Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
at random. What is the probability that you can build a triangle from the three resulting pieces? Задача 7.32. У Васи листочек в клеточку размером 5 на 4. Вася наугад отмечает четыре различных узла (может отметить и крайние. Далее Вася закрашивает выпуклый четырехугольник, образованный этими вершинами. Какова вероятность того, получится прямоугольник со сторонами параллельными линиям сетки? Задача 7.33. На отрезке [0; 1] равномерно, независимо друг от друга выбираются 2 точки. Они разбивают отрезок натри части. Какова средняя длина наименьшей части? Задача 7.34. На окружности единичной длины случайным образом равномерно и независимо друг от друга выбирают два отрезка длины 0,3 и длины Найдите функцию распределения длины пересечения этих отрезков. Задача 7.35. К сфере единичного радиуса проведена касательная плоскость. На сфере случайным образом равномерно выбирается точка. а) Как распределено расстояние от точки до заданной плоскости? б) Возможно ли, что сумма нескольких равномерных величин тождественно равна константе? Задача 7.36. Find the probability that a point randomly selected (with uniform probability) within a regular n-sided polygon is closer to the center than any side of the polygon. source: wilmott, bt, Задача points are taken at random in a given circle, and a circle is passed through them. Find the probability that the circle through random points will be wholly in the given circle? Source: Walker Задача 7.38. Сосулька падает и разбивается на 𝑛 частей. Предположим, что (𝑛−1) точки разбития - это независимые случайные величины равномерно распределенные по всей длине сосульки. Какова вероятность, что из полученных кусков можно сложить многоугольник The broken spaghetti noodle, Carlos D’Andrea, Emiliano Gomez 8 Пуассоновские и экспоненциальные величины Задача 8.1. Число человек, заглянувших в магазин, распределено по Пуассону с параметром 𝜆. Каждый из посетителей делает покупку с вероятностью 𝑝. Как распределено число покупок? Задача 8.2. Пуассоновский курятник Число яиц 𝑋, которые снесет курочка Ряба, распределено по Пуассону с параметром 𝜆. Каждое яйцо оказывается золотым с вероятностью 𝑝. a) Как распределено количество золотых яиц, 𝐺? a’) Простых яиц, 𝑁? b) Какова вероятность того, что Ряба снесет хотя бы одно простое яйцо и ни одного золотого? в) Верно ли, что количество простых и золотых яиц независимы? с) 𝐸(𝐺|𝑋)? d) 𝐸(𝐺) e) 𝐸(𝑋|𝐺) Задача 8.3. Предположим, что кузнечики на большой поляне распределены по пуассоновскому закону сна квадратный метр. Какой следует взять сторону квадрата, чтобы вероятность найти в нем хотя бы одного кузнечика была равна 0, Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Маршруты Аи Б ходят независимо друг от друга. Вася приходит на остановку в случайным момент времени и садится в первый попавшийся. Сколько в среднем ему приходится ждать в случае: а) автобусы ходят регулярно, А через каждые 10 минут, Б - через каждые 15 минут б) время между двумя автобусами одного маршрута имеет экспоненциальное распределение, с ожиданием и 15 минут соответственно. Задача 8.5. Пусть 𝑁, количество телефонных звонков, поступающих в фирму за сутки, имеет распределение Пуассона с параметром 𝜆 = 5. Найдите 𝑃 (𝑁 = 3), 𝑃 (𝑁 > 3) и 𝑃 (𝑁 = 0), 𝐸(𝑁). Задача 8.6. Машины, проезжающие мимо поста ГИБДД на юг представляют собой пуассоновский поток событий с 𝜆 𝑆 = машин вдень. Машины, проезжающие на север - пуассоновский