Учебник "Правовая статистика". С. Н. Брусникина Правовая статистика
 Скачать 1.68 Mb.
|
|
Тема 6. Средние величины и их применение в правовой статистике Изучив тему 6, студент должен знать: • способы расчета и область применения степенных сред- них величин; • способы расчета и значение структурных средних в ана- лизе правовых явлений; • виды показателей вариации признака. Уметь: • рассчитывать степенные средние величины; • рассчитывать структурные средние величины и анали- зировать полученные результаты; • использовать в практической работе методы расчета средних величин; • применять показатели вариации признака для оценки однородности изучаемой совокупности и надежности ее средней. Приобрести навыки: • применения степенных и структурных средних в анали- зе социально-правовых явлений; • анализа показателей вариации признака. Правовая статистика 162 Содержание темы Средняя величина в правовой статистике представляет собой обоб- щенный показатель, характеризующий типичный уровень количест- венно варьирующих признаков (числа судимостей, возраста и т.д.) явлений в конкретных условиях места и времени. Условия расчета средних величин. Виды средних величин: степенные средние и структурные средние. К степенным средним относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, сред- няя геометрическая, средняя квадратическая и т.д. К структурным средним относятся: мода и медиана. Общая формула для расчета степенных средних. Правило ма- жорантности средних. Расчет средней арифметической. Область применения средней арифметической в анализе показателей правовой статистики. Средняя арифметическая простая. Средняя арифметическая взвешенная. Сред- няя арифметическая из групповых средних. Расчет средней арифмети- ческой для интервальных рядов. Определение величины открытых ин- тервалов в правовой статистике. Область применения средней геометрической в практике пра- вовой статистики. Способы расчета средней геометрической. Недос- татки средней геометрической. Мода – значение признака (вариант), встречающееся с наи- большей вероятностью в совокупности или в вариационном ряду. Нахождение моды в дискретных рядах распределения. Мода в ин- тервальных рядах распределения. Определение модального интер- вала. Условия использования формулы для нахождения моды в мо- дальном интервале. Медиана – вариант, который находится в середине ранжиро- ванного (упорядоченного) ряда, расположенного в определенном порядке – по возрастанию или по убыванию вариантов. Нахождение медианы в дискретных рядах. Нахождение медианы в интервальных ранжированных рядах. Определение медианного интервала. Понятие вариации. Показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Расчет размаха вариации. Преимущества и недостатки разма- ха вариации. Способы расчета среднего линейного отклонения. Средние величины и их применение в правовой статистике 163 Способы расчета дисперсии признака для несгруппированных и сгруппированных данных. Способы расчета среднего квадратического отклонения для несгруппированных и сгруппированных данных. Интерпретация полученных значений дисперсии и среднего квадратического отклонения. Применение дисперсии и среднего квад- ратического отклонения в практике правовой статистики. Расчет и интерпретация коэффициента вариации признака. Цели изучения темы 1. Формирование представления о таблицах смертности и таблицах экономической активности. 2. Приобретение навыков расчета степенных средних величин. 3. Приобретение навыков расчета структурных средних величин. 4. Формирование представлений о понятии вариации признака. Задачи изучения темы 1. Ознакомление с понятием и различными видами средних ве- личин. 2. Раскрытие методики расчета средних величин в правовой ста- тистике. 3. Определение средних величин в зависимости от наличия исход- ной правовой информации. 4. Приобретение опыта применения показателей вариации в оценке однородности изучаемой совокупности. Изучив тему, необходимо акцентировать внимание на следующих понятиях • средняя величина; • условия расчета средних величин; • виды степенных средних; • виды структурных средних; • показатели вариации признака. Порядок изучения темы • изучить теоретический материал; • выполнить практическое задание; • ответить на вопросы тестов. Правовая статистика 164 Методические указания Вопросы темы: 1. Понятие средних величин. 2. Виды средних величин и способы их вычисления. 