Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
Какова вероятность того, что 𝑖-ый по силе игрок дойдет до финала? Задача 1.58. A bag contains a total of N balls either blue or red. If 5 balls are chosen from the bag the prob all of them being blue is 1/2. What are the values of N for which this is Задача of two boxes contains both black and white marbles, and the total number of marbles in the two boxes is 25. One marble is taken out of each box randomly. The probability that both marbles are black is 27 50 . What is the probability that both marbles are white? Задача 1.60. [Баврин, Фрибус, Старинные задачи] Маша с подружкой гуляют в поле. Подружка предлагает погадать на суженого. Она зажимает в руке шесть травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу. Маша сначала связывает эти травинки попарно между собой сверху, а затем и снизу (получается три завязывания сверху и три завязывания снизу. Если при этом все шесть травинок окажутся связанными водно кольцо, то это означает, что Маша в текущем году выйдет замуж. Какие шансы у Маши? Комментарий: будем считать, что завязывание травинок в трилистник, восьмерку и прочие нетривиальные узлы также означает замужество. Задача 1.61. Геометрическое распределение. Кубик подбрасывают до первого выпадения шестерки. Св. 𝑁 - число подбрасываний. а) Найдите 𝑃 (𝑁 = 6), 𝑃 (𝑁 = 𝑘), 𝑃 (𝑁 > 10) и 𝑃 (𝑁 > 30|𝑁 > 20), б) Найдите 𝐸( 1 𝑁 ) Задача 1.62. Биномиальное распределение. Кубик подбрасывают 5 раз. Пусть 𝑁 - количество выпадений шестерки. Найдите 𝑃 (𝑁 = 3), 𝑃 (𝑁 = и 𝑃 (𝑁 > 4|𝑁 > 3), 𝐸(𝑁). Задача 1.63. Максимальная вероятность для биномиального распределения. Пусть 𝑋 распределена биномиально. Общее число экспериментов равно 𝑛, вероятность успеха в отдельном испытании равна а) Найдите 𝑃 (𝑋 = 𝑘)/𝑃 (𝑋 = 𝑘 − 1) ТВИМС-задачник. Демешев Борис. б) При каких 𝑘 дробь 𝑃 (𝑋 = 𝑘)/𝑃 (𝑋 = 𝑘 − 1) будет не меньше в) Каким должно быть 𝑘 чтобы 𝑃 (𝑋 = 𝑘) была максимальной? Задача 1.64. Известно, что предварительно зарезервированный билет на автобус дальнего следования выкупается с вероятностью 0,9. В обычном автобусе 18 мест, в микроавтобусе 9 мест. Компания «Микро», перевозящая людей в микроавтобусах, допускает резервирование 10 билетов на один микроавтобус. Компания «Макро», перевозящая людей в обычных автобусах допускает резервирование 20 мест на один автобус. У какой компании больше вероятность оказаться в ситуации нехватки мест? Задача 1.65. The psychologist Tversky and his colleagues say that about four out of five people will answer (a) to the following question: A certain town is served by two hospitals. In the larger hospital about 45 babies are born each day, and in the smaller hospital 15 babies are born each day. Although the overall proportion of boys is about 50 percent, the actual proportion at either hospital may be more or less than 50 percent on any day. At the end of a year, which hospital will have the greater number of days on which more than 60 percent of the babies born were boys? (a) the large hospital (b) the small hospital (c) neither (about the Дайте верный ответ и попытайтесь объяснить, почему большинство людей ошибается при ответе на этот вопрос. Задача 1.66. Из коробки с 4 синими и 5 зелеными шарами достают 3 шара. Пусть 𝐵 и 𝐺 - количество извлеченных синих и зеленых шаров. Найдите 𝐸(𝐵), 𝐸(𝐺), 𝐸(𝐵 · 𝐺), 𝐸(𝐵 − 𝐺). Задача 1.67. Вася играет в компьютерную игру - «стрелялку-бродилку». По сюжету ему нужно убить 60 монстров. На один выстрел уходит ровно 1 минута. Вероятность убить монстра