Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
а) левая меньше 9? б) левая и правая лежат по разные стороны от б) левая и правая лежат по разные стороны от настоящего среднего? Доделать, может включить неизвестную дисперсию? Задача 24.9. По предварительному опросу 10000 человек на выборах в Думу 462 человека будут голосовать за партию Обычная партия. На уровне значимости 0,05 проверьте гипотезу о том, что Обычная партия преодолеет 5% барьер ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 108 Задача 24.10. Вася и Петя метают дротики по мишени. Каждый из них сделал по 100 попыток. Вася оказался метче Пети в 59 попытках. На уровне значимости 5% проверьте гипотезу о том, что меткость Васи и Пети одинаковая, против альтернативной гипотезы о том, что Вася метче Пети. Задача 24.11. По 820 посетителям супермаркета средние расходы на одного человека составили 340 рублей. Из достоверных источников известно, что дисперсия равна 90000 руб. Постройте 95% доверительные интервалы для средних расходов одного посетителя (двусторонний и два односторонних). Задача 24.12. В прошлом году средняя длина ушей зайцев в темно-синем лесу была 20 см, 𝜎 = 4. В этом году у случайно попавшихся 15 зайцев средняя длина оказалась 24 см. Предполагая нормальность распределения, проверьте гипотезу о том, что средняя длина ушей не изменилась (против альтернативной гипотезы о росте длины). Задача 24.13. Стандартное отклонение количества иголок у ежа равно 130. По выборке из 12 ежей было получено среднее количество иголок 5120. Допустим, что количество иголок на одном еже можно считать нормально распределенным) Постройте 90%-ый доверительный интервал для среднего количества иголок. б) На ом уровне значимости проверьте гипотезу о том, что среднее количество иголок равно 5000. Задача 24.14. Средний бал по диплому студента - в. 𝑁(𝜇; 0.04). Средний бал, рассчитанный по выборке из абитуриентов этого года, составил 4.30. Поданной выборке был построен доверительный интервал для 𝜇: (4.2424; 4.3576). Какой уровень доверия соответствует этому интервалу? Задача 24.15. Вася очень любит играть в преферанс. Предположим, что Васин выигрыш распределен нормально. За последние 5 партий средний выигрыш составил 1560 рублей, при оценке стандартного отклонения равной 670 рублям. Постройте 90%-ый доверительный интервал для математического ожидания Васиного выигрыша. Задача 24.16. In 1882 Michelson performed experiments to measure the speed of light. 23 trials gave an average of 299756.2 km/sec with a standard deviation of 107.12. Find a 95% confidence interval for the speed of light. The correct answer is 299710.5 so there must have be some bias in his Задача English biologist named Weldon was interested in the ’pip effect’ in dice – the idea that the spots, or ’pips’, which on some dice are produced by cutting small holes in the surface, make the sides with more spots lighter and more likely to turn up. Weldon threw 12 dice 26306 times for a total of 315672 throws and observed that a 5 or 6 came up on 106602 throws. Find a 95% confidence interval for the true probability of getting 5 or 6 on a Задача 384 out of 600 randomly selected farms, the operator was also the owner. Find a 95% confidence interval for the true proportion of owner operated farms. