Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
2 Source: Suhov, 5.20 (i) 22.16. a) ˆ𝜆 = 𝑆 + + √ −𝑆 + 𝑆 − 𝑛 ˆ 𝜇 = −𝑆 − + √ −𝑆 + 𝑆 − 𝑛 b) only if 𝜇 = 0 Source: Suhov, 5.27 (а) ˆ𝑘 = 𝑋 3 − 1 b) ˆ𝑘 = min{𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 } − 1 3 c) ˆ𝑘 = ¯ 𝑋 3 − Все несмещенные, b - наиболее эффективная Suhov, 5.31 22.18. 22.19. a) обе несмещенные б) 𝑉 𝑎𝑟(ˆ𝑘 1 ) = 1 12𝑛 < 𝑛 𝑛+2 − (︀ 𝑛 𝑛+1 )︀ 2 = 𝑉 в) да, обе 22.20. Заметим, что ˆ𝑎 𝑛 ≥ 𝑎 𝑃 (|ˆ 𝑎 𝑛 − 𝑎| > 𝜀) = 𝑃 (ˆ 𝑎 𝑛 − 𝑎 > 𝜀) = 𝑃 (ˆ 𝑎 𝑛 > 𝑎 + 𝜀) = 𝑃 (min{𝑋 1 , 𝑋 2 , ..., 𝑋 𝑛 } > 𝑎 + 𝜀) = = 𝑃 (𝑋 1 > 𝑎 + 𝜀 ∩ 𝑋 2 > 𝑎 + 𝜀 ∩ ...) = 𝑃 (𝑋 1 > 𝑎 + 𝜀) · 𝑃 (𝑋 2 > 𝑎 + 𝜀) · ... = (︁ ∫︀ ∞ 𝑎+𝜀 𝑒 𝑎−𝑡 𝑑𝑡 )︁ 𝑛 = (𝑒 −𝜀 ) 𝑛 = 𝑒 −𝑛𝜀 lim 𝑛→∞ 𝑒 −𝑛𝜀 = б) нет, не является ни при каких 𝑛, хотя смещение с ростом 𝑛 убывает 22.21. Заметим, что ˆ𝑎 𝑛 ≤ 𝑎 𝑃 (|ˆ 𝑎 𝑛 − 𝑎| > 𝜀) = 𝑃 (−(ˆ 𝑎 𝑛 − 𝑎) > 𝜀) = 𝑃 (ˆ 𝑎 𝑛 < 𝑎 − 𝜀) = 𝑃 (max{𝑋 1 , 𝑋 2 , ..., 𝑋 𝑛 } < 𝑎 − 𝜀) = = 𝑃 (𝑋 1 < 𝑎 − 𝜀 ∩ 𝑋 2 < 𝑎 − 𝜀 ∩ ...) = 𝑃 (𝑋 1 < 𝑎 − 𝜀) · 𝑃 (𝑋 2 < 𝑎 − 𝜀) · ... = (1 − 𝜀) 𝑛 lim 𝑛→∞ (1 − 𝜀) 𝑛 = б) нет, не является ни при каких 𝑛, хотя смещение с ростом 𝑛 убывает. как ни странно, б лучше. 23.4. 23.5. 23.6. 23.7. 23.8. 23.9. 23.10. 23.11. 23.12. 23.13. 23.14. 23.15. 23.16. 23.17. 23.18. 23.19. 23.20. 23.21. 23.22. 23.23. Нужно оценить два параметра, значит нужно два уравнения, находим первый и второй мо- ТВИМС-задачник. Демешев Борис. менты. 𝐸(𝑆 𝑖 ) = 𝑋 * 𝑌 * , 𝐸(𝑆 2 𝑖 ) = 𝐸(𝑋 2 𝑖 )𝐸(𝑌 2 𝑖 ) = (1 + (𝑋 * ) 2 )(1 + (𝑌 * ) 2 ) = 1 + (𝑋 * ) 2 + (𝑌 * ) 2 + (Пусть 𝐴 = ∑︀ 𝑖 𝑆 𝑖 𝑛 , 𝐵 = ∑︀ 𝑖 𝑆 2 𝑖 𝑛 . тогда, ˆ 𝑋 ˆ 𝑌 = и ˆ 𝑋 + ˆ 𝑌 = √ 𝐵 + 2𝐴 − 𝐴 2 − Составляем квадратное уравнение + 2𝐴 − 𝐴 2 − 1𝑡 + 𝐴 = и получаем (мы не можем определить, что конкретно является шириной, а что - длиной = √ 𝐵 + 2𝐴 − 𝐴 2 − 1 − √ 𝐵 − 2𝐴 − 𝐴 2 − 1 2 (2) ˆ 𝑌 = √ 𝐵 + 2𝐴 − 𝐴 2 − 1 + √ 𝐵 − 2𝐴 − 𝐴 2 − 1 2 (3) 24.1. 24.2. 24.3. 24.4. 24.5. 24.6. 24.7. 24.8. 24.9. 24.10. 24.11. 24.12. 24.13. 24.14. 24.15. 24.16. 24.17. 24.18. 24.19. 24.20. 24.21. 24.22. 24.23. 24.24. 24.25. 24.26. 25.1. 25.2. 25.3. 25.4. 25.5. 25.6. 25.7. 25.8. 25.9. 25.10. 25.11. 25.12. 25.13. 25.14. 25.15. 25.16. 𝐹 29,39 = 32 20 = 1.6 𝐹 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 = Гипотеза о том, что дисперсия одинакова не отвергается. 