поток с 𝜆 𝑁 = машин вдень. Предположим, что эти потоки независимы. Каков средний интервал времени между машинами (без учета направления движения)? Задача 8.7. Дождь - пуассоновский поток (дождь - это и вправду поток) с параметром 𝜆 = 10 капель на квадратный метр в секунду. Масса капли - полграмма. Вася держит кастрюлю с площадью основания см. Ожидаемое количество воды за два часа Вероятность ни одной капли в течении 30 секунд? Задача 8.8. Маша и Саша пошли в лес по грибы 2 Саша собирает все грибы, а Маша - только подберезовики. Саша в среднем находит один гриб за одну минуту, Маша - один гриб за десять минут) Какова вероятность того, за 10 минут они найдут ровно 10 грибов) Какова вероятность того, что следующий гриб попадется позже, чем через минуту, если Маша только что нашла подберезовик? Задача 8.9. Оля и Юля пишут смс Маше. Оля отправляет Маше в среднем 5 смс в час. Юля отправляет Маше в среднем 2 смс в час. Какова вероятность того, что Маша получит ровно 7 смс за час Сколько времени в среднем проходит между смс, получаемыми Машей от подруг? Задача 8.10. Пост майора ГИБДД Иванова И.И. в среднем ловит одного нарушителя в час. Найдите вероятности событий. Два нарушителя появятся с интервалом менее 30 минут. Следующего нарушителя ждать еще более 40 минут, если уже целых три часа никто не превышал скорость. Задача 8.11. [т] Маленький мальчик торгует на улице еженедельной газетой. Покупает он ее по 15 рублей, а продает по 30 рублей. Количество проданных газет в неделю - св. с распределением Пуассона и средним значением равным 50. Пусть 𝑁 - оптимальное количество газет. Чему примерно должно быть равно значение функции распределения в точке 𝑁? С помощью компьютера найдите 𝑁. Задача 8.12. В магазине две кассирши (ах, да две хозяйки кассы. Допустим, что время обслуживания клиента распределено экспоненциально. Тетя Зина обслуживает в среднем 𝑎 клиентов в часа тетя Маша - 𝑏 . Два клиента подошли к кассам одновременно. а) Какова вероятность того, что тетя Зина обслужит клиента быстрее? б) Как распределено время обслуживания того клиента, который освободится быстрее? в) Каково условное среднее время обслуживания клиента тетей Зиной, если известно, что она обслужила клиента быстрее тети Маши? Задача 8.13. Times to gather preliminary information from arrivals at an outpatients clinic follow an exponential distribution with mean 15 minutes. Find the probability, for a randomly chosen arrival, that more than 18 minutes will be required. Задача 8.14. Пусть случайные величины 𝑋 и 𝑌 независимы и распределены по Пуассону с параметрами 𝜆 𝑋 = и 𝜆 𝑌 = соответственно. Найдите условное распределение случайной величины 𝑋, если известно, что 𝑋 + 𝑌 = 50. Задача 8.15. [Пуассоновское приближение] а) В гирлянде 25 лампочек. Вероятность брака для отдельной лампочки равна 0,01. Какова вероят- 2 Предполагается, что нахождение грибов, равно как отправка смс и нарушители представляют собой Пуассоновский поток событий ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 53 ность того, что гирлянда полностью исправна? б) По некоему предмету незачет получило всего 2% студентов. Какова вероятность того, что в группе из 50 студентов будет ровно 1 человек с незачетом? в) Вася испек 40 булочек. В каждую из них он кладет изюминку с 𝑝 = 0, 02. Какова вероятность того, что всего окажется 3 булочки с изюмом? Задача 8.16. Вася каждый день подбрасывает монетку 10 раз. Монетка с вероятностью 0,005 встает на ребро. Используя пуассоновскую