Текст для учебника. Слайд 1 Тема Производная функций одной переменной
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
Тема № 3. Неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную или дифференциал. Интегральное исчисление решает обратную задачу. Она состоит в нахождении функции, для которой известна ее производная или дифференциал. Искомую функцию, указанную на слайде под номером (3.1), называют первообразной функции, представленной под номером (3.2) данного слайда. Функция номер (3.1) называется первообразной функции (3.2) на интервале, если для любого аргумента из этого интервала выполняется равенство, данное под номером (3.3). Слайд 48 Первообразная Для закрепления понятия первообразной рассмотрим примеры. Первообразнойфункции за номером (3.5) является функция номер (3.4), так как выполняется равенство, указанное под номером (3.6). Очевидно, что первообразными будут также любые функции, продемонстрированные под номером (3.7), где С [цэ] – постоянная. Это очевидно, поскольку выполняется равенство (3.8). В общем виде множество всех первообразных таково, что выполняется равенство (3.9). Слайд 49 Множество всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от функции. Таким образом, по определению имеем равенство номер (3.10). В этом равенстве функция, показанная на слайде под номером (3.11), называется подынтегральной функцией. Выражение (3.12) является подынтегральным выражением. Переменная, данная на слайде за номером (3.13), – переменная интегрирования. Значок, представленный под номером (3.14), – знак неопределенного интеграла. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Слайд 50 Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл? Имеет место теорема, утверждающая, что всякая непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную. Это означает, что всякая непрерывная на промежутке функция имеет на этом промежутке и неопределенный интеграл. Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения. 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной. 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций. 5. Инвариантность формулы интегрирования. Формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную. Слайд 51 Таблица основных неопределенных интегралов Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов. Это делают путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления и использования свойств неопределенного интеграла. Интегралы в приводимой на слайде таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообразных, то есть интегрирования функции, сводятся к указанию приемов, приводящих искомый интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать. Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной. Это возможно согласно свойству инвариантности формулы интегрирования. В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы. Замечание 1. Справедливость табличных интегралов проверяется дифференцированием. Замечание 2. Задача операции интегрирования, обратная по отношению к задаче нахождения производной для дифференцируемой функции, осложнена двумя обстоятельствами. Во-первых, необходимо преобразовать подынтегральное выражение к табличному виду. Для этого и изучаются методы интегрирования. Во-вторых, может оказаться, что мы так и не сумеем записать вид первообразной функции. Например, преобразования привели нас к одному из так называемых неберущихся интегралов. Слайд 52 Непосредственное интегрирование Метод интегрирования, при котором данный интеграл приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. Это осуществляется путем тождественных преобразований подынтегральной функции или выражения и применения свойств неопределенного интеграла При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала, представленные на слайде под номером (3.15). Эту операцию часто называют подведение под знак дифференциала. Вообще, справедливо равенство, представленное на слайде под номером (3.16). Эта формула очень часто используется при вычислении интегралов. Рассмотрите примеры, указанные на слайде под номерами (3.17) и (3.18). Как видно, вычисление интегралов иногда требует некоторой изобретательности. Другими словами, вычисление интегралов требует индивидуального подхода к каждой подынтегральной функции. Соответствующие навыки приобретаются в результате значительного числа упражнений. Слайд 53 Метод интегрирования подстановкой Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования – подстановки. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся в случае удачной подстановки. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Пусть требуется интеграл, указанный на слайде под номером (3.19). Сделаем подстановку, данную под номером (3.20). Тогда справедливо равенство (3.21). На основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой. Ее вы можете видеть под номером (3.22). Формула (3.22) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t [тэ] назад к исходной переменной x [икс]. На слайде вашему вниманию представлен пример неопределенного интеграла и разобрано его решение методом замены переменной. Слайд 54 Метод интегрирования подстановкой Иногда целесообразно подбирать подстановку в таком виде, как представлено на слайде под номером (3.23). Тогда получим формулу (3.24). Другими словами, формулу за номером (3.22) можно применять справа налево. На слайде подробно разобран пример решения неопределенного интеграла представленным методом замены переменной. Слайд 55 Метод интегрирования по частям Пусть заданы две функции, указанные на слайде как (3.25), имеющие непрерывные производные. Тогда справедливо равенство (3.26). Интегрируя равенство (3.26), получим равенство (3.27). Используя свойства интегралов, получим равенство Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей. Это, как правило, можно осуществить несколькими способами. Затем используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз. Замечание. Разбивая подынтегральное выражение на множители, необходимо придерживаться двух правил: 