Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
б) Сколько в среднем магазинов будет посещено при использовании оптимальной стратегии? в) Чему равны ожидаемые издержки покупателя (цена+издержки посещения магазинов)? г) Чему равна ожидаемая цена покупки? д) Верно ли, что зависимости от 𝑐 и 𝑀 имеют ожидаемый знаке) Что изменится, если предположить, что цена в посещенных магазинах не меняется и покупатель имеет возможность вернуться в уже посещенный магазин? Задача 12.33. Автомат с кофе и горячим шоколадом Горячий шоколад в автомате стоит 15 рублей. Автомат принимает монеты достоинством 1 рубль, рубля и 5 рублей. У меня на руках имеется одна пятирублевая, три двухрублевых и четыре рублевых монеты. Каждая монета может застрять в автомате с вероятностью 𝑝. Застрявшая монета не засчитывается и обратно не выдается. Я хочу купить горячий шоколад или по крайней мере минимизировать средние потери вызванные застреванием монеты. а) В каком порядке нужно бросать монеты? б) Какими должны быть вероятности застревания монет, чтобы мне было безразлично в каком порядке их кидать? Задача 12.34. Кинотеатр обещает вручить приз первому человеку в очереди, чей день рожденья совпадает с днем рождения кого-нибудь из впереди стоящих. Допустим, что Вы можете выбрать любое место в очереди. Какое Вы бы выбрали? Задача 12.35. Mahler’s theorem and Теорема Малера (1953) утверждает, что для любых натуральных 𝑝 > 1 и 𝑞 > 1 выполняется неравенство. У Вас 1 рубль. Теперь представим, что выделаете ставки на очень отдаленные цифры числа 𝜋. Те. казино выбирает, с какого знака числа 𝜋 начинается игра. Вызнаете выбор ТВИМС-задачник. Демешев Борис. казино, но это число настолько велико, что Ваших вычислительных возможностей не хватает на вычисление этих знаков. Выставите любое количество денег из имеющихся у Вас на любую цифру. Можно поставить на несколько цифр сразу, можно делать сколь угодно мелкую ставку. Ставка сделанная на верную цифру возвращается в 10 кратном размере. Ставка сделанная на неверную цифру уходит к казино. Можете ли Вы гарантировать себе выигрыш в долгосрочном периоде? Задача 12.36. Известно, что 𝑃 (𝑋 ∈ (−1; 3)) = 0 и 𝐸(𝑋) = 0. Чему равна минимально возможная дисперсия 𝑋? Задача 12.37. В киосках продается «открытка-подарок». На открытке есть прямоугольник размером 2 на 7. В каждом столбце в случайном порядке находятся очередная буква слова подарок и звездочка. Например, вот так: П * * АО КОД Р * Прямоугольник закрыт защитным слоем, и покупатель не видит, где буква, а где - звездочка. Следует стереть защитный слой водном квадратике в каждом столбце. Можно попытаться угадать любое число букв. Если открыто 𝑛 > 0 букв слова подарок и не открыто ни одной звездочки, то открытку можно обменять на 50 · рублей. Если открыта хотя бы одна звездочка, то открытка остается просто открыткой. а) Какой стратегии следует придерживаться покупателю, чтобы максимизировать ожидаемый выигрыш б) Чему равен максимальный ожидаемый выигрыш? Задача 12.38. В забеге участвуют две лошади, Метель и Пурга. Вася верит, что Метель побеждает с вероятностью. Петя верит, что Пурга побеждает с вероятностью 1/3. Каждый из них согласен участвовать в споре, если получают положительную ожидаемую прибыль. Можете ли вы гарантировать себе