Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
Задачи по элементарной теории вероятностей и матстатистике Составитель: Борис Демешев 22 марта 2010 г. Содержание 0.1 Обращение к читателю 0.2 Цель 0.3 Об ответах и упрощениях 1 Простые эксперименты 2 Комбинаторика 3 Условная вероятность 4 Разложение в сумму 5 Первый шаг 6 Принцип отражения и прочее про случайное блуждание 7 Геометрическая вероятность 8 Пуассоновские и экспоненциальные величины 9 Компьютерные эксперименты 10 Компьютерные вычислительные 11 Вероятностный метод 12 Оптимизация, Теория игр 13 Нормальное распределение, ЦПТ 65 14 Без эксперимента, свойства ожидания, дисперсии 15 Функция плотности и условная функция плотности 16 Арифметика 17 Двумерные распределения, ковариации 78 18 Смешанные распределения 1 ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 2 19 Данетки 85 20 Несортировано 87 21 Выборочное среднее, общая интуиция 22 Свойства оценок 23 MM, ML, BA 102 24 Гипотезы о среднем 25 Остальные гипотезы 26 Дисперсионный анализ 27 Непараметрические тесты 28 Решения 114 Предисловие 0.1 Обращение к читателю Задачник - в стадии разработки. Смелее спрашивайте и высказывайте свое мнение Борису Демешеву, boris.demeshev@gmail.com Предлагайте свои задачи Цель Есть много сборников задач. Зачем этот- Открытость и доступность. www.xion.ru - учеба - 2 курс - теория вероятностей- Красивые задачи- Задачи под курс ГУ-ВШЭ. Все то, что можно рассказать без теории меры Об ответах и упрощениях Большинство ответов имеют совсем простой вид в духе 𝑎 𝑎+𝑏 и их очевидно нельзя упростить. Некоторые ответы простым образом выражаются через биномиальные коэффициенты. Не упрощаются, но встречаются в ответах ∑︀ 𝑛 𝑖=1 1 𝑖 , ∑︀ 𝑛 𝑖=1 𝑖 𝑘 . Ответы в виде громоздких сумм биномиальных коэффициентов не используются, если это не оговорено в условии. Используется сумма геометрической прогрессии, разложение вряд Тейлора для 𝑒 𝑥 1 Простые эксперименты Задача 1.1. Подбрасывается два кубика. Какова вероятность выпадения хотя бы одной шестерки Какова вероятность того, что шестерка не выпадет ни разу? Задача 1.2. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Монетка подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что будет выпадет ровно 1 орел Ровно Ни одного? Задача 1.3. Какова вероятность при шести подбрасываниях кубика получить ровно две шестерки? Задача 1.4. На отрезке равномерно и независимо выбираются две точки. Верно ли, что длины получающихся трех отрезков распределены одинаково? Задача 1.5. Из 50 деталей 4 бракованных. Выбирается наугад 10 на проверку. Какова вероятность не заметить брак? Задача 1.6. Ω = {𝑎, 𝑏, 𝑐} , 𝑃 ({𝑎, 𝑏}) = 0, 8, 𝑃 ({𝑏, 𝑐}) = 0, 7. Найдите 𝑃 ({𝑎}), 𝑃 ({𝑏}), 𝑃 ({𝑐}) Задача 1.7. 𝐴 и 𝐵 несовместны, 𝑃 (𝐴) = 0, 3, 𝑃 (𝐵) = 0, 4. Найдите 𝑃 (𝐴 𝑐 ∩ Задача (𝐴) = 0, 3 , 𝑃 (𝐵) = 0, 8. В каких пределах может лежать 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)? Задача 1.9. Четыре карты одного достоинства. Наугад выбираются две. Вероятность того, что они будут разного цвета? Задача 1.10. Кубик подбрасывается два раза. Вероятность того, что результат второго броска будет строго больше, чем результат первого Вероятность того, что в сумме будет 6? В сумме 9? Максимум равен Минимум равен 3? Разница будет равна 1 или 0? Задача 1.11. Как связаны между собой 𝑃 (𝐴) и 𝐸(1 𝐴 ) ? Задача 1.12. Равной силы команды играют дох побед. Какова вероятность того, что будет ровно 3 партии? Ровно 4? Ровно 5? Задача 