Текст для учебника. Слайд 1 Тема Производная функций одной переменной
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Тема № 5. ункции нескольких переменных Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных. Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Понятие функции нескольких переменных. ункциональные обозначения Пусть задано множество упорядоченных пар чисел [икс] и [игрек], представленное под номером (5.1). Соответствие, показанное на слайде под номером (5.3), которое каждой паре чисел [икс] и [игрек] сопоставляет одно и только одно число [зет], такое, что выполняется условие (5.3), называется функцией двух переменных. При этом пара чисел под номером (5.1) называется независимыми переменными – аргументами, а функция (5.2) – зависимой переменной – функцией двух переменных. Аналогично определяются функции трех и большего числа аргументов. Множество (5.1) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых функцией в области определения, называется областью изменения этой функции. Функцию под номером (5.3) можно понимать как функцию точки координатной плоскости. Значение функции (5.3) в конкретной точке называют частным значением функции. Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Геометрическим изображением функции двух переменных в трехмерной прямоугольной системе координат является некоторая поверхность. Например, функция, занумерованная как (5.4) , имеет областью определения круг, задаваемый равенством под номером (5.5) Функция (5.4) изображается верхней полусферой с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы. Примером функции двух переменных может служить площадь прямоугольника со сторонами, длины которых неизвестны и задаются как указано под номером (5.1). Областью определения этой функции является первая координатная четверть. Слайд 76 Пример. Выразить объем конуса как функцию его образующей и радиуса основания. Решение Представим объем конуса как функцию двух переменных. Из курса геометрии известно, что объем конуса вычисляется по формуле под номером (5.6) Выразим высоту конуса как функцию от его образующей и радиуса основания, то есть формулой номер (5.7). Высота конуса найдена из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора как корень квадратный из разности квадрата гипотенузы, которой является образующая [икс], и квадрата катета, которым является радиус основания [игрек]. Подставив в формулу (5.6) выражение для высоты конуса из равенства (5.7), получим равенство (5.8) Это и есть искомая функциональная зависимость. Слайд 77 Пример. Найти значения функции в соответствующих точках, пронумерованных как (5.9) и (5.10), если задана функция двух переменных, представленная под номером (5.11). Решение Подставляя соответствующие значения аргументов, заданные под номером (5.9), равные двум и трем, находим значение функции. Расчет представлен под номером (5.12). Подставляя соответствующие значения аргументов, заданные под номером (5.10), получим равенство (5.13). Делаем вывод, что значения функций и одинаковы, то есть имеем равенство Слайд 78 Область существования функции Под областью существования или определения функции двух переменных понимается совокупность точек плоскости, в которых данная функция определена. То есть точек плоскости, в которых данная функция принимает определенные действительные значения. В простейших случаях область существования функции представляет собой конечную или бесконечную часть координатной плоскости, ограниченную одной или несколькими кривыми. Эти кривые называют границами области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой. Примером замкнутой области является круг с окружностью. Аналогично для функции трех переменных областью существования функции будет служить некоторый объем в пространстве. Пример. Найти область существования функции, заданной под номером (5.15). Решение Функция имеет действительные значения, если выполняется строгое неравенство номер (5.16). Преобразуем неравенство, получим следующее неравенство под номером (5.17). Последнему неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих внутри окружности радиуса два с центром в начале координат. Область существования функции есть внутренность круга. Слайд 79 Линии и поверхности уровня функций нескольких переменных Линией уровня функции двух переменных называется такая линия на плоскости, в точках которой функция принимает одно и то же значение. Это плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции плоскостью z = C [зет равно цэ], параллельной координатной плоскости OXY [о икс игрек], где C [цэ] – постоянная величина. Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям постоянной величины C [цэ], проецируют на координатную плоскость OXY [о икс игрек]. Тогда линии уровня удобно анализировать и с их помощью исследовать сложный характер поверхности. Итак, линии уровня функции двух переменных – это семейство кривых на координатной плоскости [о икс игрек], описываемое уравнениями вида [эф от икса и игрека равно цэ]. Обычно берут арифметическую прогрессию чисел [цэ итое] с постоянной разностью прогрессии. Тогда по взаимному расположению линий уровня можно получить представление о форме поверхности, описываемой функцией 2 [двух] переменных. Там, где функция изменяется быстрее, линии уровня сгущаются. Там, где поверхность пологая, линии уровня располагаются реже. Поверхностью уровня функции 3 [трех] аргументов называется такая поверхность, в точках которой функция принимает постоянное значение. Поскольку график функции 3 [трех] переменных для построения недоступен, поверхности уровня являются единственным средством изучения таких функций. На примере, приведенном на слайде, задана функция двух переменных. Ее линиями уровня будут являться гиперболы. Слайд 80 Частные производные Пусть задана функция двух переменных. Так как имеются две независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим первой независимой переменной приращение, сохраняя значение второй переменной неизменным. Тогда функция получит приращение, которое называется частным приращением функции по первой переменной и обозначается так, как представлено под номером (5.17). Аналогично получаем частное приращение функции по второй переменной по формуле номер (5.18). Полное приращение функции двух переменных определяется равенством (5.19). Если существует предел, представленный под номером (5.20), то он называется частной производной функции в точке по первой переменной и обозначается одним из символов, представленных под номером (5.21). Аналогично определяется и обозначается частная производная от функции двух переменных по второй переменной. Таким образом, частная производная функции нескольких – двух, трех и больше – переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции двух переменных находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной. При этом соответственно первая или вторая переменная считается постоянной величиной. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных аналогична подобной интерпретации для функции одной переменной. Так, частная производная функции [зет от переменных икс и игрек] по [игрек] численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой. Данная кривая получается в сечении поверхности, заданной функцией [зет от переменных икс и игрек], плоскостью, параллельной плоскости [игрек о зет]. Аналогично, частная производная функции [зет от переменных икс и игрек] по переменной [икс] численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении той же поверхности плоскостью [икс о зет]. Итак, для функции двух переменных сохраняется геометрический смысл частной производной первого порядка как тангенса угла наклона касательной к сечению графика функции. Вашему вниманию на слайде представлен пример нахождения частных производных функции двух переменных. Здесь для нахождения частных производных функции двух переменных применяют формулы и правила вычисления производных функции одной переменной. При этом соответственно первая или вторая переменная – [икс] или [игрек] – считается постоянной величиной и для нее выполняются все правила дифференцирования константы. Слайд 81 Пример. Найти частные производные функции, заданной под номером (5.22). Решение Рассматривая [игрек] как постоянную величину, найдем соответствующую производную по правилам дифференцирования сложной функции. Получим равенство за номером (5.23). Аналогично, рассматривая [икс] как постоянную величину, будем иметь равенство (5.24). Слайд 82 Частные производные функции трех переменных Пример. Найти частные производные функции трех аргументов, представленной формулой (5.25). Решение Рассматривая попеременно два аргумента как постоянные величины, находим искомые частные производные. Если [икс] рассматривать как переменную, а [игрек] и [зет] – как константы, то получим частную производную функции по переменной [икс], представленную под номером (5.26). Если [игрек] рассматривать как переменную, а x [икс]и [зет] – как константы, то получим частную производную функции по переменной игрек, представленную под номером (5.27). Если [зет] рассматривать как переменную, а [икс] и [игрек] – как константы, то получим частную производную функции по переменной [икс], представленную под номером (5.28). Слайд 83 Рассмотрим понятие частных производных высших порядков. Частные производные, указанные под номером (5.29), называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от [икса] и [игрека]. Сами эти функции также могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются таким образом, как представлено на рассматриваемом слайде под номером (5.30). Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и так далее порядков. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например, производные, представленные под номерами (5.30), (5.31), (5.32). Слайд 84 Пример. Найти частные производные второго порядка функции двух переменных, представленной на слайде под номером (5.33). Решение Найдем первые производные по переменным [икс] и [игрек]. Для нахождения производной по переменной [икс] будем считать переменную [игрек] постоянной величиной. Применяя правила дифференцирования производных и формулу дифференцирования степенной функции, получим равенство номер (5.34). Аналогично, рассматривая [икс] как постоянную величину, будем иметь производную функции по переменной [игрек], представленную под номером (5.35). Найдем частную производную от функции под номером (5.34) по переменной [игрек], получим выражение (5.36). Найдем частную производную от функции под номером (5.35) по переменной [икс], получим равенство (5.37). Представленные частные производные второго порядка являются так называемыми смешанными производными. Заметим, что смешанные производные второго порядка в данном примере оказались одинаковыми. Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства. Теорема носит имя математика Шварца. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой. Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков при условии, что они непрерывны. Тем не менее условие непрерывности смежных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца. Слайд 85 Производная в данном направлении Производной функции в данном направлении называется равенство , где (5.41) – значения функции в соответствующих точках. Если функция двух переменных дифференцируема, то справедлива формула (5.42), в которой угол [альфа] образован вектором [эль] и осью ОХ [о икс]. Аналогично определяется производная в данном направлении для функции трех аргументов . В этом случае справедлива формула , в которой углы , , [альфа, бета, гамма] образованы вектором [эль] и соответствующими координатными осями. Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении. Слайд 86 Пример. Найти производную функции в точке (5.46) в направлении, составляющем с осью ОХ [о икс] угол в сто двадцать градусов. Решение Найдем частные производные данной функции и их значения в заданной точке. Получим равенства (5.47) и (5.48). Значения косинуса и синуса угла в сто двадцать градусов приведены под номерами (5.49) и (5.50). Применяя формулу производной по заданному направлению, получим равенство (5.51). Знак минус показывает, что функции в данной точке и в данном направлении убывает. |