25.17. Среднее значение хи-квадрат случайной величины равно числу степеней свободы. Единице Note (as told by Chris Olsen): The Chi-square statistic was invented by Karl Pearson about 1900. Pearson knew what the Chi-square distribution looks like, but he was unsure about the degrees of freedom. About 15 years later, Fisher got involved. He and Pearson were unable to agree on the degrees of freedom for the two-by-two table, and they could not settle the issue mathematically. Pearson believed there was 1 degree of freedom and Fisher 3 degrees of freedom. They had no nice way to do simulations, which would be the modern approach, so Fisher looked at lots of data in two-by-two tables where the variables were thought to be independent. For each table he calculated the Chi-square statistic. Recall that the expected value for the Chi-square statistic is the degrees of freedom. After collecting many Chi-square values, Fisher averaged all the values and got a result he described as «embarrassingly close to 1» This confirmed that there is one degree of freedom for a two-by-two table. Some years later this result was proved mathematically. 26.1. 26.2. 27.1. 27.2. 27.3. 27.4. 27.5. 27.6. 27.7. СЛЧИС(), RAND() = генерирует св. равномерно распределенную на [0; 1] СРЗНАЧ(Набор чисел) = ¯ 𝑋 = ∑︀ 𝑋 𝑖 𝑛 ДИСП(Набор чисел) = ∑︀(𝑋 𝑖 − ¯ 𝑋) 2 𝑛−1 СТЬЮДРАСП(x,n,1) = 𝑃 (𝑇 𝑛 > 𝑥) , где 𝑇 𝑛 - св. имеющая 𝑡 распределение c 𝑛 степенями свободы СТЬЮДРАСП(x,n,2) = 𝑃 (|𝑇 𝑛 | > 𝑥) = 2 · 𝑃 (𝑇 𝑛 > 𝑥) , где 𝑇 𝑛 - св. имеющая 𝑡 распределение c степенями свободы СТЬЮДРАСПОБР(p,n) = обратная к СТЬЮДРАСП(x,n,2) НОРМРАСП(x,𝜇,𝜎,1) = 𝑃 (𝑁 ≤ 𝑥), где 𝑁 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) НОРМСТРАСП(x) = 𝑃 (𝑁 ≤ 𝑥), где 𝑁 ∼ 𝑁(0, 1) НОРМРАСПОБР(p,𝜇,𝜎) = обратная к НОРМРАСП(x,𝜇,𝜎,1) НОРМСТОБР(p) = обратная к НОРМСТРАСП(x) ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 159 ХИ2РАСП(x,n) = 𝑃 (𝐶 > 𝑥), где 𝐶 ∼ 𝜒 2 𝑛 ХИ2ОБР(p,n) = обратная к ХИ2РАСП(x,n) FРАСП(x,𝑛 1 ,𝑛 2 ) = 𝑃 (𝐹 > 𝑥), где 𝐹 ∼ 𝐹 𝑛 1 ,𝑛 2 FРАСПОБР(p, 𝑛 1 , 𝑛 2 ) = обратная к FРАСП(x,𝑛 1 ,𝑛 2 ) 𝑋 ∼ 𝑈 [𝑎; 𝑏] - случайная величина 𝑋 распределена равномерно на отрезке [𝑎; 𝑏], буква U - от слова uniform 𝑋 ∼ 𝑁 (𝜇, 𝜎 2 ) 𝑋 ∼ 𝑁 (𝜇, Σ) Σ - ковариационная матрица iid - independent and identically distributed, независимы и одинаково распределенные