Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
a) Какова вероятность того, что через 60 дней цена будет больше 170 рублей? б) Чему равно ожидаемое значение цены через 60 дней? Задача 13.44. В среднем 20% покупателей супермаркета делают покупку на сумму свыше 500 рублей. Какова вероятность того, что из 200 покупателей менее 81% сделают покупку на сумму не более 500 рублей? Задача 13.45. В самолете пассажирам предлагают на выбор мясо или курицу. В самолет 250 мест. Каждый пассажир с вероятностью 0.6 выбирает курицу, и с вероятностью 0.4 - мясо. Сколько порций курицы и мяса нужно взять, чтобы с вероятностью 99% каждый пассажир получил предпочитаемое блюдо, а стоимость мяса и курицы для компании одинаковая? Как изменится ответ, если компания берет на борт одинаковое количество мяса и курицы = 170 , 𝑀 = 120 (симметричный интервал) или 𝐾 = 𝑀 = 168 (площадь с одного края можно принять за Вариант театр, два входа, два гардероба а) только пары, б) по одному Задача 13.46. The 3 mean selling price of new homes in a city over a year was 115000$. The population standard deviation was 25000$. A random sample of 100 new homes sales from this city was taken. What is the probability that the sample mean selling price was more than $ 110000? between $113000 and $117000?between $114000 and Задача number of hours spent studying by students on a large campus in the week before final exams follows a normal distribution with standard deviation 8,4 hours. A random sample of these students is taken to estimate the population mean number of hours studying. How large a sample is needed to ensure that the probability that the sample mean differs from the population mean by more than 2,0 hours is less Задача corporation receives 120 applications for positions from recent college graduates in business. Assuming that these applicants can be viewed as a random sample of all such graduates, what is the probability that between 35% and 45% of them are women if 40% of all recent college graduates in business are Задача video rental chain estimates that annual expenditures of members on rentals follow a normal distribution with mean $100. It was also found that 10% of all members spend more than $130 in a year. What percentage of members spend more than $140 in a Задача was found that 80% of seniors at a particular college had accepted a job offer before graduation. For those accepting offers, salary distribution was normal with mean $29000 and standard deviation $4000. 3 Problems are shamelessly borrowed from Newbold ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 69 For a random sample of sixty seniors, what is the probability that less than 70% have accepted job offers? For a random sample of six seniors who have accepted job offers, what is the probability that the average salary is more than $30000? A senior is chosen at random. What is the probability that he or she has accepted a job offer with a salary of more than $30000? Задача 13.51. Портфель страховой компании состоит из 1000 договоров, заключенных 1 января и действующих в течение года. При наступлении