аппроксимацию, оцените вероятность того, что задней монетка встанет на ребро ровно 3 раза. Задача 8.17. Страховая компания Ой заключает договор страхования от «невыезда» (невыдачи визы) с туристами, покупающими туры в Европу. Из предыдущей практики известно, что в среднем отказывают в визе одному из 130 человек. Найдите вероятность того, что из 200 застраховавшихся в Ой туристов, четверым потребуется страховое возмещение. Задача 8.18. Вася, владелец крупного Интернет-портала, вывесил на главной странице рекламный баннер. Ежедневно его страницу посещают 1000 человек. Вероятность того, что посетитель портала кликнет по баннеру равна 0,003. С помощью пуассоноского приближения оцените вероятность того, что за один день не будет ни одного клика по баннеру. Задача 8.19. Время устного ответа на экзамене распределено по экспоненциальному закону. В среднем на ответ одного студента уходит 10 минута) Какова вероятность того, что Иванов будет отвечать более получаса? б) Какова вероятность того, что Иванов будет отвечать еще более получаса, если он уже отвечает минут? в) Сколько времени в среднем длится ответ одного студента? Задача 8.20. Время между приходами студентов в столовую распределено экспоненциально в среднем за 10 минут приходит 5 студентов. Время обслуживания имеет экспоненциальное распределение в среднем за минут столовая может обслужить 6 студентов. а) Как распредено количество в очереди? б) Какова средняя длина очереди? Подсказка: если сейчас в очереди 𝑛 человек, то через малый промежуток времени 𝑑𝑡 в очереди может оказаться... Задача 8.21. Годовой договор страховой компании со спортсменом-теннисистом, предусматривает выплату страхового возмещения в случае травмы специального вида. Из предыдущей практики известно, что вероятность получения теннисистом такой травмы в любой фиксированный день равна 0,00037. Для периода действия договора вычислите а) Наиболее вероятное число страховых случаев б) Математическое ожидание числа страховых случаев в) Вероятность того, что не произойдет ни одного страхового случая г) Вероятность того, что произойдет ровно 2 страховых случая. Указанные вероятности вычислите двумя способам используя биномиальное распределение и распределение Пуассона. Задача 8.22. Showing independence Let X and Y be independent random variables with an exponential distribution with parameters 𝜆 1 and 𝜆 2 . Let 𝑈 = 𝑚𝑖𝑛{𝑋, 𝑌 } and 𝑉 = 𝑚𝑎𝑥{𝑋, 𝑌 }. Also, let 𝑊 = 𝑉 − 𝑈. Show that U and W are independent. source: aops, Задача representation Let 𝑋 𝑖 be iid random variables with exponential distribution of the same parameter 𝜆. Let 𝑌 𝑖 be the ordering of 𝑋 𝑖 , i.e. 𝑌 1 is the smallest value among 𝑋 𝑖 , 𝑌 2 is the second smallest and so on. Prove that the spacings 𝑌 1 , 𝑌 2 − 𝑌 1 , 𝑌 3 − 𝑌 2 ... are independent random variables with exponential ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 54 distribution with parameters 𝑛𝜆, (𝑛 − 1)𝜆, (𝑛 − 2)𝜆 ... source: aops, Задача arrival of buses at a given bus stop follows Poisson law with rate 2. The arrival of taxis at the same bus stop is also Poisson, with rate 3. What is the probability that next time I’ll go to the bus stop I’ll see at least two taxis arriving before a bus? Exactly two taxis? Задача 8.25. Пусть 𝑇 𝑘 - время наступления го события в Пуассоновском потоке с интенсивностью 𝜆, а 𝑁 𝑡 - количество событий, наступивших к моменту времени а) Как связаны 𝑃 (𝑇 𝑘 ≤ и 𝑃 (𝑁 𝑡 ≥ б) Найдите вероятность того, что будет меньше в) Найдите функцию