Текст для учебника. Слайд 1 Тема Производная функций одной переменной
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Курс «Высшая математика-2». Курс разработан преподавателем кафедры «Высшая математика и математическое моделирование», кандидатом педагогических наук доцентом Палферовой Сабиной Шехшанатовной. Телефон 89033332240. Слайд 1 Тема № 1. Производная функций одной переменной Производная функции – одно из основных понятий математики. В математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Дифференциальное исчисление широко применяется в прикладных инженерных задачах. В частности, если требуется найти максимальное, минимальное или оптимальное значение показателя. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции одной или нескольких переменных. Аппарат дифференциального исчисления также применяется в динамических моделях. Таких как износостойкость материалов, жесткость конструкций, устойчивость строений в сейсмоопасной местности, зависимость плавления металлов от температуры, давления и других факторов. Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной функции. Задача 1 [первая] Пусть материальная точка движется по прямой в заданном направлении. Обозначим [эс] – путь, пройденный точкой. Введем обозначение [тэ] – время движения материальной точки. Путь, пройденный точкой за время , зависит от [тэ] и изменяется по некоторому закону, представленному на слайде под номером (1.1). Отметим некоторый момент времени [тэ нулевое]. Поставим задачу определить скорость материальной точки [вэ нулевое] в момент времени t 0 [тэ нулевое]. Для этого рассмотрим другой момент времени по прошествии отрезка t [дельта тэ], то есть момент, указанный на слайде под номером (1.2). К моменту t 0 [тэ нулевое] путь, пройденный точкой, составит S(t 0 ) [эс от тэ нулевое]. В момент t 0 + t [тэ нулевое плюс дельта тэ] будем иметь путь, указанный на слайде под номером (1.3). За промежуток времени t [дельта тэ] точка прошла путь, заданный формулой (1.4). Средняя скорость движения за время t [дельта тэ] представлена на слайде формулой (1.5). Эта средняя скорость отличается от мгновенной скорости в момент t 0 [тэ нулевое]. Чем меньше промежуток t [дельта тэ], тем ближе величина V ср [вэ среднее] к скорости V 0 [вэ нулевое]. Устремим t [дельта тэ] к нулю. Тогда предел, к которому стремится средняя скорость, и является скоростью нашей точки V 0 [вэ нулевое] в момент времени t 0 [тэ нулевое]. Это отражает формула (1.6) данного слайда. В последней формуле рассматривается предел отношения приращения пути S [дельта эс] к приращению времени t [дельта тэ]. Слайд 2 Задача 2 [вторая] Рассмотрим график непрерывной функции x f y [игрек, равное эф от икс]. Возьмем на этом графике точку 0 0 0 , y x M [эм нулевое с координатами икс нулевое, игрек нулевое]. Поставим задачу написать уравнение касательной прямой к графику функции, проведенной в точке М 0 [эм нулевое]. Для наглядности рассмотрим рисунок 1.1. Дадим переменной [икс] приращение [дельта икс]. Переместимся по графику из точки М 0 [эм нулевое] в точку M [эм]. В нашем случае x > 0 [дельта икс больше нуля]. Мы переместились вправо от точки M 0 [эм нулевое]. Координаты точки [эм] можно вычислить. Абсцисса [эм] равна [икс нулевое плюс дельта икс]. Ордината [игрек равно значению функции от соответствующего значения приращенного аргумента]. На сколько изменилось значение функции при перемещении из точки [эм нулевое] в точку [эм]? Это изменение функции называется приращением функции. Вычисляется приращение y [дельта игрек] как разность 0 0 x f x x f y [между значением функции от приращенного аргумента и значением функции от икс нулевого]. В случае нашей возрастающей функции y > 0 [дельта игрек больше нуля]. Прямая M 0 M [эм нулевое эм] называется секущей. Ее наклон к оси OХ [о икс] определяется тангенсом угла [бета]. Угловой коэффициент секущей x y tg К сек [ка равен отношению приращения функции дельта игрек к приращению аргумента дельта икс]. Если теперь неограниченно уменьшать приращение аргумента, то приращение функции также будет стремиться к нулю. Это выполняется, поскольку наша функция непрерывна. При этом секущая [эм нулевое эм] неограниченно приближается к положению [эм нулевое ка]. Это предельное положение секущей и есть прямая, которая является касательной к графику функции в точке M 0 [эм нулевое]. Угол [бета] наклона секущей к положительному направлению оси OX [о икс] превратится в угол наклона касательной [альфа]. Тогда угловой коэффициент [ка] касательной [эм нулевое ка] есть предел отношения приращения функции y [дельта игрек] к приращению аргумента x [дельта икс]. При этом предел вычисляется при стремлении x [дельта икс] к нулю. Слайд 3 Производной функции x f y [игрек равное эф от икс] в точке [икс нулевое] называется предел отношения приращения функции [дельта игрек] к приращению аргумента [дельта икс], если такой предел существует. Этот предел рассчитывают при