страхового случая по каждому из договоров компания обязуется выплатить 30 тыс. рублей. Вероятность наступления страхового события по каждому из договоров предполагается равной 0,05 и независящей от наступления страховых событий по другим контрактам. Каков должен быть совокупный размер резерва страховой компании для того, чтобы с вероятностью она могла бы удовлетворить требования, возникающие по указанным договорам? Задача 13.52. В данном регионе кандидата в парламент Обещаева И.И. поддерживает 60% населения. Сколько нужно опросить человек, чтобы с вероятностью 0,99 доля опрошенных избирателей, поддерживающих Обещаева И.И., отличалась от 0,6 (истинной доли) менее, чем на 0,01? Задача 13.53. Обозначим долю людей, предпочитающих мороженое с шоколадной крошкой буквой 𝑝. Чтобы оценить ее, Вася и Петя опросили 100 человек. Затем Вася ушел домой, а Петя опросил еще 200 человек. Какова вероятность того, что Васин результат будет отличаться от Петиного более, чем на четыре процентных пункта, если 𝑝 = При каком 𝑝 эта вероятность будет максимальной? Задача 13.54. На плоскости случайным образом выбираются 3 точки 𝐴, 𝐵 и 𝐶. Абсциссы и ординаты независимы и нормально стандартно распределены. Какова вероятность того, что 𝐶 лежит внутри круга с диаметром 𝐴𝐵? Solution: ...? Задача 13.55. Найдите 𝐸(𝑚𝑎𝑥{𝑋, 𝑌 }), где 𝑋 и 𝑌 нормально стандартно распределены и независимы. Задача 13.56. Data from a large population indicate that the heights of mothers and daughters in this population follow the bivariate normal distribution with correlation 0.5. Both variables have mean 5 feet 4 inches, and standard deviation 2 inches. a) Among the daughters of above average height, what percent were shorter than their mothers? b) Amont the daughters of above average height, what percent have an above average Можно проигнорировать среднее и дисперсию, тогда задача примет вид: 𝐷 и 𝑀 распределены 𝑁(0; 1) и имеют корреляцию Вопросили Можно взять требуемый двойной интеграл перейдя к полярным координатам maybe 13.24. be of use? Задача 13.57. Пусть и имеют совместное нормальное распределение, причем каждая 𝑋 𝑖 ∼ 𝑁 (0; 1) , а корреляция равна а) Выпишите в явном виде (без матриц) совместную функцию плотности б) Пусть 𝜌 = 0.5. Какое условное распределение имеет при условии, что 𝑋 2 = −1 ? Задача 13.58. Известно, что 𝑋 и 𝑌 нормальны в совокупности (вектор (𝑋, 𝑌 ) имеет двумерное нормальное распределение. Также известно, что 𝐸(𝑋+𝑌 ) = 10, 𝐸(𝑋−𝑌 ) = 30, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ) = 4 и 𝑉 𝑎𝑟(𝑋+𝑌 ) = а) Найдите 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌 ), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ), 𝐶𝑜𝑣(3𝑋, −6𝑌 ) и 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 б) Найдите 𝑃 (𝑋 − 2𝑌 > Ответы) 𝐸(𝑋) = 20, 𝐸(𝑌 ) = −10, 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ) = −1, 𝐶𝑜𝑣(3𝑋, −6𝑌 ) = 18 и 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 ) = − 1 4 b) 𝐸(𝑋 − 2𝑌 ) = 40, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 − 2𝑌 ) = 24 Задача 13.59. Пусть 𝑍 ∼ 𝑁(0, Докажите, что 𝐸 (︁ 𝑒 𝑦𝑍− 1 2 𝑦 2 1 {𝑍+𝑧≥0} )︁ = 𝐹 𝑍 (𝑦 + 𝑧) ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 70 Задача 13.60. Складывают 𝑛 чисел. Перед сложением каждое число округляют до ближайшего целого. Появляющуюся при этом ошибку можно считать равномерно распределенной на отрезке [−0.5; 0.5]. Определите, сколько чисел складывают, если с вероятностью получаемая сумма отличается от настоящей больше чем на 3 (в любую сторону). Задача 13.61. Let X follow a N(0,1), and let N be the cdf of X. Compute A = E(N(X+1)). Compute E(N(X)) (easy) Answer: Let 𝑛(𝑥) be the pdf of 𝑋, namely 1/√︀(2𝜋)𝑒𝑥𝑝(−𝑥 2 /2) 𝐴 = ∫︀ +∞ 𝑥=−∞ 𝑁 (𝑥 + 1)𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = int int n(y) n(x) dx dy, x = -infinity...infinity, y = -infinity .. x+1 = int F(x,y), (x,y) in D(x,y) where, F(x,y) = n(x)n(y), and D(x,y) is the domain of integration, i.e. (x,y) / y < x+1 Now, moving to polar coordinates, we see that... A = int 1/2pi exp(-r?/2) r dr dtheta, over a domain D’ ... the function being integrated does not depend on theta, i.e. is invariant by rotation. Coming back to cartesian coordinate, and rotating D yields: A = int F(x,y) over D”, where D” = (x,y), x > -sqrt(2)/2 and thus, A = 1- N(sqrt(2)/2). Задача 13.62. Пусть и независимы и равномерны на [0; 1]. 𝑋 1 = 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑈 1 ) √︀−2𝑙𝑛(𝑈 2 ) , 𝑋 2 = Как распределена пара и 𝑋 2 ? Задача 13.63. Пусть 𝑋 и 𝑌 стандартные нормальные независимые величины. Найдите вероятность того, что точка с координатами (𝑋, 𝑌 ) лежит внутри окружности радиуса 𝑡 с центром вначале координат. Ответ: 𝑝 = 1 − 𝑒 − 𝑡2 2 Задача 13.64. Эллипс рассеивания Пусть 𝑋 и 𝑌 - двумерно нормально распределены, 𝐸(𝑋) = 𝐸(𝑌 ) = 0, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ) = 1, 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ) = а) Зависимы ли 𝑋 + 𝑌 и 𝑋 − 𝑌 б) Придумайте итак, чтобы 𝑋 ′ = 𝑐 1 (𝑋 + 𝑌 и 𝑌 ′ = 𝑐 2 (𝑋 − 𝑌 были стандартными нормальными в) Найдите 𝑃 (𝑋 2 − 2𝑟𝑋𝑌 + 𝑌 2 𝑙𝑒𝑡 2 (1 − да помогут вами предыдущая задача) г) Изобразите множество 𝑋 2 − 2𝑟𝑋𝑌 + 𝑌 2 𝑙𝑒𝑎 2 (1 − на плоскости Ответы: а) нет б) 1 √ 2(1+𝑟) , 1 √ 2(1−𝑟) в) 𝑝 = 1 − 𝑒 − 𝑡2 2 Задача 13.65. Вася скачивает новый фильм объемом 1 гб с пиратского сайта. Скорость скачивания каждые 5 секунд меняется случайным образом. Средняя скорость скачивания равна 300 кб в секунду, стандартное отклонение скорости равно 20 кб. Какова вероятность того, что Вася будет скачивать фильм больше часа? (выверить цифры) добавка (идея разрывы связи - пуассоновский процесс (допустим, независимый от скорости) с параметром При разрыве связи надо начинать с начала. Сколько (в среднем) будет скачивать? Сколько (в среднем) будет разрывов связи? Задача 13.66. Дано: Трехмерное нормальное (ков. матрица, вектор средних. Найти условное распределение 𝑋 1 ТВИМС-задачник. Демешев Борис. при известных и 𝑋 3 14 Без эксперимента, свойства ожидания, дисперсии Задача 14.1. Случайная величина задана таблицей (𝜔 𝑖 ) 1 8 3 8 2 8 2 8 𝑋(𝜔 𝑖 ) 5 −3 Определите 𝑃 (𝑋 > 1), 𝑃 (𝑋 = 5), 𝑃 (𝑋 = 5|𝑋 > 0), 𝑃 (𝑋 > 0|𝑋 = 5), 𝑃 (𝑋 2 > 7) , 𝑃 (𝑋 3 < 0) , 𝑃 ( 1 𝑋−3 < 0) . Верно ли, что события 𝐴 = {|𝑋| > 2} и 𝐵 = {𝑋 > 0} являются независимыми? Задача 14.2. Случайная величина задана таблицей. 