Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
а) Каково ожидаемое количество получающихся колец? б) Каково ожидаемое количество колец длиной в одну спагетти? Задача 5.49. Два игрока по очереди подбрасывают кубик. Выигрывает тот, кто первым выбросит шестерку. а) Каковы шансы первого игрока на победу? б) Рассчитайте шансы каждого игрока на победу, если игроков трое Задача 5.50. Испытания до первого успеха Сколько в среднем раз надо бросать кость до появления шестерки? Задача 5.51. В один конверт кладут сумму 10 𝑁 , в другой - 10 𝑁 +1 , где 𝑁 - грань выпавшая на кубике. Петя и Вася берут конверты наугад и каждый открывает свой. Далее их по очереди (Петя-Вася-Петя-Вася-...) спрашивают хотел бы ты заплатить 1 рубль за возможность поменяться конвертами. Реального обмена не происходит. Им просто по очереди несколько раз задают один и тот же вопрос. Каждый слышит все предыдущие ответы и говорит правду. Как они будут отвечать? Задача 5.52. На столе стоят 𝑛 копилок. Достать содержимое копилки можно двумя способами либо разбить копилку, либо открыть дно специальным ключиком. У каждой копилки свой ключик. Мы раскладываем ключи по копилкам наугад (один ключ в одну копилку. Затем разбиваем две копилки. Далее разбивать копилки запрещается. а) Какова вероятность того, что мы сможем достать все ключи? б) Как изменится ответ, если изначально разбить не две, а 𝑘 копилок? в) Сколько в среднем можно добыть ключей, если разбивать 𝑘 копилок? г) Какая доля ключей в среднем будет найдена, если разбивать 𝑘 копилок? Задача 5.53. Копилки-2 На столе стоят 𝑛 копилок. Достать содержимое копилки можно двумя способами либо разбить копилку, либо открыть дно специальным ключиком. У каждой копилки свой ключик. Мы связываем ключи в несколько связок. Затем связки ключей раскладываются по копилкам наугад (часть копилок остается пустыми, в остальных - по одной связке. Затем разбиваем две копилки. Далее разбивать копилки запрещается. а) Какова вероятность того, что мы сможем достать все ключи? б) Как изменится ответ, если изначально разбить не две, а 𝑘 копилок? в) Сколько в среднем можно добыть ключей, если разбивать одну копилку Может плохой ответ? Задача 5.54. В вершинах треугольника три ежика. С вероятностью 𝑝 каждый ежик независимо от других двигается почасовой стрелке, с вероятностью (1 − 𝑝) он двигается против часовой стрелки. Сколько в среднем пройдет времени прежде, чем они встретятся водной вершине? При каком 𝑝 ожидаемое время встречи минимально? Задача 5.55. Монетка подбрасывается 16 раз. Какова вероятность того, что ни разу не выпадет ни три орла подряд, ни две решки подряд? Задача 5.56. Стопка газет У Пети стопка из 𝑛 номеров газеты Вышка лежащих в случайном порядке. Петя сортирует газеты следующим образом. Он последовательно просматривает стопку сверху вниз. Если просматриваемый выпуск более свежий, чем лежащий сверху стопки, то Петя перекладывает более свежий выпуск наверх стопки и начинает просматривать стопку заново. Сколько переносов более свежих номеров наверх в среднем будет сделано до того момента, когда ТВИМС-задачник. Демешев Борис. наверху окажется первый выпуск газеты? Source: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=124903 Задача 5.57. За Круглым столом сидит Король Артур и еще (𝑛 − 1) рыцарь. Король Артур подбрасывает игральный кубик. Если кубик выпадает на 1 или 2, то он объявляется победителем. Если на 3 или 4, то кубик передается соседу слева. Если на 5 или 6, то кубик передается соседу справа. Подкидывания и передача кубика повторяются до тех пор, пока не определится победитель. а) Найдите вероятность победы Короля Артура для 𝑛 рыцарей. б) Найдите 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ Задача 5.58. Жестокий тиран издал новый указ. Отныне за каждого новорожденного мальчика семья получает денежную премию, но если в семье рождается вторая девочка, то всю семью убивают. Предположим, что бедные жители страны остро нуждаются в деньгах, ноне хотят рисковать своей жизнью. а) Какой будет средняя доля мальчиков в стране? б) Каким будет среднее число детей в семье? в) Какой будет средняя доля мальчиков в семье? г) Какой будет средняя доля семей, с одним ребенком? д) Каким будет среднее отношение числа мальчиков к числу девочек в стране? е) Каким будет среднее отношение числа мальчиков к числу девочек в семье? ж) Каким будет среднее отношение числа девочек к числу мальчиков в стране? з) Почему некорректен вопрос про среднее отношение числа девочек к числу мальчиков в семье? Задача 