1.13. Какова вероятность того, что у 10 человек не будет ни одного совпадения дней рождений? Каков минимальный размер компании, чтобы вероятность одинакового дня рождения была больше половины вероятность полностью угадать комбинацию в лотерее 5 из 36? Задача 1.15. В мешке 50 орехов из них 5 - пустые. Вы выбираете наугад 10 орехов, какова вероятность того, что ровно 1 из них будет пустой? Задача 1.16. Маша подбрасывает монетку три раза, а Саша - два раза. Какова вероятность того, что у Маши «герб» выпадет больше раз, чему Саши? Задача 1.17. Подбрасывается кубика затем монетка подбрасывается столько раз, сколько очков на выпавшей грани. Какова вероятность того, что орел выпадет ровно 4 раза? Задача 1.18. Рыцари-близнецы Король Артур проводит рыцарский турнир, в котором, также как ив теннисе, порядок состязания определяется жребием (см. Выйдет ли второй в финал. Среди восьми рыцарей, одинаково искусных в ратном деле, два близнеца. а) Какова вероятность того, что они встретятся в поединке? б) Каков ответ в случае 2 𝑛 рыцарей? Задача 1.19. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. На подносе лежит 20 шоколадных конфет, одинаковых с виду. В четырех из них есть орех внутри. Маша съела 5 конфет. Какова вероятность того, что в наугад выбранной оставшейся конфете будет орех? Задача 1.20. Сколько детей должно быть в семье, чтобы вероятность того, что имеется по крайней мере один ребенок каждого пола была больше 0,95? Задача 1.21. Пусть 𝑋 принимает два значения, причем 𝑃 (𝑋 = 1) = 𝑝 и 𝑃 (𝑋 = 0) = 1 − 𝑝. Найдите 𝐸(𝑋). Задача 1.22. Кубик подбрасывают до тех пор, пока накопленная сумма очков на гранях не превысит 2. Пусть 𝑋 - число подбрасываний кубика. Найдите 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(36𝑋 − 5), 𝐸(36𝑋 − 17) Задача 1.23. Поезда метро идут регулярно с интервалом 3 минуты. Пассажир приходит на платформу в случайный момент времени. Пусть 𝑋 - время ожидания поезда в минутах. Найдите 𝑃 (𝑋 < 1), 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) Задача 1.24. Вася посещает 60% лекций по теории вероятностей, Петя - 70%. Они из разных групп и посещают лекции независимо друг от друга. Какова вероятность, что наследующую лекцию придут оба Хотя бы один из них? Задача 1.25. Судьба Дон-Жуана У Васи 𝑛 знакомых девушек (их всех зовут по-разному). Он пишет им 𝑛 писем, но, по рассеянности, раскладывает их в конверты наугад. Св. 𝑋 обозначает количество девушек, получивших письма, написанные лично для них. а) Найдите 𝐸(𝑋), 𝑉 б) Какова вероятность того, что хотя бы одна девушка получит письмо, адресованное именно ей? Каков предел этой вероятности при 𝑛 → +в) Какова вероятность того, что произойдет ровно 𝑘 совпадений? Задача 1.26. С чего все начиналось... Париж, Людовик XIV, 1654 год, высшее общество говорит о рождении новой науки - теории вероятностей. Ах, кавалер де Мере, «fort honnete homme sans etre mathematicien»... Тигр благородный человек, хотя и не математик. Старая задача, неправильные решения которой предлагались тысячелетиями (например, одно из неправильных решений предлагал изобретатель двойной записи, кумир бухгалтеров, Лука Пачоли) наконец решена правильно Два игрока играют в честную игру до шести побед. Игрок первым выигравший шесть партий (необязательно подряд) получает 800 рублей. К текущему моменту первый игрок выиграл 5 партий, а второй - 3 партии. Они вынуждены прервать игру в данной ситуации. Как им поделить приз по справедливости? Задача 