1) интегрирование дифференциала не должно представлять трудностей; 2) применение формулы должно привести к упрощению подынтегральной функции – приблизить ее к табличному виду. Слайд 56 Метод интегрирования по частям Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу. С его помощью можно интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице. С его помощью можно интегрировать произведение функций, а в ряде случаев – и частное. В таблице на слайде указаны некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям. Подынтегральными функциями могут быть: логарифм; логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен; экспоненциальная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен; показательная функция, умноженная на многочлен; тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен; обратно-тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен. Также по частям берутся интегралы от некоторых дробей. Слайд 57 Метод интегрирования по частям На данном слайде вашему вниманию представлен пример решения неопределенного интеграла по формуле интегрирования по частям. Подынтегральная функция представляет собой экспоненциальную функцию, умноженную на многочлен. Вы можете видеть, что при интегрировании по частям подынтегральное выражение разбивается на части таким образом, что степень многочлена в результате понижается. Слайд 58 Интегрирование простейших рациональных дробей На слайде представлены интегралы от простейших рациональных дробей. Под номером (3.29) – простейшая рациональная дробь первого типа. Под номером (3.30) – простейшая рациональная дробь второго типа. Для интегрирования простейшей рациональной дроби третьего типа, занумерованной как (3.31), выделяют полный квадрат в знаменателе подынтегральной дроби. Выделив в знаменателе полный квадрат, получим равенство, представленное на слайде под номером (3.32). Далее делают подстановку, данную на слайде под номером (3.33). Тогда получим равенства, пронумерованные как (3.34). Оставшееся после выделения полного квадрата выражение меняют согласно равенству (3.35). Слайд 59 Интегрирование простейших рациональных дробей Пример. Найти интеграл (3.36). Решение Выделим полный квадрат в знаменателе дроби. По формуле квадрата суммы двух слагаемых он равен сумме квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения первого слагаемого на второе и квадрата второго слагаемого. Выделение полного квадрата в знаменателе представлено на слайде под номером (3.37). Сделаем подстановку так, как показано в равенстве за номером (3.38). Тогда получим равенства номер (3.39). После замены переменной интеграл примет вид, занумерованный на слайде как (3.40). Сделаем обратную замену. Вернемся к исходной переменной. Получим ответ, указанный под номером (3.41) данного слайда. Общее правило интегрирования рациональных дробей: 1) если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби; 2) разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители. Представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей; 3) проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей. Слайд 60 Универсальная тригонометрическая подстановка Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функция с переменными, заданными функциями за номером (3.42), над которыми выполняются рациональные действия – сложение, вычитание, умножение и деление, принято обозначать выражением (3.43). Вычисление неопределенных интегралов типа указанного под номером (3.44) сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой, представленной за номером (3.45). Такая подстановка называется универсальной. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату. На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств и вида подынтегральной функции. Слайд 61 Универсальная тригонометрическая подстановка Пример.Найти неопределенный интеграл, заданный на слайде под номером (3.46). Решение Сделаем универсальную тригонометрическую подстановку по формулам, пронумерованным на слайде как (3.47). После замены получим интеграл от новой переменной. Он представлен на слайде под номером (3.48). Преобразуем подынтегральное выражение. После подведения к общему знаменателю выражения в скобках и сокращения дроби получим интеграл (3.49). Выделим в знаменателе полный квадрат. Результат представлен на слайде под номером (3.50). По таблице основных неопределенных интегралов найдем интеграл по переменной [тэ], указанный под номером (3.51). Сделаем обратную замену. Вернемся к исходному аргументу. Окончательно получим, что исходный неопределенный интеграл равен первообразной, данной под номером (3.52). Слайд 62 Берущиеся и неберущиеся интегралы Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций значительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда выбранный путь интегрирования является наилучшим, более коротким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не единственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих искусственных приемов интегрирования, от сообразительности, от тренированности. На практике при вычислении неопределенных интегралов используют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных интегралов» Смолянского. Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, то есть найти первообразную функцию для подынтегральной функции. Как известно, всякая непрерывная функция имеет первообразную. В случае когда первообразная некоторой элементарной функции является также элементарной функцией, говорят, что интеграл от этой функции «берется». Другими словами, интеграл выражается функцией, или интеграл вычисляется. Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят: «не берется» или «его найти нельзя». Так, например, нельзя взять интеграл, представленный на слайде под номером (3.53). Это очевидно, так как не существует элементарной функции, производная от которой была бы равна функции под номером (3.54). Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, которые имеют большое значение в приложениях. Это неопределенные интегралы, представленные под номером (3.55). Первообразные функции представленных под номером (3.55) интегралов хорошо изучены. Для них составлены подробные таблицы значений для различных значений аргумента. Слайд 63 Тема № 4. Определенный интеграл ОРМУЛ Н ТО Н –Л ЙБНИЦ Пусть функция, занумерованная как (4.1), интегрируема на некотором отрезке. Если функция (4.1) непрерывна на этом отрезке и функция под номером (4.2) – какая-либо ее первообразная на нем, то есть выполняется равенство номер (4.3), то имеет место формула, указанная на слайде под номером (4.4). Равенство номер (4.4) называется формулой Ньютона–Ле йбница. Если ввести обозначение, представленное под номером (4.6), то формулу (4.4) Ньютона-Лейбница можно переписать так, как показано на слайде под номером (4.5) Формула Ньютона–Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции (4.1)на отрезке, надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка. На слайде вашему вниманию представлен пример решения определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница. Выделим этапы решения определенного интеграла. 1. Сначала находим первообразную функцию. Обратите внимание, что константа в определенном интеграле не добавляется. 2. Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию. 3. Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию. 4. Рассчитываем разность полученных в пунктах два и три значений. Получим искомое число. Замечание. Перед тем как приступить к решению определенного интеграла, необходимо убедиться, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования. Слайд 64 Перечислим основные свойства определенного интеграла. Первое. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. Далее. Если две функцииинтегрируемы наотрезке, тогда на данном отрезке интегрируема иих сумма. Другими словами, интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой из них. При замене пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный. Если функция интегрируема на отрезке, внутри этого отрезка есть некоторая точка, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддити вностью определенного интеграла, или свойством аддити вности. Теорема о среднем. Если функциянепрерывна на отрезке, тосуществует точкавнутри этого отрезка такая, что интеграл равен произведению значения функции в этой точке на длину отрезка. Это свойство имеет простой геометрический смысл. Значение определенного интеграла равно площади прямоугольника с высотой, равной значению функции в некоторой точке отрезка, и основанием, равным длине отрезка. Если функция сохраняет знак на отрезке интегрирования, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Неравенство между непрерывными функциями на заданном отрезке можно интегрировать. Определенный интеграл не меньше произведения наименьшего значения функции на длину интервала интегрирования. Определенный интеграл не превосходит произведения наибольшего значения функции на длину интервала интегрирования. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции. И последнее. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом. Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции. Слайд 65 Интегрирование подстановкой Пусть для вычисления определенного интеграла по переменной [икс] от непрерывной функции сделана подстановка, заданная функцией под номером (4.7). Если: 1) функция (4.7) и ее производная непрерывны на интервале, пронумерованном как (4.8); 2) множеством значений функции [эф от икс] является отрезок, указанный на слайде под номером (4.9), то справедлива формула (4.10). Формула (4.10) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Отметим, что: 1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных. Слайд 66 Пример. Вычислить определенный интеграл, заданный на слайде под номером (4.11). Решение Сделаем замену переменной по формулам, занумерованным как (4.12). Найдем новые пределы интегрирования, получим значения, представленные под номером (4.13). После соответствующих замен получим новый интеграл, указанный на слайде как (4.14). Применим тригонометрические формулы. После использования формулы синуса двойного аргумента и формулы понижения порядка получим интеграл под номером (4.15). Интеграл от разности функций равен разности интегралов от каждой из них. Найдем интегралы от каждой из подынтегральных функций. Подставим пределы интегрирования. Данные преобразования и результат вычисления определенного интеграла продемонстрированы под номером (4.16). Слайд 67 Интегрирование по частям Интегрирование по частям для определенного интеграла подобно той же процедуре для неопределенного. Если две функции имеют непрерывные производные на заданном отрезке, то имеет место формула (4.17). Формула (4.17)называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. Итак, для того, чтобы научиться решать определенные интегралы по частям, необходимо две составляющие. Первое: уметь находить по частям неопределенные интегралы. Второе: уметь вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в обыкновенных неопределенных интегралах. Слайд 68 Приведем пример использования формулы интегрирования по частям для определенного интеграла. Пример. Вычислить определенный интеграл, представленный на слайде под номером (4.18). Решение Применим для данного определенного интеграла формулу интегрирования по частям. Разобьем подынтегральное выражение на части согласно равенству (4.19). За [у] выбран многочлен, за [дэ вэ] взята тригонометрическая функция. Таким образом, в результате применения формулы степень многочлена понижается. Вычисляя интеграл по формуле интегрирования по частям, получим искомый результат. Вычисление продемонстрировано на слайде под номером (4.20). Слайд 69 Рассмотрим особенности интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования. Пусть функция непрерывна на отрезке, представленном на слайде под номером (4.21), симметричном относительно нуля. В зависимости от четности или нечетности функции, имеют место равенства (4.22). То есть если функция четная, то значение интеграла в симметричных