Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
, 𝐸(𝑋|𝑌 ). Верно ли, что величины 𝑋 и 𝑌 являются независимыми? Задача 17.27. Пусть 𝑋 равновероятно принимает значения -1, 0, +1. а) Найдите 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ), если 𝑌 = б) Верно ли, что 𝑋 и 𝑌 независимы? Ответ: 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ) = 0, 𝑋 и 𝑌 зависимы Задача 17.28. Пусть 𝑋 и 𝑌 независимы и имеют одинаковый закон распределения. Св. 𝑋 равновероятно принимает натуральные значения от 1 до 3. Найдите закон распределения суммы (𝑋 + 𝑌 Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. и 𝑌 независимы и равномерны на отрезке [0; 1]. a) Найдите функцию плотности 𝑍 = 𝑋 + 𝑌 б) Найдите функцию плотности 𝑍 = 𝑋𝑌 Задача 17.30. Найдите 𝑐, частные функции плотности и 𝑝 𝑌 (𝑡) , 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌 ), 𝐸(𝑋 · 𝑌 ), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ) а) 𝑝(𝑥, 𝑦) = {︂ 𝑐 · (𝑥 + 𝑦), 𝑖𝑓 𝑥 ∈ [1; 2] , 𝑦 ∈ [0; 2] 0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 ; б) 𝑝(𝑥, 𝑦) = {︂ 𝑐, 𝑖𝑓 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 1 0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 Задача 17.31. С точностью до константы найдите функцию плотности св. 𝑋. Верно ли, что 𝑋 и 𝑌 независимы? В б дополнительно найдите значение а) 𝑝 𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑐 · exp(− 𝑥 2 +𝑦 2 2 ) ; б) 𝑝 𝑋,𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑐 1+𝑥 2 +𝑥 2 𝑦 2 +𝑦 2 Задача 17.32. В треугольнике образованном точками 𝐴(0, 0), 𝐵(2, 0) и 𝐶(1, 1) ф. плотности имеет вида) 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑐(𝑥 + 2𝑦) ; б) 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑥𝑦 ; в) 𝑝(𝑥, 𝑦) = Вне треугольника плотность равна нулю. Найдите 𝑐, и 𝑝 𝑌 (𝑡) , 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌 ), 𝐸(𝑋 · 𝑌 ). Задача 17.33. Возможно ли, что 𝑈 = 𝑋 + 𝑌 , 𝑋 и 𝑌 - iid, а 𝑈 - равномерна на [0; 1]? Задача 17.34. Внутри круга радиуса 1 равномерно выбирается точка. Пусть 𝑋 и 𝑌 - ее абсцисса и ордината. Найдите совместную функцию плотности 𝑝(𝑥, 𝑦), частную функцию плотности 𝑝(𝑥), условную функцию плотности 𝑝(𝑥|𝑦), 𝐸(𝑋|𝑌 ), 𝐸(𝑋 2 |𝑌 ) , 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 Являются ли 𝑋 и 𝑌 независимыми? Задача 17.35. Вася может получить за экзамен равновероятно либо 8 баллов, либо 7 баллов. Петя может получить за экзамен либо 7 баллов - с вероятностью 1/3; либо 6 баллов - с вероятностью 2/3. Известно, что корреляция их результатов равна Какова вероятность того, что Петя и Вася покажут одинаковый результат? Задача 17.36. Suppose X, Y are random variables with joint density 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎 3 𝑥𝑒 −𝑎𝑦 for 0 < 𝑥 < 𝑦 and 0 otherwise. a) What is the density of 𝑌 ? What is 𝐸(𝑌 )? b) What is 𝐸(𝑋|𝑌 = 1)? source: aops, t=177445 Задача 17.37. Пусть 𝑋 1 , 𝑋 2 , ..., 𝑋 𝑛 - iid 𝑈[0; а) Найдите функцию плотности для порядковой статистики б) Что изменится, если 𝑋 𝑖 - iid с функцией плотности 𝑝(𝑡) и функцией распределения 𝐹 (𝑡)? Solution: http://en.wikipedia.org/wiki/Order_statistic Задача 17.38. Рассмотрим кольцо, задаваемое системой неравенств 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ и 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4 . Случайным образом, равномерно на этом кольце, выбирается точка. Пусть 𝑋 и 𝑌 - ее координаты. а) Чему равна корреляция 𝑋 и 𝑌 б) Зависимы ли 𝑋 и 𝑌 ? Ответы: а) 0, т.