произвольном стремлении x [дельта икс] к нулю. Обозначается производная функции [эф от икс] в точке [икс нулевое] символом 0 x f [эф штрих от икс нулевого]. На слайде определение производной представлено формулой под номером (1.7). Из рассмотренных ранее задач получаем, что скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t 0 [тэ нулевое] есть производная от пути по времени. Это отражает формула (1.8) на слайде. Скорость прямолинейного движения материальной точки представляет механический смысл производной. Вторая задача приводит нас к геометрическому смыслу производной. Мы получили, что угловой коэффициент касательной к кривой, проведенной в точке [эм нулевое с координатами икс нулевое – игрек нулевое], есть значение производной в точке икс нулевое. Поэтому уравнение касательной к графику в точке [эм нулевое] имеет вид, представленный на слайде под номером (1.9). Для производной в точке можно использовать и другие обозначения. На слайде они представлены под номером (1.10). На основе приведенных определений рассмотрим приложение производной в технике. Пусть количество электричества, протекающее через проводник, задается функцией [эс] от [тэ]. Необходимо найти, в какой момент времени ток в цепи будет равен нулю. Сила тока равна первой производной от количества электричества по времени. Поэтому, найдя первую производную от заданной функции [эс] по [тэ] и приравняв ее к нулю, получим уравнение. Решая его, найдем время, когда ток в цепи будет равен нулю. Аналогично, используя понятие производной, можно найти теплоемкость воды, зная, какое количество теплоты, необходимо для нагревания тела массой один килограмм. Можно определить мощность, если знать, что мощность есть производная работы по времени. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого физического, химического, технического процесса по времени или относительно другого исследуемого фактора. Слайд 4 Мы дали определение производной функции в точке. Такую производную можно вычислять в различных значениях аргумента, величина ее зависит от этого значения. Поэтому можно говорить о производной функции, определенной на некотором множестве значений данного аргумента. Вернемся к рассмотренному ранее рисунку. Мы показали, что при движении из точки [икс нулевое] в точку [икс нулевое плюс дельта икс] по графику функции [игрек равное эф от икс] ордината точки получает приращение [дельта игрек]. На рисунке это приращение равно отрезку [эн эм]. Будем двигаться из точки [икс нулевое] в точку [икс нулевое плюс дельта икс] по касательной, проведенной в точке [эм нулевое]. Тогда ордината получит приращение, равное отрезку [ка эн]. Вычислим величину этого приращения. Из треугольника M 0 KN [эм нулевое ка эн] следует: катет [ка эн равен произведению эм-нулевого эн на тангенс угла альфа]. Так как [тангенс альфа равен значению производной функции эф в точке икс нулевое], а [эм нулевое эн равно приращению аргумента икс], то [эн ка равно произведению производной в точке икс нулевое на приращение аргумента - дельта икс]. Произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции в точке. Дифференциал функции указан на слайде под номером (1.11). Слайд 5 Рассмотрим основные правила дифференцирования. Если две функции дифференцируемы в точке, тогда справедливы следующие правила. 1. Постоянный множитель выносится за знак производной. Это демонстрирует формула (1.12). 2. Производная суммы – разности двух функций равна сумме – разности производных каждой из данных функций. Этот факт отображен формулой (1.13). 3. Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых. Первое слагаемое – произведение производной первой функции на вторую функцию без изменений. Второе слагаемое – произведение первой функции без изменений на производную второй функции. На слайде правило нахождения производной произведения представлено формулой (1.14). 4. Производная частного двух функций представлена на слайде под номером (1.15). Она равна частному от деления. В числителе дроби вы видите разность. Из произведения производной функции исходного числителя на функцию знаменателя вычитают произведение функции числителя на производную функции знаменателя. В знаменателе дроби стоит квадрат функции знаменателя. Важно также уметь находить производные от сложных функций. Пусть задана функция от функции, то есть функция с промежуточным аргументом. Чтобы найти производную этой сложной функции, применяют правило, пронумерованное как (1.16). То есть сначала находят производную функции по промежуточному аргументу. Затем результат умножают на производную промежуточного аргумента как функции от x [икс]. Слайд 6 Таблица основных формул дифференцирования Для функции, заданной графиком, ее производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке касания. Если функция задана формулой, то для нахождения ее производной пользуются таблицей производных основных элементарных функций и правилами дифференцирования. Обычно под этим подразумевается список производных основных элементарных функций. Так называемые элементарные функции выделяют из всего многообразия функций. Это относительно простые выражения. Их производные давно выведены и занесены в соответствующую таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить. Не составляет труда и следует запомнить и их производные. Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Поэтому к элементарным функциям относят такжефункции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из основных элементарных функций. То есть каждую элементарную функцию можно задать формулой. Под формулой понимают набор конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Поэтому любая элементарная функция дифференцируема. Производная элементарной функции всегда является элементарной функцией. Она может быть найдена за конечное число действий. В совокупности с правилами дифференцирования список производных позволяет найти производную от любой элементарной функции. На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной на слайде таблице формул дифференцирования основных элементарных функций используется промежуточный аргумент [у]. Слайд 7 Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить, вычислив отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента. В определении производной такое отношение рассматривается в пределе при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Для нахождения производной функции в точке на основе определения выполняют следующие действия: записывают отношение приращения функции к соответствующему приращению аргумента; упрощают дробь, сокращая ее, если возможно; находят производную, вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция дифференцируема в данной точке. Рассмотрим пример применения определения к нахождению производной функции. Пример. Найти производную функции, представленную под номером (1.17), используя определение. Решение Согласно определению производная равна отношению приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю. Определению соответствует равенство номер (1.18) на слайде. Приращение функции соответствует разности между значением функции от приращенного аргумента и значением функции в данной точке. Согласно этому числитель дроби меняется на выражение, представленное на слайде под номером (1.19). Откроем скобки в числителе дроби по формуле квадрата суммы. Это квадрат первого слагаемого плюс удвоенное произведение первого слагаемого на второе и плюс квадрат второго слагаемого. Получим выражение (1.20). Приведем подобные члены в числителе полученной дроби. Получим выражение (1.21). Предел суммы функций равен сумме пределов каждой из них. Поэтому окончательно получим равенство (1.22). Слайд 8 Производная суммы нескольких слагаемых Производная суммы нескольких слагаемых равна сумме производных от каждого слагаемого. Аналогичное правило применяют для разности. Производная разности равна разности производных. Рассмотрим пример применения этого правила для нахождения производных. Пример. Найти производную функции, представленную под номером (1.23). Решение Согласно правилу дифференцирования производная суммы или разности функций равна сумме или разности производных каждой из функций. Получим равенство (1.24). Константа выносится за знак производной. Для каждой функции вынесли постоянный множитель за знак производной. Получили выражение, указанное на слайде под номером (1.25). По таблице производных основных элементарных функций получим выражение (1.26). Перемножив полученные значения, окончательно получим равенство, пронумерованное как (1.27). Слайд 9 Производная произведения двух функций Математика – наука логичная. Поэтому многие считают: если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения равна произведению производных. Но это не так. Согласно правилу дифференцирования производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых. Первое слагаемое – произведение производной первой функции на вторую функцию без изменений. Второе слагаемое – произведение первой функции без изменений на производную второй функции. Рассмотрим данное правило дифференцирования на примере. Пример.Найти производную функции под номером (1.28). Решение Согласно правилу дифференцирования производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых, представленных выражением (1.29) на данном слайде. Производная x [квадратного корня из икса] берется по таблице формул производных основных элементарных функций как производная от степенно й функции. Поэтому представляем x [корень из икса] как 2 1 x [икс в одной второй степени]. Получим выражение (1.30). По таблице формул производных основных элементарных функций найдем каждую из искомых производных. Получим выражение, указанное на слайде под номером (1.31). Вынесем общий множитель за скобки. Окончательно получим искомое значение производной заданной функции, отображенное на слайде под номером (1.32). Слайд 10 Производная частного двух функций Производная частного равна также дроби. В числителе этой дроби находится разность. От произведения производной числителя, умноженной на знаменатель, вычитают произведение производной знаменателя, умноженной на числитель. В знаменателе дроби стоит знаменатель исходного частного в квадрате. Рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования. Пример.