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Задача a two week period (10 weekdays) a parking garage collected an average of $126 with a standard deviation of $15. Find a 95% confidence interval for the mean revenue. Problems are borrowed from Задача their last 100 chess games played against each other, Bill has won 46 and Monica has won 54. Using this information and a 95% confidence level, what is the probability that Bill will win a «best of seven» series with Monica? The first one to win 4 games is the winner and no more games are played. Hints: First determine a 95% confidence interval for the probability that Bill will win a game. Then, using the two extremes of this interval, determine the probability that Bill will win the series. This is a binomial experiment. Bill could win the series in 4 games, 5 games, 6 games, or 7 games. Calculate the probability of each and add them up. Do this for each of the two interval extremes. Source: (?): http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?highlight=probability+game&t=87203 Задача 24.21. Имеются две монетки. Одна правильная, другая - выпадает орлом с вероятностью 0 < 𝑞 < значение 𝑞 известно. Монетки неотличимы по внешним признакам. Одну из них (неизвестно какую) подкинули 𝑁 рази сообщили Вам, сколько раз выпал орел. Опишите процедуру тестирования гипотезы 𝐻 0 : подбрасывалась правильная монетка против 𝐻 𝑎 : подбрасывалась неправильная монетка». а) Каким должно быть 𝑁 чтобы вероятность ошибок первого и второго рода не превышала процентов, если 𝑞 = 0.4 b) Ответьте вопрос «a» при произвольном 𝑞 Задача 24.22. Имеется две конкурирующие гипотезы Величина 𝑋 распределена равномерно на отрезке [0; 100] 𝐻 𝑎 : Величина 𝑋 распределена равномерно на отрезке [50; Исследователь выбрал такой критерей: Если 𝑋 < 𝑐, то использовать 𝐻 0 , иначе использовать а) Что такое ошибка первого рода, ошибка второго рода, мощность теста»? б) Постройте графики зависимостей ошибок первого и второго рода от 𝑐. Задача 24.23. Известно, что 𝑋 𝑖 iid 𝑁 (𝜇; 900) . Исследователь проверяет гипотезу 𝐻 0 : 𝜇 = 10 против 𝐻 𝐴 : 𝜇 = 30 по выборке из 20 наблюдений. Критерий выглядит следующим образом если ¯ 𝑋 > 𝑐 , то выбрать иначе выбрать а) Рассчитайте вероятности ошибок первого и второго рода, мощность критерия для 𝑐 = б) Что произойдет с указанными вероятностями приросте количества наблюдений (𝑐 ∈ (10; в) Каким должно быть 𝑐, чтобы вероятность ошибки второго рода равнялась 0, г) Как зависят от 𝑐 вероятности ошибок первого и второго рода (𝑐 ∈ (10; 30))? Задача 24.24. Дама утверждает, что обладает особыми способностями и безошибочно отличает «бонакву» без газа от святого источника без газа. 𝐻 0 : дама не обладает особыми способностями, 𝐻 𝑎 : дама обладает особыми способностями. При даме в 3 стаканчика из ми налили «бонакву», а в 5 оставшихся -святой источник. При отгадывании стаканчики предлагаются даме в неизвестном ей порядке. Критерий: принимается основная гипотеза, если дама ошиблась хотя бы один рази альтернативная ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 110 иначе. а) Рассчитайте вероятности ошибок первого и второго рода, мощность критерия. б) Сколько из 8 стаканчиков надо наполнить «бонаквой» и сколько святым источником, чтобы вероятность ошибки первого рода была минимальной? Коммент: некоторые студенты утверждают, что отличить святой источник от «бонаквы» - элементарно, а вот отличить «бонакву» от «акваминерале» - трудно. Задача 24.25. Школьник Вася аккуратно замерял время, которое ему требовалось, чтобы добраться от школы до дома. По результатам 90 наблюдений, среднее выборочное оказалось равным 14 мина несмещенная оценка дисперсии - 5 мин) Постройте 90% доверительный интервал для среднего времени на дорогу б) На уровне значимости 10% проверьте гипотезу о том, что среднее время равно 14,5 мин, против альтернативной гипотезы о меньшем времени. в) Чему равно точное 𝑃 -значение при проверке гипотезы в п. «б»? Ответы: a) [13.61; 14.39] b) Отвергается (𝑍 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑑 = −2.12 , 𝑍 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 = −1.28 ) c) 𝑃 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0.017 Задача 24.26. На днях Левада-Центр опубликовал итоги опроса, согласно которым 2/3 россиян поддерживают Путина и 2/5 россиян доверяют опросам Левада-Центра. Договоримся, что доверяющие опросам всегда отвечают искренне, а недоверяющие могли соврать в ответе на любой вопросили оба. Исходя из этих данных, оцените реальную поддержку Путина россиянами. (Постройте 95% доверительный интервал (для поддерживающих Путина и для верящих вопрос, если было опрошено 1000 человек лента ru-math 25 Остальные гипотезы Задача 25.1. При подбрасывании кубика грани выпали 234, 229, 240, 219, 236 и 231 раз соответственно. Проверьте гипотезу о том, что кубик «правильный». Задача 25.2. Проверьте независимость дохода и пола по таблице 500 500 − 1000 > М 266 Ж 152 11 Задача 25.3. Вася Сидоров утверждает, что ходит в кино в два раза чаще, чем в спортзала в спортзал в два раза чаще, чем в театр. За последние полгода он 10 раз был в театре, 17 разв спортзале и 39 разв кино. Правдоподобно ли Васино утверждение? Задача 25.4. Проверьте независимость пола респондента и предпочитаемого им сока: Апельсиновый Томатный Вишневый М 69 40 Ж 62 Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. У 200 человек записали цвет глаз и волос. На уровне значимости 10% проверьте гипотезу о независимости этих признаков. Цвет глаз/волос Светлые Темные Итого Зеленые 49 25 Другие 96 Итого 121 200 Задача 25.6. Идея задачи на хи-квадрат. Если предложить голосовать за 3 альтернативы... Если предложить голосовать за 4 альтернативы... Выполняется ли предпосылка независимости от посторонних альтернатив? Задача 25.7. Изучалось воздействие модератора на количество идей, сочиняемых группой людей. По выборке из 4-х групп с модератором, среднее количество идей оказалось равным 78, при стандартном отклонении, по выборке из х групп без модератора, среднее количество идей оказалось равным при стандартном отклонении 20.2. Предположим нормальность распределения. а) Проверьте гипотезу о равенстве дисперсий. б) Предполагая равенство дисперсий проверьте гипотезу о равенстве средних. Задача 25.8. Маркетинговый отдел банка опросил 300 женщин и 400 мужчин. Оказалось, что реклама банка вызывает положительные эмоции у 74% опрошенных женщин и 69% опрошенных мужчина) Можно ли считать, что реклама банка одинаково нравится мужчинами женщинам? б) Постройте 90% доверительный интервал для разницы долей мужчин и женщин, одобряющих рекламу банка. в) Проверьте гипотезу о том, что рекламу одобряет 70% женщин (против гипотезы о том, что рекламу одобряет