Текст для учебника. Слайд 1 Тема Производная функций одной переменной
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Тема № 2. Приложения производной Возрастание и убывание функций Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции. Определение. Функция называется возрастающей на некотором промежутке от точки a [а] до точки b [бэ], если для любых двух значений аргумента этого промежутка значение функции от первого аргумента больше значения функции от второго аргумента. Это наглядно показано на рисунке 2.1а слайда. Функция называется убывающей на некотором промежутке от точки a [а] до точки b [бэ], если для любых двух значений аргумента этого промежутка значение функции от первого аргумента меньше значения функции от второго аргумента. Это наглядно демонстрирует рисунок 2.1б данного слайда. Функция возрастающая или убывающая называется монотонной. Условия монотонности Если функция определена на некотором интервале и имеет на нем конечную производную, то, чтобы функция была возрастающей на данном интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была положительной. Чтобы функция была убывающей на данном интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была отрицательной. Если функция возрастает на интервале и имеет производную в каждой точке этого интервала, то производная неотрицательна. Если производная положительна во всех точках интервала, то функция строго возрастает на этом интервале. Если функция убывает на интервале, то во всех точках этого интервала ее производная неположительна. Если производная отрицательна, то функция строго убывает. В сформулированных утверждениях следует строго различать необходимые и достаточные условия. Положительность производной является достаточным, но не является необходимым условием строгого возрастания. Кроме того, следует не упускать из вида, что на участках возрастания/убывания могут встречаться точки, в которых функция вообще не имеет производной. Слайд 33 Исследование функции на монотонность изучим на приведенном на слайде примере. Пример. Найти интервалы монотонности функции, заданной под номером (2.1). Решение Областью определения функции является вся числовая ось. Функция дифференцируема всюду в области определения. Ее производная представлена на слайде формулой (2.2). Решим неравенство под номером (2.3). Получим интервал возрастания функции, занумерованный как (2.4). Решим неравенство под номером (2.5). Получим область убывания функции, представленную на слайде под номером (2.6). Слайд 34 Локальный максимум и минимум Определение. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой ее окрестности значение функции в любой точке окрестности меньше значения функции в данной точке. Аналогично точка называется точкой локального минимума, если в некоторой ее окрестности значение функции в любой точке окрестности больше значения функции в данной точке. Значение функции в подобного вида точке называется локальным максимумом или минимумом. Локальные максимум и минимум называются локальным экстремумами функции. Если функция определена в окрестности точки, дифференцируема в точке и имеет в ней локальный экстремум, то производная в этой точке равна нулю. Точки, в которых производная равна нулю, называются критическими. Замечание 1. Геометрическая интерпретация производной – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке касания. Значит, в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс. Замечание 2. Функция может иметь экстремум и в точках, где первая производная не существует. Замечание 3. Выполнение необходимого условия экстремума – равенство нулю или бесконечности производной – не говорит о наличии экстремума. Слайд 35 Экстремумы функции Достаточное условие экстремума. Если функция непрерывна в точке, дифференцируема в некоторой ее окрестности, ее производная равна нулю либо не существует и при переходе через точку производная меняет знак, то данная точка – точка экстремума. Отметим, что если производная слева от точки отрицательна – функция убывает, а справа положительна – функция возрастает, то данная точка – точка минимума. Если слева от точки производная положительна – функция возрастает, а справа отрицательна – функция убывает, то данная точка – точка максимума. Замечание. В промежутке между критическими точками производная сохраняет знак, следовательно, это промежутки монотонности. Исследование на экстремум с помощью второй производной, или второе достаточное условие экстремума Пусть в некоторой точке функция дифференцируема. Ее первая производная в этой точке равна нулю. Вторая ее производная отлична от нуля. Тогда в данной точке функция имеет минимум, если вторая производная больше нуля. Если вторая производная отрицательна, то в данной точке функция имеет максимум. Точки максимума и минимума объединяют под общим названием точки экстремума. Слайд 36 Исследование функции на экстремум При исследовании функции на наличие экстремума необходимо выполнить следующую последовательность действий. 