к. и рост, и падение 𝑋 несут в себе одинаковую информацию об б) Зависимы, т.к. 𝑋 содержит информацию об Задача 𝑋 has a density 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −4 if 𝑥 > 1, and 0 otherwise. Now say 𝑋 1 , ..., 𝑋 16 are independent with density 𝑓. Let 𝑌 = (𝑋 1 𝑋 2 ...𝑋 16 ) 1/16 . Find 𝐸(𝑌 ) and 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 Задача X and Y are independent random variables with densities f and g, respectively: 𝑓 (𝑥) = 𝑒 −𝑥 if 𝑥 > 0 𝑔(𝑦) = 2𝑒 −2𝑦 if 𝑦 > 0 Calculate a density function for 𝑌/(𝑋 + 1) ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 82 Solution: We begin by considering the cumulative distribution function of 𝑍 = 𝑌/(𝑋 + 1): 𝐹 𝑍 (𝑧) = Pr [︀ 𝑌 𝑋+1 ≤ 𝑧 ]︀ = Pr[𝑌 ≤ 𝑧(𝑋 + 1)] = ∫︀ ∞ 𝑥=0 Pr[𝑌 ≤ 𝑧(𝑋 + 1)|𝑋 = 𝑥]𝑓 𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫︀ ∞ 𝑥=0 𝐹 𝑌 (𝑧(𝑥 + 1))𝑓 𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 . Since Y is exponentially distributed with mean 1/2, it follows that the CDF of Y is simply 𝐹 𝑌 (𝑦) = 1 − 𝑒 −2𝑦 . Hence 𝐹 𝑍 (𝑧) = ∫︀ ∞ 𝑥=0 (1 − 𝑒 −2𝑧(𝑥+1) )𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 1 − 𝑒 −2𝑧 1+2𝑧 . Therefore the density of Z is the derivative of the CDF, or 𝑓 𝑍 (𝑧) = 4𝑒 −2𝑧 (1+𝑧) (1+2𝑧) 2 Source: aops, t=187870 Задача 17.41. С.в. 𝑋 принимает значения 1 и 2 с вероятностями 0,3 и 0,7 соответственно. Св. 𝑌 принимает те же значения с вероятностями 0,5 и 0,5. Корреляция между 𝑋 и 𝑌 равна 𝑟. a) Найдите закон распределения величины 𝑍 = 𝑋𝑌 если 𝑟 = б) При каком 𝑟 значение 𝐸(𝑋𝑌 ) будет максимальным? Задача 17.42. Пусть величины 𝑋 и 𝑌 имеют совместную функцию плотности, 𝑦) = 1 4 (1 + 𝑥𝑦) , при |𝑥| < 1, |𝑦| < а) Верно ли, что 𝑋 и 𝑌 независимы? б) Верно ли, что и 𝑌 2 независимы? Задача 17.43. Пусть и независимы и имеют стандартное нормальное распределение величина 𝑌 независимо от равновероятно принимает значения 1 или -1. Пусть также 𝑍 𝑖 = 𝑌 а) Верно ли, что и 𝑍 2 независимы? б) Верно ли, что 𝑍 2 и 𝑍 2 2 независимы? Задача 17.44. Пусть совместный закон распределения 𝑋 и 𝑌 задан следующим образом 𝑝 −1,1 = 1 32 , 𝑝 −1,−1 = 𝑝 1,−1 = 𝑝 1,0 = 𝑝 0,1 = 3 32 , 𝑝 −1,0 = 𝑝 0,−1 = 5 32 , 𝑝 0,0 = 8 а) Верно ли, что 𝑋 и 𝑌 независимы? б) Верно ли, что и 𝑌 2 независимы? Задача 17.45. Пусть 𝑍 ∼ 𝑈[0; 2𝜋], 𝑋 = cos(𝑍), 𝑌 = а) Верно ли, что 𝑋 и 𝑌 независимы? б) Найдите 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 ) Задача 17.46. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(0; 1) и 𝑌 = 𝑋 2 − а) Верно ли, что 𝑋 и 𝑌 независимы? б) Найдите 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 ) Задача 17.47. Приведите пример таких 𝑋 и 𝑌 , что 𝑃 (𝑋 = 𝑌 ) = 0, однако 𝑋 и 𝑌 одинаково распределены. Задача 17.48. Приведите пример таких 𝑋, 𝑌 и 𝑍, что 𝑋 и 𝑌 одинаково распределены, аи имеют разное распределение. Задача 17.49. Пусть 𝑋 ∼ 𝑈[0; 1], 𝑌 = 1 − 𝑋, 𝑍 = |2𝑋 − 1|, с помощью этих величин определим также 𝑡𝑔 (︀ 𝜋𝑋 2 )︀ , 𝑌 1 = 𝑡𝑔 (︀ 𝜋𝑋 2 )︀ , 𝑍 1 = −2𝑡𝑔 (︀ 𝜋𝑋 2 )︀ , 𝑋 2 = 𝑡𝑔 (︀ 𝜋𝑋 2 )︀ , 𝑌 2 = 𝑡𝑔 (︀ 𝜋𝑌 2 )︀ , 𝑍 1 = −2𝑡𝑔 (︀ 𝜋𝑍 2 )︀ , a) Верно ли, что 𝑋, 𝑌 и 𝑍 одинаково распределены? б) Верно ли, что 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑌 1 , одинаково распределены? в) Верно ли, что и одинаково распределены? г) Найдите 𝐸(𝑋 1 + 𝑌 1 + и 𝐸(𝑋 2 + 𝑌 2 + 𝑍 2 ) . Почему они неравны Задача17.50.