3. Показатели вариации признака. При изучении первого вопроса: Познакомьтесь с теоретическим материалом, прочитайте тему 6.1 материалов курса «Правовая статистика». При изучении необхо- димо понять, что представляет собой средняя величина и какие тре- бования предъявляются к расчету средних величин для того, чтобы они действительно отражали типические черты изучаемой совокуп- ности. При изучении второго вопроса: Познакомьтесь с теоретическим материалом, прочитайте тему 6.2 материалов курса «Правовая статистика». При изучении необхо- димо знать, как рассчитываются конкретные виды средних, и в ка- ких случаях применяется их расчет. Для этого вы должны разо- браться в системе средних показателей, их особенностях. При изу- чении данного вопроса не забывайте особенности расчета средних величин для интервальных рядов распределения. Обратите внима- ние на конечный результат расчета всех средних величин – отобра- жение типических черт и качественных особенностей, присущих изучаемым социально-правовым явлениям. При изучении третьего вопроса: Познакомьтесь с теоретическим материалом, прочитайте тему 6.3 материалов курса «Правовая статистика». При изучении необхо- димо знать, какие показатели применяются для характеристики от- клонения отдельных значений варьирующего признака от общей средней в изучаемой совокупности. Вы должны разобраться в спосо- бах расчета показателей вариации. Обратите внимание, что коэф- фициент вариации используется не только для оценки однородно- сти совокупности по варьирующему признаку, но и для сравнитель- ной оценки вариаций различных признаков в изучаемой совокупно- сти, а также для сравнения вариации одного и того же признака в различных совокупностях. Средние величины и их применение в правовой статистике 165 Дополнительная литература: 1. Теория статистики: Учеб. для вузов / Под ред. Р.А. Шмойловой. 2. Лунеев В.В. Юридическая статистика. – Гл. 9. – С. 247-275. 3. Савюк Л.К. Правовая статистика. – Гл. 10. – С. 403-415. 6.1. Понятие средних величин Средние величины и связанные с ними показатели вариации играют важную роль в правовой статистике. Средние показатели, характеризующие всю совокупность явлений, позволяют выявить закономерности, присущие массовым социально-правовым явлени- ям, выявить характерные, типичные уровни изучаемых явлений и их изменения во времени и пространстве. Только на основе средних как обобщающих характеристик можно проводить сравнение раз- личных совокупностей по количественному варьирующему (изме- няющемуся) признаку, проводить на основе этих сравнений анализ сроков наказания, возраста правонарушителей, сроках расследова- ния и рассмотрения уголовных и гражданских дел и т.д. Средняя величина в правовой статистике – это обобщенный показатель, характеризующий типичный уровень количественно варьирующих признаков (числа судимостей, возраста и т.д.) явления в конкретных условиях места и времени. Средняя величина пред- ставляет собой именованную величину и выражается в тех же еди- ницах измерения, что и признаки у отдельных единиц совокупности (например, размерностью при расчете среднего возраста осужден- ных будут годы). Средняя величина отражает обобщенное, типичное для кон- кретной совокупности значение признака, присущее всем единицам совокупности, погашая при этом различия отдельных единиц. При вычислении средних в силу действия закона больших чисел количе- ственные значения признака каждой конкретной единицы совокуп- ности уравновешиваются, позволяя абстрагироваться от случайно- сти отдельных значений и несущественных особенностей явления. Для того чтобы средняя величина отражала основные и дейст- вительно типические черты изучаемой совокупности, она должна рассчитываться для совокупности, состоящей из достаточно большо- го числа единиц, так как только в этом случае согласно закону больших чисел случайные индивидуальные различия между Правовая статистика 166 отдельными единицами совокупности будут нивелироваться. Расчет средних показателей для небольшой группы данных может привес- ти к ошибочным выводам, поскольку такие средние будут отражать значительное влияние индивидуальных особенностей, не характер- ных для изучаемой совокупности в целом. Основное условие расчета средних величин – это качественная однородность единиц совокупности в отношении усредняемого при- знака, иначе средний показатель не будет действительно типизи- рующим. Средние, рассчитанные для неоднородных совокупностей, т.е. для явлений разного типа, будут искажать различия неоднород- ных совокупностей или будут бессмысленными. Так, если рассчи- тать средний срок лишения свободы заключенных какого-либо ис- правительного учреждения, то получится фиктивный показатель, так как его вычисление произведено на основе разнородной сово- купности, включающей в себя преступников, осужденных за раз- личные категории преступлений (и за убийство, и за хулиганство и т.д.). В подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок. Группировки статистических показателей на основе качественных группировочных признаков позволяют выде- лить однородные группы, по которым и рассчитываются типиче- ские групповые средние. Однако в социально-правовом анализе нельзя ограничиваться только средними показателями. Наряду со средними показателями, как общими, так и групповыми, необходимо учитывать индивиду- альные особенности отдельных единиц совокупности. Так, напри- мер, за общими средними могут скрываться и серьезные недостатки в деятельности отдельных правоохранительных органов и новые прогрессивные формы борьбы с преступностью. Расчет средних величин должен основываться на анализе социального содержания исследуемых показателей. Каждая сред- няя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо од- ному признаку, поэтому для изучения социально-правовых явле- ний, выявления их типических черт и качественных особенно- стей, как правило, применяют систему средних показателей. Так, например, показатели средней заработной платы следователей должны анализироваться совместно с показателями средней след- ственной нагрузки на одного оперативного работника, средних сроков расследования и т.