Составитель Борис Демешев

• Название: Составитель Борис Демешев
• Дата: 18.10.2021
• Размер: 1.58 Mb.
• Имя файла: new_el.pdf
• Тип: Задача; #249902
• страница: 13 из 22

Известно, что функция 𝑓 обладает следующим свойством 𝐸(𝑓(𝑋)) = 𝑓(𝐸(𝑋)) для любой случайной величины 𝑋. Какой может быть 𝑓?
Задача
14.38.
Хорошо известно, что 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋 · 𝑋) − 𝐸(𝑋) · 𝐸(𝑋). А что получится если посчитать 𝐸(𝑋 ·
(𝑋 − 2009)) − 𝐸(𝑋)𝐸(𝑋 − 2009)
?
15 Функция плотности и условная функция плотности
Задача
15.1.
Пусть у случайной величины 𝑋 функция плотности имеет вид 𝑝(𝑡) =
{︂ 1/5,
𝑡 ∈ [2; 7]
0,
𝑡 /
∈ [2; 7]
. Определите (4 ≤ 𝑋 ≤ 6)
, 𝑃 (𝑋 ≥ 5), 𝑃 (𝑋 = 5), 𝑃 (𝑋 > 5), 𝑃 (𝑋 > 5|𝑋 > 3), 𝑃 (−∞ < 𝑋 < +∞)
Задача
15.2.
Известно, что функция плотности случайной величины 𝑋 имеет вид) =
{︂ 𝑐𝑥
2
,
5𝐴; 8 𝑥 ∈ [−2; 2]
0,
8 = Найдите значение константы 𝐴, 𝑃 (𝑋 > 1), 𝐸(𝑋), и постройте график функции распределения величины 𝑋.
Задача
15.3.
Найдите 𝑃 (𝑋 ∈ [16; 23]), если а) 𝑋 нормально распределена, 𝐸(𝑋) = 20, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = б) 𝑋 равномерно распределена на отрезке [0; в) 𝑋 распределена экспоненциально и 𝐸(𝑋) = 20
Задача
15.4.
Пусть величина 𝑋 распределена равномерно на отрезке [0; 𝜋]. Найдите функцию плотности величины = Задача, доп. вопросы Короткий кусок стержня а) Если стержень ломается случайным образом на две части, то какова средняя длина меньшего куска?

б) Каково среднее отношение длины короткого куска к длине длинного куска?
в) Каково среднее отношение длины длинного куска к длине короткого куска?

д) Какой вид имеют функции плотности для случаев b, е) Мода отношения длины короткого куска к длине длинного?
ж) Мода отношения длины длинного куска к длине короткого?
Задача
15.6.

ТВИМС-задачник. Демешев Борис. [e-mail]
75
[
Mosteller] Сломанный стержень
Стержень ломается случайным образом натри части. Найти средние длины короткого, среднего и длинного кусков.
Задача
15.7.
Пусть 𝑝
𝑋
(𝑡)
- функция плотности св. 𝑋.
a) Найдите функцию плотности св. 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏, если 𝑎 > 0.
b) Как изменится ответ, если 𝑎 < 0?
Задача
15.8.
Цель игры - получить число, стоящее как можно ближе к единице, ноне больше единицы. У Пети две попытки. Сначала он узнает число, равномерно распределенное на [0; 1]. Далее он выбирает ограничиться ли этим числом, или прибавить к нему еще одно имеющее такое же распределение.
Затем Вася, зная петин результат тоже получает две попытки, но он не складывает получаемые числа, а довольствуется последним заказанным числом.