1. Определить область существования функции. 2. Найти первую производную. 3. Найти критические точки, приравняв производную к нулю и к бесконечности. Решив полученные уравнения, выбрать из корней точки, принадлежащие области определения. 4. Проверить, меняет ли знак первая производная при переходе через каждую найденную точку. Или установить знак второй производной. Сделать соответствующие выводы по классификации экстремумов. 5. Найти значения функции в экстремальных точках. Слайд 37 Проведем исследование функции на экстремум. Пример. Исследовать на экстремум функцию, указанную на слайде под номером (2.7). Решение Областью определения функции является вся числовая ось. Найдем и исследуем первую производную. Согласно правилу дифференцирования производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых. Первое слагаемое – произведение производной первой функции на вторую функцию без изменений. Второе слагаемое – произведение первой функции без изменений на производную второй функции. По данному правилу найдем производную исследуемой функции и преобразуем полученное выражение, вынеся общий множитель за скобку. Далее приведем подобные слагаемые. Указанные преобразования представлены на слайде под номером (2.8). Приравняем производную к нулю. Решим соответствующее уравнение. Так как числитель найденной производной представлен нами как произведение, то он равен нулю в случае, если один из множителей равен нулю. Получим точки [икс первое] и [икс второе], которые вы можете видеть на слайде под номером (2.9). Приравняем производную к бесконечности, то есть приравняем знаменатель к нулю. Решим соответствующее уравнение. Получим точку [икс третье, равное единице]. Данные действия представлены вашему вниманию под номером (2.10) данного слайда. Слайд 38 Нанесем найденные критические точки [икс первое, равное нулю], [икс второе, равное трем четвертым] и [икс третье, равное единице] на числовую ось. Проверим знак первой производной на полученных интервалах, подставляя вместо [икса] в производную любое значение из каждого интервала. Получим соответствующие знаки производной на интервалах, представленные на рисунке 2.2 данного слайда. Там, где знак производной положительный, имеем интервалы возрастания функции. Эти интервалы указаны под номером (2.11). Отрицательный знак производной определяет интервалы убывания функции. Они продемонстрированы под номером (2.12). Производная меняет знаки. При смене знака с минуса на плюс имеем точки минимума. Точками минимума являются представленные на слайде точки за номером (2.13). При смене знака с плюса на минус определяем точку максимума. Она продемонстрирована за номером (2.14) Подставим в функцию значение точек минимума. Получим значение (2.15), или минимальные значения функции, Рассчитаем значение функции в точке максимума. Подставим в функцию значение [икс, равное трем четвертым]. Найдем значение под номером (2.16) – максимальное значение функции. Слайд 39 Наибольшее и наименьшее значения функции Используем теорему Вейерштра сса. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке, то она достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений. Искать эти значения надо либо на концах промежутка, либо в экстремальных внутренних точках. Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. 1. Найти первую производную. Приравнять ее к нулю. Решить полученное уравнение и выписать все критические точки, принадлежащие заданному отрезку. 2. Вычислить значения функции в выбранных точках отрезка. 3. Вычислить значения функции на концах промежутка. 4. Сравнить все полученные значения функции и выбрать среди них самое большое и самое малое. Слайд 40 Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции, указанной под номером (2.17), на промежутке, пронумерованном как (2.18). Решение Ищем производную и приравниваем ее к нулю. Преобразования представлены под номером (2.19). Корни уравнения являются критическими точками, но промежутку принадлежит только точка за номером (2.20). Подсчитываем значение функции в критической точке. Это демонстрирует равенство (2.21). Подсчитываем значения функции на концах промежутка. Получим равенства за номерами (2.22) и (2.23). Среди них самое большое 23, самое маленькое значение функции – 7. Значит, 23 – наибольшее значение функции, 7 – наименьшее значение функции на заданном промежутке от минус трех до нуля. Слайд 41 Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба Пусть кривая задана некоторой функцией от аргумента [икс]. Кривая называется выпуклой вверх на отрезке, если все точки кривой находятся ниже любой касательной, проведенной к графику функции. Кривая называется выпуклой вниз на отрезке, если все точки кривой находятся выше любой касательной, проведенной к графику функции. На рисунке 2.3 кривая выпукла вниз, другими словами, вогнута на промежутке от [а] до [икс нулевого]. Кривая выпукла вверх на промежутке от [икс нулевого] до точки [бэ]. Определение. Точка, отделяющая вогнутую часть от выпуклой, называется точкой перегиба графика функции. Касательная в точке перегиба пересекает график – переходит с одной стороны кривой на другую. Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится с помощью второй производной. Пусть функция дважды дифференцируема на некотором промежутке. Если вторая производная меньше нуля для любого аргумента из этого промежутка, то на этом промежутке график функции выпуклый. Пусть вторая производная функции больше нуля для любого аргумента из промежутка, на котором функция дважды дифференцируема. Тогда ее график будет являться вогнутым на данном промежутке. Из этого следует, что для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости кривой надо найти вторую производную функции. Затем определить промежутки, где она положительна или отрицательна. По знаку второй производной следует сделать вывод о виде графика на каждом промежутке. Необходимым условием существования точки перегиба является обращение в ноль второй производной или ее отсутствие в точке. В случае выполнения одного из этих условий точка называется критической точкой второго рода. Достаточным условием того, чтобы точка была точкой перегиба, является смена знака второй производной при переходе через критическую точку второго рода. Слайд 42 Перечислим порядок действий для нахождения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба функции. 1. Указать область определения функции. 2. Найти критические точки второго рода, принадлежащие области определения функции. 3. Определить знак второй производной в каждом интервале области определения между соседними критическими точками. 4. По знаку второй производной установить интервалы выпуклости и вогнутости. По смене знака второй производной в окрестности точки определить наличие или отсутствие точки перегиба. Слайд 43 Нахождение точек перегиба Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции, представленной под номером (2.24). Решение Функция определена и дважды дифференцируема на всей действительной оси. Находим вторую производную. Она указана на слайде под номером (2.25). Функция выпукла вверх тогда и только тогда, когда вторая производная меньше нуля. Решая соответствующее неравенство, получим интервал выпуклости вверх для заданной функции. Это продемонстрировано на слайде под номером (2.26). Функция выпукла вниз тогда и только тогда, когда вторая производная больше нуля. Решаем соответствующее неравенство.Получим интервал выпуклости вниз. Это продемонстрировано на слайде под номером (2.27). Отсюда делаем вывод, что точки 3 1 1 x [икс первое, равное минус единице, деленной на корень из трех] и 3 1 2 x [икс второе, равное единице, деленной на корень из трех] являются точками перегиба данной функции. Они представлены вашему вниманию на слайде под номером (2.28). Слайд 44 симпто ты графика функции Асимпто той графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при стремлении аргумента или функции к бесконечности. Различают вертикальные и наклонные асимптоты, в частности, горизонтальные. Прямая, пронумерованная как (2.29), называется вертикальной асимпто той, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует. То есть в данной точке функция терпит разрыв второго рода. Прямая, указанная как (2.30), называется горизонтальной асимпто той, если выполняется условие, заданное формулой (2.31). Прямая, представленная под номером (2.32), называется наклонной асимптотой графика функции. Чтобы график функции имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения, продемонстрированные под номером (2.33). Слайд 45 Нахождение асимптот графика рассмотрим на примере. Пример. Найти асимптоты графика функции, представленной на слайде под номером (2.34). Решение Функция непрерывна всюду, кроме точки 1 x [икс равного единице]. В ней функция терпит разрыв второго рода. Это следует из односторонних пределов, каждый из которых равен бесконечности. Таким образом, прямая, пронумерованная