плотности Задача 𝑇 1 and 𝑇 5 be the time of the first and fifth arrivals in a Poisson process with rate 𝜆. a) Find the conditional density of 𝑇 1 given that there are 10 arrivals in the time interval (0,1). b) Find the conditional density of 𝑇 5 given that there are 10 arrivals in the time interval (0,1). c) Recognize the answers to a) and b)! Hint A: Используйте то, что 𝑝 𝑇 𝑘 (𝑡|𝑁 1 = 10) = 𝑃 (𝑁 1 = 10|𝑇 𝑘 = 𝑡) 𝑝 𝑇𝑘 (𝑡) 𝑃 (𝑁 1 =10) Hint B: Используйте то, что условное распределение 𝑇 𝑘 - это распределение порядковой статистики Задача 8.27. Большой секрет Большой секрет знают 𝑛 человек. Беседы между 𝑖-ым и 𝑗-ым человеком являются Пуассоновским процессом с интенсивностью 𝜆. В каждой беседе эти люди, естестенно, говорят о Большом секрете. С вероятностью 𝑝 каждая беседа может стать достоянием общественности. Сколько в среднем пройдет времени прежде чем Большой секрет перестанет им быть Steele, Models for management secrets, Management science, vol. 35, no 2, 1989 Задача 8.28. Волшебный Сундук Если присесть на Волшебный Сундук, то сумма денег, лежащих в нем, увеличится в два раза. Изначально в Сундуке был один рубль. Предположим, что посадки на Сундук - Пуассоновский процесс с интенсивностью 𝜆. Каково ожидаемое количество денег в Сундуке к моменту времени 𝑡? Задача 8.29. Время работы телевизора «Best» до первой поломки является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Среднее время безотказной работы телевизора фирмы «Best» составляет лета) Какова вероятность того, что телевизор проработает более 15 лет? б) Какова вероятность, что телевизор, проработавший 10 лет, проработает еще не менее 15 лет? Задача 8.30. К продавцу воздушных шариков подходят покупатели мамы, папы и дети. Предположим, что это независимые Пуассоновские потоки с интесивностями 12, 10 и 6 чел/час. а) Какова вероятность того, что за час будет всего 30 покупателей? б) Какова вероятность того, что подошло одинаковое количество мам, пап детей, если за некий промежуток времени подошло ровно 30 покупателей? подсказка: сумма Пуассоновских потоков - Пуассоновский поток Задача 8.31. Пусть 𝑋 - распределена экспоненциально с параметром 𝜆 и 𝑎 > Как распределена величина 𝑌 = 𝑎𝑋? Задача 8.32. Бассейн объемом в 1 условный литр обновляется со скоростью 𝜆 литров в минуту. Теза минуту 𝜆 литров воды выливается и 𝜆 литров чистой воды наливается. Предположим, что вода идеально перемешивается ТВИМС-задачник. Демешев Бориса) Какая доля бассейна успевает обновиться за время б) Какова скорость изменения долив момент времени в) Объясните связь с экспоненциальным распределением. г) сколько будет жить в бассейне случайно выбранная капля. Задача 8.33. В бассейн с 6 дорожками пришло 12 человек. Если какой-нибудь человек замечает, что есть дорожка (не обязательно соседняя, более пустая, чем та, по которой он плавает, то он переплывает на нее. Предположим, что каждый человек замечает более пустую дорожку независимо от других не сразу, а через случайное время, распределенное экспоненциально с параметром 𝜆 = 1. Сначала все пришли на дорожку номер Сколько в среднем пройдет времени, прежде чем плавающие равномерно распределяться по бассейну, что поток посетителей ларька - Пуассоновский процесс с интенсивностью 𝜆 человек в час. Продавщица каждый день закрывает ларек на обед с 13:00 до 14:00, выходных нет. Сколько (в среднем) посетителей придут к закрытому ларьку за неделю, Expected number of sums in a given set, American Mathematical Monthly, Vol. 