более 70% женщин). г) Предположим, что среди потребителей рекламы мужчин и женщин поровну. Постройте доверительный интервал для доли людей, которым нравится реклама банка. Задача 25.9. Исследователь сравнивал суровость климата (дисперсию температуры) в двух странах. Для этого случайным образом были выбраны 37 наблюдений за среднедневной температурой впервой стране и 46 наблюдений за среднедневной температурой во второй стране. Известно, что 𝑋 𝐼 = 14 , 𝑋 𝐼𝐼 = 11 , ˆ𝜎 2 𝐼 = и ˆ𝜎 2 𝐼𝐼 = а) Постройте 95% доверительный интервал для разности математических ожиданий среднедневных температур в двух странах. б) Предполагая, что среднедневная температура распределена нормально, проверьте гипотезу об одинаковой суровости климата. С помощью компьютера найдите точное Р-значение. в) В предположениях о нормальности постройте 90%-ые доверительные интервалы для дисперсий среднедневной температуры в двух странах. Почему один из интервалов оказался шире? Задача 25.10. Имеются две нормальные выборки {𝑋 𝑖 } = {34, 28, 29, 41, 32} , {𝑌 𝑖 } = {32, 30, 31, 25, 24, а) Проверьте гипотезу о равенстве дисперсий. С помощью компьютера укажите точное значение б) В предположении о равенстве дисперсий проверьте гипотезу о равенстве математических ожиданий. С помощью компьютера укажите точное P-значение. Задача 25.11. Вася Сидоров хвастался перед Аней Ивановой, что в среднем прыгает не меньше, чем на 2 метра ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Напомним его результаты 1,83; 1,64; 2,27; 1,78; 1,89; 2,33; 1,61; 2,31. Предположим, что длины прыжков можно считать нормальными а) Постройте 80%-ый доверительный интервал для дисперсии длины прыжка. б) Дополнительно предположив, что 𝜎 = 0, 3 проверьте гипотезу о том, что Вася действительно прыгает на 2 метра (Аня, естественно, ему не верит, и утверждает, что он прыгает меньше, чем на метра). в) Постройте двусторонний 90%-ый доверительный интервал для 𝜇, если 𝜎 = 0, 3. Задача 25.12. Контрольные камеры ДПС на МКАД, зафиксировали скорость движения и автомобилей 89, 83, 78, 96, 81, 79. В предположении нормальности скоростей: а) Постройте 90%-ый доверительный интервал для дисперсии скорости. б) Постройте 90% доверительный интервал для средней скорости автомобилей. в) Постройте 90% доверительный интервал для средней скорости автомобилей, если известно, что настоящая дисперсия равна 50 (км/ч) 2 г) На ом уровне значимости проверьте гипотезу о том, что средняя скорость равна 90 км/ч. Задача 25.13. На курсе два потока, на первом потоке учатся 40 человек, на втором потоке 50 человек. Средний балл за контрольную на первом потоке равен 78 при (выборочном) стандартном отклонении в баллов. На втором потоке средний балл равен 74 при (выборочном) стандартном отклонении в 8 баллов. а) Постройте 90% доверительный интервал для разницы баллов между двумя потоками б) На ом уровне значимости проверьте гипотезу о том, что результаты контрольной между потоками не отличаются. в) Рассчитайте точное значение (P-value) теста в пункте ’б’ Задача 25.14. Предположим, что время жизни лампочки распределено нормально. По 10 лампочкам оценка стандартного отклонения времени жизни оказалась равной 120 часам. а) Найдите 80%-ый (двусторонний) доверительный интервал для истинного стандартного отклоне- ния. б) Допустим, что выборку увеличат до 20 лампочек. Какова вероятность того, что выборочная оценка дисперсии будет отличаться от истинной дисперсии меньше, чем на 40%? Задача 25.15. Допустим, что логарифм дохода семьи имеет нормальное распределение. В городе А была проведена случайная выборка 40 семей, показавшая выборочную дисперсию 20 (тыс.