1.27. Из 5-ти деталей 3 бракованных. Сколько потребуется в среднем попыток прежде чем обнаружится первая дефектная деталь Какова дисперсия числа попыток? Задача 1.28. [ Mosteller] Две урны содержат одно и тоже количество шаров, несколько черных и несколько белых каждая. Из них извлекаются 𝑛 (𝑛 > 3) шаров с возвращением. Найти число 𝑛 и содержимое обеих урн, если вероятность того, что все белые шары извлечены из первой урны, равна вероятности того, что из второй извлечены либо все белые, либо все черные шары. Задача 1.29. [ Mosteller] Осторожный фальшивомонетчик ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью в сто монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из 100 ящиков. а) Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен? б) Каков ответ в предыдущей задаче, если 100 заменить на 𝑛? Задача 1.30. Стратегия удвоения В казино имеется рулетка, которая с вероятностью повыпадает на черное и на красное. Игрок, поставивший сумму 𝑛 и угадавший цвет, получает обратно сумму 2𝑛. Вася решил играть последующей схеме. Сначала он ставит доллар. Если он выигрывает, то покидает казино, если проигрывает, то удваивает ставку и ставит два доллара. Если выигрывает, то покидает казино, если проигрывает, то снова удваивает ставку и ставит четыре доллара. И т.д. пока не выиграет в первый разили впервые не хватит денег на новую удвоенную ставку. У Васи имеется 1050 долларов. а) Какова вероятность того, что Вася покинет казино после выигрыша? б) Каков ожидаемый выигрыш Васи? Комментарий: в реальности вероятность меньше 1/2, т.к. на рулетке есть 0 и (иногда) 00. Их наличие, естественно, уменьшает и вероятность и ожидаемый выигрыш. Задача 1.31. Две шкатулки Васе предлагают две шкатулки. И обещают, что водной из них денег в два раз больше, чем в другой. Вася открывает наугад одну из них - в ней 𝑎 рублей. Вася может либо взять деньги, либо взять оставшуюся шкатулку. а) Правильно ли Вася считает, что ожидаемое количество денег в неоткрытой шкатулке равно 2 ( 1 2 𝑎)+ 1 2 (2𝑎) = 1 1 4 𝑎 , и, поэтому, нужно изменить свой выбор? б)Пусть известно, что в пару шкатулок кладут и рублей с вероятностью 𝑝 𝑘 = ( 1 2 ) 𝑘 . Стоит ли Васе изменить свой выбор, после того, как он открыл первую шкатулку Почему? Задача 1.32. [ обработка Mosteller] Выйдет ли второй в финал? В теннисном турнире участвуют 8 игроков. Есть три тура (четверьтфинал-полуфинал-финал). Противники в первом туре определяются случайным образом. Предположим, что лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству, а тот в свою очередь побеждает всех остальных. Проигрывающий в финале занимает второе место. Какова вероятность того, что это место займет второй по мастерству игрок? Задача 1.33. [ Mosteller] Выборы После выборов, в которых участвуют два кандидата, A и B, за них поступило 𝑎 и 𝑏 (𝑎 > 𝑏) бюллетеней соответственно, скажем, 3 и 2. Если подсчет голосов производится последовательным извлечением бюллетеней из урны, то какова вероятность того, что хотя бы один раз число вынутых бюллетеней, поданных за Аи В, было одинаково? Задача 1.34. [ Mosteller] Ничьи при бросании монеты Игроки Аи В в орлянку играют 𝑁 раз. После первого бросания каковы шансы на то, что в течение всей игры их выигрыши не совпадут? Задача 1.35. Бросают два правильных игральных кубика. Пусть 𝑋 - наименьшая из выпавших граней, а 𝑌 - наибольшая. а) Рассчитайте 𝑃 (𝑋 = 3 ∩ 𝑌 = б) Найдите 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋), 𝐸(3𝑋 − 2𝑌 ); from Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 6 A bag contains a counter, known to be either white or black. A white counter is put in, the bag is shaken, and a counter is drawn out, which proves to be white. What is now the chance of drawing a white Задача have a hat in which there are three pancakes: One is golden on both sides, one is brown on both sides, and one is golden on one side and brown on the other. You withdraw one pancake, look at one side, and see that it is brown. What is the probability that the other side is Задача inhabitants of an island tell truth one third of the time. They lie with the probability of 2/3. On an occasion, after one of them made a statement, another fellow stepped forward and declared the statement true. What is the probability that it was indeed Задача the n’s dice are thrown at the one time, find the probability such that the sum of the cast is 𝑛 + Задача Wimbledon mens singles tournament has 128 players. The first round pairings are completely random, subject to the constraint that none of the top 32 players can be paired against each other. Two competitors, Olivier Rochus, and his brother Christophe are competing, and neither are in the elite group of 32 players. What is the probability that these brothers play in the first round (as actually occurred)? Задача 1.41. Первый автобус отходит от остановки в 5:00. Далее интервалы между автобусами равновероятно составляют 10 или 15 минут, независимо от прошлых интервалов. Вася приходит на остановку в) Какова ожидаемая длина интервала, в который он попадает? б) Какова ожидаемая длина следующего интервала? в) Пусть 𝑡 → ∞ ??? Задача 1.42. Светофор 40 секунд горит зеленым светом, 3 секунды - желтым, 30 секунд - красным, затем цикл повторяется. Петя подъезжает к светофору. На желтый свет Петя предпочитает остановиться. а) Какова вероятность, что Петя сможет проехать сразу? б) Какова средняя задержка Пети на светофоре? а) Вася, стоящий рядом со светофором, смотрит на него в течение 3 секунд. Какова вероятность того, что он увидит смену цвета? Задача 1.43. There are two ants on opposite corners of a cube. On each move, they can travel along an edge to an adjacent vertex. What is the probability that they both return to their starting point after 4 moves? Задача 1.44. На кубиках написаны числа от 1 до 100. Кубики свалены в кучу. Вася выбирает наугад из кучи по очереди три кубика. а) Какова вероятность, что полученные три числа будут идти в возрастающем порядке? б) Какова вероятность, что полученные три числа будут идти в возрастающем порядке, если известно, что первое меньше последнего? Задача 1.45. На факультете 𝑛 студентов. Из них наугад выбирают 𝑎 человек. Через год студентов покидает факультет, 𝑏 + - приходит на факультет. Из них снова наугад выбирают 𝑎. Какова вероятность того, что хотя бы одного выбирут два раза? Задача 1.46. Легкомысленный член жюри В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью 𝑝, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится ТВИМС-задачник. Демешев Борис. большинством голосов. Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью? Задача 1.47. Simpson’s Тренер хочет отправить на соревнование самого сильного из своих спортсменов. Самым сильным игроком тренер считает того, у кого больше всех шансов получить первое место, если бы соревнование проводилось среди своих. У тренера два спортсмена А, постоянно набирающий 3 штрафных очка при выполнении упражнения и Б, набирающий 1 штрафное очко с вероятностью 0,54 и 5 штрафных очков с вероятностью а) Кого отправит тренер на соревнования? б) Кого отправит тренер на соревнования, если помимо Аи Б у него тренируется спортсмен В, набирающий 2 штрафных очка с вероятностью 0,56; 4 штрафных очка с вероятностью 0,22 и штрафных очков с вероятностью в) Мораль? Задача 1.48. У Васи есть 𝑛 монеток, каждая из которых выпадает орлом с вероятностью 𝑝. В первом раунде Вася подкидывает все монетки, во втором раунде Вася подкидывает только те монетки, которые выпали орлом в первом раунде. Пусть 𝑅 𝑖 - количество монеток, подкидывавшихся и выпавших орлом во ом раунде. а) Каков закон распределения величины 𝑅 2 ? b) Найдите 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑅 1 , с) Как ведет себя корреляция при 𝑝 → 0 и 𝑝 → 1? Почему? Задача 1.49. Пусть 𝑋 1 , 𝑋 2 ,..., 𝑋 𝑛 - iid. 𝑋 𝑖 = {︂ 1, 𝑝 0, (1 − Пусть 𝑘 такая константа, что 2𝑘 ≥ Найдите вероятность того, что самая длинная серия из единиц имеет длину 𝑘. [ ?]: Что делать при 2𝑘 < 𝑛? Задача 1.50. Пусть существует всего два момента времени, 𝑡 = 0 и 𝑡 = 1. Cтоимости облигаций и акций в момент времени 𝑡 обозначим 𝐵 𝑡 (bond) и 𝑆 𝑡 (share). Известно, что 𝐵 0 = 1 , 𝐵 1 = 1.1 , 𝑆 0 = 5 , 𝑆 1 = {︂ 10 𝑝 ℎ𝑖𝑔ℎ = 0, 7 2 𝑝 𝑙𝑜𝑤 = 0, Индивид может покупать акции и облигации по указанным ценам без ограничений. Например, можно купить минус одну акцию, это означает, что в 𝑡 = 0 индивид получает 5 рублей, а в 𝑡 = 1, в зависимости от состояния природы, должен заплатить 10 рублей или 2 рубля) Чему равна безрисковая процентная ставка за период? б) Найдите дисконтированные математические ожидания будущих цен акций и облигаций. Совпадают ли они сценами нулевого периода? в) Найдите такие вероятности и 𝑞 𝑙𝑜𝑤 , чтобы дисконтированное математическое ожидание будущих цен совпало сценами нулевого периода. г) Индивиду предлагают купить некий актив, который приносит 8 рублей в состоянии мира и рублей в состоянии мира 𝜔 𝑙𝑜𝑤 . Посчитайте ожидание стоимости этого актива с помощью вероятностей и с помощью вероятностей 𝑞. Придумайте такую комбинацию акций и облигаций, которая в будущем приносит 8 и 11 рублей соответственно, и найдите ее стоимость. Задача 1.51. Игральный кубик подбрасывается два раза. Пусть и 𝑋 2 - результаты подбрасывания. Найдите вероятности 𝑃 (min {𝑋 1 , 𝑋 2 } = и 𝑃 (min {𝑋 1 , 𝑋 2 } = Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 8 17 заключенных, пять камер. Какова вероятность, что Петя и Вася сидят водной камере? Задача 1.53. На десяти карточках написаны числа от 1 до 9. Число 8 фигурирует два раза, остальные числа - по одному разу. Карточки извлекают в случайном порядке. Какова вероятность того, что девятка появится позже обеих восьмерок? Задача 1.54. Jenny and Alex flip 𝑛 fair coins each. What is the probability that they get the same number of б) Пусть 𝑎 𝑛 = √ 𝑛 · 𝑝 𝑛 , где 𝑝 𝑛 - найденная вероятность. Найдите lim 𝑎 𝑛 Задача 1.55. Кость подбрасывается два раза. Пусть 𝑋 и 𝑌 - результаты подбрасываний. Найдите 𝐸(|𝑋 − 𝑌 Задача you are given a random number generator, which draws samples from an uniform distribution between 0 and 1. The question is: how many samples you have to draw, so that you are 95% sure that at least 1 sample lies between 0.70 and 0.72? Задача 1.57. В турнире участвую 8 человек, разных по силе. Более сильный побеждает более слабого. Проигравший выбывает, победитель выходит в следующий тур. |