Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
кто получил большие числа в каждом туре. Каково среднее количество человек, получивших приз? Взято с www.zaba.ru, какая-то олимпиада. Задача 4.10. А.А. Мамонтов сидит в 424 аудитории. Эконометрику собираются сдавать несколько человек. На поиски пустых аудиторий послано 3 студента-разведчика. На втором этаже 9 учебных аудиторий из них заняты. Каждый из 3 студентов-разведчиков независимо друг от друга заглядывает в аудитории. Если студент обнаруживает пустую аудиторию, то он сообщает ее номер А.А. Мамонтову. Каково среднее количество обнаруженных пустых аудиторий? Задача 4.11. У Маши 30 разных пар туфель. Иона говорит, что мало Пес Шарик утащил (без разбору на левые и правые) 17 туфель. Сколько полных пар в среднем осталось Сколько полных пар в среднем досталось Шарику? Задача 4.12. Из колоды в 52 карты извлекается 5 карт. Сколько в среднем извлекается мастей Достоинств? Тузов? Задача 4.13. Вася пишет друг за другом наугад 100 букв из латинского алфавита. а) Каково ожидаемое количество букв, встречающихся в написанном слове ровно один раз? б) Как изменилась бы искомая величина, 𝐴 𝑘,𝑛 , если бы в алфавите было 𝑘 буква Вася писал бы «слово» из 𝑛 букв? в) Найдите lim 𝑛→∞ 𝐴 𝑘,𝑛 , lim 𝑘→∞ 𝐴 𝑘,𝑛 Задача 4.14. За круглым столом сидят в случайном порядке 𝑛 супружеских пар (всего 2𝑛 человек. Пусть 𝑋 - число пар, где супруги оказались напротив друг друга. Найдите 𝐸(𝑋) и 𝑉 Задача there were 𝑚 married couples, but that 𝑑 of these 2m people have died. Regard the 𝑑 deaths as ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 27 striking the 2𝑚 people at random. Let 𝑋 be the number of surviving couples. Find: 𝐸(𝑋) and 𝑉 Задача pies A group of initially N people play the following game. Each one picks another person at random as a target, and at the voice of «now!» they throw their pies at their selected targets with perfect aim. Each player hit by a pie must abandon the game; the ones not hit by a pie are called «survivors». They keep playing until all of them have been hit or only one survivor remains. a) If at a given stage of the game there are n survivors, what is the expected number of survivors at the next stage? b) If at a given stage of the game there are n survivors what is the probability of having exactly k survivors at the next stage? c) What is the asymptotic behavior as N tends to infinity of the probability of ending up with one survivor. Generalize the problem assuming that the players’ aim is not perfect. Assume that the probability p of hitting the selected target is constant and the same for everybody. Задача 4.17. Над озером взлетело 20 уток. Каждый из 10 охотников стреляет в утку по своему выбору. Каково ожидаемое количество убитых уток, если охотники стреляют без промаха Как изменится ответ, если вероятность попадания равна 0,7? Каким будет ожидаемое количество охотников, попавших в цель? Задача 4.18. [ 9.57, 9.23 Кочетков] Десять человек садится на первом этаже в лифт шестиэтажного здания. Каждый выходит на случайно выбираемом им этаже (кроме первого). а) Сколько остановок (в среднем) сделает лифт? Ответьте наследующие вопросы с помощью 𝑆 𝑛 (𝑘) = 1 𝑛 + 2 𝑛 + ... + б) До скольки этажей (в среднем) лифт вообще не доедет? в) На каком этаже (в среднем) будет первая остановка? г) На каком этаже (в среднем) будет последняя остановка? д) Сколько этажей (в среднем) лифт проскочит при подъеме? Задача 4.19. Судьба Дон Жуана У Васи 𝑛 знакомых девушек (их всех зовут по-разному). Он пишет им 𝑛 писем, но, по рассеянности, раскладывает их в конверты наугад. Св. 