5.59. Пусть 𝐿 𝑡 - число точек, которые симметричное случайное блуждание посетит ровно один раз к моменту времени Найдите 𝐸(𝐿 𝑡 ) Задача 5.60. Сколько разв среднем нужно подбрасывать монетку до появления 𝑛 орлов подряд? Задача 5.61. Let 𝑋 𝑖 be independent and uniformly distribuited on (0; 1) . Let 𝑥 ∈ (0; 1) and define 𝑁 = 𝑚𝑖𝑛(𝑛 ≥ 1|𝑋 1 + 𝑋 2 + . . . + 𝑋 𝑛 > 𝑥) Find 𝐸(𝑋), 𝑉 Задача players A, B and C take turns to roll a die; they do this in the order ABCABC... (a) Show that the probability that, of the three players, A is the first to throw a 6, B the second, and C the third, is 216/1001. (b) Show that the probability that the first 6 to appear is thrown by A, the second 6 to appear is thrown by B, and the third 6 to appear is thrown by C, is Задача spider moves on the eight vertices of a cube in the following way: at each step the spider is equally likely to move to each of three adjacent vertices, independently of its past motion. Let 𝐼 be the initial vertex occupied by the spider, and let 𝑂 be the vertex opposite of 𝐼. a) Calculate the expected number of steps until the spider returns to 𝐼 for the first time. b) Calculate the expected number of visits to 𝑂 until the first return to 𝐼. c) Calculate the expected number of steps until the first visit to Задача Bob and Nick are playing a game. Bob rolls a die and continues to roll until he gets a 2. He keeps track of all the outcomes of the rolls. He calls the sum of the outcomes of the rolls (including the last outcome 2) 𝑋. Nick does the same thing as Bob, only he keeps rolling until he gets a 5 and he calls the sum of the outcomes of his rolls (including the last outcome 5) 𝑌 . At the end of the game, Bob pays Nick ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 41 𝑌 dollars and Nick pays Bob 𝑋 dollars. Does one of the boys have an advantage over the other? Which one? Задача 5.65. Миша должен перебрать ведро яблок (выкинуть гнилые. В ведре 12 яблок, из них 4 гнилых. Миша выбирает яблоки следующим образом достает по 3 яблока случающим образом, выкидывает гнилые, а нормальные кладет обратно в корзину. Он действует, таким образом, до тех пор, пока недостанет не гнилых яблока. После этого он идет к дедушке и говорит, что все перебрал. Найдите вероятность того, что дедушка возьмет на проверку гнилое яблоко (дедушка случайным образом берет всего одно яблоко. source: банк задач первой олимпиады школьников Задача 5.66. Миша предстоит перебрать ведро в котором 𝑛 грибов. Среди грибов одна бледная поганка, остальные хорошие. Миша осматривает грибы по одному, доставая их наугад, и осмотренные откладывает в сторону. Бледную поганку Миша определяет безошибочно. а) Каково математическое ожидание и дисперсия числа осмотренных грибов? б) Каково математическое ожидание числа осмотренных грибов, если бледных поганок две? Задача 5.67. Правильную монетку подбрасывают 𝑛 раз. Пусть 𝑋 1 ,...𝑋 𝐾 - длины последовательных серий) (easy) Чему равно 𝑋 1 + 𝑋 2 + ... + б) Чему равно 𝐸(𝑋 2 1 + ... + в) 𝐸(𝑚𝑎𝑥(𝑋 1 , ..., 𝑋 𝐾 )) , Задача pay 1$ to play a game, a fair coin is tossed and if heads you get 3$, if tails nothing. You start with 50$ and play as many times as you like. What is the probability that you will go bankrupt if you keep Задача two people, each of whom tosses a coin repeatedly. Person A keeps tossing until the first time three successive tosses come down head, tail, head. Person B tosses until they first get a head followed by two tails. On average, who will have to wait longer? At what probability 𝑝 (approximately) of a head are the two expectations equal? Задача 5.70. Монетку подрасывают до выпадения трех орлов подряд. Найдите ожидание и дисперсию числа подбрасываний. Задача 5.71. A fair coin is tossed repeatedly. What is the average number of tosses required to obtain a Задача die is rolled repeatedly. On average, how many times must the die be rolled to get a Задача couple decides to keep having children until they have at least one boy and one girl. What is the average number of children they will have? (Assume no Задача alternately toss a fair coin and throw a fair die until I either toss a head or throw a 2. If I toss the coin first, what is the probability that I throw a 2 before I toss a Задача fair coin is tossed repeatedly. What is the average number of tosses required to obtain two heads in a Задача apple is located at vertex 𝐴 of pentagon 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, and a worm is located two vertices away, at 𝐶. Every day the worm crawls with equal probability to one of the two adjacent vertices. When it reaches ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 42 vertex 𝐴, it stops to dine. What is the average number of days until Задача people stand at the vertices of a pentagon, throwing frisbees at each other. They have two frisbees, initially at adjacent vertices. At each step, each frisbee is thrown either to the left or to the right with equal probability. This process continues until one person is the target of two frisbees simultaneously; then the game stops. What is the average number of steps Задача men, 𝐴, 𝐵, and 𝐶, are to fight a pistol duel (truel?). 