с одного выстрела равна Количество выстрелов не ограничено. а) Сколько времени в среднем Вася тратит на одного монстра? б) Найдите дисперсию этого времени. в) Какова вероятность того, что Вася закончит игру меньше, чем за 3 часа? Задача 1.68. Кость подбрасывается 3 раза. Размер ставки - 1 рубль. Если шестерка не выпадает ни разу, то ставка проиграна, если шестерка выпадает хотя бы один раз, то ставка возвращается, плюс выплачивается выигрыш порублю за каждую шестерку. Найдите стоимость этой лотереи. Задача 1.69. Из колоды в 52 карты извлекаются две. Пусть 𝑋 - количество тузов. Найдите закон распределения, 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋). Задача 1.70. Иська пригласил трех друзей навестить его. Каждый из них появится независимо от другого с вероятностью 0, 9, 0, 7 и 0, 5 соответственно. Пусть 𝑁 - количество пришедших гостей. а) Рассчитайте вероятности 𝑃 (𝑁 = 0), 𝑃 (𝑁 = 1), 𝑃 (𝑁 = 2) и 𝑃 (𝑁 = б) Найдите 𝐸(𝑁) и 𝑉 Задача Neumann. Что делать, если монетка неправильная?] Имеется несправедливая монетка, выпадающая гербом с вероятностью. Под раундом будем подразумевать двукратное подбрасывание монеты. Проводим первый раунд. Если результат раунда - ГР (сначала герб, затем решетка, то считаем, что выиграл первый игрок. Если результат раунда - РГ, то считаем, что выиграл второй игрок. Если результат раунда - ГГ или РР, то проводим еще один раунд. Итак далее, пока либо не определится победитель, либо количество раундов не достигнет числа а) Найдите вероятности ничьей, выигрыша первого игрока, выигрыша второго игрока в зависи- ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 10 мости от 𝑛. Найдите пределы этих вероятностей при 𝑛 → +б) Как с помощью неправильной монетки сымитировать правильную? Задача 1.72. Grimmett, экзамен 1858 года St John’s College, Cambridge] A large quantity of pebbles lies scattered uniformly over a circular field; compare the labour of collecting them on by one: (i) at the center O of the field, (ii) at a point A on the Задача Назовем рублевой игрой с вероятностью 𝑝» игру, в которой игрок выигрывает 1 рубль с вероятностью и проигрывает один рубль с вероятностью (1 − Игра 𝐴 - это рублевая игра с вероятностью Игра 𝐵 состоит в следующем если сумма в твоем кошельке делится натри, то ты играешь в рублевую игру с вероятностью 0,05; если же сумма в твоем кошельке не делится натри, то ты играешь в рублевую игру с вероятностью Что будет происходить с ожидаемым благосостоянием игрока, если она) Будет постоянно играть в игру 𝐴? b) Будет постоянно играть в игру с) Будет постоянно играть 𝐴 или 𝐵 с вероятностью по 0,5? d) Придумайте «лохотрон» для интеллектуалов Задача 1.74. Parrondo - var A much simpler example is dealing cards from a well-shuffled deck. Suppose I get $14 if two cards in a row match in rank (two 2’s or two Kings for examples), and pay $1 if they don’t. The chance of two cards in a row matching is 1/17, so I pay $16 for each $14 I win. Now I play the same game, alternating the deal between two decks. Now the chance of two successive cards matching is 1/13, so I pay $12 for every $14 I win. Each game individually loses money, but alternate them and you win money. Eureka! We’re all rich. source: wilmott Задача 1.75. Триэль Три гусара 𝐴, 𝐵 и 𝐶 стреляются за прекрасную даму. Стреляют они по очереди (каждый стреляет в противника по своему выбору. 