Пусть Ω = {𝜔 1 , ..., 𝜔 9 } , где 𝜔 1 ,...,𝜔 6 - перестановки чисел 1, 2 и 3, а 𝜔 7 = (1, 1, 1) , 𝜔 8 = (2, 2, 2) , 𝜔 9 = (3, 3, 3) . Пусть каждый исход имеет вероятность 𝑓𝑟𝑎𝑐19. Проведем одно испытания и определим величину 𝑋 𝑘 , равную тому числу, которое находится на месте с номером 𝑘, 𝑘 = 1, 2, а) Верно ли, что величины 𝑋 1 , и попарно независимы? б) Можно ли выразить через и Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Пусть 𝑋, 𝑌 , 𝑍 - независимы и равномерны на [0; Как распределена величина (𝑋𝑌 ) 𝑍 ? Задача 17.52. Пусть 𝑋, 𝑌 - независимы и равномерны на [0; 1]. Как распределена величина 𝑍 Задача that a race is run along a linear track and that the starting point S and ending point E are chosen randomly where S is uniform on [0, 1] and E is uniform on [8, 9]. Let L be the length of the race. Find the pdf of Задача independent random variables uniformly distributed in [0, 1]. How do you transform them, so that they stay uniformly distributed in [0, 1], but the correlation between them becomes 𝜌? source: Morgan Stanley interview, wilmott bteaser forum, carlitos, pavlinair, wb3517 Задача 17.55. Пусть 𝑋 и 𝑌 равномерны и одинаково распределены. Возможно ли, что их сумма будет равномерной? Аргументируйте ответ. Задача 17.56. Рассмотрим пару случайных величин 𝑋 и 𝑌 . 𝑋 задается таблицей 1 2 𝑃 𝑟𝑜𝑏 p (1-2p) А 𝑌 = а) При каких 𝑝 𝑋 = 𝑌 б) При каких 𝑝 𝑋 и 𝑌 одинаково распределены? в) Найдите 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ), 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 г) Чему равен предел 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 ) при 𝑝 → д) Вася считает, что при 𝑝 ≈ 0 величины 𝑋 и 𝑌 совпадают, поэтому корреляция должна быть близка к 1. Прокомментируйте Васино утверждение. Задача 17.57. Пусть 𝑋 и 𝑌 независимы и одинаково геометрически распределены с параметром а) Найдите 𝑃 (𝑋 ≥ 2𝑌 б) Найдите 𝑃 (𝑋 ≥ 𝑛𝑌 ) Задача 17.58. Пусть функция плотности 𝑋 и 𝑌 имеет вид 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 при 𝑥 ∈ [0; 1], 𝑦 ∈ [0; а) Какому условию должны удовлетворять 𝑎 и б) Найдите 𝐸(𝑋𝑌 в) Найдите 𝑃 (𝑋𝑌 < г) Найдите функцию плотности для 𝑍 = 𝑋𝑌 Задача 17.59. Пусть каждая из случайных величин 𝑋 и 𝑌 принимает только два значения. Известно также, что, 𝑌 ) = 0 . Можно ли утверждать, что случайные величины независимы? Задача 17.60. Пусть 𝑋 ∼ 𝑈[−2; 10], 𝑌 ∼ 𝑈[−5; Найдите 𝑃 (𝑚𝑎𝑥{𝑋, 𝑌 } > добавка как-то добавить зависимость (ковариацию)? Задача 17.61. Случайные величины 𝑋 и 𝑌 заданы двумерной функцией плотности 𝑝 𝑋,𝑌 (𝑡 1 , 𝑡 2 ) . Известно, что, 8) = 9 . Примерно найдите вероятность 𝑃 (𝑋 ∈ [4; 4.003] ∩ 𝑌 ∈ [7.999; 8]). Задача 17.62. Случайный процесс 𝐸 𝑡 - последовательность iid случайных величин, равновероятно равных 0 или. Процесс получен из процесса путем чередования знаков