𝐴’s chance of hitting a target is 0.3, 𝐵’s chance is 0.5, and 𝐶 never misses. They are to fire at their choice of target in succession in the order 𝐴, 𝐵, 𝐶, cyclically (but a hit man loses further turns and is no longer shot at) until one man is left. What should 𝐴 ’s strategy Задача flips a fair coin. Nate then flips the coin and wins if it matches Erica’s flip. If it doesn’t match, then Noah flips the coin and wins if it matches Nate’s flip. If Noah doesn’t win, then Erica flips and wins if it matches Noah’s flip. The game continues until there is a winner. What is the probability that Nate wins the Задача persons, 𝑋 and 𝑌 , play with a die an unlimited number of times. 𝑋 wins a game if the outcome is 1 or 2; 𝑌 wins the game in the other cases. A player wins the match if he wins two consecutive games. Determine the probability that 𝑋 wins the Задача and Scott are playing a game where a player wins as soon as he has two points more than his opponent. Both players start at zero, and points are earned one at a time. If Daniel has a 0.6 chance of winning each point, what is the probability that he will win the Задача are each randomly numbered 1 to 5. All five numbers are required to win a prize. On average, how many coupons must be taken to Задача and Bob flip a coin until either HHT or HTT occurs. Alice wins if the pattern HHT comes first; Bob wins if HTT comes first. What is the probability that Alice will Задача fair coin is tossed repeatedly. What is the probability that the first occurrence of three heads in a row is earlier than the first occurrence of two tails in a Задача fair coin is tossed repeatedly. What is the probability that the first occurrence of HH will occur before the first occurrence of Задача fair coin is tossed repeatedly. What is the average number of tosses required to obtain the Задача 𝐴 has 1 dollar, and Player 𝐵 has 2 dollars. Each play gives one of the players 1 dollar from the other. Player 𝐴 is enough better than Player 𝐵 that he wins 70% of the plays. They play until one is bankrupt. What is the chance that Player 𝐴 Задача players, 𝐴 and 𝐵, start with 𝑎 and 𝑏 dollars, respectively. A fair coin is repeatedly tossed. If the result is heads, then 𝐴 pays 𝐵 one dollar. Otherwise, 𝐵 pays 𝐴 one dollar. The game ends when one player goes broke. What is the probability that 𝐴 Задача bug is on a number line, starting at 0. A fair coin is tossed repeatedly. If the coin comes up heads, the bug goes 1 unit left; otherwise, the bug goes 1 unit right. What is the probability that the bug eventually returns to Задача where the drunken man stands, one step toward the cliff would send him over the edge. He takes random steps, either toward or away from the cliff. At any step, his probability of taking a step away is 2 3 , of a step toward the cliff 1 3 . What is his chance of falling over the Задача microbe either splits into two perfect copies of itself or dies. If the probability of splitting is 2 3 (and is independent of the microbe’s ancestry), what is the probability that a microbes’s descendants die Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 43 Two players, 𝐴 and 𝐵, repeatedly play a game of chance. At each turn, either 𝐴 wins 1 dollar from B with probability 0.51, or 𝐴 loses 1 dollar to 𝐵 with probability 0.49. Both 𝐴 and 𝐵 have unlimited capital. What is 𝐴’s expected peak cumulative Задача particle moves at each step 2 units to the right or 1 unit to the left, with probability 0.5 each. The particle starts at 1. What is the probability that the particle will ever reach the Задача coin is tossed repeatedly. What is the probability that at some point, the number of tails will be greater than twice the number of Задача numbers are chosen at random from the unit interval (0; 1). If after choosing the 𝑁-th number the sum