Найти производную функции, представленной на слайде под номером (1.33). Решение Согласно правилу дифференцирования производная частного двух функций будет равна функции, представленной под номером (1.34). Производная x [квадратного корня из икса] берется по таблице формул производных основных элементарных функций как производная от степенно й функции. Поэтому представляем x [корень из икса] как 2 1 x [икс в одной второй степени]. Знаменатель дроби преобразуем. x [квадратный корень из икса] при возведении во вторую степень дает просто x [икс]. Получим выражение (1.35) По таблице формул производных основных элементарных функций найдем каждую из искомых производных. Получим выражение, представленное на слайде под номером (1.36) Вынесем общий множитель за скобки. Окончательно получим искомую производную, которая представлена на слайде под номером (1.37) Слайд 11 Производная сложной функций Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция. Правило дифференцирования сложной функции представляет собой цепное правило. Оно позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе производных элементарных функций. Пример. Найти производную функции, представленную под номером (1.38). Решение Исходная функция является функцией от функции. При этом аргумент x [икс] является аргументом второй функции. Вторая функция является аргументом первой функции. Согласно более строгому определению, вторая функция является промежуточным аргументом по независимой переменной x [икс]. Таким образом, исходная функция является композицией двух функций, заданных равенствами (1.39). Откуда по правилам дифференцирования получим выражение (1.40). Функция arctg3x [арктангенса трех икс], в свою очередь, является композицией двух функций, занумерованных как (1.41) Поэтому для нахождения ее производной нам придется еще раз применить правило дифференцирования сложной функции, указанное на слайде под номером (1.42) Отсюда окончательно получим функцию под номером (1.43), являющуюся производной от исходной функции Слайд 12 Производная функции, заданной неявно Если функция задана уравнением, разрешенным относительно y [игрека], то функция задана в явном виде или, по-другому, это явная функция. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения, не разрешенного относительно y [игрек]. Всякую явно заданную функцию можно записать как неявно заданную, но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно, разрешить уравнение относительно y [игрека]. Если неявная функция задана уравнением, то для нахождения производной нет необходимости разрешать уравнение относительно y [игрек]. Достаточно продифференцировать это уравнение по переменной x [икс], рассматривая при этом y [игрек] как функцию от x [икс]. Полученное затем уравнение следует разрешить относительно производной. Производная неявной функции выражается через аргумент x [икс] и функцию y [игрек]. Пример. Найти производную функции, заданную уравнением (1.44). Решение Согласно правилам дифференцирования производная суммы/разности равна сумме/разности производных. Получим равенство номер (1.45) П родифференцируем это уравнение по переменной x [икс], рассматривая при этом y [игрек] как функцию от x [икс]. Получим равенство (1.46) Сгруппируем выражения, содержащие производную, и вынесем ее за скобку. Это вы можете видеть в левой части равенства под номером (1.47) на слайде, где y [игрек штрих] вынесен за скобку. Выражения без производной как множитель перенесем в правую часть равенства. Разделив выражение в правой части равенства (1.47) на множитель в левой его части, окончательно получим равенство (1.48), которое будет являться производной заданной неявной функции Слайд 13 Производная функции, заданной параметрически Пусть зависимость между аргументом и функцией задана параметрически в виде двух уравнений, представленных на слайде под номером (1.49). Здесь t [тэ] – вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдем производную y [игрек штрих по икс], считая, что функции под номером (1.49) имеют производные и что функция t x [икс от тэ] имеет обратную. Функцию, определяемую параметрическими уравнениями (1.49), можно рассматривать как сложную функцию. По правилу дифференцирования сложной функции имеем равенство (1.50). Полученная формула (1.50) позволяет находить производную от функции, заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости x y [игрек от икс]. Рассмотрим пример. Пример. Найти производную функции, заданную параметрически в виде двух уравнений, представленных на слайде под номером (1.51) Решение Найдем производную от [икс] по параметру [тэ]. Получим равенство номер (1.52) Найдем производную от [игрек] по параметру [тэ]. Получим равенство номер (1.53). Согласно формуле (1.50) составим отношение полученных выражений. Получим производную для заданной функции, указанную на слайде под номером (1.54) Сократим полученную дробь и получим окончательно равенство (1.55). Слайд 14 Логарифмическое дифференцирование В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием. Пример.