контроль, который, чаще всего, обеспечивается избыточными измерениями и дополнительными гео- дезиическими построениями. Под элементом теодолитного хода понимают одну из его точек, координаты которой необходимо найти, и дирекционный угол линии теодолитного хода, исходящей из определяемой точки. Здесь мы рассмотрим некоторые из основных способов привязки теодолитных ходов, которые чаще всего встречаются на практике, приведем схемы, предусматривающие комбинированное использование способов привязки. Однако следует иметь ввиду, что на практике могут встретиться случаи, когда ни один из рассмотренных способов не может быть реализован в силу действия различных факторов. Геодезист и маркшейдер должны уметь проектировать частные схемы привязок, которые обеспечат построение съемочного обоснования с необходимой точностью. Способ примыкания На рис. 7.2 приведены сравнительно простейшие способы привязки теодолитных ходов. Для разомкнутого хода – это привязка начальной и конечной линий минимально к двум исходным направлениям с включением пункта высокого класса в теодолитный ход в местах примыкания. Замкнутый теодолитный ход может быть привязан на два исходных направления с включением пункта высокого класса непосредственно вход (рис. 7.2 б, либо с помощью дополнительного полигонометрического хода (рис. 7.2 вот исходных пунктов (привязка ходом. Методика выполнения привязки с помощью указанных схем следующая. Привязка разомкнутого теодолитного хода на двух его концах выполняется с использованием примычных (горизонтальных углов γ 1 , γ 2 , γ 3 ирис. В результате дважды определяют дирекционные углы направлений Аи 1 ) ( 1 γ α α γ α α + = + = СА АС А ВА АВ А ,(7.12) 0 4 ) ( 0 3 ) ( 180 Рис. 7.5. Привязка разомкнутого и замкнутого теодолитных ходов Разомкнутый хода, замкнутый ход (б) где α ВА , α СА , α DE , α DF – дирекционные углы исходных направлений – находят из решения обратных геодезических задач по координатам исходных пунктов на схеме углы γ 1 и γ 2 – левые походу, углы γ 3 и γ 4 – правые по ходу. Если разница полученных дирекционных углов допустима (для технических теодолитных ходов – не болеете 1 ′ ≤ − = ∆ ′ ≤ − = ∆ DF nD DE nD nD АС А АВ А А α α α α α α , (то вычисляют средние арифметические значения углов 1 DF nD DE nD nD АС А АВ А А α α α α α α − = + = (ив дальнейшем принимают их за исходные. Аналогично выполняют привязку линии А в замкнутом теодолитном ходе (рис. 7.5 б). Примычные углы измеряют теодолитом повышенной точности, чем рекомендуемый для измерений в теодолитных ходах. Иногда приходится пользоваться для измерения примычных углов и для измерения горизонтальных углов в вершинах хода одними тем же теодолитом. В этом случае примыч- ные углы измеряют несколькими полными приемами каждый (3 – 5 полных приемов с перестановкой лимба горизонтального круга и с повторным центрированием и горизонтированием теодолита перед каждым приемом. Целесообразно, чтобы примычные углы имели вес в 1,5 – 2 раза больший, чем вес углов дальнейших геодезических построений. Прямая угловая засечка Положение точки М теодолитного хода определяют из решения треугольников АВМ и ВСМ по результатам измерения горизонтальных углов β 1 , β 2 , и β 4 при исходных направлениях АВ и ВС (риса. Горизонтальный угол β 5 , измеренный в вершине М между направлениями ВМ и М, используют для передачи дирекционного угла с направления ВМ на линию теодолитного хода Рис. 7.6. Прямая угловая засечка. а) схема 1; б) схема Координаты точки М удобно