р.) 2 . В городе Б по семьям выборочная дисперсия оказалась равной 32 (тыс.р.) 2 На уровне значимости 5% проверьте гипотезу о том, что дисперсия одинакова, против альтернативной гипотезы о том, что город А более однородный. Задача 25.16. Допустим, что логарифм дохода семьи имеет нормальное распределение. В городе А была проведена случайная выборка 40 семей, показавшая выборочную дисперсию 20 (тыс.р.) 2 . В городе Б по семьям выборочная дисперсия оказалась равной 32 (тыс.р.) 2 На уровне значимости 5% проверьте гипотезу о том, что дисперсия одинакова, против альтернативной гипотезы о том, что город А более однородный. Задача 25.17. Когда Пирсон придумал хи-квадрат тест на независимость признаков (около 1900 гон не был уверен в правильном количестве степеней свободы. Он разошелся во мнениях с Фишером. Фишер считал, что для таблицы два на два хи-квадрат статистика будет иметь три степени свободы, а ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 113 Пирсон - что одну. Чтобы выяснить истину, Фишер взял большое количество таблиц два на два с заведомо независимыми признаками и посчитал среднее значение хи-квадрат статистики. Чему оно оказалось равно Почему этот эксперимент помог выяснить истину Дисперсионный анализ Задача 26.1. Ниф-ниф ходит обедать водно из трех близлежащих кафе. Вот данные о его расходах (в рублях): Кафе Четыре поросенка 160, 100, 230, Кафе Суши для поросят 120, 100, 140, 150, 110, 160, Кафе Здоровый хряка) Проведите однофакторный дисперсионный анализ и сделайте выводы. б) Постройте интервалы для разницы расходов между разными кафе Задача 26.2. Данные о продаже мороженого в киоске, сгруппированные по годами сезонам: Зима Весна Лето Осень 90 120 420 200 1981 80 150 380 210 1982 90 100 410 180 1983 100 130 540 а) Проведите двухфакторный дисперсионный анализ и сделайте выводы. б) Можно ли сделать вывод о том, что продажи в 83 году выросли по сравнению с 82? 27 Непараметрические тесты Задача 27.1. Из 10 опрошенных студентов часть предпочитала готовиться по синему учебнику, а часть - по зеленому. В таблице представлены их итоговые баллы. Синий 76 45 57 Зеленый 49 59 66 81 38 а) С помощью теста Манна-Уитни (Mann-Whitney) проверьте гипотезу о том, что выбор учебника не меняет закона распределения оценки. Разрешается использование нормальной аппроксимации б) Возможно ли в этой задаче использовать (Wilcoxon Signed Rank Test)? Задача 27.2. Имеются результаты экзамена в двух группах. Группа 1: 45, 67, 87, 71, 34, 12, 54, 57; группа 2: 46, 66, 81, 72, 11, 47, 55, 51, 9, 99. На уровне значимости 5% проверить гипотезу о том, что результаты двух групп не отличаются. Задача 27.3. Имеются результаты нескольких студентов дои после апелляции (в скобках указан результат до апелляции 48(47), 54(52), 67(60), 56(60), 55(58), 55(60), 90(70), 71(81), 72(87), 69(60). На уровне значимости 5% проверьте гипотезу о том, что апелляция в среднем не сказывается на результатах. Задача 27.4. Имеются наблюдения за говорливостью 30 попугаев (слов/день): 34, 56, 32, 45, 34, 45, 67, 1, 34, 12, 123, ... , 37 (всего 13 наблюдений меньше 40). Проверить гипотезу о том, что медиана равна 40 (слов/день). Задача 27.5. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Вашему вниманию представлены результаты прыжков в длину Васи Сидорова на двух соревнованиях. На первых среди болельщиц присутствовала Аня Иванова (его первая любовь 1,83; 1,64; 2,27; 1,78; 1,89; 2,33; 1,61; 2,31. На вторых Аня среди болельщиц не присутствовала 1,26; 1,41; 2,05; 1,07; 1,59; 1,96; 1,29; 1,52; 1,18; 1,47. С помощью теста (Mann-Whitney) проверьте гипотезу о том, что присутствие Ани Ивановой положительно влияет на результаты Васи Сидорова. Уровень значимости = 0.05 Задача 27.6. Некоторые результаты х контрольных по теории вероятностей выглядят следующим образом (указан результат за вторую контрольную ив скобках результат за первую 43(55), 113(108), 97(53), 68(42), 94(67), 90.5(97), 35(91), 126(127), 102(78), 89(83). Можно ли считать (при 𝛼 = 0.05), что вторую контрольную написали лучше? Задача 27.7. Садовник осматривал по очереди розовые кусты вдоль ограды. Всего вдоль ограды растет 30 розовых кустов. Из них оказалось 20 здоровых и 10 больных. Вот заметки садовника + + + ⊖ + + ⊖ ⊖ ⊖ + + + + ⊖ ⊖ + + ⊖ + + + + + ⊖ ⊖ ⊖ + + ++ (+ - здоровый куст, ⊖ - больной куста) С помощью теста серий проверьте гипотезу о независимости испытаний б) Какой естественный смысл имеет эта гипотеза? Подсказка: можно использовать нормальное распределение Решения- Профессор, я решал эту задачу 3 часа, а ответ не совпадает. Где я сделал ошибку- Предположив, что ответы к задачнику верные. по мотивам aops, t=275053 1.1. 𝑃 (𝑁 ≥ 1) = 1 − 5 6 2 𝑃 (𝑁 = 0) = 5 6 2 1.2. 𝑃 (𝑁 = 1) = 𝐶 1 5 ( 1 2 ) 5 𝑃 (𝑁 = 2) = 𝐶 2 5 ( 1 2 ) 5 𝑃 (𝑁 = 0) = 𝐶 0 5 ( 1 2 ) 5 1.3. 𝑃 (𝑁 = 2) = 𝐶 2 6 ( 1 6 ) 2 ( 5 6 ) 4 Да. Возьмем окружность. Наугад отметим три точки. Одну будем трактовать как разрезающую окружность на отрезок. Две других, как разрезающие отрезок натри части = 𝐶 10 46 𝐶 10 50 1.6. 𝑃 ({𝑏}) = 0.2 , 𝑃 ({𝑎}) = 0.6, 𝑃 ({𝑐}) = 0.5 1.7. 𝑃 (𝐴 𝑐 ∩ 𝐵 𝑐 ) = 1 − 0.3 − 0.4 1.8. 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ [0.1; 0.3] 1.9. 𝑃 = 1 3 1.10. 𝑃 (𝑁 2 > 𝑁 1 ) = 15 36 𝑃 (𝑁 1 + 𝑁 2 = 6) = 5 36 𝑃 (𝑁 1 + 𝑁 2 = 9) = 4 36 𝑃 (𝑚𝑎𝑥{𝑁 1 , 𝑁 2 } = 5) = 9 36 𝑃 (𝑚𝑖𝑛{𝑁 1 , 𝑁 2 } = 3) = 7 36 𝑃 (|𝑁 1 − 𝑁 2 | ≤ 1) = 16 36 равны (𝑁 = 3) = 2 1 2 3 𝑃 (𝑁 = 4) = 2𝐶 1 3 1 2 4 𝑃 (𝑁 = 5) = 2𝐶 2 4 1 2 5 1.13. 365·364·363·...·356 365 𝑛 ТВИМС-задачник. Демешев Борис. минимальная компания в 23 человека = 1 𝐶 5 36 1.15. 𝐶 9 45 𝐶 1 5 𝐶 10 50 1.16. 𝑃 = 1 4 (1 − 𝑓 𝑟𝑎𝑐18) + 1 2 ( 1 8 + 3 1 8 ) + 1 4 1 8 = 1 2 1.17. 𝑃 = 1 6 ( 1 2 4 + 𝐶 4 5 1 2 5 + 𝐶 4 6 1 2 6 ) 1.18. a) 𝑃 = 1 7 + 1 14 + 1 28 b) 𝑃 = 1 2 𝑛 −1 · 2 · (1 − 0.5 𝑛 ) 1.19. 4 20 1.20. ( 1 2 ) (𝑛−1) ≤ 0.15 1.21. 𝐸(𝑋) = 𝑝 1.22. X 1 2 3 Prob 24 36 11 36 1 36 𝐸(𝑋) = 49 36 𝐸(36𝑋 − 17) = 32 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 371 1296 𝑉 𝑎𝑟(36𝑋 − 5) = 371 1.23. 1.24. 𝑃 (𝑁 = 2) = 0.7 · 0.6 = 0.42 . 𝑃 (𝑁 ≥ 1) = 1 − (1 − 0.7) · (1 − 0.6) = 0.88 1.25. a) 𝐸(𝑋) = 1, 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 1 b) 1 − 1 2! + 1 3! − ... , 1 𝑒 1.26. 700 : 100 1.27. X 1 2 3 Prob 12 20 6 20 2 20 𝐸(𝑋) = 3 2 , 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) = 9 20 1.28. 1.29. 1.30. a) 1 − 1 1024 b) 0 1.31. a) нет, условное распределение суммы можно определить, только зная безусловное. |