𝐴 попадает с вероятностью 0.1, 𝐵 - 0.5, 𝐶 - 0.9. Триэль продолжается до тех пор, пока в живых не останется только один) Какой должна быть стратегия 𝐴? b) У кого какие шансы на победу? Задача 1.76. Триэль-2 Три гусара 𝐴, 𝐵 и 𝐶 стреляются за прекрасную даму. Стреляют они одновременно, каждый стреляет в противника по своему выбору. 𝐴 попадает с вероятностью 0.1, 𝐵 - 0.5, 𝐶 - 0.9. Триэль продолжается до тех пор, пока в живых не останется только один или никого) Какой должна быть стратегия 𝐴? b) У кого какие шансы на прекрасную даму? Задача 1.77. В забеге участвует 12 лошадей. Каждый из 10 зрителей пытается составить свой прогноз для трех призовых мест. Какова вероятность того, что хотя бы один из них окажется прав? Задача 1.78. We throw 3 dices one by one. What is the probability that we obtain 3 points in strictly increasing order? Задача 1.79. Встретились 6 друзей. Каждый дарит подарок одному из других 5 человек. Какова вероятность того, что найдется хотя бы одна пара человек, которая вручит подарки друг ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 11 другу? Задача 1.80. Число 𝑥 выбирается равномерно на отрезке [0; 1]. Затем случайно выбираются числа из отрезка [0; до тех пор, пока не появится число больше а) Сколько в среднем потребуется попыток? б) Сколько в среднем потребуется попыток, если 𝑥 выбирается равномерно на отрезке [0; 𝑟], 𝑟 < в) Сколько в среднем потребуется попыток, 𝑥 выбирается неравномерно, а имеет функцию плотности) = 2(1 − для 𝑡 ∈ [0; 1]? Задача 1.81. Кубик подбрасывается 3 раза. Какова вероятность того, что сумма первых двух подбрасываний будет больше третьего? Задача 1.82. Случайные величины 𝑋, 𝑌 , и 𝑍 независимы и равномерны на [0; 1]. Какова вероятность того, что + 𝑌 > 𝑍 ? Задача 1.83. Есть 𝑁 монеток. Каждая из них может быть фальшивой с вероятностью 𝑝. Известно, сколько весят настоящие. Известно, что фальшивые весят меньше чем настоящие. Каждая фальшивая может иметь свое отклонение от правильного веса. Задача - определить, является ли фальшивой каждая монета. Предлагается следующий способ: Разбить монеты на группы по 𝑛 монет в каждой группе. Взвесить каждую группу. Если вес группы совпадает с эталонным, то вся группа признается настоящей. Если вес группы меньше эталонного, то каждая монеты из группы взвешивается отдельно. Предположим, что 𝑁 делится на 𝑛. Пусть 𝑋 - требуемое число взвешиваний) Найдите 𝐸(𝑋) b) При каком условии на 𝑝 и 𝑛 предложенный способ более эффективен чем взвешивание каждой монеты) Исследуйте поведение функции 𝐸(𝑋)/𝑁 от 𝑛 (есть ли минимум максимум и т.д.) Задача 1.84. В коробке лежат три монеты, достоинством в 10, 1 и 5 копеек соответственно. Они извлекаются в случайном порядке. Пусть 𝑋 1 , и 𝑋 3 - достоинства монет в порядке их появления из коробки. а) Верно ли, что и одинаково распределены? б) Верно ли, что и 𝑋 3 независимы? в) Найдите г) Найдите дисперсию ¯ 𝑋 2 = 𝑋 1 +𝑋 2 Задача couples and a single person are to be randomly placed in 5 seats in a row. What is the probability that no person that belongs to one of the couples sits next to his/her pair? Задача 1.86. Easy Пусть 𝑋 - сумма очков, выпавших в результате двукратного подбрасывания кубика. Найдите 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) Задача 1.87. «Масть» при игре в бридж Часто приходится слышать, что некто при игре в бридж получил на руки 13 пик. Какова вероятность, при условии, что карты хорошо перетасованы, получить 13 карт одной масти (Каждый из четырех игроков в бридж получает 13 карт из колоды в 52 карты.) Задача 1.88. Задача Банаха (Banach’s matchbox У Маши есть две коробки в каждой из которых осталось по 𝑛 конфет. Когда Маша хочет конфету она выбирает наугад одну