вычислять по формулам Юнга 2 1 1 2 β β β β ctg ctg Y Y ctg X ctg Х Х A B B А M + − + + = (7.16) 2 1 1 2 β β β β ctg ctg X X ctg Y ctg Y Y B A B A M + − + + = (Для контроля аналогичные вычисления выполняют из решения второго треугольника. Точность определения прямоугольных координат не должна быть меньше установленной инструкцией. Для передачи дирекционного угла на линию MN вычисляют из решения обратной геодезической задачи дирекционный угол направления BM (α BM ), а затем получают дирекционный угол α MN по формуле α MN = Во (На схеме привязки горизонтальный угол β 5 является правым походу В, поэтому в формуле (7.18) передним стоит знак минус. Часто прямую угловую засечку выполняют сразу для точек Ми. Тогда координаты точки N определяют также, как и координаты точки М, а значение горизонтального угла β 5 используют как контрольное. Аналогичный угол целесообразно измерить ив точке Оценка точности определения координат пункта M относительно исходных пунктов А, В и С выполняется последующим формулам 1 2 2 ) 1 ( β β ρ β + ′′ + = BM AM M S S m m , (7.19) 174 ) sin( 4 3 2 2 ) 2 ( β β ρ β + ′′ + = CM BM M S S m m , (7.20) 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 5 , 0 M M M m m m + = , (где m M(1) и m M(2) – соответственно средние квадратические погрешности определения положения точки М из первого и второго треугольников m β – средняя квадратическая погрешность измерения горизонтального угла (сек ρ" = 206265" – число секунд в радиане S – расстояния (горизонтальные проложения) между исходными пунктами и определяемой точкой, вычисляемые по теореме синусов в соответствующем треугольнике. При проектировании рассмотренной схемы привязки следует стремиться к тому, чтобы горизонтальные углы γ при определяемой точкебыли не меньше о и не больше о. Большая точность достигается при углах γ в пределах о – о при примерно равных расстояниях до нее от исходных пунктов.. Пример 7.4. Привязка способом прямой угловой засечки. Исходные данные (схема рис. 7.6 а): Х А = 3946,547 м Х В = 3763,211 м Х С = 4015,338 мм В = 4568,642 м См 0 55'45". Решение. Из треугольника АВМ (1): ; 7648 , 4287 0 1 8 1 63 8 5 4 4 59 642 , 4568 854 , 4105 0 1 8 1 63 211 , 3763 8 5 4 4 59 547 , 3946 0 0 мм 0 1 8 1 63 8 5 4 4 59 211 , 3763 547 , 3946 0 1 8 1 63 642 , 4568 8 5 4 4 59 854 , 4105 0 0 Аналогичные вычисления выполняем в треугольнике ВСМ (ХМ = 4287,7594 м ; Y M(2) = 4488,9353 мВ результате получены невязки в координатах X M(1) – X M(2) = 0,0054 мм АБС = 0,00916 м. Значение f АБС является критерием качества решения задачи привязки. При допустимом значении абсолютной невязки вычисляют среднее значение координат точки М ХМ = 4287,762 м ; Y M = 4488,939 м. Выполним оценку точности засечки по формулам (7.19) – (7.21), приняв m β = Из решения обратной геодезической задачи с точностью дом вычислим значениям м, S 3 ≈ 497 м. Значения sin для оценки точности округлим до 0,5 0 мм м M 5 , 8 0085 , 0 531 513 123 sin 5 20626 2 2 2 0 1 = = + ′′ ′′ = мм м M 3 , 8 0083 , 0 497 531 5 , 121 sin 5 20626 2 2 2 0 Средняя погрешность засечки мм М 9 , 5 2 3 , 8 5 , 8 Здесь следует сделать некоторые замечания. Средняя погрешность по значению меньше частных погрешностей, полученных по оценкам в соответствующих треугольниках. Это полностью согласуется с положениями теории погрешностей (гл. 3). Координаты точки М получены независимо из решения двух треугольников, те. определены дважды. В связи с этим средняя погрешность относится к значению средних