Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
Сколько разв среднем Вовочка крикнет Ого пока достанет все шарики? Задача 4.59. Маша собрала 100 грибов. Она собирала все грибы подряд без разбора. В лесу белые грибы встречаются с вероятностью 𝑝 > 0, мухоморы - с вероятностью 𝑞 > 0, 𝑝 + 𝑞 ≤ 1. Найдите корреляцию между количеством белых и мухоморов у Маши. При каких 𝑝 и 𝑞 корреляция наиболее велика (по модулю Первый шаг Задача 5.1. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Испытания по схеме Бернулли проводятся до первого успеха, вероятность успеха в отдельном испытании равна а) Чему равно ожидаемое количество испытаний? б) Чему равно ожидаемое количество неудач? в) Чему равна дисперсия количества неудач? Задача 5.2. Отрицательное биномиальное Испытания по схеме Бернулли проводятся до го успеха, вероятность успеха в отдельном испытании равна а) Чему равно ожидаемое количество неудач? б) Чему равна дисперсия количества неудач? Задача 5.3. Саша и Маша по очереди подбрасывают кубик. Посуду будет мыть тот, кто первым выбросит шестерку. Маша бросает первой. Каковы ее шансы на «победу»? Задача 5.4. Саша и Маша решили, что будут рожать нового ребенка, до тех пор, пока в их семье не будут дети обоих полов. Каково ожидаемое количество детей? Задача 5.5. Четыре человека играют в игру белая ворона платит. Они одновременно подкидывают монетки. Если три монетки выпали одной стороной, а одна - по-другому, то белая ворона оплачивает всей четверке ужин в ресторане. Если белая ворона не определилась, то монетки подбрасывают снова. Сколько в среднем нужно подбрасывания для определения белой вороны»? Задача 5.6. Саша и Маша каждую неделю ходят в кино. Саша доволен фильмом с вероятностью 1/4, Маша - с вероятностью 1/3. a) Сколько недель в среднем пройдет до тех пор, пока кто-то не будет доволен) Какова вероятность того, что первым будет доволен Саша) Сколько недель в среднем пройдет до тех пор, пока каждый не будет доволен хотя бы одним просмотренным фильмом? Задача 5.7. По ответу студента на вопрос преподаватель может сделать один из трех выводов ставить зачет, ставить незачет, задать еще один вопрос. Допустим, что знания студента и характер преподавателя таковы, что при ответе на отдельный вопрос зачет получается с вероятностью 𝑝 1 = 3/8 , незачет - с вероятностью 𝑝 2 = 1/8 . Преподаватель задает вопросы до тех пор, пока не определится оценка. а) Сколько вопросов в среднем будет задано? б) Какова вероятность получения зачета? Задача 5.8. Вы играете в следующую игру. Кубик подкидывается неограниченное число раз. Если на кубике выпадает 1, 2 или 3, то соответствующее количество монет добавляется на кон. Если выпадает или 5, то игра оканчивается и Вы получаете сумму, лежащую на кону. Если выпадает 6, то игра оканчивается, а Вы не получаете ничего. а) Чему равен ожидаемый выигрыш в эту игру? б) Изменим условие если выпадает 5, то набранная сумма сгорает, а игра начинается заново. Чему будет равен ожидаемый выигрыш? Задача 5.9. Вася подкидывает кубик. Если выпадает единица, или Вася говорит стоп, то игра оканчивается, если нетто начинается заново. Васин выигрыш - последнее выпавшее число. Как выглядит оптимальная стратегия Как выглядит оптимальная стратегия, если за каждое подбрасывание Вася платит 35 копеек?[?] Задача 5.10. Саша и Маша подкидывают монетку бесконечное количество раз. Если сначала появится РОРО, то выигрывает Саша, если сначала появится ОРОО, то - Маша. а) У кого какие шансы выиграть) Сколько в среднем времени ждать до появления РОРО? До ОРОО? ТВИМС-задачник. Демешев Борис. с) Сколько в среднем времени ждать до определения победителя? Задача 5.11. Есть три комнаты. Впервой из них лежит сыр. Если мышка попадает в первую комнату, то она находит сыр через одну минуту. Если мышка попадает во вторую комнату, то она ищет сыр две минуты и покидает комнату. Если мышка попадает в третью комнату, то она ищет сыр три минуты