а) У кого какие шансы на выигрыш?
б) Как выглядит оптимальная стратегия?
коммент: изложить поаккуратнее
Задача
15.9.
Пусть 𝑋 распределена равномерно на [0; 1]. Найдите плотность распределения случайных величин = ln
𝑋
1−𝑋
, 𝑍 = −
1
𝜆
ln 𝑋
( 𝜆 > 0 ), 𝑊 = 𝑋
3
, 𝑄 = 𝑋 − 1/𝑋.
Задача
15.10.
Пусть 𝐹 (𝑡) - функция распределения случайной величины.
Найдите ∫︀
+∞
−∞
(𝐹 (𝑡 + 𝑎) − 𝐹 (𝑡))𝑑𝑡
Answer: ∫︀
+∞
−∞
(𝐹 (𝑡 + 𝑎) − 𝐹 (𝑡))𝑑𝑡 = 𝑎
Задача
15.11.
Пусть вероятность того, что случайная величина 𝑋 лежит в промежутке от [𝑎; 𝑏], где 𝑏 ≥ 𝑎 ≥ определяется формулой 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫︀
𝑏
𝑎
𝑒
−𝑡
𝑑𝑡
. Чему равны 𝑃 (𝑋 = 17), 𝑃 (0 ≤ 𝑋 ≤ 1), 𝑃 (1 ≤ 𝑋 ≤
2|𝑋 > 1)
, 𝑃 (𝑋 ≥ 0), 𝑃 (𝑋 < 0)?
Задача
15.12.
С.в. 𝑋 распределена равномерно на отрезке [2; 8]. Найдите 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑋|𝑋 > 4), 𝐸(𝑋
2
)
Задача
15.13.
Пусть 𝑋 ∼ 𝑈[0; 1], 𝑍 = 𝑋 + 𝑌 , а 𝑌 задана табличкой 3
𝑃 𝑟𝑜𝑏 0.4 а) Постройте функцию распределения 𝑍, если 𝑋 и 𝑌 независимы б) Постройте функцию распределения 𝑍, если 𝑌 =
{︂ 0, 𝑋 ∈ [0; 0.4]
3, 𝑋 /
∈ [0; в) Найдите 𝐸(𝑍) в обоих случаях
Задача
15.14.
Пусть 𝑋 - неотрицательная св. с функцией плотности 𝑝(𝑡) и 𝐸(𝑋) < ∞. При каком 𝑐 функция) = 𝑐 · также будет функцией плотности?
Задача
15.15.
Распределение св. 𝑋 называется экспоненциальным, если ее функция плотности имеет вид 𝑝
𝑋
(𝑥) для 𝑥 > 0. Найдите 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋).
Задача
15.16.
Пусть цена акции 𝐴 имеет ф. плотности 𝑝 =
3 4
max {1 − (𝑥 − 1)
2
, 0}

. У Васи есть опцион-пут, дающий ему право продать акции по цене 1,2 рубля (опцион пут. Какова вероятность исполнения опциона?
Каков ожидаемый Васин доход?
Задача
15.17.
Убыток от пожара - равномерно распределенная св. на [0; 1]. Если убыток оказывается больше то страховая компания выплачивает компенсацию 0,7. Чему равны средние потери?
Задача
15.18.
Пусть цена акции 𝐴 имеет ф. плотности 𝑝 =
3 4
max {1 − (𝑥 − 1)
2
, 0}

. У Васи есть опцион-колл, дающий ему право купить акции по цене 1 рубль. Каков ожидаемый Васин доход?
Задача
15.19.
Пусть 𝑋 - св. с 𝑝
𝑋
(𝑡) > для всех 𝑡. Как распределены 𝑌 = и 𝑍 = − ln 𝑌 Ну хоть когда-то должна же функция распределения зависеть от случайной величины!]
Задача
15.20.
Число 𝑋 выбирается равномерно на отрезке [0; 1]. Затем число 𝑌 выбирается равномерно на отрезке 𝑋]
a) Найдите условную функцию плотности 𝑝
𝑌 |𝑋
(𝑥, 𝑦)
b) Найдите 𝑝
𝑋,𝑌
(𝑥, и 𝑝
𝑌
(𝑦)
c) Найдите 𝐸(𝑌 ), 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ), 𝑃 (𝑋 + 𝑌 > Задача

ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Величина 𝑍 равномерно принимает любое значение из отрезка [−3; 5]. Как выглядит ее функция плотности Пусть 𝑋 = 𝑍
2
. Найдите 𝑃 (𝑋 ≤ 3) и 𝑃 (𝑋 ≤ 7). Найдите 𝑃 (𝑍 < 2|𝑋 < 4), 𝑃 (𝑍 > 𝑋),
𝑃 (𝑋 > 3|𝑍 > 1)
Задача
15.22.
Пусть у случайной величины 𝑋 функция плотности имеет вид 𝑝(𝑡) =
⎧
⎨
⎩
1 − 𝑡,
𝑡 ∈ [0; 1]
𝑡 + 1,
𝑡 ∈ [−1; 0]
0,
𝑡 /
∈ [−1; 1]
. Определите (−∞ < 𝑋 < +∞). Верно ли, что события 𝐴 = {|𝑋| > 0, 5} и 𝐵 = {𝑋 > 0} являются независимыми?
Задача
15.23.
Пусть случайные величины и независимы, распределена равномерно на [−2; 1], 𝑋
2
- равномерно на [0; 1].
a) Найдите 𝑃 (𝑚𝑎𝑥{𝑋
1
, 𝑋
2
} > 0, б) Функцию плотности 𝑓
𝑚𝑎𝑥{𝑋
1
,𝑋
2
}
(𝑡)
Задача
15.24.
Пусть 𝑍 = max(𝑋
1
, и случайные величины и независимы. Найдите функцию распределения, если известны функции распределения и 𝐹
𝑋
2
(𝑡)
. Для случая 𝑋
1
∼ 𝑈 [0; 5]
,
𝑋
2
∼ 𝑈 [0; найдите 𝐸(𝑍).
Задача
15.25.
Пусть 𝑋
1
, и 𝑋
3
- независимы и равномерны на отрезке [0; 1]. Найдите функцию плотности 𝑌 =
max {𝑋
1
, 𝑋
2
, 𝑋
3
}
Задача
15.26.
Пусть 𝑋
1
, 𝑋
2
, ..., независимы и экспоненциально распределены с параметром Найдите 𝐸(min{𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
})
, 𝐸(max{𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
})
Solution:
max ∼ 𝑋
1
+
𝑋
2 2
+ ... +
𝑋
𝑛
𝑛
Задача
15.27.
Пусть 𝑋, 𝑌 и 𝑍 независимы и равномерны на [0; 1]. Какова вероятность того, что можно построить треугольник со сторонами таких длин?
Задача
15.28.
С.в. 𝑋 распределена равномерно на отрезке [𝑎; 𝑏]. a) Найдите 𝐸(𝑋) и 𝑉 𝑎𝑟(𝑋).
b) Пусть 𝑐 ∈ [𝑎; 𝑏]. Найдите 𝐸(𝑋|𝑋 > 𝑐), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋|𝑋 > 𝑐)
Задача
15.29.
Про расстояние между минимумом и максимумом
Вася называет три числа на интервале [0; 1] наугад.
а) Какова вероятность того, что разница между наибольшими наименьшим будет меньше б) Пусть 𝑅 - разница между наибольшими наименьшим числом. Найдите функцию плотности случайной величины 𝑅
Решение:
а) Рассмотрим случай 𝑥 < 𝑦 < 𝑧. В этом случае вероятность равна 𝑃 = ∫︀
1/2 0
∫︀ 𝑥
𝑥+1/2
∫︀
𝑥+1/2
𝑦
·𝑑𝑧 · 𝑑𝑦 ·
𝑑𝑥 +
∫︀
1 1/2
∫︀ 𝑥
1
∫︀
1
𝑦
·𝑑𝑧 · 𝑑𝑦 · 𝑑𝑥 =
1 Так как возможно 6 вариантов расположения трех чисел, то искомая вероятность равна 𝑃 = 6·
1 12
=
1 2
b) Взяв 𝑡 вместо получаем функцию распределения, а затем и функцию плотности 𝑝(𝑟) = 6𝑟(1 − 𝑟)
Geometric (intuitive) solution is welcome!
Задача
15.30.
Случайные величины 𝑋
1
..., независимы и равномерно распределены на отрезке [0; 1]
Найдите:
а) Функцию плотности 𝑋
𝑚𝑖𝑛
, 𝐸(𝑋
𝑚𝑖𝑛
)
b) Функцию плотности 𝑋
𝑚𝑎𝑥
, 𝐸(𝑋
𝑚𝑎𝑥
)
c) 𝐸(𝑋
𝑚𝑎𝑥
|𝑋
𝑚𝑖𝑛
> 𝑐)
Задача
15.31.
Функция СЛЧИС() в русской версии Excel генерирует случайные числа равномерно распределенные на [0; 1]. Как с помощью нее получить экспоненциальные величины со средним значением 𝑚?
Задача
15.32.
Пусть 𝑋 равномерна на [−2; 1], а 𝑌 - расстояние от числа 𝑋 до числа (Найдите фукнцию плотности 𝑌
Задача
15.33.
Пусть 𝑋 распределена экспоненциально с параметром 𝜆 = 1. Какую функцию плотности имеет величина 𝑋/2? Как называется такое распределение экспоненциальное, 𝜆 = Задача

ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Пусть 𝑋 распределена экспоненциально с параметром 𝜆 = 1. Найдите функцию плотности дробной части 𝑋. Найдите среднее значение дробной части 𝑝(𝑡) =
𝑒
1−𝑡
𝑒−1
,
𝑒−2
𝑒−1
Задача
15.35.
Известно, что 𝑋 равномерно распределена на [−1; 1] и 𝑌 = Найдите функцию плотности 𝑌
Задача
15.36.
Максимум равномерных в степени Пусть величины 𝑋
1
, ..., 𝑋
𝑛
равномерны на [0; 1] и независимы. Пусть 𝑘 - натуральное число и 𝑀 =
𝑚𝑎𝑥{𝑋
𝑖
}
. Найдите 𝐸(𝑀
𝑘
)
Answer:
𝑛
𝑛+𝑘
Challenge: find intuitive, without integral, explanation (for k=1 we may break the interval into (n+1)
equidistributed parts)...
Задача
15.37.
Пусть 𝑈 - распределена равномерно на отрезке [0; Как распредлена величина 𝑌 = 1 + Ответ 𝑌 имеет геометрическое распределение.
Задача
15.38.
Пусть св. 𝑋 принимает значения из промежутка [𝑎; 𝑏] (возможно не все, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) =
(𝑏−𝑎)
2 4
. Найдите закон распределения Ответ это максимально возможная дисперсия для такой величины, 𝑋 равновероятно принимает значения 𝑎 и 𝑏.
Задача
15.39.
Случайная величина 𝑋 задана функцией плотности 𝑝(𝑡). Известно, что 𝑝(4) = 9. Примерно найдите вероятность 𝑃 (𝑋 ∈ [4; 4.003]).
Задача
15.40.
Пусть 𝑔(𝑡) - возрастающая функция и 𝑌 = 𝑔(𝑋). Докажите, что функция плотности случайной величины 𝑌 имеет вид 𝑝
𝑌
(𝑡) = 𝑝
𝑋
(𝑔
−1
(𝑡))
𝑑𝑔
−1
𝑑𝑡
16 Арифметика
Задача
16.1.
Докажите, что 𝑎𝑟(𝑆
𝑛
)
=
¯
𝑋
𝑛
−𝐸( ¯
𝑋
𝑛
)
√
𝑉 𝑎𝑟( ¯
𝑋
𝑛
)
=
¯
𝑋
𝑛
−𝜇
√︁
𝜎
2
/
𝑛
, где 𝑋
𝑖
- iid, 𝐸(𝑋
𝑖
) = 𝜇
, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋
𝑖
) = 𝜎
2
Задача
16.2.
Пусть 𝑝 ∈ [0; 1), 𝐺 = 𝑝 + 𝑝
2
+ 𝑝
3
+ 𝑝
4
+ и 𝑆 = 1𝑝 + 2𝑝
2
+ 3𝑝
3
+ 4𝑝
4