арифметических координат точки М. Практическая погрешность (невязка) составила порядка 9 мм, те. на 3 мм больше. Оценка точности выполнялась по теоретическим формулам, для идеального случая, когда влияние других погрешностей исключается, не учитывается. При выполнении практических работ в результатах измерений содержатся и другие погрешности, что и повлияло на окончательное практическое значение точности определения координат точки М. При этом следует иметь ввиду, что все погрешности имеют вероятностный характер, и не исключено, что оценочные их значения могут в каких-то случаях оказаться и больше, чем их практические величины. Вычислим дирекционный угол направления MN. Из решения обратной геодезической задачи по координатам точек В и М вычислим значение дирекционного угла направления ВМ: 7 3 1 2 351 ; 7 3 1 2 8 ); ( ; 703 , 79 ; 551 , 524 0 0 ′′ ′ = ′′ ′ = − = ∆ + = ∆ ВМ BM r IVчетверть м Y м Х α 2 5 5 2 84 2 5 5 2 444 5 4 5 5 86 180 7 3 1 2 351 0 0 0 0 Часто видимость между пунктами А – В и В – Сможет отсутствовать. В этом случае возможно использование другой схемы прямой угловой засечки рис. 7.6 б, решение которой выполняется по формулам Гаусса (тангенсов или котангенсов). Формулы тангенсов: BМ AМ B A BP B AP A М tg tg Y Y tg X tg X X α α α α − + − − = , (7.22) BМ B М B AМ A М A М tg X X Y tg X X Y Y α α ) ( ) ( − + = − + = (7.23) Формулы котангенсов: BМ AМ B A BМ B AМ A М ctg ctg X X ctg Y ctg Y Y α α α α − + − − = , (7.24) BМ B М B AМ A М A М ctg Y Y X ctg Y Y X X α α ) ( ) ( − + = − + = (Для контроля выполняют аналогичную привязку с точек В и С. Значения дирекционных углов в приведенных формулах получают в результате решения азимутальной привязки от соответствующих исходных направлений α АМ = А ± β 1 , (7.26) ММ (Знак плюс - для левых походу углов (как это показано на рис. 7.4), знак минус - для правых походу углов. На схеме рис. 7.6 б горизонтальные углы – левые по ходу. При использовании для вычислений микрокалькуляторов формулы тангенсов не следует применять, если дирекционные углы близки ко о или о ± о, а формулы котангенсов – если дирекционные углы близки ко о или о ± о. Это обязательно следует проверить и, при возможности, перейти к другим построениям. В любом случае использование приведенной схемы привязки необходимо начинать с вычисления (или с оценки) величин дирекционных углов. Линейная засечка Этот способ удобно использовать в тех случаях, когда имеется возможность измерения расстояний S светодальномером, либо непосредственно компарированной рулеткой водно уложение (рис. 7.7). Такие схемы часто Рис. 7.7. Линейная засечка используют при небольших расстояниях между пунктами Аи В, расположенными, например, на углах здания, и сравнительно большом расстоянии между пунктами В и Св этом случае используют дополнительную точку Т, закрепляемую в створе линии ВС). Кроме того, при большом расстоянии между точками Аи В можно и между ними (в створе) выбрать в удобном месте дополнительную точку при соблюдении примерного равенства расстояний S. Значения координат точки М вычисляют по формулам м, (7.29) 2 М, (где 2 2 2 2 1 )] ( ) ( [ 5 , 0 A B A B Y Y X X S S n − + − + − = , 2 2 2 Формулы (7.29) и (7.30) используют в том случае, когда точка М находится слева от направления из точки А на точку В. В связи с этим перед вычислениями необходимо составить схему расположения точки М относительно исходных точек Аи В и учесть это при записи разностей координат Хи Задача решается дважды относительно точек Аи