Найти производную функции, представленную на слайде под номером (1.56) Решение Можно найти производную данной функциис помощью правил и формул дифференцирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Прологарифмируем исходную функцию. Применим известные свойства логарифмов. Логарифм от произведения равен сумме логарифмов сомножителей. Логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя дроби. Степень выражения, стоящего под знаком логарифма, можно вынести в качестве множителя перед логарифмом. Получим равенство, указанное на слайде под номером (1.57). Продифференцируем это равенство по аргументу [икс]. Получим равенство номер (1.58). Выразим производную y [игрек штрих], оставив ее в левой части равенства. Для этого умножим правую и левую части равенства (1.58) на [игрек]. Полученная производная примет вид, пронумерованный на слайде как (1.59) Подставим в правую часть равенства вместо [игрека] исходную функцию от [икса]. Окончательно получим производную, представленную на слайде под номером (1.60) Слайд 15 Производная показательно-степенной функции Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция, представленная на слайде под номером (1.61). Найдем производную этой функции. Прологарифмируем обе части равенства. Используя свойства логарифмов, получим равенство, представленное на слайде под номером (1.62) Продифференцируем обе части равенства по правилам дифференцирования сложных функций. Получим равенство (1.63) Выразим производную [игрек штрих], оставив ее в левой части равенства. Полученная производная примет вид, представленный под номером (1.64) Таким образом, производная показательно-степенно й функции вычисляется по формулам (1.65) Сформулируем правило запоминания формулы (1.65). Производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии что [у] постоянная величина, или константа, и производной степенной функции, при условии что [вэ] является константой. Отметим, что запоминать формулу (1.65) необязательно. Важнее запомнить суть логарифмического дифференцирования. Слайд 16 Производная показательно-степенной функции Пример. Найти производную функции, данную на слайде под номером (1.66). Решение Здесь основание и степень зависят от [икс]. Логарифмируя и пользуясь свойствами логарифмов, получим равенство (1.67). Продифференцируем обе части последнего равенства по [икс]. Так как [игрек] является функцией от [икс], то натуральный логарифм [игрек] является сложной функцией от [икс]. Следовательно, дифференцируя, получим равенство (1.68). Вынесем общий множитель в правой части равенства за скобки Результат отображен под номером (1.69). Выразим производную, оставив ее в левой части равенства. Для этого умножим уравнение (1.69) на [игрек]. Получим равенство за номером (1.70). В левую часть равенства подставим значение функции, выраженное через переменную [икс] из начального условия, пронумерованного как (1.66). Преобразованное равенство представлено на слайде под номером (1.71) При умножении функций с одинаковым основанием показатели степеней складываются. Поэтому окончательно получим производную функции, представленную на слайде равенством (1.72). Слайд 17 Нахождение дифференциала функции Дифференциалом функции в некоторой точке называется главная, линейная часть приращения функции. Дифференциал функции равен произведению ее производной на приращение независимой переменной. Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной. Рассмотрим пример нахождения дифференциала функции. Пример. Найти дифференциал функции, заданной на слайде под номером (1.73). Решение Для начала найдем производную данной функции. Производная от суммы равна сумме производных каждого слагаемого. Кроме того, каждое слагаемое в данной функции является композицией двух функций или сложной функцией. Таким образом, по правилам дифференцирования и используя таблицу производных, получим равенство (1.74). Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной. Поэтому для данной функции дифференциал выражается равенством (1.75). Слайд 18 Производные высших порядков Производная [игрек штрих], указанная на слайде под номером (1.76) , функции [игрек] есть также функция от [икс] и называется первой производной, или производной первого порядка. Если функция под номером (1.76) дифференцируема, то ее производная называется второй производной, или производной второго порядка, и обозначается символами, пронумерованными как (1.77). Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается так, как представлено на слайде под номером (1.78). Вообще, производной n-го [энного] порядка функции [эф от икс] называется первая производная от производной 1 n -го [эн плюс первого] порядка, что отображается формулой (1.79). Что делать, если по условию задачи требуется найти, например, двадцать первую производную? Для производных порядка до шестого включительно решение оформляется достаточно быстро. Производную двадцать первого порядка можно найти, продифференцировав функцию двадцать один раз. Однако поступают по-другому. В подобной ситуации анализируют несколько найденных производных, находят закономерность и составляют формулу n-ой [энной] производной. Слайд 19 Производная третьего порядка Пример. Найти значение третьей производной функции, заданной под номером (1.80), в нуле. Решение Сначала найдем третью производную функции, а затем вычислим ее значение в точке ноль. Первую производную функции под номером (1.80) найдем как производную сложной функции. По таблице производных найдем производную функции [е в степени у]. Она равна самой функции [е в степени у], умноженной на производную промежуточного аргумента [у]. Производная представлена на слайде под номером (1.81). Вторая производная равна производной от найденной нами первой производной, пронумерованной как (1.81), и равна (1.82). Третью производную найдем, продифференцировав еще раз выражение под номером (1.82). Третья производная функции представлена под номером (1.83). Подставим в равенство (1.83) значение аргумента, равное нулю. После расчета найдем значение третьей производной функции под номером (1.80) в точке ноль. Результат представлен под номером (1.84). Слайд 20 Производная n-го [энного] порядка Пример. Найти n-ю [энную] производную функции номер (1.85). Решение Упростим функцию. Для этого найдем корни квадратного трехчлена, стоящего под знаком логарифма. Это числа два и три. Воспользуемся свойством логарифма, получим преобразованную функцию, представленную на слайде под номером (1.86). Ищем столько производных, сколько необходимо для обнаружения и записи закона, по которому можно найти производную любого порядка. Для записи такого закона применяем метод математической индукции. Первая производная найдена по правилу дифференцирования сложной функции и представлена под номером (1.87). Вторая производная найдена дифференцированием выражения (1.87). Преобразования второй производной представлены как вынесение общего множителя за знак скобки. Вторую производную вы можете видеть под номером (1.88). Третья пронумерована как (1.89). Четвертая производная функции дана под номером (1.90). По виду производных уже понятно, что: 1) в числителе каждой дроби имеем произведение натуральных чисел по порядку, то есть факториал; 2) знак чередуется; 3) степень множителя в знаменателе каждой дроби равна номеру производной. Итак, обобщая, получим формулу для нахождения n-ной [энной] производной исходной функции. Это формула представлена под номером (1.91). Замечание. Проверить правильность этой формулы можно, вычислив сначала (n+1)-ю [эн плюс первую] производную согласно найденному закону. Для этого надо заменить в формуле (1.91) (n) [эн] на (n+1) [эн плюс один]. Затем нужно вычислить ю [эн плюс первую] производную, применив определение. То есть найти первую производную от n-ой [энной] производной, пользуясь правилами дифференцирования. Слайд 21 Производные высших порядков неявно заданной функции В неявно заданной функции переменные расположены вперемешку. Существуют способы для того, чтобы выразить [игрек] через [икс]: вынесение за скобки множителей и перекидывание множителей по правилу пропорции; перенос слагаемых из части в часть со сменой знака. Но не один из них не приведет неявно заданную функцию к виду зависимости только от [икс]. В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует и имеет график. У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и так далее. Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций для функций, заданных неявно, остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим. Пусть функция задана неявно в виде уравнения, представленного на слайде под номером (1.92). Продифференцировав это уравнение по аргументу [икс] и разрешив полученное уравнение относительно производной, найдем производную первого порядка. Продифференцировав по аргументу [икс]первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут аргумент [икс], функция [игрек] и первая производная [игрек штрих]. Подставляя уже найденное значение первой производной в выражение второй производной, выразим вторую производную через [икс] и [игрек]. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего и дальше порядков. Рассмотрим нахождение производной функции, заданной неявно, на примере. Пример. Найти третью производную для функции номер (1.93). Решение Дифференцируем уравнение номер (1.93) по аргументу [икс], получим равенство (1.94). Выразим первую производную через [икс] и [игрек]. Получим равенство, представленное под номером (1.95). Продифференцировав его, находим уравнение номер (1.96). Подставим в равенство (1.96) найденное ранее выражение для первой производной. Учитывая равенство (1.93), получим (1.97). Дифференцируя равенство (1.97) и подставляя аналогично выражение для первой производной, находим окончательно производную (1.98). Слайд 22 Производные высших порядков от функций, заданных параметрически Пусть функция задана уравнениями, представленными под номером (1.99). В этом случае говорят, что функция задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций. Как известно, первая производная находится по формуле номер (1.100). Найдем вторую производную от функции, заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (1.100) следует равенство (1.101). Далее получаем производные третьего – равенство (1.102) и четвертого – равенство (1.103) – порядков. Для нахождения производных более высоких порядков действуют аналогично. Слайд 23 Рассмотрим пример нахождения производной второго порядка для параметрически заданной функции. Пример. Найти вторую производную функции под номером (1.104). Решение По формуле нахождения производной первого порядка параметрически заданной функции, представленной под номером (1.100), находим равенство (1.105). Тогда по формуле номер (1.101) нахождения производной второго порядка параметрически заданной функции получаем равенство номер (1.106). Слайд 24 Дифференциалы высших порядков Пусть дана дифференцируемая функция, а ее аргумент – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал, данный под номером (1.107), есть также функция от аргумента [икс]; можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом,или дифференциалом второго порядка, и находится по формуле (1.108). Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка – формула (1.109). Вообще, дифференциал n-го [энного] порядка есть дифференциал от дифференциала [эн минус первого] порядка. Это отображено формулой (1.110). Отсюда находим, что производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной. Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если [икс]– независимая переменная. Слайд 25 Правила Лопита ля Правила Лопита ля применяются для раскрытия неопределенностей вида 0 0 [ноль, деленный на ноль] и [бесконечность на бесконечность], которые называются основными. Правило Лопита ля раскрытия неопределенностей вида 0 0 [ноль, деленный на ноль]. Пусть две функции непрерывны и дифференцируемы в окрестности некоторой точки, и обращаются в ноль в этой точке. Пусть производная функции знаменателя не равна нулю в окрестности этой точки. Если существует предел отношения производных этих функций, то он равен пределу отношения самих этих функций. Правило Лопита ля раскрытия неопределенностей вида [бесконечность, деленная на бесконечность]. Пусть две функции непрерывны и дифференцируемы в окрестности некоторой точки. Кроме, может быть, самой этой точки. В этой окрестности пределы данных функций равны бесконечности. Если существует предел отношения производных этих функций, то он равен пределу отношения самих этих функций. Слайд 26 Раскрытие неопределенности 0 0 [ноль, деленный на ноль] Пример. Найти предел, заданный как (1.111), по правилу Лопита ля. Решение Подставим значение [икс, равное нулю] в числитель и знаменатель дроби. Получим равенство под номером (1.112), то есть предел отношения 0 0 [ноль, деленный на ноль], который можно решить по правилу Лопита ля. Найдем производные числителя и знаменателя дроби и вычислим значение соответствующего предела их частного, равное выражению за номером (1.113). Данный предел также подходит под правило Лопита ля. Найдем производные числителя и знаменателя дроби под номером (1.113). Их частное представлено на слайде под номером (1.114). Подставим в числитель и знаменатель дроби предельное значение [икс], равное нулю. Получим в числителе тридцать шесть, в знаменателе – девять. Ответ вы можете видеть также под номером (1.114). Слайд 27 Раскрытие неопределенности [бесконечность, деленная на бесконечность] Пример. Найти предел, данный под номером (1.115), используя правило Лопита ля. Решение Подставим значение x [икс], равное 2 [пи, деленное пополам], в числитель и знаменатель дроби. Получим предел отношения [ бесконечности на бесконечность]. Применим правило Лопита ля. Найдем производные числителя и знаменателя дроби. Получим предел, представленный под номером (1.116). После преобразования получим предел отношения 0 0 [ноль на ноль], как показано в равенстве (1.117). Данный предел также подходит под правило Лопита ля. Найдем производные числителя и знаменателя дроби за номером (1.117). Применим тригонометрические преобразования по формуле синуса двойного угла и сократим дробь. Подставим в числитель и знаменатель дроби значение x [икс], равное 2 [пи деленное пополам]. Получим предел, показанный под номером (1.118) – предел отношения 0 0 [ноль на ноль]. Найдем производные числителя и знаменателя дроби, пользуясь правилом Лопита ля. Составим предел отношения полученных производных, подставим предельное значение x [икса], равное 2 [пи, деленное пополам], и окончательно вычислим заданный предел. Результат представлен под номером (1.119). Слайд 28 Неопределенности вида [ноль, умноженный на бесконечность], [бесконечность минус бесконечность], [единица в степени бесконечность], [бесконечность в степени ноль], [ноль в степени ноль] Бесконечности перечисленных видов сводятся к двум основным путем тождественных преобразований. 