Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
begins with 603245? Prime factor problem Задача 20.31. Открытая задача. Правильную монетку подбрасывают неограниченное количество раз. После любого подбрасывания Аня можете сказать Стоп. Как только Аня говорит Стоп, игра оканчивается и Аня получает выигрыш равный доле выпавших орлов. Например, если Аня сказала стоп после последовательности «РРОРО» ее выигрыш равен 2/5. Какая стратегия максимизирует ожидаемый выигрыш Ани Чему равен наибольший ожидаемый выигрыш? На настоящее (февраль 2010) ни один человек на Земле не знает ответа на этот вопрос. Предложите свою стратегию. С помощью большого количества случайных экспериментов на компьютере будет определена лучшая из предложенных стратегий. Авторы лучшей стратегии получают +2 балла к итоговой оценке. Детали: срок представления стратегий - 01 марта 2010. В силу невозможности смоделировать бесконечное количество подбрасываний их количество ограничено 10 6 . таким образом, если входе эксперимента стратегия не сказала Стоп после 10 6 подбрасываний, то она принудительно останавливается. Для определения победителя будет проведено 10 4 подбрасываний. Wald had a number of important results, including the famous theorem that the expected value of the sum of a random number of random variates is equal to the product of the expected value of a single variate times the expected number in the sum; as long as the stopping rule is independent of the value of the sum Like a lot of theorems, Wald’s Theorem is valuable when it doesn’t apply. That is, people often assume it is true, it’s a handy trick for solving certain kinds of problems. Wald gave rigorous conditions under which it is true. When you come across an application, it’s a good idea to check the three conditions. Here is a simple example. In the mindless children’s card game "War"two players split a deck of card between them. At each turn, both players reveal their top card, the player with the higher card takes both and puts them at the bottom of her deck. If the cards are the same there is a "war,"meaning each player deals three cards face down, then turns up the next card. The player with the higher card takes all ten cards. In case of a tie there is another war, with the winner getting 18 cards. And so on until one player runs out of cards. Question: what is the expected number of concealed Aces (the high card) that will change hands in the first play of the game? This is an important parameter for analyzing the game. You could figure out all the possible combinations, but that would take a while. Wald’s theorem tells us we can compute the expected number of wars on the first play, 16 * (17 −2 + 17 −3 + 17 −4 ) , and multiply by the expected number of concealed Aces from the losing player per war, 3/13. The answer is 0.0144. By the way, you cannot have more than three wars. In the unlikely event (1/83,521) that the players tie four times in a row, both of them lose the game and no cards are exchanged. The three conditions of Wald’s theorem are: (1) The number of trials is a non-negative integer with finite expectation. (2) The outcome of the trials are i.i.d. with finite expectation. (3) The outcome of the trial is independent of whether or not it is included in the total. In the War example, condition 2 is violated. The probability that the first two cards match is 3/51 = 1/17. If they do, the probability that the next two compared cards match is 2/50 * 1/49 + 48/50 * 3/49 = 146/2,450 = 0.0596 instead of 0.0588. —- Version #1 (tboafo): A die is rolled once. If the outcome is 1, 2, or 3, one stops; otherwise (i.e., if it is 4, 5, or 6) one rolls the die a second time. What is the total expected value? [A: 5.25] ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 95 Version #2 (Wilbur): A die keeps being rolled until the outcome is 1, 2, or 3. What is the total expected value? [A: 7] Now, on to version #3: One has an arbitrarily large number of dice at our disposal (this is just a conceptual convenience; the problem can easily be formulated with one single die). The first die is rolled. If the outcome is 1, 2, or 3, one stops; otherwise, if it is 4, 5, or 6, a corresponding number of dice are rolled. This procedure continues for every rolled dice whose outcome is 4, 5, or 6. Let n denote the n-th round of rolls. What is the total expected value at the end of the n-th round of rolls? Let’s clarify with a couple of examples: Example I: 1st round of rolls (only one die is rolled): 3 => game ends. Example II: 1st round of rolls (only one die is rolled): 4 => 4 dice will be rolled next 2nd round of rolls: 3, 5, 2, 6 => 1st and 3rd dice end their lives, 2nd and 4th dice will lead to 5 and 6 dice to be rolled next, respectively 3rd round of rolls: 1, 2, 4, 4, 3; 5, 3, 6, 1, 6, 2 => ... and so forth ... solution: expected value for 1st round: 3.5 expected number of dice for 2nd round: (4+5+6)/6 = 2.5 expected value for 2nd round: 2.5 * 3.5 expected number of dice for n-th round: 2.5 ( 𝑛 − 1) expected value for n-th round: 2.5 ( 𝑛 − 1) * 3.5 total expected value at n-th round = (2.5 𝑛 − 1)/(1.5) * 3.5 = 7/3 * (5/2 𝑛 − Задача a large city the phone book comes in 4 volumes. In a phone booth those for volumes are stacked one on top of the other. Every t minutes someone takes out one volume from the stack, looks up a number and puts it back on the top of the stack. Suppose that the probability that any user should pick volume i is 𝑃 𝑖 . (sum 𝑃 𝑖 = 1 ). Define the depth 𝑑 𝑖 of volume i as the distance from the top of the stack (𝑑 𝑖 = 1 if it is on top of thestack, 𝑑 𝑖 = 2 if there is one volume on top of it and so on). Find the long-term average depths 𝑑 𝑖 a) Assume 𝑃 1 = 0.4 𝑃 2 = 0.3 𝑃 3 = 0.2 𝑃 4 = 0.1 b) Find the expressions for 𝑑 𝑖 for general Задача I start with nothing and I play this game whereby I throw a dice as many times as I want. For each throw, if 1 appears I win $1, 2 appears I win $2 ....but if 6 appears I lose all my money. So when is the optimal stopping time and what is the expected Задача 𝑋 and 𝑌 be independent uniform random variables between 0 and 1. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 96 Let 𝑃 (𝑁, 𝑀) := 𝑃 (𝑚𝑎𝑥(𝑋, 𝑌 ) > 𝑀|𝑚𝑖𝑛(𝑥, 𝑦) < 𝑁) for any N,M in [0,1]. a) Find 𝑃 (𝑁, 𝑀) for 𝑀 = 0 (trival case) b) Find 𝑃 (𝑁, 𝑀) for 𝑀 = 1 (trival case) c) Find 𝑃 (𝑁, 𝑀) for 𝑁 = 𝑀 = 1/2 d) find 𝑁 s.t. 𝑃 (𝑁, 𝑁) = 1/2 e) find 𝑁 and 𝑀 = 𝑓(𝑁) s.t. 𝑃 (𝑁, 𝑀) = 1/2 f) find 𝑃 (𝑁, Задача Bertrand’s paradox one is given a circle and asked: What is the probability P that a chord chosen at random is longer than the side of an inscribed equilateral Задача stand by the bank of a straight river. You then walk 1 km straight in any direction that keeps you dry, i.e. without crossing the river and stop at a point P. a) What is the expected value of the distance to the river? b) If at point P you walk 1 km in any direction, what is the probability that you will get back to the river? Comment: here random means uniform angle Задача 20.37. Выбираются три независимые равномерные на [0;1] величины. Найдите функцию плотности средней величины, минимальной, максимальной. Задача 20.38. Consider the ratio x/y of two positive reals x and y that are picked at random from [0;1]. What is the probability that the first non-zero digit in this ratio is a 4? Задача 20.39. (досочинять) There is another example. The premier b-schools in India (IIMs) conduct an admission test to select students. The test usually contains 200 multiple choice (four alternatives per question) questions (1 mark each) with a 1/4 marks penalty for every incorrect answer. The test duration is 2 hours. It is generally reagrded as a tough one and a score of more than 100 is considered decent. Suppose a student randomly selects one of the alternatives. Regarding the test as a sequence of 200 independent trials we can figure out the probability of scoring more than 100 marks is of the order of 10 ( − 25) . Fair enough. Suppose you have an "average"student, who gets 50 questions correct. He can also narrow down the four alternatives of each question to two alternatives. Now he tosses a coin (or by anyother random method ) to select the correct answer. To get a score of 100 or more, net of negative marking, he needs to get atleast 70 of the remaining 150 questions correct. The probability, for this case, turns out to be an astounding 81%! Even for a "below average"guy who gets 30 or less correct and tosses a coin to get the rest of the questions, has a significant probability of scoring more than 100 (40-50%). Now given score cards, what kind of conditional probability that a score of more than 100 came from a below average guy (who tossed a coin for marking answers) can we expect? I guess it should be substantial. I haven’t actually calculated it. But it should be отсутствует доля средних и глупых Задача 20.40. Assume two binary sequences of lenght N generated by fair coin flips (independent, identically distributed with equal probability for H or T). What is the