Виточек В и С (Т). Часто решение линейной засечки выполняют по несколько измененным формулам: d Y Y h X X t X X A B A B A М ) ( ) ( − + − + = , (М, (где 2 2 ) ( ) ( A B A B Y Y X X d − + − = , d S d S t 2 2 2 2 2 1 − + = , 2 Значение h берут со знаком плюс, если точка М находится слева от направления из точки А на точку В. Если точка М находится справа от указанного направления, то значение h берут со знаком «минус». Приближенная оценка точности произведенной линейной засечки может быть выполнена по формулам γ sin 2 2 2 ММ, (где m S / S – относительная погрешность измерения линий γ – угол засечки при определяемой точке (его вычисляют по теореме косинусов в соответствующем треугольнике). Углы при определяемой точке не должны быть меньше о и более 150 о Большая точность достигается при углах γ в пределах 90 о Пример 7.5. Привязка способом линейной засечки. Исходные данные (схема рис.7.7): Х А = 4365,848 м Х В = 4411,185 м Х С = 5641,756 мм В = 6786,445 м См мм м S 4 = 220,344 м. Стороны измерены с относительной погрешностью 1:10000. Решение. Из решения обратной геодезической задачи находим 5 3 3 80 0 ′′ ′ = АВ α ; 3 3 8 3 47 0 ′′ ′ = ВС α ; S АВ = 276,583 м. Определяем координаты точки Т (прямая геодезическая задача): м S Y Y м S Х Х BC B T BC В Т 269 , 6949 sin 643 , 4559 cos 4 Воспользуемся формулами (7.29) и (Для треугольника АВМ: n = 24551,453 ; D = ХМ = 4569,689 м ; Y M(1) = 6569,716 м Для треугольника ВМТ: n = -11749,929 ; D = ХМ = 4569,717 м ; Y M(2) = 6569,737 м. Невязки в координатах м f м Y Y f м X X f АБС M M Y M M X 035 , 0 ; 021 , 0 ; 028 , 0 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( = = − = = − = Если это условие удовлетворяет необходимой точности привязки, то вычисляют средние значения координат точки М: Х М = 4569,703 м М = 6569,727 м Выполним оценку точности определения координат точки М по формуле (7.34). Для этого по теореме косинусов найдем углы γ в треугольниках АМВ и ВМТ при точке М вычисления достаточно выполнить с точностью дом м 10000 3 3 м S m S = = Из треугольников АВМ и ВМТ соответственно получим = 0,037 мм средняя погрешность m M = 0,5 2 2 2 1 M M m m + = 0,045 м. Обратная угловая засечка Привязка способом обратной угловой засечки может быть выполнена потрем исходным геодезическим пунктам, если определяемая точка не лежит на окружности, описанной по ним. Оптимально, когда определяемая точка находится внутри треугольника риса Рис. 7.8. Обратная угловая засечка. Схема обратной угловой засечки (а. Построение инверсионных треугольников (б) При удалении точки Мот опасной окружности на 10% ее радиуса уже обеспечивает решение задачи определения координат искомой точки. Для графической оценки положения точки М составляют схему привязки и контролируют выполнение условия 0 0 0 3 2 30 20 Следует иметь ввиду, что в данном случае не обеспечивается надежный контроль привязки, поэтому целесообразно использовать для решения указанной задачи четыре исходных пункта, те. в определяемой точке необходимо еще измерить угол β 3 на исходный пункт Координаты точки М находят по формулам С.Г.