алгебра. СРС сызықтық алгебра және аналит геом. Самостоятельная работа студента (срс) Заданий по математике 1

• Название: Самостоятельная работа студента (срс) Заданий по математике 1
• Анкор: алгебра
• Дата: 27.01.2022
• Размер: 426.5 Kb.
• Имя файла: СРС сызықтық алгебра және аналит геом.doc
• Тип: Самостоятельная работа; #344034

Самостоятельная работа студента

(СРС)

Заданий по математике 1

1. Определители.

1. С помощью правила треугольников (правила Саррюса) вычислить определители

а) ; б) ; в)

Ответ: а) –36; б) 0; в) 87.

2. Методом понижения порядка вычислить определители:

а) ; б) .

Ответ: а) 22198; б) 16.

3. Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду:

а) ; б) . Ответ: а) 48; б) 20.

4. Вычислить определители, предварительно упростив их:

а) ; б) .

Ответ: а) ; б) 5.

1. Вычислить определители:

а) ; б) ; в) .
Ответ: а) 54; б) 160; в) -27.


2. Матрицы

1. Даны матрицы A и B . Найти , если

а) ;

б) .
2. Даны матрицы A и B. Найти AB и BA, если

а) ;

б) ; в) ;

г) ; д) .

Ответ: а)

б)

в) г)

д) .

3. Найти матрицу , обратную данной матрице , если

а) ; б) .

Ответ:

а) ; б) .

4. Даны матрицы:


Найти те из произведений которые имеют смысл.

Ответ: .

5. Для данных матриц и найти , если

. Ответ: .

6. Найти и , если

. Ответ: .

7. Найти матрицу, обратную матрице

Ответ: .

8. Для матрицы найти матрицу и убедиться, что , если
а) ; б)
Ответ: а) , б) .
9. Найти ранг матрицы и указать какой-либо ее базисный минор, если

. Ответ: .

10. Найти ранг матрицы и указать какой-либо ее базисный минор, если

. Ответ: .

4. 
   Системы линейных алгебраических уравнений. (СЛАУ)
   

1. Решить систему уравнений матричным способом и сделать

проверку:

2. Решить систему по формулам Крамера и сделать проверку:



3. Решить систему методом Гаусса и сделать проверку:


5. Векторы

1. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = (3,-5,8) и b = (-1,1,-4). (Ответ: )

2. Векторы = (2,6,-4) и = (4,2,-2) определяют стороны треугольника АВС. Найти длину вектора , совпадающего с медианой, проведенной из вершины С. (Ответ: )

3. Найти координаты вектора с, направленного по биссектрисе угла между векторами а = (-3,0,4) и b= (5,2,14). (Ответ: с =

Литература

1. А. В. Ефимов, Б. П. Демидович Сборник задач по математике для

втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа.

2.П. Е. Данко, А. Г. Попов и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть I.

3. А. П. Рябушко и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Книга 1.
6. Векторное, скалярное и смешанное произведение векторов
1. При каком значении векторы и взаимно перпендикулярны? (Ответ: =-6).

2. Заданы векторы а(-1,2,0) и j(0,1,0). Вычислить

(Ответ: ).

3. Векторы а и b взаимно перпендикулярны, Вычислить (Ответ: 12;24;60).

4. Вычислить площадь треугольника АВС с вершинами А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2). (Ответ: ).

5. Дано Вычислить: . (Ответ: 16).

6. Вычислить работу силы при перемещении материальной точкой из положения А(-1,2,0) в положение В(2,1,3).(Ответ: 4)

7. Вектор х перпендикулярен векторам и удовлетворяет условию . Найти координаты х. (Ответ: х(-3,3,3)).

8. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и Вычислить . (Ответ: 24).

9. Заданы векторы а(0,3,4), b(2,1,3) и угол . Вычислить а. (Ответ: ).

Литература

1.А.В.Ефимов, Б.П.Демидович. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа.

2. П.Е.Данко, А.Г.Попов и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1.

3. А.П.Рябушко и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Книга
7. Различные уравнения прямой на плоскости. Уравнения плоскости.

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М₀( -2,3) и образующий с осями координат треугольник площадью 4.

2. Записать уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующий угол 30⁰ с прямой y= - 3x+1.

3. Записать уравнение прямой проходящей через точку Р(5, 2) и отсекающей равные отрезки на осях координат. (Ответ: x+y-7=0.)

4. Найти уравнение прямой, параллельной прямой 12x+5y-52=0 и отстоящей от нее на расстояние 2. (Ответ: 12x+5y-26=0 или 12x+5y-78=0.)

5. Вычислить величину меньшего угла между прямыми 3x+4y-2=0 и 8x+6y+5=0. Доказать, что точка лежит на биссектрисе этого угла, и сделать рисунок. (Ответ: )

1. Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости . )

2.Вычислить расстояние между прямыми и (Ответ: )

3. Пересекаются ли прямые и ? (Ответ: нет. )

4. Составить уравнение плоскости через точку Р(1,0,2) перпендикулярно к двум плоскостям 2x-y+3z-1=0 и 3x+6y+3z=0. ( Ответ: 7x-y-5x-z+3=0)

5. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости 2x-2y+4z-5=0 и отсекающей на осях OX и OY отрезки а = -2, в = соответственно. (Ответ: x-3y-2z+2=0)

6. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору s = (5,0,-2) и отсекающих на осях OX и OY отрезки a = - 4,b= 1.

7. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями

x - 2y + 4z – 1 = 0 и 2x -5y + 2z + 12 = 0.
8. Кривые 2 порядка

1. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что:

а) его малая ось равна 24, расстояние между фокусами равно 10;

б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет равен 3/5;

в) расстояние между фокусами равно 4, расстояние между директрисами равно 5;

г) расстояние между директрисами равно 32, эксцентриситет равен 0,5;

2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что:

а) расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10;

б) действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между центром и фокусом пополам;

в) действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку А(9,-4);

г) точки P(-5,2) и Q(2 лежат на гиперболе;

3. Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что:

а) парабола имеет фокус F(0,2) и вершину в точке О(0,0);

б) парабола симметрична относительно оси абсцисс и проходит через точки О(0,0) и

М (1,-4);

в) парабола симметрична относительно оси ординат и проходит через точки О(0,0) и

N(6,-2).
4. С помощью выделения полных квадратов и переноса начала координат упростить уравнения линий, определить их тип, размеры и расположение на плоскости (сделать рисунок.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Построить линии, записав их уравнения в полярных координатах:

1)

2) ;

3) ;

4) ;

5) .
9. Поверхности 2 порядка
Построить тело, ограниченное указанными поверхностями.

а) z =4-х² , z=0 , x²+y²=4.

б) z= 2x²+y², z =0, x=0, y=0, x+y=1.

в) x²+y²+ z² =9 , z+1= x²+y².(z>-1).

г)x²+y² = z, x²+y²=4, z =0.

10. Введение в анализ. Функция

1. Найти область определения функции .

2. Для функции найти обратную. Построить графики данной и найденной функции.

3. Найти область определения функции .

4. Построить график функции .

5. Найти область определения функции .

6. Для функции найти обратную. Построить графики данной и найденной функций.

7. Исследовать на непрерывность функцию в точках и . Сделать схематический чертеж.

8. Дана функция . Исследовать ее на непрерывность. Сделать схематический чертеж.

9. Исследовать на непрерывность функции в точках и . Сделать схематический чертеж.

11. Пределы. Замечательные пределы
Вычислить пределы указанных функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .
Найти замечательные пределы:

а) ; б) ; в)

г) ; д) .
12. Производная и дифференциал функции
1. Найти производные следующих функций:

а) ; б) ;

в) . г) ;

д) ; е) .

ж) ; з) ; и) .

2. Записать уравнения касательной и нормали к кривой в точке . (Ответ: ; .)

3. Воспользовавшись определением производной (см. Формулу (2)), найти производную функции . (Ответ: .)

4. Расстояние, пройденное материальной точкой за время t с,

(s – в метрах). Найти скорость движения данной точки в моменты времени t = 0; 1; 2 с. (Ответ: 2 м/с; 2 м/с; 6 м/с.)

5. Найти производные следующих функций.

а) ; б) ; в) ;

г) д) е)

ж) з) и)

к) л) м)

13. Производная сложной и обратной функции. Производная функции
заданной параметрически.
Найти производные данных функций.

1. а) б) в)

(Ответ: )

2. а) б) в)

(Ответ: )

3.а) б) в)

(Ответ: )

4. а) б) в)
14. Производные и дифференциалы высших порядков.
1.найти производную второго порядка функции

2.Найти вторую производную функции, заданной уравнениями: ,

3.Найти производную второго порядка функции

4.Вычислить значение второй производной функции у, заданной уравнением, в точке М (1,1).

5. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции

6. Найти приближенное значение функции при с точностью до двух знаков после запятой. (Ответ: 0,93.)

7. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции ;

8. Вычислить приближенное значение функции при с точностью до двух знаков после запятой. (Ответ: 2,08.)
15. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Правило Лопиталя.
Найти указанные пределы.

1. (ответ : ) 2 .; (Ответ: 0)

3. ; (Ответ :) 4. _; (Ответ: )

5. _;(Ответ: -2)

6. а) ; в) а>0; д) ;

б) ; г) ; ж) ;

Ответ: а) 1; б) 0; в) 0; г) –5/2; д) –2/; ж) 3.
16. Формула Тейлора.
1. Разложить многочлен Р(х)= х⁴-2х³+7х-4 по степеням (х-1)

Ответ: Р(х)= (х-1)⁴ +2(х-1)³+5(х-1)+2.

2. Разложить по степеням х функцию f(x)= до члена, содержащего х⁴

Ответ: 1+ .
17. Исследование функции

1) Исследовать на экстремум функцию ;

2) найти асимптоты кривой . (Ответ: 1) при , при ; 2) .)

3) Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой ;

4) найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке . (Ответ: 1) , - вогнутая, - выпуклая; 2) .)

5) Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции ;

6) доказать справедливость неравенства при . (Ответ: 1) при , при ).

7. Провести полное исследование данных функций и построить их графики.

а) У = In(x² +2х+2). (Ответ: Y_min = О при х = -1; точки перегиба M₁(-2,ln2) и M₂(0,ln2).),

б) У = (2х - 1)/(х - 1)^2.(Ответ: Y_min = -1 при х = о; точка перегиба

M₁(-1/2, -8/9); асимптоты х = 1 и У = О.)

в) У = -ln(x² -4х+5). (Ответ: У_тах = О при х = 2; точки перегиба M₁ (1,ln2), М₂(3, ln2).)