д. Средние величины и их применение в правовой статистике 167 6.2. Виды средних величин и способы их вычисления Выбор вида средней определяется содержанием определенного признака и наличием исходной информации. Средние статистические величины подразделяются на степенные и структурные средние. К классу степенных средних относятся: средняя арифметиче- ская, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и т.д. Наибольшее распространение в правовой ста- тистике получило применение средней арифметической. Некоторые из средних, например, такие как средняя гармоническая, средняя кубическая, в правовой статистике практически не применяются. К структурным средним относятся: мода и медиана. Они применяют- ся при изучении внутреннего строения и структуры рядов распре- деления значений признака. Схема 5 Виды средних величин Средние величины ↓ ↓ Степенные Структурные ↓ ↓ Средняя арифметическая Мода Средняя геометрическая Медиана Средняя гармоническая Средняя квадратическая Средние, относящиеся к классу степенных средних, объединя- ются общим видом формулы: m m 1 i m i n x x ∑ = = , где x − среднее значение исследуемого явления; x − текущее значение (вариант) усредняемого признака; m − показатель степени средней величины; n − число признаков. В зависимости от значения показателя степени m степенные средние подразделяются на следующие виды: Правовая статистика 168 если 1 m − = , то получается средняя гармоническая; если 0 m = , то получается средняя геометрическая; если 1 m = , то получается средняя арифметическая; если 2 m = , то получается средняя квадратическая. При расчете степенных средних на основе одних и тех же ис- ходных данных (x, n), чем больше значение показателя степени m , тем больше значение средней величины: квадр арифм геом гарм x x x x ≤ ≤ ≤ Свойство степенных средних возрастать с увеличением пока- зателя степени функции называется в правовой статистике прави- лом мажорантности средних. Выбор одного истинного среднего значения показателя в каж- дом конкретном случае определяется целью исследования и харак- тером имеющихся данных. Средняя арифметическая Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Она применяется при оценке нагрузки следователей, прокуроров, судей, оперативных работников и других сотрудников юридических учреждений; расчете среднего абсолютного прироста (снижения) преступности; числа уголовных и гражданских дел и дру- гих показателей правовой статистики. Средняя арифметическая используется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является сум- мой значений признака отдельных единиц совокупности. Так, на- пример, общая годовая нагрузка судей городского суда – это сумма индивидуальных годовых нагрузок всех судей. Расчет средней арифметической достаточно прост: нужно сумму всех значений признака усредняемого признака разделить на общее число значений признака. В вышеприведенном примере для вычисления средней арифметической надо сложить значения всех индивидуальных нагрузок судей ( n 2 x ..., , x , x 1 ) и разделить на об- щее число судей (n). n x n x x x n x x n 2 1 1 1 арифм ∑ ∑ = + + + = = , Средние величины и их применение в правовой статистике 169 где n 2 x ..., , x , x 1 − индивидуальные значения варьирующего при- знака (варианты); n – число единиц совокупности. Таким образом, мы получили среднюю арифметическую про- стую. Она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппиро- ванные индивидуальные значения признака или когда каждая еди- ница совокупности имеет различные значения изучаемого призна- ка, т.е. значения признака не повторяются. Если значения (варианты) изучаемого признака повторяются различное число раз, то вычисляется не простая, а взвешенная средняя арифметическая, при этом число одинаковых вариантов называется весами (или частотами). В различные группы совокупности объеди- няются одинаковые варианты и в качестве весов выступают числен- ности единиц в этих группах совокупности. ∑ ∑ = + + + + + + = f xf f f f f x f x f x x n 2 1 n n 2 2 1 1 арифм , где n 2 1 f ..., , f , f − веса (частоты повторения одинаковых признаков); ∑ xf − сумма произведений величины признаков на их частоты; ∑ f − общая численность единиц совокупности. Технику вычисления взвешенной средней арифметической можно продемонстрировать на приведенном выше примере. Пред- положим, что в городском суде работают 10 судей, и они распреде- ляются по числу рассмотренных дел следующим образом: Таблица 15 Распределение судей по нагрузке делами Число рассмотренных дел (варианты), x Число судей (частота), f Произведение вариантов на частоты, xf 30 1 30 34 2 68 35 4 140 36 2 72 40 1 40 Итого 10 350 Правовая статистика 170 Подставив наши данные в формулу средней арифметической взвешенной, получим, что средняя нагрузка на одного судью со- ставляет 35 дел. 35 10 350 x арифм = = На практике встречается необходимость вычисления средней не по индивидуальным численным значениям изучаемого признака, а по средним отдельных частей совокупности (частным или групповым средним), т.