безрисковое получение 1 рубля? Задача 12.39. At a horse race, a horse named «Winner» has 25% chance to win and is posted at 4 to 1 odds. (For every dollar gambler bets, he receives $5 if horse wins and nothing if it loses). If gambler has square root utility function: What fraction of his money should he bet on Задача У Васи имеется стартовый капитал в 100 рублей. Вася может сделать любую ставку в рамках своего капитала. Вероятность выигрыша 𝑝. В случае выигрыша Вася получает свою ставку обратно в удвоенном размере, в случае проигрыша - теряет ставку. а) Какую часть капитала нужно поставить чтобы максимизировать ожидаемый выигрыш? б) Какую часть капитала нужно поставить, чтобы максимизировать ожидаемый логарифм своего итогового капитала? Задача 12.41. Say we have 4 multiple choice questions with 4 choices each. The answers are marked a,b,c,d. We are told that the right answer to each question has a different mark. I mean, one of the answer is a, one is b, one is c, and one is d. The subject is marine biology and we have no idea what the right answers are. a) Is there a way to get a better expected score than by just random guessing? b) What strategy minimize variance of score? Задача Call Alice tries to call Bob, who is not at home now. For every second, Bob has a probability p of comming back home, and he won’t leave once he is back. Alice will lose c dollars per second until she finally reaches ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 64 Bob through his home-phone. Each phone call costs Alice D dollars, even if nobody answers it. How should she arrange her calls? (Assume Bob immediately picks up the phone when his home-phone rings if he is at home. Neglect the time of bell ringing.) Source: Chenyang’s Favorate Задача Coins There are two unfair coins. One coin has .7 probability head-up; the other has .3 probability head-up. To begin with, you have no information on which is which. Now, you will toss the coin 10 times. Each time, if the coin is head-up, you will receive $1; otherwise you will receive $0. You can select one of the two coins before each toss. What is your best strategy to earn more money? Source: Chenyang’s Favorate Problems Задача 12.44. Вам сообщают 𝑛 чисел, вы хотите запомнить из них 100 типичных. Те. ваша задача отобрать чисел, так, чтобы у всех чисел шансы попасть в 100 отобранных были равны. Трудность состоит в том, что числа вам называют по одному и заранее неизвестно, сколько их окажется. А запомнить более 100 чисел вы не можете. Как отобрать числа? Решение: Первые 100 запоминаем. Число номер 𝑘 берем с вероятностью 1/𝑘, при этом равновероятно забываем одно из уже набранных. То, что процедура годится доказывается по индукции. Задача 12.45. Начинающая певица дает концерты каждый день. Каждый ее концерт приносит продюсеру тысяч евро. После каждого концерта певица может впасть в депрессию с вероятностью 0.5. Самостоятельно выйти из депрессии певица не может. В депрессии она не в состоянии проводить концерты. Помочь ей могут только цветы от продюсера. Если подарить цветы на сумму 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 тысяч евро, то она выйдет из депрессии с вероятностью √ 𝑥 Какова оптимальная стратегия продюсера? Solution: Рассмотрим