множество всех исходов событие = набор исходов свойства вероятности (Ω) = 1 , 𝑃 (∅) = 0, 0 ≤ 𝑃 (𝐶) ≤ Если 𝐴 и 𝐵 несовместны (не могут произойти одновременно, 𝐴∩𝐵 = ∅ ), то 𝑃 (𝐴∪𝐵) = 𝑃 (𝐴)+𝑃 (Существуют такое событие 𝐷, что 𝑃 (𝐷) = 0, но 𝑃 ̸= Число способов выбрать 𝑘 предметов из 𝑛 (𝐶 из 𝑛 по 𝑘), если неважен порядок 𝐶 𝑘 𝑛 = ( 𝑛 𝑘 ) = 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)! Maple: binomial(n,k); Условная вероятность наступления события 𝐴, если известно, что 𝐵 наступило = 𝑃 (𝐴|𝐵) = 𝑃 (𝐴∩𝐵) 𝑃 (условная вероятность определена при 𝑃 (𝐵) > события 𝐴 и 𝐵 называются независимыми, если 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 (𝐴) · 𝑃 (𝐵) или (для 𝑃 (𝐵) > 0) 𝑃 (𝐴|𝐵) = 𝑃 (𝐴) 𝐴 𝑐 = Ω∖𝐴 - дополнение к событию формула полной вероятности 𝑃 (𝐴) = 𝑃 (𝐴|𝐵 1 ) · 𝑃 (𝐵 1 ) + ... + 𝑃 (𝐴|𝐵 𝑛 ) · 𝑃 (𝐵 𝑛 ) , если 𝐵 𝑛 - не пересекаются, ив сумме исчерпывают всевозможные варианты. Функция распределения 𝐹 (𝑎) = 𝑃 (𝑋 ≤ Функция 𝑝(𝑡) называется функцией плотности для случайной величины 𝑋, если 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫︀ 𝑏 𝑎 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 . Функция плотности - это невероятность. Это - почти :) вероятность. Для случайных величин с функцией плотности 𝑃 (𝑋 = 𝑡) = Для всех 𝑃 (−∞ < 𝑋 < +∞) = Условная функция плотности 𝑝 𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦) Для непрерывных св. 𝐹 (𝑎) = Для дискретных величин 𝐸(𝑋) = ∑︀ 𝑥 𝑖 · 𝑃 (𝑋 = Для непрерывных - 𝐸(𝑋) = ∫︀ 𝑥 · 𝑝(𝑥) · Условное ожидание) = ∑︀ 𝑥 𝑖 · 𝑃 (𝑋 = 𝑥 𝑖 |𝐴) ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Для удобства 𝐸(𝑓(𝑋)) = ∑︀ 𝑓(𝑥 𝑖 ) · 𝑃 (𝑋 = 𝑥 𝑖 ) 𝐸(𝑎𝑋 + 𝑌 ) = 𝑎𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌 Дисперсия 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸((𝑋 − 𝐸(𝑋)) 2 ) Ковариация 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ) = 𝐸((𝑋 − 𝐸(𝑋))(𝑌 − 𝐸(𝑌 ))). Cтандартное отклонение 𝜎 𝑋 = √︀𝑉 Корреляция 𝑐𝑜𝑟(𝑋, 𝑌 ) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌 Св. независимы, если никакая информация о 𝑋 не позволяет сделать никаких выводов о 𝑌 Для независимых св. 