of the numbers so chosen first exceeds 1, what is the expected value of Задача numbers are chosen at random from the unit interval (0; 2). If after choosing the 𝑁-th number the sum of the numbers so chosen first exceeds 2, what is the expected value of 𝑁? Source: previous 26 problems, aops, Задача fair coin is tossed repeatedly. Find the probability of obtaining five consecutive heads before two consecutive Задача and B play a series of games. Each game is independently won by A with probability 𝑝 and by B with probability (1 − 𝑝). They stop when the total number of wins of one of the players is two greater than that of the other player. The player with the greater number of total wins is declared the winner. Find the probability that A is the match winner. Source: aops, Задача and B are having a shooting contest. Each of them have 50 bullets. For each bullet, both A and B have 50% probability of hitting the target. After they finish shooting, the total numbers of bullets that hit the target are counted. If A hit the target more than B, A wins. If they hit the target the same number of times, it’s a tie. Otherwise, B wins. Apparently if A and B both get 50 shots, they have the same probability of winning. The question is: what is the probability of A winning if A gets 51 shots and B gets 50 shots? Задача 5.100. Имеется 𝑛 неправильных монеток. Монетка номер 𝑘 выпадает орлом с вероятностью 𝑝 𝑘 = 1 2𝑘+1 . Все 𝑛 монеток подбрасываются одновременно. Какова вероятность, что выпадет нечетное число орлов? Задача 5.101. Вариация к началу 2008 года Дед Мороз развешивает новогодние гирлянды. Аллея состоит из 2008 елок. Каждой гирляндой Дед Мороз соединяет две елки (необязательно соседние. В результате Дед Мороз повесил 1004 гирлянды и все елки оказались украшенными. Какова вероятность того, что существует хотя бы одна гирлянда, пересекающаяся с каждой из других? Например, гирлянда 5-123 (гирлянда соединяющая 5-ую и ю елки) пересекает гирлянду 37-78 и гирлянду 110-318. Например, на рисунке: [𝑝𝑖𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒ℎ𝑒𝑟𝑒] зеленая гирлянда пересекается с красной и с синей, а красная и синяя не пересекаются Задача 5.102. Имеется 𝑛 монеток. Каждая выпадает орлом с вероятностью 𝑝. В первом раунде подкидывают все монетки. Во втором раунде подкидывают те монетки, которые не выпали орлом в первом раунде. В третьем раунде подкидывают те монетки, которые не выпали орлом нив первом, ни во втором раунде. И т.д. до тех пор, пока будут монетки не выпадавшие орлом ни разу. Пусть 𝑋 - число монет, подброшенных в последнем раунде. а) Как связаны 𝐸(𝑋) и 𝑃 (𝑋 = б) Существует ли предел lim 𝑛→∞ 𝑃 (𝑋 = 1) ? Задача 5.103. В озере сейчас живет одна амеба. Каждую минуту каждая амеба равновероятно превращается вили амебы. а) Какова вероятность того, что популяция амеб в озере рано или поздно вымрет ТВИМС-задачник. Демешев Борис. б) Сколько в среднем амеб в озере будет через 𝑛 минут? Задача 5.104. Убийцы и мирные граждане Вы приехали в уездный город 𝑁. В городе кроме Вас живут 𝑀 мирных граждан и 𝑈 убийц. Каждый день на улице случайным образом встречаются два человека. Если встречаются два мирных гражданина, то они пожимают друг другу руки. Если встречаются мирный гражданин и убийца, то убийца убивает мирного гражданина. Если встречаются двое убийц, то оба погибают. Каковы Ваши шансы выжить в этом городе Зависят ли они от Вашей стратегии? Задача 5.105. Правильная монетка подбрасывается бесконечное количество раз. Какова вероятность того, что орлов подряд появятся раньше, чем 𝑡 решек подряд? Задача 5.106. В углу доски стоит шахматная фигура. Мы двигаем ее наугад (согласно правилам хода для этой фигуры. Сколько в среднем пройдет ходов прежде чем она вернется в исходную клетку, если эта фигура: а) король б) конь в) ладья г) слон д) ферьзь Подсказка: находим стационарное распределение, обращаем вероятность Задача 5.107. A coin, which lands on heads with probability 𝑝 is continually flipped. Compute the expected number of flips required to get a string of 𝑟 heads in a row. Задача 5.108. Пусть 𝐺 свободная группа, порожденная двумя элементами 𝑎 и 𝑏. Те. 𝐺 состоит из всех ’слов’ конечной длины, состоящих из букв 𝑎, 𝑏, 𝑎 −1 , 𝑏 −1 . Буквы 𝑎 и 𝑎 −1 , также как и буквы 𝑏 и сокращаются. Имеется особое ’слово’-’единица’ 𝑒, 𝑒·𝑎 = 𝑎 etc. В начальный момент времени написано ’слово’ 𝑒. В каждый следующий момент справа дописывается одна из четырех букв (производится сокращение, если это возможно буквы не переставляются). |