Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
а) Сколько попыток в среднем потребуется? б) Какая попытка скорее всего будет первой удачной) Творческая часть. Поиграйтесь с задачей. Случайна ли прогрессия в ответе Сравните с 6 но- вых+4старых и т.д. Задача 1.101. Два ферзя (черный и белый) ставятся наугад на шахматную доску. а) Какова вероятность того, что они будут бить друг друга? б) К чему стремится эта вероятность для шахматной доски со стороной, стремящейся к бесконечности события 𝐴 0 , и 𝐴 2 - несовместны и вместе покрывают все Обозначим 𝑝 0 = 𝑃 (𝐴 1 ∪ 𝐴 2 ) , 𝑝 1 = 𝑃 (𝐴 0 ∪ 𝐴 2 ) , 𝑝 2 = 𝑃 (𝐴 0 ∪ Перечислите все условия, которым удовлетворяют 𝑝 0 , 𝑝 1 , 𝑝 2 Задача 1.103. Найдите вероятность того, что произойдет ровно одно событие из 𝐴 и 𝐵, если 𝑃 (𝐴) = 0.3, 𝑃 (𝐵) = 0.2, 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 0.1 Задача 1.104. На день рождения к Васе пришли две Маши, два Саши, Петя и Коля. Все вместе с Васей сели за круглый стол. Какова вероятность, что Вася окажется между двумя тезками? Задача 1.105. At a bus stop you can take bus #1 and bus #2. Bus #1 passes 10 minutes after bus #2 has passed whereas bus #2 passes 20 mins after bus #1 has passed. What is the average waiting time to get on a bus at that bus stop? Source: wilmott, 26, 55617 Задача 1.106. Петя подкидывает монетку четыре раза. Если монетка выпадает орлом, то он кладет в мешок черный шар, если решкой - белый. Петя не знает, как выпадала монетка, и достает два шара из мешка наугад. Первый шар черного цвета. Какова вероятность того, что второй будет белым? Задача 1.107. A wooden cube that measures 3 cm along each edge is painted red. The painted cube is then cut into 1-cm cubes as shown above. a) If I choose one of the small cubes at random and toss it in the air, what is the probability that it will land red-painted side up? b) If I tossed all the small cubes in the air, so that they landed randomly on the table, how many cubes should I expect to land with a painted face up? c) If I put all the small cubes in a bag and randomly draw out 3, what is the probability that at least 3 faces on the cubes I choose are painted red? ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 15 d) If I put the small cubes in a bag and randomly draw out 3, what is the probability that exactly 3 of the faces are painted red? e) Invent a new question! Source: http://letsplaymath.wordpress.com/2007/07/25/puzzle-random-blocks/ Задача 1.108. Случайным образом выбирается натуральное число 𝑋. Вероятность выбора числа 𝑛 равна 𝑃 (𝑋 = 𝑛) = а) Какова вероятность того, что будет выбрано четное число Нечетное число Число больше Число от 3 доб) Пусть независимо друг от друга выбираются 𝑐 чисел. Пусть 𝐾 𝑐 - количество невыбранных чисел на отрезке от одного до наибольшего выбранного числа. Найдите 𝑃 (𝐾 𝑐 = 𝑘) Source b: AMM E3061 by T. Ferguson and C. Melolidakis Задача 1.109. В уездном городе 𝑁 два родильных дома, водном ежедневно рождается 50 человек, в другом - человек. В каков роддоме чаще рождается одинаковое количество мальчиков и девочек? Задача 1.110. Равновероятно выбирается три числа от 1 до 20. Какова вероятность того, что третье попадет между двух первых? Задача 1.111. Let you choose a sequence infinite of integer between 1 and 10, what is the possibility that your sequence doesnt have any «1»? Задача 1.112. Вася наугад выбирает два разных натуральных числа от 1 до а) Какова вероятность того, что будет выбрано число б) Какова вероятность того, что сумма выбранных чисел будет четная? в) Каково математическое ожидание суммы выбранных чисел? Задача 1.113. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.6, при каждом последующем - уменьшается на 0.1. Найдите) Закон распределения числа патронов, израсходованных охотником б) Математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины Задача 1.114. There are three coins in a box. These coins when flipped, will come up heads with respective probabilities 0.3 , 0.5, 0.7. A coin is randomly selected (meaning uniform distribution!) from among these three and then flipped 10 times. Let 𝑁 be the number of heads obtained on the first ten а) Найдите Pr[𝑁 = б you win $1 each time a head appears and you lose $1 each time a tail appears, is this a fair Задача distinct numbers are randomly distributed to players numbered 1 through 5. Whenever two players compare their numbers, the one with the higher one is declared the winner. Initially, players 1 and 2 compare their numbers; the winner then compares with player 3. Let 𝑋 denote the number of times player 1 is a winner. Find the distribution of 𝑋 Задача 1.116. Известно, что когда соревнуются Аи Б, то А побеждает с вероятностью 𝑥 (Б, соотвественно, с вероятностью (1−𝑥)). Когда соревнуются Аи В, то А побеждает с вероятностью 𝑦 (В, соответственно, с вероятностью (1 − а) Придумайте модель, которая бы позволяла узнать вероятность победы Б над В ТВИМС-задачник. Демешев Борис. б) Покажите, что можно придумать другую модель и получить другую вероятность Задача 1.117. Контрольную пишут 40 человек. Половина пишет первый вариант, половина - второй. Время написания- независимые непрерывные случайные величины. Какова вероятность того, что в тот момент когда будет сдана последняя работа первого варианта останется еще 5 человек пишущих второй вариант? Задача 1.118. В классе 28 человек, среди них 18 девочек. Класс построили в 4 ряда по 7 человек. Какова вероятность того, что рядом с Вовочкой будет стоять хотя бы одна девочка для Вовочки любая девушка - рядом :) Задача 1.119. Как почувствовать разницу в 0.01[?]? Пусть вероятность того, что Маша находится целый день в хорошем настроении равна 0.99. А вероятность того, что Саша находится в хорошем настроении равна. Какова вероятность того, что Маша будет целый год непрерывно в хорошем настроении? Саша? 2 Комбинаторика Задача 2.1. На столе есть следующие предметы отличающихся друг от друга чашки одинаковых граненых стакана одинаковых кусков сахара соломинок разных цветов. Сколькими способами можно разложить: а) сахар по чашкам; б) сахар по стаканам; в) соломинки по чашкам; г) соломинки по стаканам; Как изменятся ответы, если требуется, чтобы пустых емкостей не оставалось? Задача 2.2. Сколькими способами можно разложить 𝑘 кусков сахара по 𝑛 различающимся чашкам? Подсказка: ответ - всего лишь биномиальный коэффициент Задача 2.3. Генуэзская лотерея (задача Леонарда Эйлера) Из 90 чисел выбираются 5 наугад. Назовем серией последовательность из нескольких чисел, идущих подряд. Например, если выпали числа 23, 24, 77, 78 и 79 (неважно в каком порядке, то есть две серии (23-24, Определите вероятность того, что будет ровно 𝑘 серий. Комментарий: сама лотерея возникла в 17 веке Задача 2.4. В клубе 25 человек) Сколькими способами можно выбрать комитет из х человек? б) Сколькими способами можно выбрать руководство, состоящее из директора, зама и кассира? Задача 2.5. Сколькими способами можно расставить 5 человек в очередь? Задача 2.6. Сколькими способами можно покрасить 12 комнат, если требуется 4 покрасить желтым цветом, 5 - голубыми- зеленым? Задача 2.7. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Шесть студентов, три юноши и три девушки, стоят в очереди за пирожками в случайном порядке. Какова вероятность того, что юноши и девушки чередуются? Задача 2.8. Покер Выбирается 5 карт из колоды (52 карты без джокеров, достоинством от 2 до туза, всего 13 достоинств. Рассчитайте вероятности комбинаций (Пара) - Две карты одного достоинства pairs (Две пары) - Две карты одного достоинства и две другого of Kind (Тройка) - Три карты одного достоинства (две другие - разного достоинства (Стрит) - Пять последовательных карт необязательно одной масти (Масть) - Все карты одной масти House (Фулл) - Три карты одного достоинства и две другого of Kind (Каре) - Четыре карты одного достоинства Flush (Стрит-Флэш) - Пять последовательных карт одной масти Flush (Роял-Флэш) - Пять последовательных карт одной масти начиная с туза [ Более слабая комбинация не содержит в себе более сильной] Задача 2.9. «Вилкодыр» Есть 𝑛 дырочек, расположенных в линию, на расстоянии в 1 см. У каждой вилки два штырька на расстоянии в 1 см. а) Сколькими способами можно воткнуть 𝑘 одинаковых вилок? б) Как изменится ответ, если дырочки расположены по окружности? Задача 2.10. В ряду 𝑛 лампочек. Из них надо зажечь 8, так чтобы было три серии пои горящих лампочки). Сколькими способами это можно сделать? Задача 2.11. Вася играет в преферанс. Он взял прикуп, снес две карты и выбрал козыря. У Васи на руках четыре козыря. Какова вероятность, что оставшиеся четыре козыря разделились 4:0, 3:1, Для тех, кто не знает, как играть в преферанс 32 карты, из которых 8 будущих козырей, раздаются по 10 между 3 игроками, еще две кладутся в прикуп. Задача 2.12. а) Перетасована колода в 52 карты. Какова вероятность того, что какие-нибудь туз и король будут лежать рядом? б) Какова вероятность того, что какой-нибудь туз будет лежать за каким-нибудь королем? Задача 2.13. Чему равна сумма 𝐶 0 𝑛 − 𝐶 1 𝑛 + 𝐶 2 𝑛 − Ее применение к matching problem Задача 2.14. В линию выложено 𝑛 предметов друг за другом. Сколькими способами можно выбрать 𝑘 предметов из линии, так чтобы небыли выбраны соседние предметы? Задача 2.15. Given eight distinguishable rings, let 𝑛 be the number of possible five-ring arrangements on the four fingers (not the thumb) of one hand. The order of rings on each finger is significant, but it is not required that each finger have a ring. source: AIME 2000, Задача numbers are randomly picked from 90. In your bet cards, you get to choose 5 numbers. How many cards have you got to fill in, to guarantee that at least one of them has 4 right numbers? Source: wilmott Задача 2.17. Где-то вначале века Галилея попросили объяснить следующее количество троек натуральных ТВИМС-задачник. Демешев Борис. чисел, дающих в сумме 9, такое же, как количество троек, дающих в сумме 10; но при трехкратном подбрасывании кубика 9 в сумме выпадает реже, чем Дайте корректное объяснение Задача 2.18. Из 10 цифр (от 0 до 9) выбираются 3 наугад (возможны повторения. Обозначим числа (в порядке появления 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 . Какова вероятность того, что 𝑋 1 > 𝑋 2 > 𝑋 3 ? Задача 2.19. В контрольной 20 вопросов. Все ответы разные. Вася успел переписать у друга все верные ответы, ноне знает в каком порядке они идут. Отлично ставят ответившим верно на не менее чем 15 