е. приходится вычислять среднюю из средних. Так, например, средняя годовая нагрузка судей гражданскими делами по стране пред- ставляет собой среднюю из средних чисел гражданских дел, приходя- щихся на одного судью в год, по отдельным регионам страны. Средняя из средних равна средней из частных средних, взве- шенных по численности соответствующих частей совокупности. При этом частные средние служат в качестве вариантов. Расчет средней арифметической взвешенной из групповых средних ( . гр x ) осуществляется по следующей формуле: ∑ ∑ = f f x x гр арифм , где f – число единиц в каждой группе. Часто приходится исчислять среднюю для интервальных рядов статистических данных, т.е. когда индивидуальные численные зна- чения сгруппированы в интервалы («от − до»). В правовой стати- стике интервальными рядами представлены сроки наказания, сроки расследования, сроки рассмотрения дел в судах, возраст правонару- шителей и другие данные. В таком случае при расчете средней арифметической в качест- ве значений признаков в группах принимают середины интервалов (простая средняя между верхней и нижней границами каждого ин- тервала). При таком вычислении средней допускается некоторая условность, поскольку считается, что полусумма интервала является его средней, предполагая, что единицы признака распределены внутри группы равномерно. Очевидно, чем уже будут границы ин- тервала, тем меньше будет ошибка. При этом величина открытых интервалов (первого или послед- него) либо условно приравнивается к интервалам, граничащим с ними (второй интервал − с первым, предпоследний − с последним интерва- Средние величины и их применение в правовой статистике 171 лом), либо определяется на основе дополнительных изучений. Так, на- пример, в УК РФ указаны минимальный возраст, с которого лицо мо- жет быть привлечено к уголовной ответственности, минимальный (шесть месяцев) и максимальный (20 лет) сроки лишения свободы. Предположим, требуется рассчитать средний возраст осуж- денных на основе следующих данных: Таблица 16 Распределение осужденных по возрасту Группы осуж- денных по воз- расту, лет Число осуж- денных, чел. f Середина интервала, лет, x Произведение вариантов на частоты, xf 14-18 12 16 192 18-25 30 21,5 645 25-30 15 27,5 412,5 30-50 38 40 1520 50 и старше 5 60 300 Итого 100 - 3069,5 Условно приняв середину интервалов за среднее значение признака в каждой группе, можно рассчитать средний возраст осуж- денных по формуле средней взвешенной: 7 , 30 100 5 , 3069 f xf x арифм = = = ∑ ∑ Таким образом, средний возраст осужденных составляет 30,7 лет или 30 лет 8 месяцев. Средняя арифметическая, как правило, применяется в тех случаях, когда известны значения варьирующего признака (x) и их частоты (f). В некоторых случаях частоты могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (процентами или долями единицы). В этом случае формула средней арифметической взвешенной будет иметь следующий вид: ∑ ∑ = d xd x арифм , где ∑ = f f d − доля каждой частоты в общей сумме всех частот, т.е. в общей численности единиц совокупности. Правовая статистика 172 Причем, если частоты рассчитывают в долях (коэффициен- тах), то ∑ d будет равняться единице, а формула средней арифме- тической взвешенной будет иметь вид: ∑ = xd x арифм Средняя геометрическая Средняя геометрическая используется, как правило, в тех слу- чаях, когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных цепных показателей динамики (темпов роста), по- строенных на основе отношения каждого уровня в ряду динамики к предыдущему уровню. В правовой статистике этот вид средней при- меняется при изучении динамики преступности, раскрываемости преступлений, судимости, числа правонарушителей, заключенных, оправданных, динамики общего числа гражданских дел, удовлетво- ренных и неудовлетворенных исков, а также изменяющихся во вре- мени правовых и других юридически значимых явлений и процессов. Однако в чистом виде динамика правовых явлений (преступ- ности, ее отдельных видов и других юридически значимых явлений) в геометрической прогрессии, т.