𝐸(𝑋𝑌 ) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌 ). Для дискретных независимых случайных величин (𝑋 = 𝑥 ∩ 𝑌 = 𝑦) = 𝑃 (𝑋 = 𝑥)𝑃 (𝑌 = 𝑦) , для непрерывных независимых 𝑝 𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = Выборочное среднее ¯ 𝑋 Несмещенная оценка дисперсии ˆ𝜎 2 = ∑︀(𝑋 𝑖 − Центральная предельная теорема: Если 𝑋 𝑖 - iid, 0 < 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 𝑖 ) < ∞ , то 𝑎𝑟(𝑆 𝑛 ) 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 −−−−−−→ 𝑛→∞ 𝑁 (0; Пуассоновское приближение: Если 𝐿 𝑛 - биномиальные св. с параметрами (𝑛, и 𝑛𝑝 𝑛 𝑛→∞ −→ 𝜆 , то 𝑃 (𝐿 𝑛 = 𝑘) → Зоопарк) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑡 , Экспоненциальное, 𝐸(𝑋) = 1 𝜆 , 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 1 𝜆 2 𝑝(𝑡) = 1 √ 2𝜋𝜎 exp(− (𝑡−𝜇) 2 2𝜎 2 ) , Нормальное (𝑋 = 𝑡) = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑡 𝑡! , Пуассон, 𝐸(𝑋) = 𝜆, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆 𝑃 (𝑋 = 𝑡) = 𝐶 𝑡 𝑁 𝑝 𝑡 (1 − 𝑝) 𝑁 −𝑡 , Биномиальное) = 𝑐 exp(− 1 2 (𝑥 − 𝜇) 𝑇 Ω −1 (𝑥 − 𝜇)) , Многомерное нормальное ∼ 𝑁 (⃗ 𝜇; Ω) , Ω - ковариационная матрица, 𝑐 = 1 (2𝜋) 𝑛 2 det 1 2 (Для двумерного нормального) = 𝜇 1 + 𝜌 𝜎 1 𝜎 2 (𝑋 2 − 𝜇 2 ) 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 1 |𝑋 2 ) = 𝜎 2 1 (1 − События представляют собой Пуассоновский поток с параметром Количество событий, происходящих за время 𝑡 - св. имеющая распределение Пуассона с ожиданием · Время между двумя событиями в потоке распределено экспоненциально с ожиданием 1 𝜆 Уровень значимости = порог редкости. Если происходит редкое событие, то 𝐻 0 отвергается. Метод максимального правдоподобия Maximum likelihood, ML. max 𝜃 ∏︀ 𝑝(𝑥 𝑖 , Полезен переход к логарифму. Метод моментов Method of moments, Если 𝐸( ¯ 𝑋) = 𝑓 (𝜃) , то находим ˆ𝜃 из уравнения ¯ 𝑋 = 𝑓 (Оценка ˆ𝜃 неизвестного параметра 𝜃 называется: несмещенной, если 𝐸(ˆ𝜃) = состоятельной, если для ∀𝜀 > 0 lim 𝑃 (|𝜃 − ˆ𝜃 𝑛 | > 𝜀) = 0 ТВИМС-задачник. Демешев Борис. эффективной среди некоторого набора оценок, если у нее минимальная дисперсия, mean squared error, 𝑀𝑆𝐸(ˆ𝜃) = 𝐸((ˆ𝜃 − 𝜃) 2 ) If 𝑋 𝑖 - iid, 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) , then (𝑛−1)·^ 𝜎 2 𝜎 2 = ∑︀(𝑋 𝑖 −𝑋) 2 𝜎 2 - 𝜒 (𝑛−1) ∑︀ (𝑋 𝑖 −𝑛𝑝 𝑖 ) 2 𝑛𝑝 𝑖 ∼ 𝜒 2 𝑟−1 ; ∑︀ (𝑋 𝑖,𝑗 −𝑛^ 𝑝 𝑖,𝑗 ) 2 𝑛 ^ 𝑝 𝑖,𝑗 ∼ 𝜒 2 (𝑟−1)(𝑐−1) . If 𝑋 ∼ 𝑁(0; 1) and 𝐾 ∼ 𝜒 2 𝑛 then 𝑌 = 𝑋 √ 𝐾 𝑛 is called 𝑡 𝑛 . If 𝑋 𝑖 - iid 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) , then 𝑋 𝑛 −𝜇 √︁ ^ 𝜎2 𝑛 ∼ 𝑡 𝑛−1 |