1. Пусть две функции непрерывны и дифференцируемы в окрестности некоторой точки, и обращаются в нуль в этой точке. Тогда очевидны следующие преобразования, представленные под номером (1.120). 2. Пусть две функции непрерывны и дифференцируемы в окрестности некоторой точки, кроме, может быть, самой этой точки. В этой окрестности пределы данных функций равны бесконечности. Тогда можно сделать преобразования, представленные под номером (1.121). 3. Пусть имеются неопределенности вида [единица в степени бесконечность], [бесконечность в степени ноль], [ноль в степени ноль]. Для нахождения пределов подобного вида используют свойство логарифма. Это демонстрирует равенство (1.122). Слайд 29 Раскрытие неопределенности вида [ноль умноженный на бесконечность] рассмотрим на примере. Пример. Найти предел, заданный под номером (1.123), используя правило Лопита ля. Решение Подставим вместо x [икс] его предельное значение – два. Выясним, что предел равен неопределенности вида [ноль, умноженный на бесконечность], что отображается в равенстве под номером (1.124). Представим произведение как частное. Для этого одну из функций оставим в числителе. В знаменатель дроби запишем функцию, равную отношению единицы ко второй функции из произведения. Таким образом, вместо тангенса в произведении получим котангенс в знаменателе. Подставив предельное значение x [икс], равное двум, получим неопределенность 0 0 [ноль деленный на ноль]. Это отображено равенством (1.125). Применим правило Лопита ля. Найдем производные числителя и знаменателя дроби. Составим отношение производных числителя и знаменателя. Подставим предельное значение x [икс], равное двум, и окончательно вычислим значение искомого предела, как представлено под номером (1.126). Слайд 30 Раскрытие неопределенности вида [бесконечность минус бесконечность] рассмотрим на примере. Пример. Найти предел, заданный под номером (1.127), используя правило Лопита ля. Решение Подставим вместо x [икс] его предельное значение – единицу, получим неопределенности вида [бесконечность минус бесконечность]. Приведем разность дробей к общему знаменателю. Получим неопределенность вида 0 0 [ноль, деленный на ноль]. Преобразования представлены на слайде под номером (1.128). Раскроем полученную неопределенность по правилу Лопита ля. Найдем производные числителя и знаменателя дроби и составим их отношение. Подставив вместо аргумента единицу, опять получим неопределенность вида 0 0 [ноль, деленный на ноль]. Применим правило Лопита ля повторно. Найдем производные числителя и знаменателя дроби, составим предел их частного. Подставим вместо x [икс] его предельное значение, равное единице, и окончательно вычислим данный к расчету предел. Перечисленные действия продемонстрированы под номером (1.129). Слайд 31 Раскрытие неопределенности вида – [единица в степени бесконечность] рассмотрим на примере. Пример. Найти предел, указанный на слайде под номером (1.130), используя правило Лопита ля. Решение Подставим в выражение, стоящее под знаком предела, значение аргумента, равное нулю. Убеждаемся, что получили неопределенность вида 1 [единица в степени бесконечность]. Воспользуемся свойством логарифма и представим исходный предел, как показано под номером (1.131). Подставим в выражение, стоящее под знаком предела, предельное значение аргумента, равное нулю. Получим, что степень представляет из себя неопределенность вида 0 [бесконечность, умноженная на ноль]. Это продемонстрировано на слайде под номером (1.132). Представим произведение как частное двух функций. Одна из функций произведения, а именно натуральный логарифм, остается в числителе. Вторая функция исходного произведения переносится в знаменатель как обратное выражение к данному множителю, то есть частное единицы и исходного множителя. Получим в знаменателе функцию [икс в квадрате]. Таким образом, преобразованное отношение представляет собой неопределенность вида 0 0 [ноль, деленный на ноль]. Воспользуемся правилом Лопита ля. После нахождения производных числителя и знаменателя и преобразования тригонометрических функций получим равенство (1.133). Используя эквивалентные бесконечно малые величины, окончательно получим искомое значение предела. На слайде это демонстрирует равенство (1.134). Слайд 32 |