совершенно конкурентный невольничий рынок начинающих певиц. Певицы в хорошем настроении продаются по 𝑉 1 , в депрессии - по 𝑉 2 𝑉 1 = 0.75 + 𝛿(0.5𝑉 1 + 0.5𝑉 2 ) 𝑉 2 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥 −𝑥 + 𝛿( √ 𝑥𝑉 1 + (1 − √ 𝑥)𝑉 2 ) Задача 12.46. Будучи незамужней Маша испытывает отрицательную полезность −𝑐 каждый день. Каждый день она знакомится с новым ухажером и может тут же выскочить за него замуж. Каждый ухажер характеризуется параметром 𝑋, полезностью, которую Маша получит вдень свадьбы с ним (а вы о чем подумали, 𝑋 распределено равномерно на [0; 1]. Ежедневная полезность Маши от замужнего состояния после дня свадьбы равна 0. Дисконт фактор (с которым дисконтируется Машина полезность) равен а) Как выглядит оптимальная стратегия Маши, если она выбирает мужа на всю жизнь? б) Как выглядит оптимальная стратегия Маши, если она легко может развестись? Задача 12.47. На заводе никто не работает, если хотя бы у одного работника день рождения. Сколько нужно нанять работников, чтобы максимизировать ожидаемое количество рабочих человеко-дней? sol: 𝐸(𝑋) = 365 · 𝑛 · (︀ 364 365 )︀ 𝑛 𝑙𝑛(𝐸(𝑋) = 𝑐 + 𝑙𝑛(𝑛) + 𝑛𝑙𝑛(364/365) FOC: 1/𝑛 + 𝑙𝑛(364/365) = 0 Approx. FOC: 1/𝑛 − 1/365 = 0, 𝑛 = Задача gambler has no money, but the host of the casino generously allows him to play 100 games of the following type. He may either (1) choose to accept one dollar with no risk or (2) choose an integer 𝑛 > 1, whereupon he wins 𝑛 dollars with probability 2 𝑛+1 or loses one dollar with probability 𝑛−1 𝑛+1 . He must have at least one dollar to choose option (2). What is an optimal strategy for the gambler if he wishes to leave with 200 dollars or more, and what is his probability of success using ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 65 that У Пети нет денег, но он может сыграть 100 игр следующего типа. В каждой игре Петя может по своему желанию либо без риска получить 1 рубль, либо назвать натуральное число 𝑛 > 1 и выиграть 𝑛 рублей с вероятностью 2 𝑛+1 или проиграть 1 рубль с вероятностью. Чтобы выбирать вторую альтернативу Петя должен иметь как минимум рубль. Пете позарез нужно 200 рублей. Как выглядит Петина оптимальная стратегия AMM E3219 by Daniel Rawsthorne Задача 12.49. Пусть независимы и равномерны на [0; 1]. Пете узнает значения последовательно. В любой момент Петя может сказать Стоп. Как только Петя сказал стоп он получает на руки сумму объявленных при условии, что эта сумма не превосходит единицу. В противном случае он получает ноль. а) Оптимальная стратегия Пети б) Оптимальная стратегия Пети, если игра продолжается 𝑛 шагов. Задача 12.50. Инвесторы. Два инвестора соревнуются. Изначально у каждого один рубль. Инвесторы одновременно выбирают способ вложения своего рубля. На рынке есть огромное количество ценных бумаг со всеми возможными законами распределения с нулевой средней прибылью. Другими словами, каждый инвестор может выбрать себе любую случайную величину 𝑋 св качестве результата инвестирования. Выигрывает тот, у кого окажется больше денег после инвестирования. Как выглядит оптимальная стратегия? Источник: Ferguson?. 13 Нормальное распределение, ЦПТ Задача 13.1. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(0; 1); 𝑍 равновероятно принимает значения 1 и −1; 𝑋 и 𝑍 независимы. Рассмотрим = 𝑋 · 𝑍 . Найдите: а) закон распределения 𝑌 б) 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 в) условное распределение 𝑋, если известно, что 𝑌 = г) верно ли, что 𝑋 + 𝑌 нормально? д) Что изменится, если 𝑃 (𝑍 = 1) = 1 − 𝑃 (𝑍 = −1) = е) Верно ли, что если 𝑋 ∼ 𝑁, 𝑌 ∼ 𝑁, 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 ) = 0, то 𝑋 + 𝑌 ∼ 𝑁? Задача 13.2. Пусть 𝑋 ∼ 𝑡 𝑛 . Как распределена величина 𝑌 = 𝑋 2 ? Задача 13.3. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(0; Найдите функцию плотности для 𝑍 = 1 𝑋 2 Задача 13.4. Пусть 𝑋 𝑖 - iid 𝑁(0; 1). Найдите 𝑃 (𝑋 2 1 + 𝑋 2 2 > 6.37 · (𝑋 2 3 + 𝑋 2 4 + 𝑋 2 5 )) Задача 13.5. Пусть 𝑋 𝑖 - iid 𝑁(0; а) Как распределена случайная величина 𝑋 1 |𝑋 2 | ? б) Найдите 𝑃 (︁ 𝑋 5 > 2.3 √︀𝑋 2 1 + 𝑋 2 2 + 𝑋 2 3 + 𝑋 2 4 )︁. Задача 13.6. Пусть 𝑌 ∼ и 𝑊 ∼ 𝑡 𝑛 . Найдите 𝐸(𝑌 ), 𝐸(𝑊 ) и т 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ). Задача 13.7. Найдите 𝑃 (𝑌 > 2), если 𝑌 = ∑︀ 9 𝑖=1 𝑋 2 𝑖 , а 𝑋 𝑖 - iid 𝑁(0; 1). Задача 13.8. Пусть имеет распределение с ю степенями свободы, а 𝑌 2 - распределение с ю степенями свободы, причем и независимы. Как распределена их сумма? Задача 13.9. На плоскости выбирается точка со случайными координатами. Абсцисса и ордината независимы и распределены 𝑁(0; 1). Какова вероятность того, что расстояние от точки до начала координат будет больше 2,45? Задача 13.10. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(0; 1). Найдите 𝑃 (𝑋 > 0, 5), 𝑃 (−1 < 𝑋 < 2), 𝑃 (𝑋 2 > 3) , 𝑃 (𝑋 < 0, 3), 𝑃 (|𝑋| < 0, Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(4; 9), 𝑌 ∼ 𝑁(−5; 16), 𝑍 ∼ 𝑁(20; 100) ; 𝑋, 𝑌 и 𝑍 - независимы. Найдите 𝑃 (𝑋 > 8), 𝑃 (𝑋 ∈ [1; 5]) , 𝑃 (𝑌 ∈ [−10; −3)), 𝑃 (𝑍 > 100), 𝑃 (𝑋 + 𝑌 > 3), 𝑃 (|𝑍| > 10), 𝑃 (4𝑌 + 𝑍 > 15). Задача 13.12. Монетку подбрасывают 1000 раз. Пусть 𝑆 - общее количество орлов. Найдите 𝑃 (𝑆 > 550), 𝑃 (𝑆 < 480) , 𝑃 (𝑆 < 400). Задача 13.13. Доходность акций компании А представляет собой св. 𝑋 ∼ 𝑁(50; 5 2 ) , а доходность акций компании — св. 𝑌 ∼ 𝑁(80; 9 2 ) . Определите вероятность того, что средний доход по пакету из восьми акций А и двух акций В составит не менее 75. Известно, что 𝐶𝑜𝑟(𝑋, 𝑌 ) = −0, 4. Задача 13.14. Страховая компания заключила 16000 договоров. В среднем страховой случай наступает у одного человека из 10. Пусть 𝑆 - количество наступивших страховых случаев. Найдите 𝑃 (𝑆 > 1800), 𝑃 (1550 < 𝑆 < 1650) , 𝑃 (𝑆 < 2000). Задача 13.15. Дневные расходы электроэнергии на предприятии - случайная величина, с матожиданием 1400 КВт и стандартным отклонением 50 КВт. Какова вероятность того, что задней средние дневные расходы будут меньше 1340 КВт больше 1500 КВт от 1300 КВт до 1500 КВт? Задача 13.16. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(( 2 3 ); ( 9 −1 −1 16 )) . Найдите 𝐸(𝑋 1 ) , 𝐸(𝑋 1 + 2𝑋 2 ) , 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 1 − 𝑋 2 ) , 𝑃 (𝑋 1 > 𝑋 2 ) , 𝑃 (2𝑋 1 + 𝑋 2 < 5) . Как распределена случайная величина при условии, что 𝑋 2 = 6 ? 𝑋 2 = −3 ? Задача 13.17. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(7; 16). Найдите 𝐸(𝑋|𝑋 > 11), 𝐸(𝑋|𝑋 < 10), 𝐸(𝑋|𝑋 ∈ [0; 10]). Задача 13.18. В большом-большом городе 𝑁 80% аудиокиосков торгуют контрафактной продукцией. Какова вероятность того, что в наугад выбранных 90 киосках более 60 будут торговать контрафактной продукцией менее 50? от 40 до 80? от 70 до 75? Задача 13.19. [ Айвазян, экзамен РЭШ] В поселке 2500 жителей. Каждый из них в среднем 6 разв месяц ездит в город, выбирая день поездки независимо от других людей. Поезд ходит в город один разв сутки. а) Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще 1 раза в 100 дней? б) Сколько в среднем человек будет ехать в таком поезде, если предположить, что при переполнении часть людей полностью откажется от поездки- индикатор того, едет ли сегодня 𝑖-ый человек) = 1 5 , 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 𝑖 ) = 2 5 𝑃 (𝑆 > 𝑣) = 0.01 𝑣−500 1000 = 2.33 𝑣 = 2830 ??? Задача 13.20. Маша никогда не готовится к зачетами экзаменами рассчитывает только на везение. Предположим, что Машина оценка - случайная величина, с матожиданием 5 баллов и стандартным отклонением балла. Какова вероятность того, что при сдаче 100 экзаменов Машин средний балл будет меньше больше 6? от 4,8 до 5,1? от 4,9 до 5? Задача 13.21. Количество опечаток в газете - св. с матожиданием 10 и дисперсией 25. Какова вероятность того, что по 144 газетам среднее количество опечаток не превысит 11? будет от 10 до 10,5? Будет больше меньше 20? Задача 13.22. [полезно запомнить] Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇; 𝜎 2 ) . Найдите 𝑃 (|𝑋 − 𝜇| > 2𝜎), 𝑃 (|𝑋 − 𝜇| > 3𝜎). Задача 13.23. Случайный вектор ( имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 2 −1 и ковариационной матрицей ( 9 −4, 5 −4, 5 25 ) . Найдите 𝑃 (𝑋 1 + 3𝑋 2 > 20) Задача 13.24. Пусть величины 𝑋 и 𝑌 имеют совместное нормальное распределение с нулевым средним, единичной дисперсией и корреляцией 𝜌. a) Представьте 𝑋 ив виде 𝑋 = 𝑎 𝑥1 𝑍 1 + 𝑎 𝑥2 𝑍 2 , 𝑋 = 𝑎 𝑦1 𝑍 1 + 𝑎 𝑦2 𝑍 2 , так, чтобы 𝑍 1 , имели нулевое среднее, единичную дисперсию и небыли бы коррелированы. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. б) Что представляет собой множество 𝑋 > 0 ∩ 𝑌 > 0 в осях (𝑍 1 , в) Чему равна вероятность 𝑃 (𝑋𝑌 > г) Постройте график 𝑃 (𝑋𝑌 > 0) как функции от 𝜌 Solution a) Можно так выбрать числа 𝑎, чтобы матрица 𝐴 была симметричной. б) Угол с градусной мерой 𝜃 = 𝜋 − в) 𝑃 (𝑋𝑌 > 0) = 𝜃/𝜋 Задача 13.25. Пусть величины 𝑋, 𝑌 , 𝑍 - имеют совместное нормальное распределение, с математическим ожиданием и некоей ковариационной матрицей Как зависит от 𝐵 вероятность 𝑃 (𝑋𝑌 𝑍 > Никак. Если рассмотреть величины −𝑋, −𝑌 , −𝑍, то у них такое же математическое ожидание и такая же ковариационная матрица. Значит 𝑃 (𝑋𝑌 𝑍 > 0) = 𝑃 ((−𝑋)(−𝑌 )(−𝑍) > 0). Но эти вероятности в сумме дают 1, значит они равны по 0.5. Задача 13.26. Пусть 𝑋 и 𝑌 независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Отметим точку с координатами) на плоскости. Пусть 𝑍 - квадрат расстояния до начала координата- угол с осью абсции. а) Как распределены 𝑍 и 𝑊 б) Независимы ли они? Ответы: 𝑍 ∼ 𝜒 2 2 , 𝑊 ∼ 𝑈[0; 2𝜋], независимы Задача 13.27. Ползи улитка по склону Фудзи, ползи улитка до самых высот. Басе (По склону горы Фудзи ползет улитка. Каждое утро она принимает решение либо ползти вверх (с вероятностью 0,9), либо целый день спать. Если улитка спит, то она во сне сползает вниз на 2 м. Какова вероятность того, что за полгода улитка достигнет вершины Фудзи? Тем, кто случайно забыл, напомним: Высота Фудзи - 3770 