у ненулевых 𝐸 𝑡 . Знак первого ненулевого равновероятно заменяется либо на положительный, либо на отрицательный. Для примера ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 84 𝐸 𝑡 : 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1 𝑋 𝑡 : 0, -1, 0, 1, -1, 1, 0, -1, 0, 0, Найдите 𝐶𝑜𝑣(𝑋 𝑡 , 𝑋 𝑡−𝑘 ) Задача 17.63. Могут ли существовать 3 случайные величины, такие что корреляция между любыми двумя из них была бы отрицательной А 100 таких случайных величин? Задача 17.64. Пусть 𝑋 принимает значения 1, 2 и 3 равновероятно, а 𝑌 = а) Коррелированы ли 𝑋 и 𝑌 б) Если возможно придумайте величину 𝑍 коррелированную с 𝑋, ноне коррелированную с Комментарий в эконометрике в случае, если регрессор коррелирован с ошибкой, одним из методов решения является нахождение инструментальной переменной, коррелированной с регрессором и некоррелированной с ошибкой Задача 17.65. Пусть 𝑓 и 𝑔 - возрастающие функции. Докажите, что 𝐶𝑜𝑣(𝑓(𝑋), 𝑔(𝑋)) ≥ 0. 18 Смешанные распределения Задача 18.1. Пусть 𝑄 - случайная величина, принимающая значения на [0; 1] и имеющая функцию плотности) = Вася узнает значение 𝑄 и изготавливает монетку, выпадающую орлом сданной вероятностью. Затем он передает монетку Пете. Петя знает 𝑝(𝑡), ноне знает, какое конкретно значение приняло 𝑄. Петя подкидывает монетку иона выпадает орлом. Как Пете следует подправить свое мнение 𝑝 𝑄 (𝑡) ? Те. найдите условную функцию плотности 𝑝 𝑄 (𝑡| монетка выпала орлом). Задача 18.2. Петя сообщает Васе значение величины 𝑋 ∼ 𝑈[0; 1]. Вася изготавливает неправильную монетку, которая выпадает орлом с вероятностью 𝑋 и подкидывает ее 20 раза) Какова вероятность, что выпадет ровно 5 орлов? б) Каково среднее количество выпавших орлов Дисперсия? Задача 18.3. C.в. 𝑋 ∼ 𝑈[0; 1]. Вася изготавливает неправильную монетку, которая выпадает орлом с вероятностью и передает ее Пете. Петя не знает 𝑥. Он подкинул монетку один раз. Она выпала «орлом». Какова вероятность того, что она снова выпадет орлом Как выглядит ответ, если Пете известно, что монетка при 𝑛 подбрасываниях 𝑘 раз выпала орлом? Подсказка: задача 16.3. Задача 18.4. Петя сообщает Васе значение случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0; 4]. С вероятностью 1 Вася возводит Петино число в квадрата с вероятностью прибавляет к Петиному числу 4. Обозначим результат буквой 𝑌 Найдите 𝑃 (𝑌 < 4) и функцию плотности случайной величины 𝑌 Вася выбирает свое действие независимо от Петиного числа. Задача 18.5. Допустим, что оценка 𝑋 за экзамен распределена равномерно на отрезке [0; 100]. Итоговая оценка 𝑌 рассчитывается по формуле 𝑌 = ⎧ ⎨ ⎩ 0, 𝑖𝑓 𝑋 < 30 𝑋, 𝑖𝑓 𝑋 ∈ [30; 80] 100, 𝑖𝑓 𝑋 > Найдите 𝐸(𝑌 ), 𝐸(𝑋 · 𝑌 ), 𝐸(𝑌 2 ) , 𝐸(𝑌 |𝑌 > Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Рассмотрим треугольник с вершинами (0; 0), (1; 0) и (1; 1). Точка 𝐴 выбирается равномерно на границе треугольника (не внутри треугольника. Пусть 𝑋 и 𝑌 - абсцисса и ордината получившейся точки. а) Найдите 𝐸(𝑋𝑌 ), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 б) Тот же вопрос, если точка 𝐴 выбирается равномерно внутри треугольника Данетки Задача 19.1. Известно, что 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 ) > 0. Верно