е. когда каждый последующий уро- вень ряда приблизительно равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное число, называемое знаменателем прогрессии, наблюдается достаточно редко. Средняя геометрическая есть результат извлечения корня сте- пени n из произведений отдельных значений – вариантов признака x: n n n 2 1 геом Пx x x x x = ⋅ ⋅ ⋅ = , где n – число значений признака (вариантов); П – знак произведе- ния. В табл. 13 приведены цепные темпы роста (снижения) общего числа выявленных преступлений в России: в 1996 г. – 0,953; в 1997 г. – 0,913; в 1998 г. – 1, 077; в 1999 г. – 1,163. В нашем примере среднегодо- вой темп изменения уровня преступности будет равен: 022 , 1 163 , 1 077 , 1 913 , 0 953 , 0 x 4 геом = × × × = Если известны уровни динамического ряда, то расчет средней геометрической упрощается. Для того чтобы рассчитать среднего- Средние величины и их применение в правовой статистике 173 довые темпы роста, необходимо знать абсолютные показатели пер- вого (базисного) и последнего уровней ряда динамики и продолжи- тельность всего периода, для которого рассчитывается средний темп роста (количество лет). Средняя геометрическая в таком случае может быть получена на основе следующей формулы: 1 n 1 n геом y y x − = , где y n – абсолютное значение последнего уровня ряда динамики; y 1 – абсолютное значение первого (базисного) уровня ряда ди- намики; n − число уровней ряда динамики в изучаемом периоде, вклю- чая базисный. Значение среднегодовых темпов роста, независимо от способа рас- чета, будет одинаковым. Использование средней геометрической для расчета среднегодовых темпов роста имеет свои недостатки . Как видно из нашего примера, несмотря на то, что в первой половине периода (с 1995 по 1997 гг.) уровень преступности снижался, в целом за период получается, что уровень преступности возрастал на 2,2% в год. Применение средней геометрической имеет смысл, как правило, если на протяжении все- го исследуемого периода происходит либо непрерывный рост, либо непрерывное снижение признаков изучаемого явления. При скачко- образном характере уровней ряда, т.е. их росте и снижении, сред- ний темп роста имеет сомнительное значение. Структурные средние Структурные средние являются особым видом средних величин, их значение имеет какой-либо определенный средний вариант в ва- риационном ряду. Структурные средние применяются для изучения структуры распределения значений признака и являются в отличие от степенных средних конкретными характеристиками. К этому виду средних относятся мода и медиана. Мода (M 0 ) – значение признака (вариант), встречающееся с наибольшей вероятностью в совокупности или в вариационном ря- ду. Другими словами, мода – это вариант, который чаще всего встречается в конкретной совокупности. Правовая статистика 174 Например, 100 уголовных дел по конкретному виду преступ- лений за год распределились по срокам расследования следующим образом: Таблица 17 Распределение уголовных дел по срокам расследования Сроки расследования, месяцы Число дел 1 10 2 20 3 50 4 15 5 5 Итого 100 В табл. 17 наибольшей частотой является 50. Этой частоте со- ответствует модальное значение признака, т.е. срок расследования. Следовательно, модой в данном примере будет 3 месяца, что свиде- тельствует о том, что наибольшее количество дел данной категории расследуется за три месяца. Мода в интервальных рядах распределения с равными интервала- ми определяется по следующей формуле: ) 1 M M 1 M M 1 M M M M O O O O O O O O O f f ( ) f f ( f f i x M + − − − + − − + = , где М О − модальное (наиболее часто встречающееся) значение признака; х М О − нижняя граница модального интервала; i М О − величина модального интервала; f М О − частота модального интервала; f М О-1 − частота интервала, предшествующего модальному; f М О+1 − частота интервала, следующего за модальным. Модальные интервалы в рядах распределения определяются по наибольшей частоте. Формула, используемая для нахождения моды в модальном интервале, применяется только для вариационных рядов с равными интервалами . На практике статистические данные в отчетно- сти правоохранительных органов и органов юстиции очень часто Средние величины и их применение в правовой статистике 175 представлены рядами распределения с неравными интервалами (данные о судимости, данные о жертвах дорожно-транспортных про- исшествий и др.). Расчет моды для вариационных рядов с неравными ин- тервалами может значительно исказить реальную статистическую кар- тину . Поэтому, если возникает необходимость рассчитать моду для рядов распределения с различными интервалами, следует прибег- нуть к методу вторичных группировок для приведения интервалов к равной величине. Медиана (M e ) – вариант, который находится в середине ранжиро- ванного (упорядоченного) ряда, расположенного в определенном порядке – по возрастанию или по убыванию вариантов. Медиана делит вариаци- онный ряд на две равные части: со значениями признака меньше медиа- ны и со значениями признака больше медианы. По обе стороны от ме- дианы находится одинаковое число единиц совокупности. Если всем единицам ранжированного ряда несгруппирован- ных данных придать порядковые номера, то нахождение медианы сведется к определению порядкового номера медианы, который рас- считывается по формуле: 2 1 n N e M + = , где n – число членов ряда. Например, в одном городском суде по уголовным делам было осуждено в течение месяца 11 человек со следующими сроками ли- шения свободы: № осужденного 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Срок лишения свободы, лет 1 1,5 2 2 2,5 3 3,5 4 5 6 6 В нашем примере номер медианы равен 6, а медиана равна 3 го- дам, т.