из коробок и берет конфету оттуда. Рано или поздно Маша впервые откроет пустую коробку. В этот момент другая коробка содержит некоторое количество конфет. Обозначим ТВИМС-задачник. Демешев Борис. вероятность того, что в другой коробке ровно 𝑟 конфет) Найдите 𝑢 𝑟 b) Найдите вероятности того, что в тот момент, когда из одной коробки возьмут последнюю конфету (она только станет пустой, в другой будет находится ровно 𝑟 конфет) Найдите вероятность того, что коробка, которая была опустошена раньше, не будет первой коробкой открытой пустой. Задача 1.89. У диплоидных организмов наследственные характеристики определяются парой генов. Вспомним знакомые нам с го класса горошины чешского монаха Менделя. Ген, определяющий форму горошины, имеет две аллели А (гладкая) и а (морщинистая. А доминирует а. В популяции бесконечное количество организмов. Родители каждого потомка определяются случайным образом. Одна аллель потомка выбирается наугад из аллелей матери, другая - из аллелей отца. Начальное распределение генотипов имеет вид «АА» - 30%, «Аа» - 60%, «аа» - а) Каким будет распределение генотипов в ом поколении? б) Заметив закономерность, сформулируйте и докажите теорему Харди-Вайнберга для произвольного начального распределения генотипов. Задача 1.90. У диплоидных организмов наследственные характеристики определяются парой генов. Некий ген, сцепленный с полом, имеет две аллели Аи а. Те. девочка может иметь один из трех генотипов (АА, Аа, аа), а мальчик - только два (Аи а хромосома, определяющая мужской пол, короче и не содержит нужного участка. От мамы ребенок наследует одну из двух аллелей (равновероятно), а от отца либо наследует (тогда получается девочка, либо нет (тогда получается мальчик. «А» доминирует а. В популяции бесконечное количество организмов. Родители каждого потомка определяются случайным образом. а) Верно ли, что численность генотипов стабилизируется со временем? б) Известно, что дальтонизм является признаком, сцепленным с полом. Догадавшись, является ли он рецессивным или доминантным, определите, среди кого (мужчин или женщин) дальтоников больше? /проверить биологию/ Задача 1.91. (дописать) Наследование группы крови контролируется аутосомным геном. Три его аллеля обозначаются буквами А, В и 0. Аллели Аи В доминантны в одинаковой степени, а аллель 0 рецессивен по отношению к ним обоим. Поэтому существует четыре группы крови. Им соответствуют следующие генотипы: Первая (I) - Вторая (II) - АА, А0 Третья (III) - ВВ, В0 Четвертая (IV) - АВ Наследование резус-фактора кодируется тремя парами генов и происходит независимо от наследования группы крови. Наиболее значимый ген имеет два аллеля, аллель D доминантный, аллель d - рецессивный. Таким образом получаем следующие генотипы: Резус-положительный - DD, Dd Резус-отрицательный - Если у беременной женщины резус-отрицательная кровь, ау плода - резус-положительная, то есть риск возникновения гемолитической болезни (у матери образуются антитела к резус фактору, безвредные для нее, но вызывающие разрушение эритроцитов плода). Перед нами - два семейства Монтекки и Капулетти. Задача 1.92. [ Парадокс голосования] Пусть 𝑋, 𝑌 , 𝑍 - дискретные случайные величины, их значения попарно различны с вероятностью. Докажите, что ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 13 min {𝑃 (𝑋 > 𝑌 ), 𝑃 (𝑌 > 𝑍), 𝑃 (𝑍 > 𝑋)} ≤ 2 3 . Приведите пример, при котором эта граница точно до- стигается. Задача 1.93. [Williams, Пусть 𝑋 𝑖 - iid, такие что 𝑃 (𝑋 𝑖 = 𝑋 𝑗 ) = 0 . Обозначим 𝐸 𝑘 - событие состоящее в том, что 𝑋 𝑘 