Молочкова: BM BM B BM BM B M tg tg K K X tg tg K K X X α α α α 2 4 3 2 2 1 1 1 + + + = + + + = , (7.35) BM B M B M tg X X Y Y α ) ( − + = , (где 1 1 ) ( ) ( β ctg Y Y X X K B A B A − + − = ; 1 2 ) ( ) ( β ctg X X Y Y K B A B A − − − = ; 2 3 ) ( ) ( β ctg Y Y X X K B c B c − − − = ; 4 2 1 3 K K K K tg BM − − = α 2 При наличии четвертого пункта (D) координаты точки М могут быть получены дважды при использовании пунктов D, A и B и при использовании пунктов А, В и С. При этом может оказаться, что точность определения координат будет различной, в связи с чем целесообразно установить, относительно каких пунктов следует определять координаты точки Макакой из пунктов будет контрольным. Указанная задача решается методом инверсионных треугольников. Построение инверсионных треугольников выполняется на графической схеме привязки, построенной в произвольном масштабе длинно с таким расчетом, чтобы отрезки S былине менее 6 – 7 см. На этих отрезках откладывают в принятом масштабе значения параметров q i (градиентов ′′ = . (Получают соответствующие инверсионные треугольники 123 – для пунктов D, A и B и 234 – для пунктов А, В и С (рис. 7.8 б. Из точек 1, 2, 3 и 4 179 опускают высоты h i на соответствующие стороны и графически, в масштабе q, получают их значения Графическая оценка точности выполняется по формулам 3 2 1 1 1 1 h h m M + = β ; 2 4 2 2 2 1 1 h h m M + = β , (где М – средняя квадратическая погрешность определения координат точки М m β – средняя квадратическая погрешность измерения углов. По минимальной величине М выбирают исходные пункты для вычисления координат по формулами (Иногда координаты определяют два раза, по двум группам из трех исходных пунктов, а оценку погрешности выполняют по средней ее величине, как это делалось в предыдущих способах. Контроль вычислений по четвертому исходному пункту выполняют сравнением измеренного горизонтального угла (или углов, если пунктов более четырех) с вычисленным его значением. Например, если контрольное направление выбрано на пункт D, то сравнивают МC MD ВЫЧ α α β − = ) ( 3 (стем же горизонтальным углом, измеренным в поле. Разница в полученных углах является критерием качества привязки. Для теодолитных ходов указанная разница не должна превышать Передача дирекционного угла на определяемую линию MN выполняется с учетом значения горизонтального угла β 4 (правого или левого по ходу). Аналитическая оценка точности определения координат точки М (линейная погрешность m M ) может быть получена по формуле 1 3 2 3 1 2 1 2 ) sin( + + + ′′ ″ = L S L S m S m M β β ω ρ β , (где BC BA α α ω − = при использовании пунктов А, В и Си определяют из решения обратной геодезической задачи. Пример 7.6. Привязка по способу обратной угловой засечки. Исходные данные (схема рис. 7.8): X A = 5535,793 м ; Х В = 5633,352 м ; Х С = 2490,280 м ; Х = 2385,336 мА = 3733,771 мВ м ; См м = о" ; β 2 = о" ; β 3 = о" ; β 4 = 32 о 36'18" Решение. По схеме, построенной в произвольном масштабе, нос соблюдением ее геометрии по горизонтальным углам, получим длины отрезков S в мм ив метрах S 1 = 72,5 мм (3625 м S 2 = 54,0 мм 2700 м S 3 = 51,3 мм (2565 м S 4 = 59,2 мм (2960 м. По формуле (7.37) вычислим значения градиентов (q 1 = 56,9; q 2 = 76,4; q 3 = 80,4; q 4 = 69,7) и построим их величины на схеме по соответствующим сторонам в условно выбранном масштабе. Получатся точки 1, 2, 3 и 4. В результате образованы два инверсии- онных треугольника 123 и Построим в инверсионных треугольниках высоты h i и графически в масштабе q измерим их значения h 1 = 91,0; h 2 = 90,0; h 3 = 97,0; h 4 = Принимая m β = 2,0" (здесь необходимо учитывать фактическую точность измерения углов, по формулам (7.38) вычислим значения средних квадратических погрешностей Мм Мм Поскольку М меньше М, то целесообразно для вычисления координат точки М использовать второй инверсионный треугольник (234), те. использовать для вычислений