и покидает комнату. Покинув комнату, мышка выходит в коридор и выбирает новую комнату наугад (те. может зайти в одну и туже. Сейчас мышка в коридоре. Сколько времени ей в среднем потребуется, чтобы найти сыр? Задача 5.12. Иська и Еська по очереди подбрасывают два кубика. Иська бросает первым. Иська выигрывает, если при своем броске получит 6 очков в сумме на двух кубиках. Еська выигрывает, если при своем броске получит 7 очков в сумме на двух кубиков. Кубики подбрасываются до тех пор, пока не определится победитель. а) Верно ли, что события 𝐴 = на двух кубиках в сумме выпало больше 5 очков и 𝐵 = на одном из кубиков выпала 1} являются независимыми? б) Какова вероятность того, что Еська выиграет? Задача 5.13. Players A and B play a (fair) dice game. «A» deposits one coin and they take turns rolling a single dice, «B» rolling first. If «B» rolls an even number, he collects a coin from the pot. If he rolls an odd number, he put a coin (coins with same values always). If «A» (plays and) rolls an even number, he collects a coin but if he rolls an odd number, he does NOT add a coin. The game continues until the pot is exhausted. Question: what is the probability that «A» wins this game (that is, exhaust the pot) ? t=138358 Задача 5.14. Уравнение Пелля-0 Найдите все решения в целых числах уравнения Пелля: 𝑎 2 − 3𝑏 2 = 1 Hint: Рассмотрите коэффициенты последовательности (2 + √ 3) 𝑛 Задача 5.15. Уравнение Пелля В мешке 2 апельсина и 1 яблоко. Если бы Вася сразу извлек два предмета наугад, то, конечно, вероятность взять два апельсина равнялась бы одной третьей. Перед тем, как Вася берет два предмета, в мешок добавили 𝑎 апельсинов и 𝑏 яблок, но при этом вероятность взять два апельсина не поменя- лась. Найдите 9-ое наименьшее возможное 𝑎 Задача 5.16. Уравнение Пелля-2 На бумаге в клеточку отмечено 2 × 𝑛 точек, (нарисовать какие...). Каждый вертикальный и горизонтальный отрезок Тиша прорисовывает с вероятностью 0.5. Пусть (𝑛) - вероятность того, что все точки окажутся связаны, но при этом не будет ни одной петли. Найдите 𝑃 (10) Задача 5.17. Числа Фибоначчи и монетки fair coin is tossed 2007 times. Find the probability that at no point during the tossing are two heads flipped consecutively. Выразите ответ с помощью чисел Фибоначчи. Задача 5.18. A player is playing the following game. In each turn he flips a coin and guesses the outcome. If his guess is correct, he gains 1 point; otherwise he loses all his points. Initially the player has no points, and plays the game until he has 2 points. (a) Find the probability 𝑝 𝑛 that the game ends after exactly 𝑛 flips. (b) What is the expected number of flips needed to finish the game? Задача 5.19. [ Mosteller] Два кубика подбрасываются неограниченное число раз. Какова вероятность того, что сумма очков ТВИМС-задачник. Демешев Борис. равная пяти, появится раньше суммы очков, равной семи? Задача 5.20. Китайский ресторан Каждый момент времени в китайский ресторан приходит новый посетитель. Если сейчас в ресторане сидит 𝑛 человека за конкретным столиком сидит 𝑏 человек, то вероятность того, что новый посетитель присоединится к этому столику равна. С вероятностью 𝜃 𝑛+𝜃 посетитель сядет за отдельный столик. Каково ожидаемое число занятых столиков к моменту времени Задача На краю утеса Пьяница стоит на расстоянии одного шага от края пропасти. Он шагает случайным образом либо к краю утеса либо от него. На каждом шагу вероятность отойти от края равна 2/3, а шаг к краю имеет вероятность 1/3. Каковы шансы пьяницы избежать падения? Задача 5.22. Amoeba A population starts with a single amoeba. For this one and for the generations thereafter, there is a probability of 3/4 that an individual amoeba will split to create two amoebas, and a 1/4 probability that it will die out without producing offspring. What is the probability that the family tree of the original amoeba will go on for ever? Source: Задача