как (2.35), – вертикальная асимптота. Других вертикальных асимптот нет. Проверим, есть ли у графика функции наклонные асимптоты. Находим коэффициент k [ка] так, как продемонстрировано под номером (2.36). Отсюда следует нахождение соответствующего коэффициента b [бэ]. Преобразования представлены под номером (2.37). Таким образом, прямая, занумерованная как (2.38), – наклонная асимптота графика функции при [стремлении аргумента к бесконечности]. Аналогично получим, что эта прямая является наклонной асимптотой и при [стремлении аргумента к минусу бесконечности]. Поскольку угловой коэффициент наклонной асимптоты не равен нулю, то график функции не имеет горизонтальных асимптот. Слайд 46 Приведем схему полного исследования функции. Предварительное исследование необходимо для построения графика. Исследование функции следует начать с поиска области определения. Под областью определения понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена. Приведем наиболее часто встречающиеся ограничения, накладываемые на область определения функции. При нахождении области определения функции обращают внимание на выражения, содержащие дроби. На выражения подобного типа накладывают ограничения: знаменатель дроби не должен обращаться в ноль. Следует обращать внимание на корни четных степеней. Подкоренное выражение для них должно быть неотрицательным. Далее исследуем функцию на непрерывность. В этом пункте исследования функции точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Вообще выделяют три типа точек разрыва: устранимый и конечный – разрывы первого рода; бесконечный разрыв – разрыв второго рода. Для их классификации находят односторонние пределы в точках, подозрительных на разрыв. В точках разрыва второго рода функция имеет вертикальную асимптоту. Для непрерывной функции ее график может быть изображен без отрыва карандаша. Затем исследуем общие свойства функции: четность; нечетность; периодичность. График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат – это свойство функции называют центральной симметрией. Если функция ни четная, ни нечетная, то говорят, что функция имеет график общего положения. Для периодической функции график строят следующим образом. Сначала строят график на одном периоде. Потом копируют построенный участок вдоль всей оси [о икс]. Периодические функции, как правило, содержат тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Находим точки пересечения графика функции с осями координат. Абсцисса пересечения графика функции с осью [о икс] ищется исходя из уравнения, составленного, если приравнять функцию к нулю. Если пересечение с осью [о икс] найти не удается, то обходятся без него. Ордината пересечения с осью [о игрек] ищется подстановкой значения [икс равно нулю] в выражение функции. Обычно поиск пересечения с осью [о игрек] не представляет труда. Слайд 46.1 Построение графика функции становится намного легче, если предварительно найти и построить асимптоты для заданной кривой. При наличии асимптот график функции прилегает к асимптоте. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные. Вертикальные асимптоты ищутся по точкам разрыва второго рода. Исследование поведения функции проводится с помощью производной. По характеру изменения производной можно найти критические точки и участки убывания или роста функции. Для определения критических точек находим производную, используя таблицу производных и соответствующие правила. В критических точках производная равна нулю или не существует. Определяем знак производной в интервалах между критическими точками. Если на некотором интервале производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то на данном интервале функция убывает. Для определения точек перегиба находят вторую производную. В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует. По знаку второй производной в интервалах между точками перегиба определяют направление выпуклости графика функции. Если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз. Если вторая производная отрицательная, то график функции выпуклый вверх. На основании полученных результатов строим график. При необходимости вычисляем значение функции в некоторых дополнительных точках. Предложенная схема является примерной. Пункты исследования можно опускать, если они дают банальную информацию. Пункты исследования можно также переставлять, если обнаруживаются интересные особенности поведения графика функции. Рекомендуется строить график одновременно с проводимым исследованием функции. При этом следует наносить на координатную плоскость информацию по окончании каждого пункта исследования. Слайд 47 |