+ а) Чему равняется сумма 𝐺 − 𝑝𝐺? Чему равняется б) Чему равняется 𝑆 − в) Чему равняется г) Чему равняется 𝑆?
Задача
16.3.
Пусть 𝑓(𝑎, 𝑏) = ∫︀
1 0
𝑥
𝑎
(1 − 𝑥)
𝑏
𝑑𝑥
a) Проинтегрировав по частям, докажите, чтоб) Как 𝑓(𝑎, 𝑏) выражается через 𝑓(𝑎 + 𝑏, с) Найдите 𝑓(𝑎, 𝑏)
Задача
16.4.
Пусть ∑︀ 𝑝
𝑖
= и ∑︀ ˆ𝑝
𝑖
= Докажите, что ∑︀
(𝑛 ^
𝑝
𝑖
−𝑛𝑝
𝑖
)
2
𝑛𝑝
𝑖
= 𝑛
(︁
∑︀
^
𝑝
2
𝑖
𝑝
𝑖
− 1
)︁
Задача
16.5.
Может ли ковариационная матрица иметь вид (
4 2
−1 9
)
, (
4 7 7 9
)
, (
9 0
0 −1
)
, (
9 2 2 1
)
? Задача
16.6.
Пусть 𝑋
𝑖
∼ 𝑁 (0; и независимы. Пусть 𝑍
1
= 𝑎
1
(𝑋
1
− 𝑋
2
)
, 𝑍
2
= 𝑎
2
(𝑋
1
+ 𝑋
2
− 2𝑋
3
)
, 𝑍
3
= 𝑎
3
(𝑋
1
+ 𝑋
2
+
𝑋
3
− и т.д. Найдите такие 𝑎
𝑖
> 0
, чтобы 𝑉 𝑎𝑟(𝑍
𝑖
) = 1
. Для этих 𝑎
𝑖
: Найдите 𝐸(𝑍
𝑖
)
, 𝐶𝑜𝑣(𝑍
𝑖
, Докажите, что ∑︀
3
𝑖=1
(𝑋
𝑖
− ¯
𝑋)
2
= 𝑍
2 1
+ 𝑍
2 2
, и что т ∑︀
𝑛
𝑖=1
(𝑋
𝑖
− ¯
𝑋)
2
=
∑︀
𝑛−1
𝑖=1
𝑍
2
𝑖
Задача
16.7.
Пусть независимы, причем ∀𝑖 𝐸(𝑋
𝑖
) = 𝜇
, а 𝑉 𝑎𝑟(𝑋
𝑖
) = 𝜎
2
. Найдите 𝑉 𝑎𝑟(𝑋
1
+ 𝑋
2
)
, 𝐸(𝑋
1
+ 𝑋
2
+ ... +
𝑋
𝑛
)
, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋
1
+ 𝑋
2
+ ... + 𝑋
𝑛
)
, 𝐸( ¯
𝑋)
, 𝑉 𝑎𝑟( ¯
𝑋)
, 𝐸(𝑋
2 1
)
, 𝐶𝑜𝑣(𝑋
1
+ 𝑋
2
, 𝑋
2
+ 𝑋
3
)
, 𝐸(𝑋
1
· 𝑋
2
)
, 𝐸((𝑋
1
− Задача

ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Почему степеней свободы (𝑛 − Пусть {𝑋
𝑖
}
- iid 𝑁(𝜇; и (𝑋
𝑖
− ¯
𝑋)
2
𝑛−1
. Для 𝑛 = 2 докажите, что
̂︀
𝜎
2
можно представить в виде 1
1
, где 𝑌
1
∼ 𝑁 (0; 𝜎
2
)
. Как выражается через и 𝑋
2
? a) Для 𝑛 = 3 докажите, что
̂︀
𝜎
2
можно представить в виде 1
+𝑌
2 2
2
, где {𝑌
𝑖
}
- iid 𝑁(0; 𝜎
2
)
. Как выражаются через {𝑋
𝑗
}
? b) Как выглядит данное представление для произвольного 𝑛? Подсказки 𝑌
3
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 · (𝑋
1
+ 𝑋
2
+ 𝑋
3
− для доказательства независимости двух нормальных случайных величин достаточно доказать, что их ковариация равна нулю.
Задача
16.9.
Докажите, что lim
𝑛→∞
∑︀
𝑛
𝑖=1 1
𝑖
ln 𝑛
= 1
Задача
16.10.
Верно ли, что 𝑉 𝑎𝑟(𝑎
1
𝑋
1
+ 𝑎
2
𝑋
2
) = ( 𝑎
1
𝑎
2
) · 𝐶 · ( 𝑎
1
𝑎
2
)
𝑡

, где 𝐶 - ковариационная матрица?
Задача
16.11.
Упростите 𝐸(6𝑋 −2), 𝑉 𝑎𝑟(5−3𝑋), 𝐶𝑜𝑣(7𝑋 −2, 4−5𝑌 ), 𝜎
(2−3𝑋)
, 𝑐𝑜𝑟(5+2𝑋, 6−7𝑌 ), 𝑐𝑜𝑟(5−3𝑋, 6𝑋 +Представьте в виде суммы 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌 ), 𝑉 𝑎𝑟(2𝑋 + 3𝑌 ) и 𝑉 𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌 ).
17 Двумерные распределения, ковариации
Задача
17.1.
Пусть 𝑃 (𝐴|𝐵) > 𝑃 (𝐴). Что можно сказать про 𝐶𝑜𝑣(1
𝐴
, 1
𝐵
)
?
Задача
17.2.
Чему равна 𝑝
𝑋|𝑌
(𝑥|𝑦)