координат исходные точки В, Си Далее решаем задачу по формулам Молочкова (7.35) и (7.36) для установленных исходных пунктов 1 ) ( ) ( β ctg Y Y X X K С В С В − + − = = + 3004,8784 ; 2 2 ) ( ) ( β ctg X X Y Y K С В С В − − − = = - 1380,3631 ; 3 3 ) ( ) ( β ctg Y Y X X K C D C D − − − = = - 6035,5272 ; 3 4 ) ( ) ( β ctg X X Y Y K C D C D − + − = = - 5064,8938 ; 4 2 1 3 K K K K tg BM − − = α = - 2,453611348 ; = + + + = СM СM B M tg tg K K X X α α 2 2 1 1 3400,759 м, СM СM B M tg tg K K X X α α 2 4 3 1 + + + = = 3400,759 м , СM С M B M tg X X Y Y α ) ( − + = = 6645,210 м Контроль привязки выполняем по направлению на четвертый исходный пункт А. Из решения обратной геодезической задачи найдем дирекционные углы направлений Аи МВ 8 , 12 5 1 306 А 3 , 01 7 5 30 В. Проверяем разность ) ( ) ( 1 β α α = − MА МВ : 5 , 48 1 4 84 8 , 12 5 1 306 360 3 , 01 7 5 30 ) ( 0 0 0 0 ′′ ′ = ′′ ′ − + ′′ ′ = − MА МВ α α Как видим, различие составляет всего 0,5", что для данных условий вполне допустимо. Аналитическая оценка точности определения координат точки М по формуле (7.40) дает значение Мм мм. Все параметры, входящие в формулу (7.40), получены из решения обратной геодезической задачи по соответствующим направлениям ( 7 4 5 1 75 0 ′′ ′ = ϕ ; S 2 = 2603,263 мм мм См. При этом значение М вычислено с учетом определения координат через исходные пункты В, Си по формуле 3 4 2 4 2 3 2 3 ) sin( + + + ′′ ″ = L S L S m S m С M β β ϕ ρ β Аналогичная задача привязки точки М (задача обратной однократной засечки) может быть решена по формулам И.Ю.Пранис-Праневича. Она решается для трех исходных пунктов и двух измеренных горизонтальных углов в определяемой точке. Например, в соответствии со схемой рис. 7.8, для исходных пунктов А, В и Си измеренных углов β 1 и β 2 координаты точки М вычисляют по формулам 1 + + = ∆ + = , (7.41) BM B M ctg X Y Y α ⋅ ∆ + = , (где 2 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( β β β β α ; 2 Пример 7.7. Обратная однократная засечка. Исходные данные примера 7.6. 181 Решение (для исходных пунктов А, В и С = (- 2789?170172)/(-4651,097936) = +0,599679949 (третья четверть – ЮЗ = 398,5895246 + (- 3434,064933) = - ХМ = 3400,754 м ; М = 6645,212 м. Различия в значениях координат точки М по сравнению со значениями, полученными в примере 7.6, объясняются другими погрешностями измерений в схеме АВС по сравнению со схемой ВСD. Такая же задача способом обратной однократной засечки может быть решена по измеренным направлениям (рис. 7.9) по формулам Деламбера. Для указанной засечки необходимо иметь четыре исходных пункта, наблюдаемых сточки М. Горизонтальные измеренные углы β приводят к какому-либо начальному направлению на исходный пункт, например, на пункт А. Значения координат точки М вычисляют дважды по двум последовательным схемам АВС и ВСD. При этом в схеме АВС за на- Рис. 7.9. Обратная однократная угловая засечка по измеренным направлениям чальное направление принимают МА, а в схеме BCD – МВ. Из схемы АВС: BM AM A B BM B AM A M tg tg Y Y tg X tg X X α α α α − − + − = , (7.43) BM B M B AM A M A M tg X X Y tg X X Y Y α α ) ( ) ( − + = − + = , (где C B C A A B B C C A A B AM Y Y ctg X X ctg X X X X ctg Y Y ctg Y Y tg − + − + − − + − + − = 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( β β β β α ; 1 β α α + = AM BM ; 2 β α α + = AM CM ; Аналогичные формулы, в соответствии со схемой привязки, составляют и для группы точек Пример 7.8. Обратная однократная засечка по измеренным направлениям. Исходные данные (см. пример 7.6). Решение для схемы АВС). В соответствии с рис. 7.8 ив схеме АВС β 1 = 84 0 41'48" ; β 2 = 165 0 55'13"; β 3 = 304 Тогда tgα АМ = -1,363648006 (вторая четверть – ЮВ), α АМ = о α ВМ = о СМ = о М = о. В результате получены значения координат ХМ = 3400,754 м, Мм. Те. такие же, как и при вычислениях по формулам И.