𝑋 обозначает количество девушек, получивших письма, написанные лично для них. Найдите 𝐸(𝑋). Задача 4.20. Вам предложена следующая игра. Изначально на кону 0 рублей. Раз за разом подбрасывается правильная монетка. Если она выпадает орлом, то казино добавляет на кон 100 рублей. Если монетка выпадает решкой, то все деньги, лежащие на кону, казино забирает себе, а Вы получаете красную карточку. Игра прекращается либо когда Вы получаете третью красную карточку, либо в любой момент времени до этого по Вашему выбору. Если Вы решили остановить игру дополучения трех красных карточек, то Ваш выигрыш равен сумме на кону. При получении третьей красной карточки игра заканчивается и Вы не получаете ничего. а) Как выглядит оптимальная стратегия в этой игре? б) Чему при этом будет равен средний выигрыш? Задача 4.21. В каждой из двух урн находится по 50 белых и 50 черных шаров. Вася одновременно вытаскивает по шару из каждой урны и выбрасывает их. Пусть 𝑋 количество раз, когда из обеих урн были одновременно вытащены белые шары. Найдите 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) Задача 4.22. На карточках написаны числа от 1 до 𝑛. Вася достает их одну за другой наугад. Если номер карточки ТВИМС-задачник. Демешев Борис. является соседним с номером предыдущей карточки, то Вася получает 1 рубль. Пусть 𝑋 - Васин выигрыш. Найдите 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) Задача 4.23. Вася называет наугад 50 чисел от 1 до 100 (допускаются повторения, а Петя называет наугад чисел от 1 до 100 (без повторов). Пусть 𝑋 и 𝑌 это суммы этих чисел) Сравните 𝐸(𝑋) и 𝐸(𝑌 б) Сравните 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) и 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ) Задача 4.24. Кубик подбрасывается до тех пор, пока каждая грань не выпадет по разу. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа подбрасываний. Задача 4.25. Правильная монетка подбрасывается 𝑛 раз. Серия - это последовательность подбрасываний из одинаковых результатов (к примеру, в последовательности ОООРРРО три серии). а) Каково ожидаемое количество серий? б) Дисперсия числа серий? в) А если монетка неправильная и выпадает гербом с вероятностью 𝑝? Задача 4.26. Рулет Длинный рулет разрезан на 𝑛 частей. Каждый из 𝑘 гостей по очереди забирает себе один кусочек, выбираемый случайным образом. В результате остается 𝑛 − 𝑘 кусочков рулета. Оставшиеся кусочки рулета лежат сериями, разделенными дырками от забранных кусочков. Каково ожидаемое число «серий» оставшихся кусочков К чему стремится эта величина при 𝑛 → ∞? Aвтор: Алексей Суздальцев Задача 4.27. Петя ищет 6 нужных ему книг в стопке из 30 книг. Книги внешне неотличимы. Сколько книг в среднем ему придется пересмотреть Просмотренные книги Петя в общую кучу не возвращает. Задача 4.28. В здании 10 этажей, на каждом этаже 30 окон. Вечером в каждом окне независимо от других свет включается с вероятностью 𝑝. a) Чему равно ожидаемое количество ноликов на фасаде здания? б) Чему равно ожидаемое количество крестиков на фасаде здания? в) При каких 𝑝 эти количества максимальны Минимальны? Примечание: два разных нолика могут иметь общие точки Вставить рисунок нолика и рисунок крестика, пример подсчета Задача 4.29. Если смотреть на корпус Ж здания Вышки с Дурасовского переулка, то видно 40 окон (5 этажей, т.к. первый невидно, и 8 окон на каждом этаже, уточнить по месту. Допустим, что каждое из них освещено вечером независимо от других с вероятностью одна вторая. Назовем уголком комбинацию из х окон, расположенных квадратом, в которой освещено ровно три окна (неважно, какие). Пусть 𝑋 - число уголков, возможно пересекающихся, на всем корпусе Ж. Найдите 𝐸(𝑋) и 𝑉 Примечание - для наглядности X X , X X X , X X X , X X X - это уголки X X X X X - в этой конфигурации три уголка- а здесь - ни одного «уголка». Задача 4.30. В урне 𝑛 шаров пронумерованных 1,2,... 