, если случайные величины 𝑋 и 𝑌 независимы?
Задача
17.3.
𝑌
𝑋 = 1 2 3 1
?
? ?
2
?
0 ?
3 0
? 0
; Известно, что 𝑃 (𝑌 = 1|𝑋 = 𝑘) = 1/3, 𝑃 (𝑋 = 𝑘|𝑌 = 1) = 𝑘/6 для всех а) Заполните пропуски б) Найдите 𝐸(𝑋𝑌 Задача = 0 3
6 1
?
?
?
2 0, 1 0, 05 Известно, что 𝑋 и 𝑌 независимы, 𝑃 (𝑌 = 2|𝑋 = 0) = а) Заполните пропуски б) Найдите 𝐸(𝑋/𝑌 Задача = 1 2
3 1
0, 1 0, 2 0, 3 2
0, 15 0, 15
?
3 0, 05 0
0, а) Заполните пропуски б) Найдите 𝑃 (𝑋 > 2), 𝑃 (𝑋 = 1|𝑌 = 1), 𝑃 (𝑌 = 1|𝑋 = 2), 𝑃 (𝑋 = 1|𝑋 = 2), 𝑃 (𝑋 = 1 ∩ 𝑌 = 1).
Задача
17.6.
Совместный закон распределения 𝑋 и 𝑌 задан таблицей = −2
𝑌 = 0
𝑌 = 1
𝑋 = −1 0,1 0,1 0,2
𝑋 = 0 Найдите 𝑝, 𝑃 (|𝑋| ≥ |𝑌 |), 𝐸(𝑋𝑌 ), 𝐸(𝑋|𝑌 = 0), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ), 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 )
Задача
17.7.
Пусть 𝑋 и 𝑌 независимы, одинаково непрерывно распределены.
Верно ли, что 𝐸(𝑋|𝑋 > 𝑌 ) = 𝐸(max{𝑋, 𝑌 Задача

ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Совместный закон распределения случайных величин 𝑋 и 𝑌 задан таблицей = −1 𝑌 = 0 𝑌 = 2
𝑋 = 0 0, 2
𝑐
0, 2
𝑋 = 1 0, 1 0, 1 0, Найдите 𝑐, 𝑃 (𝑌 > −𝑋), 𝐸(𝑋 · 𝑌
2
)
, 𝐸(𝑌 |𝑋 > 0), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ), 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 )
Задача
17.9.
Совместная функция плотности имеет вид, 𝑦) =
{︂ 2 − 𝑥 − если 𝑥 ∈ [0; 1], 𝑦 ∈ [0; 1]
0,
иначе
Найдите 𝑃 (𝑌 > 2𝑋), 𝐸(𝑌 ), 𝐸(𝑋𝑌 ) 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ), 𝐸(𝑋|𝑌 > 0, 5), частную (предельную) функцию плотности 𝑝
𝑌
(𝑡)
, условную функцию плотности 𝑝
𝑋|𝑌
(𝑥|𝑦)
, 𝐸(𝑋|𝑌 ). Верно ли, что величины 𝑋 и являются независимыми Ответы (𝑌 > 2𝑋) = 7/24
, 𝐸(𝑋𝑌 ) = 1/6), 𝐸(𝑋|𝑌 > 0.5) =
7/48 3/8
= и 𝑌 зависимы) = 𝐸(𝑌 ) =
5 12
Задача
17.10.
Пусть 𝑋 - сумма очков, выпавших в результате двукратного подбрасывания кубика. Пусть 𝑌 - разность очков (число на первом минус число на втором. Найдите 𝐸(𝑋𝑌 ), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ), 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑌 )
Задача
17.11.
Найдите ковариацию, корреляцию и дисперсию суммы двух независимых случайных величин.
Задача
17.12.
Пусть 𝑋 и 𝑌 равномерны на [0; 1] и независимы. Найдите закон распределение числа корней многочлена Задача roll 2 dice. X is the number of 1s shown and Y is the number of 6’s. Each of X, Y can take the values