м. Скорость виноградной улитки - 7 см в минуту. Допустим, что приняв решение ползти вверх, улитка ползет вверх 7 часов, а остальное время любуется видами (не сползая при этом вниз). Задача 13.28. [Старый знакомый] Известна ф. плотности 𝑝 𝑋 (𝑡) = 𝑐 · exp(−8𝑡 2 + 5𝑡) . Найдите 𝐸(𝑋), Ответ выделяем полный квадрат, 𝐸(𝑋) = 5 16 , 𝜎 𝑋 = 1 4 Задача 13.29. Предположим, что каждый пятый горожанин предпочитает эскимо. Сколько горожан следует опросить, чтобы вероятность того, что выборочная доля горожан, предпочитающих эскимо, отличалась от истинной доли менее чем на 0,05, равнялась 0,8? Задача 13.30. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(0; 1). Выпишите ф. плотности 𝑝(𝑥|𝑋 > 1), 𝑝(𝑥|𝑋 < 1), 𝑝(𝑥|𝑋 ∈ [0; 1]). Задача 13.31. Пусть доналоговая прибыль предпринимателя равна 10𝑋 + 100, где 𝑋 ∼ 𝑁(0; 1). Если прибыль меньше 110, то налог отсутствует, если прибыль больше 110, то налог равен 10%. Найдите ожидаемую посленалоговую прибыль. Задача 13.32. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(10; 16). Найдите 𝑎 в случаях 𝑃 (𝑋 > 𝑎 + 1) = 0, 5, 𝑃 (|𝑋 − 10| < 𝑎) = 0, 25. Задача 13.33. Считая вероятность рождения мальчика равной 0,51, вычислите вероятность того, что среди новорожденных мальчиков будет больше, чем девочек. Задача 13.34. Пусть вероятность выпадения монетки орлом равна 0,63. a) Какова вероятность, что в 100 испытаниях выборочная доля выпадения орлов будет отличаться от истинной менее, чем на 0,07? b) Каким должно быть минимальное количество испытаний, чтобы вероятность отличия менее чем на 0,02 была больше 0,95? Задача 13.35. Каждый из 160 абонентов шлет в среднем 5 смс в сутки. Какова вероятность того, что за двое суток они пошлют в сумме более 1700 сообщений? Задача 13.36. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(0, а) Найдите функцию плотности |𝑋| ТВИМС-задачник. Демешев Борис. б) Найдите 𝐸(|𝑋|) (можно найти без функции плотности). Задача 13.37. Определите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если ее функция плотности имеет вид 𝑝(𝑡) = 𝑐 · exp(−2 · (𝑡 + 1) 2 ) Задача 13.38. Пусть 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 - iid, 𝑁(0; 1). Для св. 𝑌 = 𝑋 1 · 𝑋 3 + 𝑋 2 , 𝑊 = 𝑋 1 + 𝑋 2 /(|𝑋 3 | + 1) , 𝑄 = (𝑋 1 + 𝑋 2 )/(|𝑋 3 | + найдите условные ф. плотности 𝑝(𝑦|𝑥 3 ) , 𝑝(𝑤|𝑥 3 ) , 𝑝(𝑞|𝑥 3 ) Задача 13.39. Известно, что ln 𝑌 ∼ 𝑁(𝜇; 𝜎 2 ) . Найдите 𝐸(𝑌 ), 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ). Задача 13.40. Пусть 𝑋 ∼ 𝑁(0; 1). Найдите ф. плотности для 𝑌 = |𝑋|, 𝐸(𝑌 ). Верно ли, что max {𝑋, 0} = 0, 5(|𝑋| + 𝑋) ? Найдите 𝐸(max(𝑋, 0)). Как изменится ответ, если 𝑋 ∼ 𝑁(0; 𝜎 2 ) ? Задача 13.41. [т] Пусть ⃗ 𝑋 ∼ 𝑁 (( 2 3 ); ( 9 −1 −1 16 )) . Как выглядит (с точностью до константы) функция 𝑝(𝑥 1 |𝑥 2 ) ? Найдите 𝑎) Задача 13.42. Каждый день цена акции равновероятно поднимается или опускается на один рубль. Сейчас акция стоит 1000 рублей. Введем случайную величину 𝑋 𝑖 , обозначающую изменение курса акции за 𝑖 -ый день. Найдите и 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 𝑖 ) . С помощью центральной предельной теоремы найдите вероятность того, что через сто дней акция будет стоить больше 1030 рублей. Задача 13.43. Сейчас акция стоит 100 рублей. Каждый день цена может равновероятно либо возрасти на 8%, либо упасть на 5%. |