𝜔 𝑛 𝑃 (𝜔 𝑖 ) 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2 𝑛 𝑌 (𝜔 𝑖 ) 2 4 6 8 ... 2𝑛 Найдите 𝑃 (𝑌 > 14), 𝑃 (𝑌 2 > 100|𝑌 < 12) , 𝑃 (𝑌 < 5|𝑌 < 9), 𝑃 (2 𝑌 < 16) , 𝑃 (𝑌 2 > 𝑌 + 6) Задача 14.3. Как распределена сумма 𝑋 + 𝑌 ? Если: а) 𝑋 и 𝑌 независимы, распределены по Пуассону с ожиданием и б) 𝑋 и 𝑌 независимы, распределены биномиально с параметрами (𝑛 𝑋 , ив и 𝑌 независимы, распределены нормально с параметрами (𝜇 𝑋 , и (𝜇 𝑌 , 𝜎 2 𝑌 ) Задача 14.4. Пусть 𝑋 и 𝑌 одинаково распределены и независимы. Какой смысл имеет величина 2 𝐸[(𝑋 − 𝑌 Ответ 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) Задача 14.5. Придумайте случайную величину со средним значением 5 и дисперсией Подсказка можно ограничиться экспериментом с подбрасыванием правильной монетки. Задача 14.6. Пусть 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎 2 𝑥 , 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ) = 𝜎 2 𝑦 . В каких пределах может лежать 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌 Ответ [𝜎 2 𝑥 + 𝜎 2 𝑦 − 2𝜎 𝑥 𝜎 𝑦 ; 𝜎 2 𝑥 + 𝜎 2 𝑦 + 2𝜎 𝑥 𝜎 𝑦 ] Задача 14.7. а) С помощью неравенства Чебышева укажите границы в которых находится 𝑃 (|𝑋 − 𝐸(𝑋)| > б) Чему равна указанная вероятность, если 𝑋 нормально распределена? Предполагается, что 𝐸(𝑋) и 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) существуют. Задача 14.8. С помощью неравенства Чебышева, укажите границы, в которых находятся величины рассчитайте также их точное значение а) 𝑃 (−2𝜎 < 𝑋 − 𝜇 < 2𝜎), 𝑋 ∼ 𝑁(𝜇; 𝜎 2 ) b) 𝑃 (8 < 𝑋 < 12), 𝑋 ∼ 𝑈[0; 20] c) 𝑃 (−2 < 𝑋 − 𝐸(𝑋) < 2), 𝑋 - имеет экспоненциальное распределение с 𝜆 = 1 Задача 14.9. Известно, что случайная величина 𝑋 принимает три значения. Также известно, что 𝑃 (𝑋 = 1) = 0, 3 ; 𝑃 (𝑋 = 2) = 0, 1 и 𝐸(𝑋) = −0, 7. Определите чему равно третье значение случайной величины 𝑋 и найдите 𝑉 𝑎𝑟(𝑋). Задача 14.10. Сравните 𝐸(𝑋) и 𝐸(𝑌 ), если известно, что функции распределения удовлетворяют соотношению) ≥ для всех 𝑡. Задача 14.11. Пусть 𝑋 - случайная величина. Рассмотрим функцию 𝑦(𝑡) = 𝐸((𝑋 −𝑡) 2 ) . Найдите 𝐸(𝑦(𝑋)). Задача 14.12. Используя свойства математического ожидания, докажите, что 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋)) 2 . Выведите аналогичную формулу для ковариации. Задача 14.13. Докажите неравенство треугольника 𝜎 𝑋+𝑌 ≤ 𝜎 𝑋 + 𝜎 𝑌 Задача 14.14. Пусть 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝑎𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ) и 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 ) = 0.7. При каком значении 𝑎 между 𝑋 и 𝑍 = 𝑋 − 2𝑌 будет отсутствовать линейная взаимосвязь? Задача 14.15. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Св. 𝑋 1 , 𝑋 2 ... независимы, 𝑃 (𝑋 𝑖 = 0) = 𝑃 (𝑋 𝑖 = 1) = 1/2 , 𝑍 = ∑︀ +∞ 𝑖=1 1 2 𝑖 𝑋 𝑖 . Найдите 𝐸(𝑍), 𝜎 𝑍 Задача 14.16. Случайная величина задана таблицей (𝜔 𝑖 ) 1 8 3 8 2 8 2 8 𝑋(𝜔 𝑖 ) 5 −3 Найдите 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑋 2 ) , 𝐸( 1 𝑋+10 ) , 𝐸(𝑋 2 |𝑋 > 0) , 𝐸(𝑋|𝑋 2 < 10) , и 𝑃 (𝑋 ≤ Задача. 𝜔 𝑛 𝑃 (𝜔 𝑖 ) 1 2 1 4 1 2 𝑛 𝑌 (𝜔 𝑖 ) 2 4 ... 2𝑛 Найдите 𝐸(𝑌 ). Задача 14.18. Функция плотности св. 