вопросов. Какова вероятность того, что Вася получит отлично? Задача 2.20. Сколько существует векторов (𝑥 1 , 𝑥 2 , ..., таких, что 1 ≤ 𝑥 1 < 𝑥 2 < 𝑥 3 < ... < 𝑥 𝑘 ≤ Задача are k books of mine among n books. We put them in a shelf ramdomly. Which is the possibility that there are p books of my who are placed continuously? (at least, exactly) source: aops, 192257 Задача 2.22. Корректоры очепяток Вася замечает очепятку с вероятностью 0.7; Петя независимо от Васи замечает очепятку с вероятностью. В книге содержится 100 опечаток. Какова вероятность того, что Вася заметит 30 опечаток, Петя - 50, причем 14 опечаток будут замечены обоими корректорами? Задача 2.23. На каждой карточке вы можете отметить любые 5 чисел из 100. Сколько карточек нужно купить, чтобы гарантированно угадать 3 числа из выпадающих в лотереи 7 чисел? коммент: может быть громоздкие вычисления Задача 2.24. Сколькими способами можно поставить в очередь 𝑎 мужчин и 𝑏 женщин, так чтобы нигде двое мужчин не стояли рядом? Задача 2.25. Известно, что функция 𝑓(𝑛, 𝑘) удовлетворяет условиям) 𝑓(𝑛, 𝑘) = 𝑓(𝑛 − 1, 𝑘) + 𝑓(𝑛, 𝑘 − 1) (B) 𝑓(𝑛, 0) = 𝑓(𝑛, 𝑛) = 1 –> Solve (1),(2), that is express f with some known functionals. Hint: a. The easiest way to prove that is to know the answer (or have an intuition) as f is uniquely determined by induction. 3 Условная вероятность Задача 3.1. randomized response В анкете для чиновников включен скользкий вопрос Берете ли Вы взятки. Чтобы стимулировать чиновников отвечать правдиво используется следующий прием. Перед ответом на вопрос чиновник втайне от анкетирующего подкидывает специальную монетку, на гранях которой написано правда, ложь. Если монетка выпадает правдой, то предлагается отвечать на вопрос правдиво, если монетка выпадает на ложь, то предлагается солгать. Таким образом ответ да необязательно означает, что чиновник берет взятки. Допустим, что треть чиновников берут взятки, а монетка - неправильная и выпадает правдой с вероятностью 0.2. a) Какова вероятность того, что чиновник ответит да ТВИМС-задачник. Демешев Борис. б) Какова вероятность того, что чиновник берет взятки, если он ответил да Если ответил «нет»? коммент: вставить построение несмещенной оценки? Задача 3.2. Пусть события 𝐴 и 𝐵 независимы, и 𝑃 (𝐵) > 0. Чему равна 𝑃 (𝐴|𝐵)? Задача 3.3. Из колоды в 52 карты извлекается одна карта наугад. Верно ли, что события извлечен туз и «извлечена пика являются независимыми? Задача 3.4. Из колоды в 52 карты извлекаются по очереди две карты наугад. Верно ли, что события первая карта - туз и вторая карта - туз являются независимыми? Задача 3.5. Известно, что 𝑃 (𝐴) = 0, 3, 𝑃 (𝐵) = 0, 4, 𝑃 (𝐶) = 0, 5. События 𝐴 и 𝐵 несовместны, события 𝐴 и независимы и 𝑃 (𝐵|𝐶) = 0, 1. Найдите 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶). Задача 3.6. Имеется три монетки. Две правильных и одна - с орлами по обеим сторонам. Петя выбирает одну монетку наугад и подкидывает ее два раза. Оба раза выпадает орел. Какова вероятность того, что монетка «неправильная»? Задача 3.7. [ Айвазян, экзамен РЭШ] Самолет упал либо в горах, либо на равнине. Вероятность того, что самолет упал в горах равна Для поиска пропавшего самолета выделено 10 вертолетов. Каждый вертолет можно использовать только водном месте. Как распределить имеющиеся вертолеты, если вероятность обнаружения пропавшего самолета отдельно взятым вертолетом равна: а) 0,95 (ясная погода) б) 0,6 (пасмурно) в) 0,1 (туман) Задача 3.8. Предположим, что социологическим опросам доверяют 