X be the sum of realized tosses of a fair dice ( for exemple if you toss a dice 3 times and you got 4 ,6,1 then X=4+6+1=11). what’s expected number of throwings until you got Задача the probability to get a head when throwing an unfair coin is p, what’s the expected number of throwings in order to get two consecutive Задача is the probability of getting two consecutive heads after exactly n Выведите разностное уравнение (го порядка) Решается ли оно в явном виде - непонятно. Задача 5.26. Book Index Range The index of a book lists every page on which certain words appear. To save space these are listed in ranges; for example, if a word occurs on pages 1, 2, 3, 5, 8, and 9, then its index contains ranges: 1-3, 5, 8-9. A certain word appears on each page of an n-page book (n > 0) independently with probability p. Find the expected number of entries in its index entry Source: Задача Разорение игрока У игрока М имеется 1 доллара у игрока N 2 доллара. После каждого тура один из игроков выигрывает у другого один доллар. Игрок М более искусен, чем N, так что он выигрывает 2/3 игр. Игроки состязаются до банкротства одного из них. Какова вероятность выигрыша для M? Задача 5.28. Сумасшедшая старушка В самолет, имеющий 𝑛 мест, проданы все билеты. Для посадки в самолет пассажиры выстроились в очередь (необязательно по номерам билетов. Среди пассажиров есть сумасшедшая старушка. Она растолкала всех локтями, первой ворвалась в салон и села на первое понравившееся ей место. Нормальный пассажир садится на свое место, если оно незанято если оно занято, то пассажир садится произвольным образом на любое свободное. а) Какова вероятность того, что последний в очереди пассажир сядет на свое место? б) Какова вероятность того, что ой с конца пассажир сядет на свое место? с) Каково примерно ожидаемое количество пассажиров, севших на свои места? в) заразное сумасшествие вначале очереди стоит 𝑘 сумасшедших старушек. Как изменятся ответы старушки и благоразумный пассажир ТВИМС-задачник. Демешев Борис. На самолет, имеющий 100 мест, проданы все билеты. Для посадки в самолет пассажиры выстроились в очередь (необязательно по номерам билетов. Первые 99 пассажиров - сумасшедшие старушки. Они садятся на наугад выбранные места. Последний пассажир садится на то место, которое указано в его билете. Если это место занято, то он с помощью стюардессы сгоняет старушку со своего законного места. Согнанная с чужого места сумасшедшая старушка становится благоразумной и садится на свое место по билету. Возможно для этого придется согнать еще одну старушку и т.д. a) Какова вероятность того, что потревожат бабу Дусю? б) Каково ожидаемое количество потревоженных старушек Колмогоровская студенческая олимпиада (?) Коммент: Немного по истории возникновения задачи. Родилась она чисто из жизни - а именно когда тогда еще юному автору приходилось часто ездить из Питера во Псков. Чаще всего билет на покупался в общий вагон поезда. На билете всегда было указано место. Ноне тут-то было Приходя в вагон, обнаруживалось, что пришедшие первыми занимали самые лучшие места (утверждая, что номера мест на билетах - это просто для статистики). И вот тут-то и начинались эти цепочные сгоняния пассажиров. В оригинале задачка звучала так: «В общем вагоне поезда Ленинград-Псков N мест. ... й пассажир, придя последним, обнаруживал, что свободно только только самое дурацкое место - около туалета...» Но в редакции Кванта решили, то писать про бардак и туалет в общем вагоне поезда Лениград-Псков как-то не очень. И самовольно переделали условие на кинотеатр. Автор: Игорь Алексеев links: http://kvant.mccme.ru/1985/06/p34.htm Задача 5.30. Ковбои Собрались 100 ковбоев. Каждый из них выбрал себе из остальных своего самого главного врага случайным образом. Далее ковбои по очереди стреляют, каждый в своего главного врага. Естественно, если жив сами если жив самый главный враг. Ковбои стреляют без