𝑍 имеет вид) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 − 𝑡, 𝑡 ∈ [0; 1] 𝑡 + 1, 𝑡 ∈ [−1; 0] 0, 𝑡 / ∈ [−1; Найдите 𝐸(𝑍), 𝐸(𝑍 2 ) , 𝐸(𝑍|𝑍 > 0), 𝐸(𝑍 2 ||𝑍| < 1/2) , 𝑃 (𝑍 ≤ 𝑡) для произвольного 𝑡, постройте график (𝑍 ≤ 𝑡) Задача 14.19. Экономика описывается системой уравнений 𝑦 = 𝑐 − 𝑎𝑖 + 𝜖 𝐼𝑆 𝑚 − 𝑝 = ℎ𝑦 − 𝑘𝑖 + Эндогенными переменными являются 𝑦 и 𝑖. 𝑦 - логарифм выпуска- процентная ставка- логарифм денежной массы- логарифм уровня цен > 0 , ℎ > 0, 𝑘 > 0. 𝐸(𝜖 𝐼𝑆 ) = 𝐸(𝜖 𝐿𝑀 ) = 0 , Шоки и 𝜖 𝐿𝑀 - независимы а) Чему равна 𝑉 𝑎𝑟(𝑦), если для достижения нужного 𝐸(𝑦), Центробанк использует в качестве инструмента б) Чему равна 𝑉 𝑎𝑟(𝑦), если для достижения нужного 𝐸(𝑦), Центробанк использует в качестве инструмента (в этом случае кривая LM принимает вид 𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)? Задача 14.20. При каком условии на 𝐸(𝑋) будет выполнено 𝐸(𝑋 2 ) = 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) ? При каком условии на 𝐸(𝑋) и 𝐸(𝑌 будет выполнено 𝐸(𝑋𝑌 ) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 )? Задача 14.21. При каком значении числа 𝑎 функция 𝑓(𝑎) = 𝐸((𝑌 − будет наименьшей Чему будет равно наименьшее значение функции? Ответ: 𝑎 = 𝐸(𝑌 ), 𝑓 𝑚𝑖𝑛 = 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ) Задача 14.22. При каком значении числа 𝑎 функция 𝑓(𝑎) = 𝐸|𝑌 − 𝑎| будет наименьшей? Решение: При 𝑎 равном медиане. Возьмем мат. ожидание от |𝑌 − 𝑎| ≥ |𝑌 − 𝑚| + (𝑚 − 𝑎)(𝑃 (𝑌 < 𝑚) − 𝑃 (𝑌 > 𝑚)) Задача 14.23. Пусть св. 𝑋 принимает только натуральные значения. а) Верно ли, чтоб) Возьмите математическое ожидание от левой и правой частей Задача 14.24. Автор книги получает 50 тыс. рублей сразу после заключения контракта и 5 рублей за каждую проданную книгу. Автор предполагает, что количество книг, которые будут проданы - это случайная величина с ожиданием в 10 тыс. книги стандартным отклонением в 1 тыс. книг. Чему равен ожидаемый доход автора Чему равна дисперсия дохода автора? Задача 14.25. При каких условиях верно, что: а) 𝐸(𝑋 2 ) = (𝐸(𝑋)) 2 b) 𝐸(𝑋𝑌 ) = 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌 ) Задача 14.26. [ Задача о божественной регрессии ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Вася знает абсолютно все характеристики 𝑋, а проему известны только 𝐸(𝑌 ) и 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ). Вася наблюдает только случайную величину 𝑋, а хочет спрогнозировать случайную величину 𝑌 . Строго говоря, Васина цель - построить св. ˆ𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋, так чтобы 𝐸( ˆ𝑌 ) = 𝐸(𝑌 ), и дисперсия ошибки прогноза 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 − ˆ𝑌 ) была бы минимальной. Найдите оптимальные коэффициенты 𝛼 и 𝛽 Задача 14.27. Эксперты Вася и Петя сидят у телевизора и делают прогноз, сколько баллов получит выступающая фигуристка. Результат фигуристки - случайная величина 𝑌 , Васин прогноз - 𝑋 1 , Петин - Известно, что 𝐸(𝑌 −𝑋 1 ) = 𝐸(𝑌 − 𝑋 2 ) = 0 . Также известно, что ошибки прогнозов некоррелированы, т.е. 