0, 1or 2. What is the joint distribtuion p(x,y) the covariance cov(X,Y) and E(X|Y)?
Задача
17.14.
Вероятность дождя в субботу 0.5, вероятность дождя в воскресенье 0.3. Корреляция между наличием дождя в субботу и наличием дождя в воскресенье равна Какова вероятность того, что в выходные вообще не будет дождя?
Задача
17.15.
Пусть 𝑋 имеет геометрическое распределение с параметром 𝑝
1
, Пусть 𝑌 имеет геометрическое распределение с параметром 𝑝
2
. Как распределена величина 𝑚𝑖𝑛{𝑋, 𝑌 }? Прокомментируйте
Задача
17.16.
Время обслуживания клиента в окошке А - св, имеющая экспоненциальное распределение св окошке В - св. 𝐵, имеющая экспоненциальное распределение с 𝜆 = 12. Величины и 𝐵 независимы.
Найдите функцию плотности (𝐴 + 𝐵), 𝑃 (2𝐴 > 𝐵).
Задача
17.17.
Вася решает тест путем проставления каждого ответа наугад. В тесте 5 вопросов. В каждом вопросе варианта ответа. Пусть 𝑋 - число правильных ответов, 𝑌 - число неправильных ответов и 𝑍 = 𝑋 −𝑌 а) Найдите 𝑃 (𝑋 > б) Найдите 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) ив) Найдите 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑋, 𝑍)
Задача
17.18.

Какова вероятность того, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет два различных корня?
а) 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 равномерны на [−1; 1]
b) 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 равномерны нас, где 𝑏 и 𝑐 равномерны на [0; Задача

ТВИМС-задачник. Демешев Борис. В коробке 6 красных и 2 зеленых пуговицы. Пуговицы вытаскивают наугад до появления двух одноцветных. Пусть 𝑋 - общее количество извлеченных пуговиц входе эксперимента, а 𝑌 - количество извлеченных входе эксперимента зеленых пуговиц. Какова вероятность того, что эксперимент окончится при извлечении третьей пуговицы Найдите 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ).
Задача
17.20.
Из урны с 5 красными и 4 синими шарами достаются 3 шара. Найдите закон распределения числа красных шаров 𝑁. Найдите 𝐸(𝑁), 𝑉 𝑎𝑟(𝑁), 𝐶𝑜𝑣(𝑁, 𝑁
2
)
Задача
17.21.
Из урны с 5 занумерованными шарами достается 3 шара. Пусть 𝑋 - максимальный из полученных трех номеров. Найдите закон распределения 𝑋, 𝐸(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑋), 𝐶𝑜𝑣(6𝑋 − 3, 𝑋 + 4)
Задача
17.22.
Пусть Ω = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, 𝑋(𝑎) = 1, 𝑋(𝑏) = 2, 𝑋(𝑐) = −2 𝑃 (𝑎) = 𝑃 (𝑏) =
1 4
, 𝑃 (𝑐) =
1 2
. Найдите все случайные величины 𝑌 , такие, что 𝐸(𝑌 ) = 0, 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ) = 0 и 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ) = Задача = −1 𝑌 = 0 𝑌 = 2
𝑋 = 0 0, 2 0, 1 0, 1
𝑋 = 1 0, 3 0, 1 0, 2
;
a) Найдите 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌 ), 𝐸(𝑋𝑌 ), 𝐸(𝑋
2
)
, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 б) Найдите 𝑃 (𝑋 = 1|𝑌 = в) Постройте функции распределения св. 𝑋 и 𝑌 г) Найдите 𝑃 (𝑋 > 𝑌 ), 𝑃 (𝑋 + 2𝑌 < 0, Задача, 𝑦) =
{︂
3
√
6 − 𝑥 − 𝑦,
𝑖𝑓
𝑥, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤
3
√
6 0,
𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
;
a) Найдите 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌 ), 𝐸(𝑋𝑌 ), 𝐸(𝑋
2
)
, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 б) Найдите функции плотности свив) Постройте функции распределения св. 𝑋 и 𝑌 г) Найдите 𝑃 (𝑋 > 𝑌 ), 𝑃 (𝑋 + 2𝑌 < 0, Задача =
{︂ 2,
𝑖𝑓
𝑥, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 1 0,
𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
a) Найдите 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌 ), 𝐸(𝑋𝑌 ), 𝐸(𝑋
2
)
, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋), 𝑉 𝑎𝑟(𝑌 ), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 б) Найдите функции плотности свив) Постройте функции распределения св. 𝑋 и 𝑌 г) Найдите 𝑃 (𝑋 > 𝑌 ), 𝑃 (𝑋 + 2𝑌 < 0, 5)
Задача
17.26.
Совместная функция плотности имеет вид, 𝑦) =
{︂ 𝑥 + если 𝑥 ∈ [0; 1], 𝑦 ∈ [0; 1]
0,
иначе
Найдите 𝑃 (𝑌 > 𝑋), 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑋|𝑌 > 𝑋), 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌 ), частную (предельную) функцию плотности, условную функцию плотности 𝑝
𝑋|𝑌
(𝑥|𝑦)