expected length of the longest common contiguous subsequence that appears in both sequences? E.g.: S1: 000101111 S2: 101010101 ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 97 longest common contiguous subsequence is: 0101 Задача 20.41. Априори известно, что парная регрессия должна проходить через точку (𝑥 0 , 𝑦 0 ) . а) Выведите формулы МНК оценок б) В предположениях теоремы Гаусса-Маркова найдите дисперсии и средние оценок Задача 20.42. Is there a probability distribution on Z >0 such that the probability of selecting an integer divisible by 𝑝 is 1 𝑝 a) for all prime 𝑝? b) for all Задача particle is bouncing randomly in a two-dimensional box. How far does it travel between bounces, on average? Suppose the particle is initially at some random position in the box and is traveling in a straight line in a random direction and rebounds normally at the Задача probability/flips/once.in.run.p <== What are the odds that a run of one H or T (i.e., THT or HTH) will occur in n flips of a fair Задача probability/lights.p <== Waldo and Basil are exactly m blocks west and n blocks north from Central Park, and always go with the green light until they run out of options. Assuming that the probability of the light being green is 1/2 in each direction, that if the light is green in one direction it is red in the other, and that the lights are not synchronized, find the expected number of red lights that Waldo and Basil will Задача probability/random.walk.p <== Waldo has lost his car keys! He’s not using a very efficient search; in fact, he’s doing a random walk. He starts at 0, and moves 1 unit to the left or right, with equal probability. On the next step, he moves 2 units to the left or right, again with equal probability. For subsequent turns he follows the pattern 1, 2, 1, etc. His keys, in truth, were right under his nose at point 0. Assuming that he’ll spot them the next time he sees them, what is the probability that poor Waldo will eventually return to Задача probability/transitivity.p <== Can you number dice so that die A beats die B beats die C beats die A? What is the largest probability p with which each event can occur? 21 Выборочное среднее, общая интуиция Задача 21.1. Среднее и медиана. Имеется пять чисел 𝑥, 4, 5, 7, 9. При каком значении 𝑥 медиана будет равна среднему? Задача 21.2. Измерен рост 100 человек. Средний рост оказался равным 160 см. Медиана оказалась равной см. Машин рост в 163 см был ошибочно внесен как 173 см. Как изменятся медиана и среднее после исправления ошибки? Задача 21.3. This is a famous WWII story about the statistician Abraham Wald. He was asked by the Air Force to determine where to reinforce the armor on bombers. If you put armor everywhere, the plane is too heavy to take off. But the Air Force maintained detailed records of the location of every hit on every plane returning from missions in Germany. Wald looked at the tabulations and performed a simple transformation before using the distribution to place the armor. What transformation? ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 98 Wald inverted the distribution. The places where there were no holes were not places the anti-aircraft guns always missed, they were places where a hit was fatal. The places with lots of holes were places where hits didn’t matter Задача New York Times’ weekly science supplement called «Science Times» on August 22, 1989 stated: «... From June 4 through November 4, 1984, for instance, 132 such victims were admitted to the Animal Medical Center.... Most of the cats landed on concrete. Most survived... ... [Veterinarians] recorded the distance of the fall for 129 of the 132 cats. The falls ranged from 2 to 32 stories... 17 of the cats were put to sleep by their owners, in most cases not because of life-threatening injuries but because the owners said they could not afford medical treatment. Of the remaining 115, 8 died from shock and chest injuries... ... Even more surprising, the longer the fall, the greater the chance of survival. Only one of 22 cats that plunged from above 7 stories died, and there was only one fracture among the 13 that fell more than 9 stories. The cat that fell 32 stories on concrete, Sabrina, suffered [only] a mild lung puncture and a chipped tooth...» Is it true, that there is positive relation between length of the fall and chance of survival? Задача 21.5. Возможно ли, что риск катастрофы в расчете на 1 час пути больше для самолета, чем для автомобиля, а в расчете на 1 километр пути - наоборот? Задача 21.6. Деканат утверждает, что если студента N перевести из группы А в группу В, то средний рейтинг каждой группы возрастет. Возможно ли это? Задача 21.7. Из класса А в класс Б перевели группу человек, затем из класса Б в класс В перевели группу человек. После этой операции рейтинг каждого класса возрос по сравнению с первоначальным. Затем другие группы переводили в обратном направлении (из В в Б, потом из Б в А. При этом рейтинг каждого класса снова вырос. Возможно ли это? Задача 21.8. Два лекарства испытывали на мужчинах и женщинах. Каждый человек принимал только одно лекарство. Общий процент людей, почувствовавших улучшение, больше среди принимавших лекарство А. Процент мужчин, почувствовавших улучшение, больше среди принимавших лекарство В. Процент женщин, почувствовавших улучшение, больше среди принимавших лекарство В. Возможно ли это? Задача 21.9. Пусть 𝑋 ∈ и ее функция распределения 𝐹 (𝑡) непрерывна. Величина 𝐸|𝑋 − 𝑐| достигает своего минимума при некотором 𝑐 0 . a) Найдите 𝐹 (𝑐 0 ) b) Проинтерпретируйте hint: удобно воспользоваться геометрической интерпретацией мат. ожидания Задача 21.10. Расположите по порядку среднее, мода, медиана Задача 21.11. На курсах 3 группы по 10 человек, 2 группы по 20 человек и 1 группа по 40 человека) Каков средний размер группы, для которой читает лекции наугад выбранный профессор ТВИМС-задачник. Демешев Борис. б) Каков средний размер группы, в которой учится наугад выбранный студент? в) На других курсах Вы опросили 𝑛 человек испросили у каждого размер группы, постройте несмещенную оценку для среднего размера группы. Задача 21.12. [ Mosteller] Странное метро (шутка) Мэрвин кончает работу в случайное время между 15 и 17 часами. Его мать и его невеста живут в противоположных частях города. Мэрвин садится в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направлении, и обедает стой издам, к которой приедет. Мать Мэрвина жалуется на то, что он редко у нее бывает, но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невестой равны. Мэрвин обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление. Задача 21.13. Два эскалатора находятся рядом так, что человек может перешагнуть с одного на другой без потери и набора высоты. Можно ли сделать так, чтобы коробка, стоящая на левом эскалаторе, спускалась бы вниз коробка, стоящая на правом эскалаторе в среднем спускалась бы вниз человек, переходящий с одного эскалатора на другой без изменения высоты, в среднем поднимался бы вверх? Движение эскалаторов может быть не равномерным. Задача 21.14. Пусть 𝑋 и 𝑌 - две независимые случайные величины. Верно ли, что 𝑀𝑒(𝑋 + 𝑌 ) = 𝑀𝑒(𝑋) + 𝑀𝑒(𝑌 где 𝑀𝑒 - это медиана Свойства оценок Задача 22.1. Пусть 𝑋 равномерна на [0; 𝑎]. Придумайте 𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋 так, чтобы 𝑌 была несмещенной оценкой 𝑎. Задача 22.2. Пусть 𝑋 𝑖 - независимы и одинаково распределены. При каком значении параметра а) 2𝑋 1 − 5𝑋 2 + будет несмещенной оценкой для 𝐸 (б) 𝛽 (𝑋 1 + 𝑋 2 − будет несмещенной оценкой для 𝑉 𝑎𝑟 (𝑋 𝑖 ) ? Задача 22.3. Пусть и независимы и равномерны на [0; 𝑎]. При каком 𝛽 оценка 𝑌 = 𝛽 · min {𝑋 1 , для параметра 𝑎 будет несмещенной? Задача 22.4. Пусть случайная величина 𝑋 распределена равномерно на отрезке [0; 𝑎], где 𝑎 > 3. Исследователь хочет оценить параметр 𝜃 = 𝑃 (𝑋 < 3). Рассмотрим следующую оценку ˆ𝜃 = {︂ 1, 𝑋 < 3 0, 𝑋 ≥ 3 а) Верно ли, что оценка ˆ𝜃 является несмещенной? б) Найдите 𝐸 (︂ (︁ ˆ 𝜃 − 𝜃 )︁ 2 )︂ Задача 22.5. Пусть 𝑋 равномерна на [3𝑎 − 2; 3𝑎 + 7]. При каких 𝛼 и 𝛽 оценка 𝑌 = 𝛼 +𝛽𝑋 неизвестного параметра 𝑎 будет несмещенной? Задача 22.6. Закон распределения св. 𝑋 имеет вида б 1 2 𝑃 (𝑋 = 𝑥 𝑖 ) 1/4 𝑎 (3/4 − Постройте несмещенную оценку вида 𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋 для неизвестного параметра 𝑎 Задача 22.7. [т] Время горения лампочки – экспоненциальная св. с ожиданием равным 𝜃. Вася включил одновременно лампочек. Св. 𝑋 обозначает время самого первого перегорания ТВИМС-задачник. Демешев Бориса) Найдите б) Как с помощью 𝑋 построить несмещенную оценку для Задача 𝑖𝑖𝑑 , какая из приведенных оценок для 𝐸 (является несмещенной наиболее эффективной? наиболее эффективной среди несмещенных? а) 𝑋 1 ; б) 𝑋 1 + 3𝑋 2 − 2𝑋 3 ; в) (𝑋 1 + 𝑋 2 ) /2 ; где Задача золотых слитка - задачу можно клонировать!!!) Весы имеют ошибку со средним ноль и дисперсией Имеется три золотых монеты и результаты следующих 7 взвешиваний: Каждую монету взвешивали по отдельности, все три монеты вместе, монеты взвешивали парами (и 2; 1 и 3; 2 и Вася предлагает сложить .... вычесть. |