𝐶𝑜𝑣(𝑌 − 𝑋 1 , 𝑌 − 𝑋 2 ) = 0 . Дисперсии ошибок прогнозов различны и равны 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 − 𝑋 1 ) = 𝜎 2 1 , 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 − 𝑋 2 ) = 𝜎 2 а) Поясните смысл условий 𝐸(𝑌 − 𝑋 𝑖 ) = и 𝐶𝑜𝑣(𝑌 − 𝑋 1 , 𝑌 − 𝑋 2 ) = 0 b) Рассмотрим прогноз 𝑋 вида 𝑋 = 𝑎 1 𝑋 1 + и соответствующую ошибку прогноза 𝑒 = 𝑌 − Найдите числа итак чтобы математическое ожидание ошибки равнялось нулю, а дисперсия была бы минимальной. с) Верно ли, что из условия 𝜎 2 1 > 𝜎 2 следует то, что 𝑎 1 < 𝑎 2 ? Задача 14.28. Случайным процессом с дискретным временем называется последовательность случайных величин, 𝑋 0 , 𝑋 1 , 𝑋 2 ... Случайный процесс называется стационарным (weak stationary), если существует и не зависит от 𝑡; 𝐶𝑜𝑣(𝑋 𝑡 , существует и не зависит от 𝑡. Допускается, что 𝐶𝑜𝑣(𝑋 𝑡 , зависит от а) Верно ли, что сумма двух стационарных процессов стационарна? б) Верно ли, что сумма двух независимых стационарных процессов стационарна? Ответы: а) - нет, б) - да Задача 14.29. а) Известно, что 𝐸(𝑍) = −3 и 𝐸(𝑍 2 ) = 15 . Найдите 𝑉 𝑎𝑟(𝑍), 𝑉 𝑎𝑟(4 − 3𝑍) и 𝐸(5 + 3𝑍 − б) Известно, что 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌 ) = 20 и 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌 ) = 10. Найдите 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ) и 𝐶𝑜𝑣(6 − 𝑋, 3𝑌 ). Задача 14.30. Пусть 𝑋 ∼ 𝑈[0; 1], 𝑓(𝑎) = 𝐸(𝑋 ∧ 𝑎), 𝑔(𝑎) = 𝐸(𝑋 ∨ Постройте 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑓(𝑎)), 𝑔(𝑎), 𝑔(𝑔(𝑎)) Задача 14.31. При каких условиях 𝐸( 1 𝑋 ) = 1 𝐸(𝑋) ? Задача 14.32. Бабушки и молоко Баба Маша и баба Катя покупают молоко у бабы Нюры. Баба Маша каждый день покупает ровно литра баба Катя - ровно на 10 рублей. В этом месяце баба Нюра продавала молоко в среднем по рублей за литр. Цена каждый день могла быть разная. Кто больше купил молока Кто больше заплатил? Трактовка 1. Средняя цена считается как среднее ежедневных цен. Трактовка 2. Баба Маша и баба Катя - единственные клиентки бабы Нюры, а средняя цена считается как выручка делить на количество проданного молока. Задача 14.33. Вася забрасывает удочку 𝑁 раз, где 𝑁 случайная величина. Вероятность поймать рыбку при одном забрасывании равна 𝑝. a) Пусть 𝑁 ≡ 𝑛. Чему равна вероятность того, что Вася поймает хотя бы одну рыбку? б) Пусть 𝐸(𝑁) = 𝑛. Докажите, что вероятность поймать хотя бы одну рыбку не превосходит вероятности из пункта а неравенство Иенсена Задача 14.34. Тысяча зайцев требует спасения. Дед Мазай выбирает между двумя стратегиями: А. Перевозить зайцев равными партиями поза заход. Б. Перевозить зайцев случайными партиями от 1 до 19 зайцев за заход ТВИМС-задачник. Демешев Борис. В каком случае ожидаемое количество заходов будет меньшим? Задача 14.35. Допустим, что закон распределения 𝑋 имеет вида) Найдите 𝐸(𝑋) , 𝑉 б) При каких 𝜃 среднее будет наибольшим При каких - наименьшим? в) При каких 𝜃 дисперсия будет наибольшей При каких - наименьшей? Задача 14.36. В городе Туме случайным образом выбрали семейную пару. Стандартное отклонение возраста мужа оказалось равным 5 годам, а стандартное отклонение возраста жены - 4 годам. Найдите корреляцию возраста жены и возраста мужа, если стандартное отклонение разности возрастов оказалось равным годам. Задача 14.37. |