е. одна половина осужденных к лишению свободы получила срок наказания менее 3 лет, а другая – более 3 лет лишения свободы. Если ряд имеет четное число индивидуальных значений (ва- риантов), то медиана равна средней из двух вариантов, находящих- ся в середине ряда. Правовая статистика 176 № осужденного 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Срок лишения свободы, лет 1 1,5 2 2 2,5 3 3,5 4 5 6 В этом случае 5 , 5 N e M = , а медиана равна средней арифмети- ческой двух соседних значений 2,5 и 3, т.е. 75 , 2 M e = года. Для нахождения медианы в интервальном ранжированном ряду не- обходимо сначала определить медианный интервал. Медианный интервал определяется по кумулятивной частоте (накопленная сум- ма частот), которая является последовательной суммой всех преды- дущих частот, начиная с первого интервала с наименьшим значени- ем признака. Общая сумма накопленных частот равна общей сумме частот ряда (общему числу всех значений признака). Медианный интервал определяется тем, что его кумулятивная частота равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы в интервальном ряду определяется по следующей формуле: e e e e M 1 M M M e f S 2 f i x M − − + = ∑ , где e M x − нижняя граница медианного интервала; e M i − величина медианного интервала; 2 f ∑ − половина суммы частот ряда; 1 M e S − − сумма накопленных частот, предшествующих меди- анному интервалу; e M f − частота медианного интервала. Рассмотренная формула определения значения медианы предполагает, что нарастание накоплений частоты внутри интерва- ла происходит равномерно, и применима для любого интервального ряда, как с равными, так и с неравными интервалами. Значения моды и медианы обычно отличаются от значения средней, совпадая только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Медиана, в отличие от средней, не зави- Средние величины и их применение в правовой статистике 177 сит от крайних или характерных для совокупности значений при- знака. На практике мода и медиана, как правило, являются допол- нительными характеристиками совокупности к средней арифмети- ческой. При использовании вместе они дополняют друг друга, по- зволяя оценить асимметрию ряда распределения. 6.3. Показатели вариации признака Средние величины дают обобщающую характеристику варь- ирующего признака совокупности, но не показывают, насколько од- нородна изучаемая совокупность, как располагаются возле средней индивидуальные значения (варианты) признака. Различия в значениях признака у разных единиц совокупно- сти за один и тот же период (момент) времени называется в право- вой статистике вариацией. Предположим, что в различных следственных отделах работа- ет две группы следователей, каждая из трех человек. На начало ме- сяца у каждого следователя находилось в производстве следующее количество уголовных дел: в первой группе – 8, 10, 12 ( 10 x 1 = дел); во второй группе − 1 , 10, 19 ( 10 x 2 = дел). Средняя нагрузка на одного следователя в обеих группах рав- на, хотя в первой группе различия в следственной нагрузке значи- тельно меньше, чем во второй. В целях установления показательности и типичности средней рассчитываются показатели, характеризующие отклонения отдель- ных значений от общей средней, или другими словами, показатели вариации. К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Самый простой показатель вариации признака – размах ва- риации (R). Он рассчитывается как разность между максимальным и минимальным значениями признака: min max x x R − = В нашем примере размах вариации следственной нагрузки со- ставляет: в первой группе следователей − 4 8 12 R 1 = − = дела, а вто- Правовая статистика 178 рой группе − 18 1 19 R 2 = − = дел. Различие значительное: R 2 > R 1 в 4,5 раза. Это свидетельствует о том, что в первом случае совокупность более однородна и средняя следственная нагрузка первой группы следователей более показательна. Однако размах вариации отражает только крайние отклоне- ния признака и не указывает, насколько велики отклонения от среднего значения всех вариантов в вариационном ряду. Более точ- ной характеристикой вариации признака является среднее линей- ное отклонение. Среднее линейное отклонение ( d ) представляет собой сумму взвешенных по частоте отклонений отдельных значений признака (по абсолютной величине) от их средней арифметической: ∑ ∑ − = f f x x d , где f – веса (частота повторения одинаковых значений признака); ∑ f − сумма частот вариационного ряда. Для несгруппированных данных формула будет иметь сле- дующий вид: n x x d ∑ − = , где n – число членов ряда. Причем отклонение вариантов от их средней арифметической всегда берется по модулю (иначе в числителе всегда будет ноль). Еще более точными характеристиками вариации признаков являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсия признака (σ 2 ) – средний квадрат отклонений от- дельных значений признака от их средней величины. В зависимости от того, как представлены исходные данные, применяются следую- щие формулы: ( ) n x x 2 2 ∑ − = σ − для несгруппированных данных; ( ) ∑ ∑ − = σ f f x x 2 2 − для сгруппированных данных. Средние величины и их применение в правовой статистике 179 Среднее квадратическое отклонение (σ) равно корню квад- ратному из дисперсии и показывает, на сколько в среднем отклоня- ются конкретные значения признака от их средней величины. ( ) n x x 2 ∑ − = σ − для несгруппированных данных; ( ) ∑ ∑ − = f f x x 2 σ − для сгруппированных данных. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат наи- лучшим способом проверки однородности совокупности. Чем меньше их значение, тем однороднее совокупность и тем типичнее характери- зующая ее средняя величина. Так как среднее квадратическое отклоне- ние выражается в тех же единицах измерения, что и значения призна- ка, то на практике оно лучше поддается интерпретации. Применение дисперсии и среднего квадратического отклонения получило достаточно широкое распространение в правовой статисти- ке. Они используются для обоснования ошибки репрезентативности (ошибки выборки) при проведении выборочного наблюдения, широко применяемого в социально-правовых обследованиях; при изучении влияния различных факторов, обуславливающих преступность и дру- гие правовые и юридически значимые явления. Для сравнения вариаций различных признаков (таких как ва- риации стажа работы следователей и их следственной нагрузки, возраста преступников и их срока наказания и т.д.), а также для сравнения вариации одного и того же признака в различных сово- купностях (например, возраста преступников в различных регионах) применяют относительный показатель вариации – коэффициент вариации (V). % 100 x V ⋅ σ = , где σ − среднее квадратическое отклонение; x − средняя арифметическая. Коэффициент вариации используется не только для сравни- тельной оценки, но и для характеристики однородности совокупно- сти по варьирующему признаку. Совокупность считается однород- Правовая статистика 180 ной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Соответствен- но, надежность и типичность средней такой совокупности является достаточно высокой. Для самооценки темы 6 ответить на вопросы: 1. Что представляет собой средняя величина? 2. Формулы расчета средней арифметической простой и средней арифметической взвешенной. 3. Способы расчета средней геометрической и ее применение в анализе правовых явлений. 4. Напишите формулу расчета моды в интервальном ряду рас- пределения и приведите примеры ее использования в аналитиче- ской практике правовой статистики. 5. Напишите формулу расчета медианы в интервальном ряду распределения и приведите примеры ее использования в практике правовой статистики. 6. Назовите показатели, применяемые для оценки однородности совокупности и типичности ее средней величины. 7. Раскройте способы расчета и практическое применение в пра- вовой статистике каждого из показателей вариации. Тесты: 1. Укажите, как называются величины, представляющие собой обобщенную характеристику совокупности явлений по определенно- му количественному варьирующему признаку: а) коэффициенты; б) средние величины; в) индексы; г) варианты. 2. Укажите основные условия расчета средних величин в правовой статистике: а) достаточно большое число единиц совокупности; б) качественная однородность единиц совокупности; в) исходные данные должны быть несгруппированными; г) исходные данные должны быть сгруппированными. Средние величины и их применение в правовой статистике 181 3. Укажите, какие средние величины относятся к классу степен- ных средних: а) средняя арифметическая; б) средняя кубическая; в) мода; г) медиана. 4. Укажите, какие средние величины относятся к структур- ным средним: а) средняя геометрическая; б) средняя прогрессивная; в) мода; г) медиана. 5. Укажите, какой вид средних величин объединяется следующей формулой m m 1 i m i n x x ∑ = = : а) степенные средние; б) структурные средние; в) групповые средние; г) взвешенные средние. 6. Укажите средние величины, наиболее распространенные в правовой статистике: а) средняя арифметическая; б) средняя геометрическая; в) средняя квадратическая; г) средняя прогрессивная. 7. Свойство степенных средних возрастать с увеличением по- казателя степени функции называется в статистике: а) правилом интенсивности средних; б) правилом функциональности средних; в) правилом мажорантности средних; г) правилом степенности средних. Правовая статистика 182 8. Определите правильное соотношение между следующими степенными средними: а) . арифм . геом x x = ⋅ 2 б) . арифм . геом x x ≥ в) . арифм . геом x x = г) . арифм . геом x x ≤ 9. Формула расчета средней арифметической простой приме- няется: а) если имеются несгруппированные индивидуальные значе- ния признака; б) если имеются сгруппированные значения признака; в) если значения признака повторяются; г) если каждая единица совокупности имеет различные непо- вторяющиеся значения признака. 10. Формула расчета средней арифметической взвешенной применяется: а) если имеются несгруппированные индивидуальные значе- ния признака; б) если имеются сгруппированные значения признака; в) если значения признака повторяются; г) если каждая единица совокупности имеет различные непо- вторяющиеся значения признака. 11. Если средняя вычисляется не по индивидуальным числен- ным значениям признака, а по средним отдельных частей совокуп- ности, то такая средняя называется: а) групповой средней; б) совокупной средней; в) средней из средних; г) частной средней. 