70% жителей. Те, кто доверяют, опросам всегда отвечают искренне те, кто не доверяют, отвечают наугад. Социолог Петя в анкету очередного опроса включил вопрос Доверяете ли Вы социологическим опросам?» а) Какова вероятность, что случайно выбранный респондент ответит «Да»? б) Какова вероятность того, что он действительно доверяет, если известно, что он ответил «Да»? Задача 3.9. Пете и Васе предложили одну и туже задачу. Они могут правильно решить ее с вероятностями и 0.8, соответственно. К задаче предлагается 5 ответов на выбор, поэтому будем считать, что выбор каждого из пяти ответов равновероятен, если задача решена неправильно. а) Какова вероятность несовпадения ответов Пети и Васи? б) Какова вероятность того, что Петя ошибся, если ответы совпали? в) Каково ожидаемое количество правильных решений, если ответы совпали? Задача 3.10. Два охотника выстрелили в одну утку. Первый попадает с вероятностью 0,4, второй - с вероятностью. В утку попала ровно одна пуля. Какова вероятность того, что утка была убита первым охотником? Задача 3.11. С вероятностью 0,3 Вася оставил конспект водной из 10 посещенных им сегодня аудиторий. Вася осмотрел 7 из 10 аудиторий и конспекта в них не нашел. а) Какова вероятность того, что конспект будет найден в следующей осматриваемой им аудитории? б) Какова (условная) вероятность того, что конспект оставлен где-то в другом месте? Задача 3.12. Вася гоняет на мотоцикле по единичной окружности с центром вначале координат. В случайный момент времени он останавливается. Пусть случайные величины 𝑋 и 𝑌 - это Васины абсцисса и ТВИМС-задачник. Демешев Борис. ордината в момент остановки. Найдите 𝑃 (𝑋 > 1 2 ) , 𝑃 (𝑋 > 1 2 |𝑌 < 1 2 ) . Являются ли события 𝐴 = {︀𝑋 > 1 и 𝐵 = {︀𝑌 < 1 2 }︀ независимыми? Подсказка: 𝑐𝑜𝑠( 𝜋 3 ) = 1 2 , длина окружности 𝑙 = 2𝜋𝑅 Задача 3.13. Пусть 𝑃 (𝐴) = 1/4, 𝑃 (𝐴|𝐵) = 1/2 и 𝑃 (𝐵|𝐴) = 1/3. Найдите 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵), 𝑃 (𝐵) и 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵). Задача 3.14. Примерно 1 4% коров заражены коровьим бешенством. Имеется тест, позволяющий с определенной степени достоверности установить, заражено ли мясо прионом или нет. С вероятностью 0,9 зараженное мясо будет признано зараженным. Чистое мясо будет признано зараженным с вероятностью. Судя по тесту, эта партия мяса заражена. Какова вероятность того, что она действительно заражена Задача3.15.Роме Протасевичу, искавшему со мной у Мутновского вулкана в тумане серую палатку... Есть две темные комнаты, Аи В. Водной из них сидит черная кошка. Первоначально предполагается, что вероятность нахождения кошки в комнате А равна 𝛼. Вероятность найти черную кошку в темной комнате (если она там есть) с одной попытки равна 𝑝. Допустим, что вы сделали 𝑎 неудачных попыток поиска кошки в комнате Аи неудачных попыток в комнате а) Чему равна условная вероятность нахождения кошки в комнате А) При каком условии на (𝑎 − 𝑏) эта вероятность будет больше 0.5? Задача 3.16. Кубик подбрасывается два раза. Найдите вероятность получить сумму равную 8, если на первом кубике выпало 3. Задача 3.17. В коробке 10 пронумерованных монеток, 𝑖-ая монетка выпадает орлом с вероятностью. Из коробки балы вытащена одна монетка наугад. Она выпала орлом. Какова вероятность того, что это была пятая монетка? Задача 3.18. Вы играете две партии в шахматы против незнакомца. Равновероятно незнакомец может оказаться новичком, любителем или профессионалом. Вероятности вашего выигрыша в отдельной партии, |