Ю.Пранис-Праневича. 68.5. Комбинированные засечки Кроме рассмотренных выше схем привязки используются схемы комбинированной засечки (рис. В схеме риса положение точки М определяют способом обратной угловой засечки по углами и для контроля – способом прямой угловой 182 засечки по углами. При этом, например, угол β 4 можно не измерять, а вычислить из треугольника АВМ по углами В схеме рис. 7.10 б дважды вычисляют дирекционный угол линии ВМ от направлений АВ и ВС, находят его среднее значение. Используя, затем, углы β 1 и β 2 находят дирекционные углы линий Ми МЕ. Далее по формулам Гаусса вычисляют координаты точки М из двух вариантов относительно пунктов В и Е и затем пунктов В и Часто привязку целесообразно выполнять для двух точек одновременно, включенных в определяемую линию теодолитного или полигонометрического хода. Такие привязки используются, например, в схемах, приведенных на рис. 7.10 в, г, д. Рис. 7.10. Комбинированные засечки В схеме рис. 7.10 в координаты точек Ми М определяют обратной засечкой потрем исходным пунктам, а координаты вспомогательной точки D – прямой засечкой с точек Ми Ми одного исходного пункта. Обычно координаты точки D определяют с пунктов Ми А по формулам Юнга, а относительно точек Ми М – по формулам тангенсов или котангенсов контрольное вычисление). Схемы рис. 7.10 гид используют при густой сети исходных пунктов В схеме рис. 7.10 г координаты точки М определяют по четырем исходным пунктам, а координаты точки М потрем исходным пунктами точке МВ схеме рис. 7.10 д, при отсутствии видимости между определяемыми пунктами, выбирают вспомогательную точку D. При этом координаты точек Ми М находят потрем исходным пунктам, а координаты точки D – прямой засечкой с точек Ми Ми одного исходного пункта. Рис. 7.11. Геодезический четырехугольник Рис. 7.12. Задача П.А.Ганзена Схема рис. 92 представляет собой т.н. геодезический четырехугольник. При этом в указанной схеме подбирают такое положение точек M и N , чтобы все углы, кроме β 1 , былине менее 20 0 . В замкнутом треугольнике BCD при использовании линии MD в теодолитном ходе, угловая невязка не должна превышать 1,5'. Сначала, после уравнивания углов β 2 , β 4 , β 5 и β 7 , вычисляют координаты точки D, а затем, из двух вариантов по формулам прямой угловой засечки, координаты точки М. Задача П.А.Ганзена Такую задачу (задачу о двух точках) решают при наличии всего двух исходных пунктов (рис. 7.12). В этой схеме измеряют углы β 5 , β 6 , β 7 , и β 8 при определяемых точках Ми С. Из треугольников АСМ и ВСМ вычисляют углы β 3 и β 4 . Значения углов β 1 и β 2 находят по формулам sin ) sin( sin sin 8 7 8 7 6 5 8 5 8 5 8 7 7 6 1 β β β β β β β β β β β β β β β + + + + + + + = ctg ctg , (7.45) ) ( ) sin( ) sin( sin sin ) sin( sin sin 8 7 8 7 7 5 8 7 6 5 8 6 5 8 2 β β β β β β β β β β β β β β β + + + + + + + = ctg ctg . (Контролем вычислений является равенство β 1 + β 2 = β 7 + Далее решают прямые угловые засечки из треугольников АМВ и АВС. Для контроля вычисляют дирекционные углы линии СМ и направлений с определяемых точек на исходные пункты. По разностям дирекционных углов контролируют значения углов β. 184 |