ли, что 𝐸(𝑋𝑌 ) > 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌 )? Задача 19.2. Сумма двух нормальных независимых случайных величин нормальна? Задача 19.3. Сумма любых двух непрерывных случайных величин непрерывна? Задача 19.4. Нормальная случайная величина может принимать отрицательные значения? Задача 19.5. Пуассоновская случайная величина является непрерывной? Задача 19.6. Сумма двух независимых равномерно распределенных величин равномерна? Задача 19.7. Дисперсия суммы зависимых величин всегда больше суммы дисперсий? Задача 19.8. Дисперсия пуассоновской св. равна ее математическому ожиданию? Задача 19.9. Если 𝑋 - непрерывная свито 1) ? Задача 19.10. Теорема Муавра-Лапласа является частным случаем центральной предельной? Задача 19.11. Для любой случайной величины 𝐸(𝑋|𝑋 > 0) ≥ 𝐸(𝑋)? Задача 19.12. Если 𝑋 - случайная величина, то 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝑉 𝑎𝑟(16 − 𝑋)? Задача 19.13. Функция распределения случайной величины является неубывающей? Задача 19.14. Дисперсия случайной величины не меньше, чем ее стандартное отклонение? Задача 19.15. Для любой случайной величины 𝐸(𝑋 2 ) ≥ (𝐸(𝑋)) 2 ? Задача 19.16. Если ковариация равна нулю, то случайные величины независимы? Задача 19.17. Значение функции плотности может превышать единицу? Задача 19.18. Если события 𝐴 и 𝐵 не могут произойти одновременно, то они независимы? Задача 19.19. Для любых событий 𝐴 и 𝐵 верно, что 𝑃 (𝐴|𝐵) ≥ 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵)? Задача 19.20. Функция плотности может быть периодической? Задача 19.21. Для неотрицательной случайной величины 𝐸(𝑋) ≥ Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Если 𝑋 ∼ и 𝑌 ∼ 𝜒 2 𝑛+1 , 𝑋 и 𝑌 - независимы, тоне превосходит 𝑌 ? Задача 19.23. В тесте Манна-Уитни предполагается нормальность хотя бы одной из сравниваемых выборок? Задача 19.24. График функции плотности случайной величины, имеющей распределение симметричен относительно 0? Задача 19.25. Мощность больше у того теста, у которого вероятность ошибки города меньше? Задача 19.26. Если 𝑋 ∼ 𝑡 𝑛 , то 𝑋 2 ∼ 𝐹 1,𝑛 ? Задача 19.27. При прочих равных 90% доверительный интервал шире 95%-го? Задача 19.28. Несмещенная выборочная оценка дисперсии не превосходит квадрата выборочного среднего? Задача 19.29. Если гипотеза отвергает при ом уровне значимости, то она будет отвергаться и при ом уровне значимости? Задача 19.30. У распределения более толстые хвосты, чему стандартного нормального? Задача 19.31. P-значение показывает вероятность отвергнуть альтернативную гипотезу, когда она верна? Задача 19.32. Если статистика равна нулю, то значение также равно нулю? Задача 19.33. Если 𝑋 ∼ 𝑁(0; 1), то 𝑋 2 ∼ 𝜒 2 1 ? Задача 19.34. Пусть 𝑋 𝑖 - длина го удава в сантиметрах, а 𝑌 𝑖 - в дециметрах. Выборочный коэффициент корреляции между этими наборами данных равен 10 ? Задача 19.35. Математическое ожидание выборочного среднего не зависит от объема выборки, если одинаково распределены? Задача 19.36. Зная закон распределения 𝑋 и закон распределения 𝑌 можно восстановить совместный закон распределения пары (𝑋, 𝑌 )? Задача 19.37. Если ты отвечаешь на 10 данеток наугад, то число правильных ответов - случайная величина, имеющая биномиальное распределение с дисперсией 4? Задача 19.38. Если 𝑃 (𝐴) > 0 и 𝑃 (𝐴 𝑐 ) > 0 , то 𝐸(𝑋) = 𝑃 (𝐴) · 𝐸(𝑋|𝐴) + 𝑃 (𝐴 𝑐 ) · 𝐸(𝑋|𝐴 𝑐 ) ? Задача 19.39. Если закон распределения величины 𝑋 задан табличкой Вероятность 0.5 0.5 , то- нормально распределена. Задача 19.40. Если события 𝐴 и 𝐵 независимы, события 𝐵 и 𝐶 независимы, то события 𝐴 и 𝐶 независимы Задача 19.41. Если события 𝐴 и 𝐵 несовместны, события 𝐵 и 𝐶 несовместны, то события 𝐴 и 𝐶 несовместны Задача 19.42. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Если 𝑃 (𝐴) > 𝑃 (𝐵) то 𝑃 (𝐴|𝐵) > 𝑃 (𝐵|𝐴) Задача 19.43. Если величины 𝑋 и 𝑌 одинаково распределены и 𝑃 (𝑋 = 𝑌 ) = 0.9999, то корреляция 𝑋 и 𝑌 близка к единице Несортировано Задача 20.1. Гладиаторы На арене две команды гладиаторов, 𝐴 и 𝐵. Каждый гладиатор обладает определенной силой, неизменной походу игры. В команде 𝐴 всего гладиаторов с силами {𝑎 𝑖 } 𝑁 𝐴 𝑖=1 , в команде 𝐵 - гладиаторов с силами {𝑏 𝑖 } 𝑁 𝐵 𝑖=1 . Игра проходит в виде последовательных турниров, в каждом из которых участвует по одному гладиатору от каждой стороны. Если в очередном турнире встречаются гладиаторы с силами 𝑎 и 𝑏 , то вероятность победы первого определяется величиной. Гладиатор, проигравший турнир, выбывает из игры, выигравший - возвращается в команду. Исходы турниров независимы. Это означает, что гладиаторы не устают, но и не приобретают опыта. Стратегия команды предписывает, какого гладиатора выдвигать на очередной турнир в зависимости текущего состава команды. Игра ведется до полного выбывания из игры одной из команда) Зависит ли вероятность победы команды 𝐴 от используемой стратегии Если Высчитаете, что да, то укажите оптимальную стратегию если нетто докажите. б) Допустим, что при выборе гладиатора для очередного турнира команда может учитывать не только свой собственный текущий состав, но и состав команды-соперника. Соответственно изменяется и понятие стратегии. Будет ли зависеть вероятность победы команды от стратегии в этом случае? Задача 20.2. Парадокс гладиаторов-вампиров. В отличие от обычного гладиатора, у победившего гладиатора-вампира сила увеличивается насилу побежденного им гладиатора-вампира. В остальном правила поединка такие же, как в предыдущей задаче. Зависит ли вероятность победы команды 𝐴 от используемой стратегии? Задача 20.3. Двумерное случайное блуждание Выходя изначала координат 0, частица с равной вероятностью сдвигается на один шаг либо на юг, либо на север, и одновременно (и тоже с равной вероятностью) на один шаг либо на восток, либо на запад. После того как шаг сделан, движение продолжается аналогичным образом из нового положения итак далее до бесконечности. Какова вероятность того, что частица когда-нибудь вернется в начало координат? Задача 20.4. Трехмерное случайное блуждание Как ив предыдущей задаче, частица выходит изначала координат 0 в трехмерном пространстве. Представим себе точку 0 как центр куба со стороною длины 2. За один шаг частица попадает в один из восьми углов куба. Поэтому при каждом шаге частица с равной вероятностью сдвигается на единицу длины вверх или вниз, на восток или на запад, на север или на юг. Какова доля частиц, |