𝑛. Наугад вытаскивают 𝑘. Найдите ожидание и дисперсию ТВИМС-задачник. Демешев Борис. суммы номеров. Задача 4.31. Кричали женщины Ура ив воздух чепчики бросали (АС. Грибоедов) Приезжающих из армии или от двора встречают 𝑛 женщин. Они одновременно подбрасывают вверх 𝑛 чепчиков. Ловят чепчики наугад, каждая женщина ловит один чепчик. Женщины, поймавшие свой чепчик уходят. А женщины, поймавшие чужой чепчик, снова подбрасывают его вверх. Подбрасывание чепчиков продолжается до тех пор, пока каждая не поймает свой чепчика) Пусть 𝑁 - количество женщин, поймавших свой чепчик после первого подбрасывания. Найдите и 𝑉 б) Пусть 𝑅 - количество подбрасываний. Найдите в) Пусть 𝑆 - количество чепчиков, пойманных мадмуазель NN. Найдите г) Какова вероятность того, что ни одна женщина не поймает свой чепчик после го подбрасывания, example Задача, Pro Models, В урне лежат 𝑚 шаров цвета морской волны и 𝑘 шаров цвета персик. Маша пометила один из шаров цвета персик. Шары извлекают в случайном порядке. а) Какова вероятность того, что меченый шар появится раньше, чем первый шар цвета морской волны? б) Каково ожидаемое количество шаров цвета персик, извлеченных до первого шара цвета морской волны? в) Каково ожидаемое количество шаров цвета персик, извлеченных между первыми вторым шарами цвета морской волны? Задача 4.33. В урне лежат 𝑎 шаров абрикосового цвета и 𝑏 шаров бежевого цвета. Шары извлекаются до тех пор, пока в урне не останутся шары только одного цвета. а) Какова вероятность того, что в конце останутся шары цвета абрикос? б) Каково ожидаемое количество оставшихся шаров? в) Каково ожидаемое количество оставшихся шаров, если известно, что остались шары цвета беж номер 4.32. Задача 4.34. В урне лежат 𝑎 абрикосовых шаров, 𝑏 белых шаров и 𝑐 синих шаров. Шары извлекаются наугад по-очереди без возвращения. а) Какова вероятность того, что первыми полностью будут извлечены абрикосовые шары? б) Сколько шаров в среднем останется после того, как впервые полностью будет извлечен какой- нибудь цвет Сколько шаров при этом в среднем будет извлечено? в) Какова вероятность того, что абрикосовые будут полностью извлечены раньше белых, если известно, что белые были полностью извлечены позже синих номера 4.32. и 4.33. Source: AMM E2724 by Harry Lass Задача 4.35. В урне 𝑎 шаров цвета абрикос, 𝑏 шаров цвета беж и 𝑐 шаров цвета бедра испуганной нимфы. Извлекается наугад 𝑛 ≤ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 шаров. Пусть 𝐴 и 𝐵 - количество извлеченных шаров цвета абрикос и цвета беж а) Какова вероятность того, что 𝑖-ый извлеченный шар будет абрикосовым? б) Каково среднее количество извлеченных шаров цвета абрикос? в) Найдите 𝑉 𝑎𝑟(𝐴), 𝐶𝑜𝑣(𝐴, 𝐵), 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝐴, г) Как изменятся ответы, если после извлечения шара и записывания его цвета шар будет возвращаться обратно в урну? Задача 4.36. Grimmett, 3.4.4. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. В урне 𝐴 находятся 𝑎 шаров цвета абрикос, в урне 𝐵 - 𝑎 шаров цвета беж. В каждый момент времени выбирают по одному шару наугад из каждой урны и меняют местами. Найдите ожидаемое количество шаров цвета абрикос в урне 𝐴 после 𝑘 шагов. Задача 4.37. Из хорошо перетасованной колоды в 52 карты, содержащей четыре туза, извлекаются сверху карты до появления первого туза. На каком месте в среднем появляется первый туз? Задача 4.38. Из колоды в 52 карты случайным образом извлекаются 26 карт и с сохранением порядка между собой кладутся наверх колоды. Сколько в среднем карт при этом остается на своих местах? Задача 4.39. [ Ross, У кота Базилио 𝑛 пустых копилок и 𝑧 золотых. Базилио наугад бросает один за одним золотые в копилки. Если золотой падает в копилку, где уже есть золотые, то слышно приятное позвякивание. Найдите ожидаемое количество позвякиваний. Задача 4.40. Игла Бюффона, Buffon Плоскость расчерчена параллельными линиями, находящимися на расстоянии в 1 см. Случайным образом на плоскость бросается веревка длины 𝑎 см. Пусть 𝑋 - количество пересечений веревки с начерченными линиями. а) Верно ли, что 𝐸(𝑋) пропорционально б) Если вместо веревки взять жесткое кольцо с диаметром 1 см, то чему будет равно 𝑋, в) Чему равно 𝐸(𝑋) для веревки длины г) Если вместо веревки бросается иголка длины 𝑎 < 0.5, то чему равна вероятность того, что она пересечет хотя бы одну линию? Задача 4.41. Треугольник Бюффона? Плоскость расчерчена параллельными линиями, находящимися на расстоянии в 1 см. Случайным образом на плоскость бросается треугольник со сторонами 𝑎 < 1, 𝑏 < 1, 𝑐 < Какова вероятность того, что линия будет пересекать треугольник aops, t=179733 Задача 4.42. Условная вероятность по Бюффону Плоскость расчерчена параллельными линиями, находящимися на расстоянии в 1 см. Случайным образом на плоскость бросается треугольник с периметром 𝑃 < 2. Строго внутрь него случайным образом бросается второй треугольник с периматром 𝑝 < 𝑃 Какова вероятность того, что прямая малый треугольник, если она пересекает большой? Задача 4.43. Условная вероятность по Бюффону-2 (Одна в другой в пространстве находятся две сферы, радиусов 𝑅 и 𝑟. Случайным образом в пространстве проводится прямая. Какова вероятность того, что она пересечет малую сферу, если она пересекает большую? Задача 4.44. В лесу живет 𝑁 удавов. Каждый из них имеет свою длину. Обозначим дисперсию длины наугад выбранного удава. Сегодня 𝑛 удавов выползли погреться на солнышке на большой поляне. Обозначим среднюю длину выползших удавов. а) Чему равно б) Выразите 𝐶𝑜𝑣(𝑋 𝑖 , через для 𝑖 ̸= в) Выразите 𝑉 𝑎𝑟( через Задача men have more sisters than women? ТВИМС-задачник. Демешев Борис. В семье 𝑛 детей. Предположим, что вероятности рождения мальчика и девочки равны. Дед Мороз спросил каждого мальчика Сколько у тебя сестер и сложив эти ответы получил 𝑋. Затем Дед Мороз спросил каждую девочку Сколько у тебя сестер и cложив эти ответы получил 𝑌 Найдите 𝐸(𝑋) и 𝐸(𝑌 )? source: cut-the-knot дважды сестра считается дважды Задача 4.46. Допустим, что на острове Независимом погода в разные дни независима. Известно, что день оказывается солнечным с вероятностью 𝑝, пасмурным без дождя с вероятностью 𝑞 и дождливым с вероятностью 1 − 𝑝 − 𝑞. Пусть 𝑋 - число солнечных дней, а 𝑌 число пасмурных дней без дождя за год) Найдите 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 б) Прокомментируйте знак ковариации Задача 4.47. Девятый вал Пусть 𝑋 𝑛 - iid, непрерывно распределены, это размер ой волны. Будем называть волну большой, если она больше предыдущей и больше последующей. а) Какова вероятность того, что 𝑛-ая волна - большая? б) Какой по счету в среднем появляется очередная большая волна? в) Попробуйте (не совсем строго) обосновать название Девятый вал» Задача 4.48. Из грота ведут 10 штреков, с длинами мм. м. Самый длинный штрек оканчивается выходом на поверхность. Остальные - тупиком. Вася выбирает штреки наугад (естественно, в тупиковый штрек он два раза не ходит. Какой в среднем путь он нагуляет прежде чем выберется на поверхность. Задача 4.49. У меня в кармане 3 