пределах интегрирования равно удвоенному интегралу от половинного интервала интегрирования. Если функция нечетная, то значение интеграла в симметричных пределах интегрирования равно нулю. Благодаря данной формуле за номером (4.21) можно, например, сразу, не производя вычислений, сделать вывод о результате интегрирования таких интегралов, как те, которые представлены на слайде под номерами (4.23) и (4.24). В обоих случаях подынтегральные функции являются нечетными, а пределы интегрирования симметричны. Это значит, что итог вычислений данных определенных интегралов будет равен нулю. Слайд 70 Н СОБСТВ ННЫ ИНТ ГР ЛЫ Определенный интеграл, где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования, называют еще собственным интегралом. Рассмотрим так называемые несобственные интегралы. То есть определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования. Или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования. Несобственный интеграл I рода Пусть функция непрерывна на промежутке [от а до плюс бесконечности], что представлено на слайде под номером (4.25). Если существует конечный предел правой части равенства под номером (4.26), то левую его часть называют несобственным интегралом первого рода. В этом случае говорят, что несобственный интеграл, представленный левой частью равенства (4.26), сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл, представленный левой частью равенства (4.26), расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции на промежутке [от минуса бесконечности до бэ]. Функция и промежуток представлены под номером (4.27) рассматриваемого слайда Это также несобственный интеграл первого рода, который определяется равенством номер (4.28). Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой за номером (4.29). В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим следующее. Пусть задана непрерывная функция на промежутке [от а до плюс бесконечности], что отображено под номером (4.25). Пусть эта функция больше нуля на заданном промежутке. Если интеграл от данной функции на том же промежутке, представленный под номером (4.26), сходятся, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции. Аналогично. Если задана непрерывная функция на промежутке [от минуса бесконечности до бэ], отображенная под номером (4.27), она больше нуля и интеграл (4.28) сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции. Слайд 71 Пример.Вычислить несобственный интеграл, представленный под номером (4.30) рассматриваемого слайда, или установить его расходимость. Решение Приведем интеграл к табличному виду, представив как степенну ю функцию. Данное преобразование демонстрирует равенство (4.31). Найдем по таблице основных интегралов полученный интеграл, определим первообразную функцию. Подставим пределы интегрирования и вычислим предел. Данные действия и результат представлены на слайде под номером (4.32). Таким образом, нашли, что несобственный интеграл равен единице. По-другому говорят, что несобственный интеграл сходится. Замечание. В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет. Слайд 72 Интеграл от разрывной функции Пусть функция непрерывна на промежутке [от а до бэ], что отображено под номером (4.33). Пусть функция имеет бесконечный разрыв при [при икс равном бэ], что представлено вашему вниманию под номером (4.34). Если существует конечный предел правой части равенства (4.35), то его левую часть называют несобственным интегралом второго рода. Если предел в правой части равенства под номером (4.35) существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл в правой части равенства (4.35) расходится. Аналогично. Пусть функция терпит бесконечный разрыв в точке [икс равно а], что показано под номером (4.36). В таком случае полагают, что несобственный интеграл второго рода от данной функции представим равенством под номером (4.37). Пусть функция терпит разрыв во внутренней точке [цэ]отрезка интегрирования [от а до бэ]. На слайде данное утверждение представлено под номером (4.38). Тогда несобственный интеграл второго рода определяется формулой (4.39). В этом случае интеграл в левой части равенства (4.39) называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся. В случае когда функция большенуля, несобственный интеграл второго рода с разрывом в точке [цэ]отрезка интегрирования [от а до бэ] можно толковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции. Слайд 73 Пример.Вычислить несобственный интеграл, указанный под номером (4.40) на данном слайде. Решение При аргументе, равном нулю, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв. Откуда следует, что данный интеграл – несобственный интеграл II рода. Вычислим соответствующий предел. Вычисления продемонстрированы на данном слайде под номером (4.41). Интеграл сводится к табличному, если представить подынтегральную функцию как степенну ю, а именно как [икс в минус второй степени]. Применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем в результате бесконечность. Делаем вывод, что несобственный интеграл расходится. Слайд 74 Вычисление площадей плоских фигур Напомним, что площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс, равна соответствующему определенному интегралу. Это демонстрируют формулы за номером (4.42) на данном слайде. Отметим, что если криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс, то ее площадь может быть найдена по формуле (4.43). Формулы и можно объединить в одну, указанную на слайде под номером (4.44). Пусть фигура ограничена кривыми, уравнения которых задаются формулами (4.45), и прямыми, заданными на данном слайде под номером (4.46). Тогда площадь заданной таким образом фигуры можно найти по формуле (4.47) Если плоская фигура имеет сложную форму, то прямыми, параллельными оси ординат, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы. Пусть криволинейная трапеция ограничена прямыми, указанными под номером (4.48), осью ординати непрерывной кривой, пронумерованной как (4.49). Тогда ее площадь находится по формуле номер (4.50) Слайд 75 |