оказалась «рекордом», те. больше, чем все предыдущие 𝑋 𝑖 (𝑖 < 𝑘). Для определенности будем считать, что Ω a) Найдите 𝑃 (𝐸 𝑘 ) b) Верно ли, что независимы) Какова вероятность того, что второй рекорд будет зафиксирован в 𝑛-ый момент времени) Сколько в среднем времени пройдет до второго рекорда? Задача 1.94. На карточках написаны числа от 1 до 100. В левую руку Маша берет одну карточку, в правую - карточек. Какова вероятность того, что карточка в левой руке окажется больше каждой карточки из правой руки? Задача 1.95. Спящая красавица Спящая красавица согласилась принять участие в научном эксперименте. В воскресенье ее специально уколют веретеном. Как только она заснет будет подброшена правильная монетка. Если монетка выпадет орлом, то спящую красавицу разбудят в понедельники спросят о том, как выпала монетка. Если монетка выпадет решкой, то спящую царевну разбудят в понедельник, спросят о монетке, снова уколют веретеном, разбудят во вторники снова спросят о монетке. Укол веретена вызывает легкую амнезию, и красавица не сможет определить, просыпается ли она в первый разили во второй. Красавица только что проснулась. а) Какова вероятность того, что сегодня понедельник? б) Как следует отвечать красавице, если за каждый верный ответ ей дарят молодильное яблоко? в) Как следует отвечать красавице, если за неверный ответ ее тут же превращают в тыкву? [ Осторожно! Некорректные вопросы!] Задача 1.96. Monty Hell Сказка Ежедневно Кощей Бессмертный получает пенсию в размере 10 золотых монет. Сначала пенсионного возраста он аккуратно нумерует каждую полученную монету и кладет ее в Сундук. Ночью Мышка-Норушка крадет одну золотую монету из Сундука. а) Какова вероятность того, что 𝑖-ая монета когда-либо исчезнет из Сундука? б) Какова вероятность того, что хотя бы одна монета пролежит в Сундуке бесконечно долгов) Дни сокращаются в продолжительности (каждый последующий - в два раза короче, чем предыдущий. Сколько монет будет в сундуке в конце времени? Подсказка: (1 − 𝑥) ≤ 𝑒 −𝑥 Comment: А где надсказка? Задача 1.97. Птички на проводе-1 На провод, отрезок [0; 1], равномерно и независимо друг от друга садятся 𝑛 птичек. Пусть 𝑌 1 ,..., 𝑌 𝑛+1 - расстояния между птичками. а) Найдите функцию плотности 𝑌 1 , расстояния от левого столба до первой птички б) Верно ли, что все одинаково распределены? в) Верно ли, что все 𝑌 𝑖 независимы? Найдите 𝐶𝑜𝑣(𝑌 𝑖 , вроде бы ковариации равны?) г) Как распределена величина 𝑛 · при больших 𝑛? Почему? Задача 1.98. Птички на проводе [Marcin На провод, отрезок [0; 1], равномерно и независимо друг от друга садятся 𝑛 птичек. Мы берем ведро ТВИМС-задачник. Демешев Борис. желтой краски и для каждой птички красим участок провода от нее до ближайшей к ней соседки. Какая часть провода будет окрашена при больших 𝑛? Задача 1.99. В коробке находится четыре внешне одинаковых лампочки. Две из лампочек исправны, две - нет. Лампочки извлекают из коробки по одной до тех пор, пока не будут извлечены обе исправные. а) Какова вероятность того, что опыт закончится извлечением трех лампочек? б) Каково ожидаемое количество извлеченных лампочек? Задача 1.100. Спелестолог и батарейки У спелестолога в каменоломнях сели батарейки в налобном фонаре ион оказался в абсолютной темноте. В рюкзаке у него 8 батареек, 5 новых и 3 старых. Для работы фонаря требуется две новых батарейки. Спелестолог вытаскивает из рюкзака две батарейки наугад и вставляет их в фонарь. Если фонарь не начинает работать, то спелестолог откладывает эти две батарейки и пробует следующие и т.д. |