104, No 1 (Авторы Kotlarsky, Agnew, Schilling, Задача- имеет экспоненциальное распределение с параметром 𝜆 = 1. Как распределена величина 𝑋 2 ? Задача 8.36. И в воздух чепчики бросали. Всречая приезжающих из армии и от двора, 𝑛 женщин кричат «ура» и подбрасывают в воздух 𝑛 чепчиков (каждая свой. Ловят чепчики в случайном порядке. Как распределено количество женщин поймавших свой личный чепчик при большом 𝑛? 9 Компьютерные эксперименты Задача 9.1. Нарисуйте 3 реализации броуновского движения, используя 5, 10, 100 и 1000 слагаемых. Задача 9.2. В одной партии игрок выигрывает рублей с вероятностью 2 −𝑛 , 𝑛 ∈ N. Постройте 3 реализации зависимости среднего выигрыша от числа партий. Задача 9.3. Постройте график для riffle-shuffle Задача 9.4. Пусть 𝑋 1 , 𝑋 2 ,..., 𝑋 𝑛 - iid последовательность из 0 и 1. 𝑃 (𝑋 𝑖 = 1) = 𝑝 . Постройте эмпирический закон распределения длины самой длинной серии из единиц для 𝑛 = 20 и 𝑝 = Те. по горизонтали должно быть отложено 𝑖 = 0..20, а по вертикали, частота с которой самая длинная серия из единиц была длины 𝑖. Задача 9.5. Мыльная пленка Пьяница падает в канаву, где его штрафует милиционер Сосинский Задача 9.6. Сгенерите 1000 равномерно распределенных на отрезке [0; 1] св. 𝑋 𝑖 . Рассчитайте значения случайных величин и ˆ𝜎 2 . Сравните их си. Постройте гистограмму (эмпирическую функцию плотности) для полученных 1000 чисел. Задача 9.7. Две независимые равномерно распределенные св. делят отрезок [0; 1] натри части. Проведите подобный эксперимент по разделению отрезка 1000 раз. Постройте эмпирические функции плотности длин левой, средней и правой частей. Каков (эмпирический) вывод? Задача 9.8. Сгенерите 10 равномерно распределенных на отрезке [0; 1] св. Рассчитайте сумму 𝑋 = 𝑋 1 + ... + Повторите эксперимент 1000 раз. Постройте эмпирическую функцию плотности полученных 1000 ТВИМС-задачник. Демешев Борис. значений сумм. Задача 9.9. Проведя 1000 экспериментов на компьютере найдите 5%-ое пороговое значение статистики) и 𝑇 + (Wilcoxon Signed Rank Test, 𝑛 = 9) для двусторонней альтернативной гипотезы. Сравните его с асимптотическим. Задача 9.10. Пусть 𝑆 𝑛 = 𝑋 1 + 𝑋 2 + ... + 𝑋 𝑛 , где 𝑋 𝑖 равномерны и независимы. Отнормируйте так, чтобы среднее равнялось нулю, а дисперсия единице. Постройте график функции плотности отномированной на фоне нормальной функции плотности для 𝑛 = 2, 3, 4, 5, 6. 10 Компьютерные вычислительные Задача 10.1. Randomly draw from a dock of 26 red and 26 black cards, stop whenever you like and get paid by the number of red cards minus the number of black. what is the optimal stopping time and corresponding expected profit of the game. (maybe explicit solution?) source: wilmott, bt 11 Вероятностный метод Задача 11.1. [Williams, Для 𝑠 > 1 обозначим 𝜉(𝑠) = ∑︀ ∞ 𝑛=1 Рассмотрим случайную величину 𝑋 с 𝑃 (𝑋 = 𝑛) а) Докажите, что события {𝑋 делится на 𝑝} и {𝑋 делится на 𝑞} независимы, если 𝑝 и 𝑞 - два различных простых числа б) Докажите формулу Эйлера prime (1 − в) Найдите 𝑃 ({𝑋 не делится на квадрат ни одного простого числа} г) Найдите 𝑃 (𝑋 = 𝑥𝑘|𝑋 mod 𝑘 = д) Пусть св. 𝑌 имеет такое же распределение как и 𝑋, и они независимы. Пусть св. 𝐻 - наибольший общий делитель 𝑋 и 𝑌 . Найдите 𝑃 (𝐻 = 𝑛). Задача 11.2. В круге радиуса 16 выбрано 650 точек. Докажите, что существует кольцо с внутренним радиусом и внешним радиусом 3, которое содержит не менее 10 точек. Задача 11.3. [Grimmett, На сфере 10% точек окрашены белым, а остальные 90% - красным цветом. Форма окраски неизвестна. |