12. При расчете средней арифметической для интервальных рядов в качестве значений признака в группах принимают: а) нижнюю границу интервала; б) середину интервала (полусумму нижней и верхней границ интервала); Средние величины и их применение в правовой статистике 183 в) верхнюю границу интервала; г) разницу между верхней и нижней границами интервала. 13. При изучении динамики преступности, судимости, других правовых и юридически значимых явлений в правовой статистике применяется следующий вид средних величин: а) средняя арифметическая; б) средняя геометрическая; в) средняя динамическая; г) медиана. 14. Какая из формул подходит для расчета среднегодового темпа роста общего числа гражданских исков: а) ∑ ∑ = f xf x ; б) ∑ ∑ = d xd x ; в) n n 2 1 x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ; г) 1 n 1 n y y x − = 15. Применение средней геометрической для расчета среднего- довых темпов роста правовых и юридически значимых явлений име- ет смысл, если: а) на протяжении всего исследуемого периода происходит не- прерывный рост признаков изучаемого явления; б) на протяжении всего исследуемого периода происходит не- прерывное снижение признаков изучаемого явления; в) на протяжении всего исследуемого периода уровень изу- чаемого явления остается неизменным; г) на протяжении исследуемого периода наблюдался скачко- образный характер развития явления. 16. Укажите, какой вид средних величин применяется в право- вой статистике при изучении структуры распределения значений признака явлений, имеющих юридическую значимость: а) степенные средние; б) структурные средние; в) удельные средние; г) средние распределения. Правовая статистика 184 17. Укажите, как называется вариант, встречающийся с наи- большей вероятностью в совокупности или вариационном ряду: а) средняя арифметическая; б) константа; в) мода; г) медиана. 18. Укажите, как называется серединный вариант ранжиро- ванного (упорядоченного) ряда: а) средняя арифметическая; б) константа; в) мода; г) медиана. 19. Формула, используемая для нахождения моды в модальном интервале, применяется только для вариационных рядов: а) с равными интервалами; б) с неравными интервалами; в) с возрастающими интервалами; г) с убывающими интервалами. 20. Для характеристики однородности совокупности право- вых явлений и типичности их средней в правовой статистике при- меняются: а) относительные показатели структуры; б) структурные средние; в) степенные средние; г) показатели вариации. 21. Показатель, который рассчитывается как разность меж- ду максимальным и минимальным значениями признака, – это: а) интервал вариации; б) размах вариации; в) диапазон вариации; г) шаг вариации. 22. Отклонение вариантов от их средней арифметической при расчете среднего линейного отклонения всегда берется: а) в квадрате; б) в процентах; Средние величины и их применение в правовой статистике 185 в) в абсолютном виде; г) по модулю. 23. Показатель, представляющий собой сумму взвешенных по частоте отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической, называется: а) среднее линейное отклонение; б) среднее квадратическое отклонение; в) среднее арифметическое отклонение; г) среднее взвешенное отклонение. 24. Укажите, в каких единицах измерения выражается среднее квадратическое отклонение: а) в процентах; б) в коэффициентах; в) в тех же единицах, что и значение признака; г) в долях единицы. 25. Продолжите фразу: «Чем меньше значение дисперсии при- знака, … : а) тем однороднее совокупность и типичнее характеризующая ее средняя величина; б) тем больше значение среднего квадратического отклонения; в) тем меньше значение средней величины, характеризующей совокупность; г) тем больше размах вариации признака. 26. Среднее квадратическое отклонение характеризует: а) квадрат отклонений отдельных значений признака от их средней величины; б) среднее отклонение значений признака от квадрата их средней величины; в) среднее отклонение квадратов отдельных значений призна- ка от квадрата их средней; г) на сколько в среднем отклоняются конкретные значения призна- ка от их средней величины. 27. Среднее квадратическое отклонение равно: а) корню квадратному из дисперсии; б) квадрату дисперсии; Правовая статистика 186 в) отношению квадрата дисперсии к средней арифметической; г) разности квадратного корня из дисперсии и средней ариф- метической. 28. Совокупность считается однородной по варьирующему признаку, если: а) коэффициент вариации > 33%; б) коэффициент вариации < 33%; в) коэффициент вариации = 100%; г) средняя арифметическая больше или равна средней гео- метрической. 29. Коэффициент вариации характеризует: а) интенсивность распространения явления на конкретной территории; б) структуру качественно неоднородной совокупности; в) темпы изменения варьирующего признака; г) степень однородности совокупности по варьирующему признаку. 30. Коэффициент вариации рассчитывается: а) в процентах; б) в долях единицы; в) в именованных единицах; г) в промилле. |