промаха. Сколько ковбоев в среднем останется в живых? Какова вероятность, что случайно выбранный ковбой останется в живых? Допустим, среди этих ковбоев есть ковбои без оружия, те. они стрелять не могут, но могут служить мишенью. Пусть доля ковбоев-пацифистов равна 𝛾. Ответьте на предыдущий вопросы при больших 𝑛 Источник: лента 𝑚𝑎𝑡ℎ 𝑟 𝑢 Задача 5.31. Сумасшедшая старушка вяжет в дороге. В сумке у старушки 𝑘 > 0 красных лоскутков и 𝑧 > 0 зеленых. Старушка вяжет шарфики для внуков. Для этого она достает из сумки лоскутки наугад по одному и подшивает их друг к другу пока у них совпадает цвет. Если она извлекает лоскуток, чей цвет отличается от предыдущего, то она кладет его обратно в сумку, перемешивает лоскутки в сумке и начинает вязать новый шарф. Какова вероятность того, что последний шарф будет красным? Задача 5.32. Новый шаман Прежнего шамана племени забодало носорогом. На его смену пришел молодой и перспективный шаман. В силу долгой засухи вождь обратился к шаману с просьбой вызвать дождь. Чтобы вызвать дождь необходимо произнести заклинание «АБРА». Молодой шаман знает, что в заклинании участвуют всего три буквы А, Б и Р и что в заклинании нет двух одинаковых букв подряд. Больше ничего о заклинании молодому шаману неизвестно. Поэтому шаман произносит буквы по одной наугад соблюдая эти два правила. Сколько времени придется в среднем ждать вождю, прежде чем пойдет дождь Задача ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Вася бьет мячом поворотам раз. В первый раз вероятность попасть равна 𝑓𝑟𝑎𝑐12, в каждый последующий раз вероятность попасть увеличивается - Вася становится метче при этом разные удары независимы. Какова вероятность того, что Вася попадет в ворота четное число раз? Вариация: Вася нажимает на пульте телевизора кнопку «On-Off» 100 раз подряд. Пульт старый, поэтому в первый раз кнопка срабатывает с вероятностью 2 , затем вероятность срабатывания падает. Какова вероятность того, что после всех нажатий телевизор будет включен, если сейчас он выключен? Задача 5.34. Прогноз погоды Пусть погода может быть сухой или дождливой. На следущий день погода остается такой же как была с вероятностью 𝑝 и меняется с вероятностью (1 − Какова вероятность того, что через 𝑛 дней погода будет такая же как сейчас 𝑝𝑝 𝑛−1 + (1 − 𝑝)(1 − или 𝑝 𝑛 = (2𝑝 − 1)𝑝 𝑛−1 + 1 − Начальные условия 𝑝 0 = 1 , 𝑝 1 = Общее решение имеет вид 𝑝 𝑛 = 1 2 (2𝑝 − 1) 𝑛 + 1 2 Source: aops, t=179732 As a simplified model for weather forecasting, suppose that the weather (either wet or dry) tomorrow will be the same as the weather today with probability 𝑝. If the weather is dry on January 1st, what is the probability (in terrms of 𝑝) that the weather will be dry on February 1st? Задача 5.35. Каждая партия может закончится выигрышем в 1 очко, с вероятностью 4 ; выигрышем в 2 очка, с вероятностью или проигрышем. Петр играет до первого проигрыша. Какова вероятность того, что он накопит 𝑛 очков? Задача 5.36. Мабиногские овцы без пастуха on one side of the river he saw a flock of white sheep, and on the other a flock of black sheep. And whenever one of the white sheep bleated, one of the black sheep would cross over and become white; and when one of the black sheep bleated, one of the white sheep would cross over, and become black. Welsh tale «Peredur the Son of Evrawc» (english translation by Lady Charlotte Guest in Когда Передур подъехал к Мабиногским овцам, 40 были черными и 60 - белыми. Предположим, что блеющая овца выбирается наугад из всего стада. а) Докажите, что вероятность того, что все овцы рано или поздно станут черными равна вероятности того, что при 99 подбрасываниях монетки, она выпадет орлом не более 39 раз. б) Оцените вероятность того, что все овцы рано или поздно станут черными Задача 5.37. A queue of (𝑛 + 𝑚) people is waiting at a box office; 𝑛 of them have 5-pound notes and 𝑚 have 10-pound notes. The tickets cost 5 pounds each. When the box office opens there is no money in the till. If each customer buys just one ticket, what is the probability that none of them will have to wait for change? Source: drmath Задача, Probability Игроки по очереди подбрасывают монетку. Выигрывает тот, кто первым выбросит орла. Монетка неправильная, и орел выпадает с вероятностью 𝑝. Пусть 𝑓(𝑝) - вероятность выигрыша того, кто бросает первым. Попробуйте интуитивно (не находя 𝑓(𝑝)) определить: а) Является ли 𝑓(𝑝) монотонной? б) lim 𝑝→0 𝑓 (ив) Найдите 𝑓(𝑝) и проверьте интуицию Задача 5.39. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 38 [ Problem of the Саша и Маша играют в крестики-нолики до 𝑛 побед (необязательно подряд. Отдельную партию Саша выигрывает с вероятностью 𝑝, Маша - с вероятностью 1 − 𝑝. Пусть Саше осталось победить раза Маше - 𝑚. Обозначим 𝑓(𝑠, 𝑚) ожидаемое количество оставшихся партий и 𝑃 (𝑠, 𝑚) - вероятность того, что победит Саша а) Как выражается 𝑓(𝑠, 𝑚) через 𝑓(𝑠 − 1, 𝑚) и 𝑓(𝑠, 𝑚 − 1) b) Найдите 𝑓(𝑠, 1) ив) Как выражается 𝑃 (𝑠, 𝑚) через 𝑃 (𝑠 − 1, 𝑚) и 𝑃 (𝑠, 𝑚 − 1) c) Найдите 𝑃 (𝑠, 1) и 𝑃 (1, 𝑚) Comment: No Closed form solution! Задача 5.40. Имеется неправильная монетка, выпадающая орлом с вероятностью 𝑝. Сколько подбрасываний монетки в среднем потребуется для того, чтобы: а) Орел выпал два раза подряд б) Орел выпал два раза необязательно подряд в) Какая-нибудь грань выпала два раза подряд г) Какая-нибудь грань выпала два раза необязательно подряд Задача 5.41. A gambler flips a fair coin and wins a dollar for every heads and loses a dollar for every tail. His strategy is to stop playing if – a) He makes X dollars, or b) he has played N times (whichever occurs first). On an average how many times does he flip the coin. Задача 5.42. Сколько подбрасываний кубика в среднем потребуется, чтобы а) Какая-нибудь грань выпала два раза подряд? б) Произведение двух подряд выпавших граней оказалось меньше 6? Задача 5.43. Вася дошел до последнего уровня игры. У него осталось 40 патронов, а передним монстр, вероятность убить которого с одного выстрела равна 0.2. Сколько выстрелов (в среднем) сделает Вася? Задача 5.44. Дополнительные патроны Вы в тире, и у Вас 100 патронов. С вероятностью 0.01 Вы попадает в глаз Усамы Бен Ладена, за что получаете 20 дополнительных патронов, с вероятностью 0.05 Вы попадаете внос Усамы Бен Ладена, за что получаете 5 дополнительных патронов. Вы стреляете до тех пор, пока патроны не кончатся. Сколько в среднем Вы сделаете выстрелов Задача a random binary tree. Let p be a fixed parameter between 0 and 1. Starting with the complete infinite binary tree retain each edge randomly and independently with probability p. Our random binary tree is the portion connected to the root. So for example the binary tree consisting of the root alone will be selected with probability (1 − 𝑝) 2 (ie when neither edge out of the root is retained). Some of these random binary trees will contain an infinite number of vertices. Throw these out. Then what is the expected number of vertices as a function of p of a random binary tree selected in this way? Задача 5.46. Маша и Саша подбрасывают неправильную монетку, выпадающую орлом с вероятностью 𝑝. Маша выигрывает, если серия из 𝑘 орлов подряд появится раньше серии из 𝑟 решек. Обозначим 𝐴 - событие «Маша выиграла, 𝐵 - сначала выпал орел. а) Составьте два уравнения, связывающих 𝑃 (𝐴|𝐵) и 𝑃 (𝐴|𝐵 𝑐 ) b) Найдите 𝑃 (𝐴) Задача 5.47. В коробке 123 черных шара и 321 белый шар. Извлекается наугад пара шаров. Если оба шара одного цвета, то место пары кладется белый шар. Если извлеченная пара шаров разного цвета, то вместо нее кладется черный шар. Так повторяется до тех пор, пока в корзине не останется один шар. Какова вероятность того, что он будет черным? Задача 5.48. Спагетти ТВИМС-задачник. Демешев Борис. На тарелке запутавшись и вконец устав перед казнью лежат 𝑛 спагетти. Мы связываем концы спагетти между собой наугад. |