рубля мелочью. Среди монет всего одна монета достоинством 50 копеек. Я извлекаю монеты по одной наугад до извлечения 50 копеечной монеты. Какую сумму в среднем я извлеку? Задача 4.50. Модница В шкатулке у Маши 100 пар сережек. Каждый день утром она выбирает одну пару наугад, носит ее, а вечером возвращает в шкатулку. Проходит года) Сколько в среднем пар окажутся ни разу не надетыми? б) Сколько в среднем пар окажутся одетыми не менее двух разв) Как изменятся ответы, если каждый день Маша покупает себе новую пару сережек и вечером добавляет ее в шкатулку? Задача 4.51. Две корзины, две игры В корзине А лежит 50 белых и 50 черных шаров. В корзину Б поместили 100 наугад выбранных шаров из корзины, где изначально лежали 100 белых и 100 черных шаров. Игра 1. Из корзины наугад извлекается один шар. Если он белого цвета, Вы получаете 100 рублей. Игра 2. Из корзины извлекаются все шары. За каждый белый шар Вы получаете 1 рубль. Сравните ожидаемый выигрыши дисперсию выигрыша для четырах случаев: а) Игра 1 с корзиной А а) Игра 1 с корзиной Б а) Игра 2 с корзиной А а) Игра 2 с корзиной Б Задача 4.52. В магазине продается 50 видов конфет. Каждый из 10 покупателей покупает один вид конфет, вы ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 32 бираемый наугад. Сколько видов конфет будет в среднем куплено? Задача 4.53. На отрезке выбирается равномерно и независимо друг от друга 𝑛 точек. Они разбивают отрезок на + 1) часть. а) Верно ли, что длины полученных частей одинаково распределены? б) Чему равна ожидаемая длина самого левого части? в) После разбития отрезка на (𝑛+1) часть еще одна точка равномерно выбирается на отрезке. Какова средняя длина части, в которую она попадает? Задача 4.54. На кольцевой автодороге вокруг города 𝑁 есть единственный сервис-центр. Вася и Петя, гости города 𝑁, независимо друг от друга сломались в разных точках кольца и не могут определить свое местоположение на кольце. Поэтому автосервис высылает два транспортировщика, одного почасовой стрелки, другого - против часовой стрелки. Каждый буксир едет до ближайшей сломавшейся машины. Обозначим 𝐿 - суммарное расстояние, которое проедут буксиры от сервис центра до Пети и Васи. а) Найдите б) Найдите функцию плотности в) Верно ли, что данная стратегия (посылать две машины в разные стороны) минимизирует мат. ожидание и дисперсию расходов сервиса на бензин? (предполагается, что возвращаются машины кратчайшим путем) Задача 4.55. Пусть 𝑋 1 ,... независимы и имеют функцию распределения 𝐹 (𝑡). Обозначим ˆ 𝐹 (𝑡) - долю величин, оказавшихся не выше а) Найдите 𝐸( ˆ 𝐹 (𝑡)) , 𝑉 𝑎𝑟( ˆ 𝐹 (𝑡)) , 𝐶𝑜𝑣( ˆ 𝐹 (𝑡), ˆ 𝐹 (𝑠)) Задача 4.56. Экстрасенс дед Агнав угадывает результат выпадения правильной монетки с вероятностью 𝑝. Монетку подбрасывают 𝑛 раз. За верное угадывание жюри ему выплачивает 1 рубль, причем, если дед Агнав угадывает 𝑘 раз подряд, то при каждом угадывании выплата растет на 1 рубль. Например, если результат угадываний имеет вид +, +, −, −, +, −, +, +, +, то дед Агнав получит + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 = 10 рублей. а) Чему равен ожидаемый выигрыш? б) Чему равна дисперсия выигрыша aops, t=194628 Задача 4.57. Вовочка получает пятерку с вероятностью 0.1, четверку - с вероятностью 0.2, тройку - с вероятностью- 0.3 и двойку с вероятностью 0.4. В этом четверти он писал 20 контрольных. Сколько разных оценок он в среднем получит? Задача 4.58. В коробке лежат разноцветные шарики. Всего 𝑐 цветов, и ℎ шариков каждого цвета. Вовочка достает шарики из коробки по одному в случайном порядке. Если цвет шарика совпадает с цветом предыдущего, то Вовочка кричит «Ого!!!». |